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微专题：正、余弦定理的综合应用
【考点梳理】
1. 常用定理
(1)三角形内角和定理：在△ABC中，A＋B＋C＝π，进而有＝－等式子.
(2)射影定理：在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB，b＝acosC＋ccosA，c＝acosB＋bcosA.
(3)角平分线定理：三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例. 即若AD为
∠A的角平分线，则有比例关系：＝.
2. 重要关系
(1)等价关系：A>B⇔a>b⇔sinA>sinB⇔cosA0，所以cos C<0，从而C为钝角，因此△ABC一定是钝角三角形.
故选：C．
32．A
【解析】
【分析】
首先利用正弦定理边化角公式得到 ，即可得到答案.
【详解】
因为 ，所以 ，
即 ，
整理得到 ，
因为 ， ，所以 ，
即 ， ， 为等腰三角形.
故选：A
33．A
第 20 页【解析】
【分析】
将 变成 ，然后根据取值范围分析即可
【详解】
因为 ,所以
两边同除以 ,得
因为 ,所以 .所以
即
所以 为锐角,又 为最大角,所以此三角形是锐角三角形
故选：A
34．C
【解析】
【分析】
先判断出最大角，通过余弦定理判断即可.
【详解】
由正弦定理可得 ，则C为最大角，设 ，
因为 ，所以C为钝角，故 为钝角三角形．
故选：C.
35．ACD
【解析】
【分析】
先根据题意求出 ， ， ,结合正弦定理可得A，D的正误, 结合余弦定理可得B，C的正误.
【详解】
由题意,设 ,
解得 ;
所以 ,
所以A 正确;
由以上可知 最大,
所以 为锐角,
所以B错误;
第 21 页由以上可知 最小,
,
,
即 ,
因为 为锐角, 为锐角,所以
所以C正确;
因为 ，所以 ,
设 外接圆的半径为 ,则由正弦定理可得
所以
所以D正确.
故选: ACD.
36．BCD
【解析】
【分析】
选项A. 由题意可得 或 ，从而可判断；选项B. 若 ,则 ，由正弦定理可判断；选项C.
若 为锐角三角形，则 ，即所以 ，由 正弦函数的单调性可判断；选项D. 在
中,若 ，由正弦定理可得 ，从而可判断.
【详解】
选项A. 在 中, 若 ,则 或
所以 或 ，所以 为等腰或直角三角形. 故A 不正确.
选项B. 在 中, 若 ,则 ，
由正弦定理可得 ,即 ，故B正确.
选项C. 若 为锐角三角形，则
所以 ，所以 ,故C正确.
选项D. 在 中,若 ，由正弦定理可得 ，
即 ，所以 ，故D正确.
故选：BCD
37．ACD
第 22 页【解析】
【分析】
由两角和的正切公式结合诱导公式以及 ， ， 为 的内角可判断A；由正弦定理化边为角结合正弦的二倍
角公式可判断B；由正弦定理化边为角，逆用两角和的正弦公式可判断C；利用正弦定理化边为角结合同角三角函
数基本关系可判断D，进而可得正确选项.
【详解】
对于A，因为 ，所以 ，
所以 ，
因为 ， ， 为 的内角，所以 ， ， 都是锐角，所以 是锐角三角形，故选项A正确；
对于B：由 及正弦定理，可得 ，
即 ，所以 或 ，所以 或 ，
所以 是等腰三角形或直角三角形，故选项B错；
对于C：由 及正弦定理化边为角，
可知 ，即 ，
因为 ， 为 的内角，所以 ，所以 是等腰三角形，故选项C正确；
对于D：由 和正弦定理化边为角，易知 ，所以 ，因
为 ， ， 为 的内角，所以 ，所以 是等边三角形，故选项D正确；
故选：ACD.
38．BC
【解析】
【分析】
选项A，转化 ，结合题干条件，可得 ，故可判断；
选项B， ，可得 ，可判断；
选项C，转化 ，代入 ，可判断；
选项D， ，结合均值不等式和 ，可判断
【详解】
第 23 页为锐角，故选项A不正确；
又 ，化简得 ，故选项B正确；
将 代入得：
故选项C正确；
当且仅当 时等号成立
，故选项D不正确
故选：BC
【点睛】
本题考查了解三角形综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题
39．
【解析】
【分析】
根据已知条件，利用正弦定理将目标式由边化为角 的函数关系，再求 的取值范围，根据函数值域即可求得结
果.
【详解】
因为 ，则 ， ，
又 ，
故由正弦定理可得：
又 为锐角三角形，故可得 ，
解得 ，则 ，故 ，
即 .
第 24 页故答案为： .
40．②④
【解析】
【分析】
利用三角函数关系式的恒等变换，正弦定理，余弦定理逐个分析判断即可
【详解】
对于①，若 ，则余弦定理可得 ，得角 为锐角，而不能得到其它两个角为锐角，
所以 不一定是锐角三角形，所以①错误，
对于②，由 ，得 ，所以由正弦定理得 ，设
，则可知 是最大的角，由余弦定理得
，所以角 为锐角，所以 一定是锐角三角形，所以②正确，
对于③，因为 ，所以 ，所以 ，由
正弦定理得 ，所以 为直角，所以 为直角三角形，所以③错误，
对于④，因为 ，所以 ，所以
，
因为 ，所以 ，所以 均为锐角，所以 一定是锐角三角形，所
以④正确，
故答案为：②④
41．
【解析】
【分析】
设 ， ，求出 ，在 中，求出 ，然后表示出矩形面积，然后利用两角和与差的正弦公
式，二倍角公式，化函数为一个角的一个三角函数形式，最后由正弦函数性质得最大值．
【详解】
，
设 ， ，则 ，
中， ，由正弦定理 ，
，所以 ，
第 25 页，
所以 ，即 时， 取得最大值 ．
故答案为： ．
42．直角三角形
【解析】
【分析】
根据正弦定理边化角以及两角和的余弦公式变形可得答案.
【详解】
因为 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ， ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，则 .
所以 为直角三角形.
故答案为：为直角三角形.
43．锐角三角形
【解析】
【分析】
设增加同样的长度为 ，原三边长为 ,则 ， ，则新的三角形三边长可表示出来,可知 为
最大边,其对应角最大，进而利用余弦定理求得余弦值大于0判断出最大角为锐角，得三角形为锐角三角形.
【详解】
设增加同样的长度为 ,原三边长为 ,且 , ，
则新的三角形的三边长为 ,可知 为最大边,其对应角最大，
而 ,
第 26 页由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦为正,则最大角为锐角,
所以新的三角形为锐角三角形.
故答案为:锐角三角形.
【点睛】
本题主要考查了余弦定理的应用，考查了学生转化和化归的思想.
44．直角三角形
【解析】
【分析】
首先结合正弦定理进行角化边，然后结合余弦定理角化边，进而整理以后因式分解即可得出结果.
【详解】
因为 ，结合正弦定理得： ，
由余弦定理得 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，
，
，
，
因为 ，所以 ，即 ，所以 是直角三角形.
故答案为：直角三角形.
45．（1） ；（2） .
【解析】
（1）利用降幂公式进行化简，得到 ，然后利用整体法求解 的单调递减区间；
（2）先利用 ，求出 ，利用 得出 与 的关系，再利用 得出
与 或 的关系.
【详解】
解(1)依题
又 故 的单调递减区间为
第 27 页(2)由题意知， 又 ，故 ，
依题意 ，
在三角形 中，由余弦定理
故 .
【点睛】
（1）分析三角函数的性质时，要灵活运用三角恒等变换公式将原函数解析式化为 的形式，然后
分析其单调区间、对称性、周期性、最值等问题；
（2）当已知一角及任意两边的关系求解三角形中边长的比例关系时，要注意运用正弦定理、余弦定理进行求解.
46．(1)
(2) ， 千米
【解析】
【分析】
（1）若 ，得到 ，在等边 中，得到 ，分别在直角 中，求得 ，
再在直角 中，求得 的长；
（2）若 ，在 中，利用正弦定理求得 ，在 中，利用余弦定理求得
，进而求得 最大值，即可求解.
(1)
解：若 ，又由 ，所以此时 ，
又因为 为边长为3的等边三角形，所以 ，
在直角 中，因为 ，所以 ，
在直角 中，可得 .
(2)
解：若 ，在 中， ，所以 ，
在 中， ，其中 ，
所以
，
第 28 页即 ，
当且仅当 时，即 时， 取得最大值27，
此时 （千米），
所以当 时，工厂产生的噪音对村庄B的居民影响最小，
此时工厂距离村庄B的最远距离约为5.2千米.
47．(1)直角三角形或等腰三角形
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出 ，可得出 或 ，可
得出 或 ，即可得出结论；
（2）分析可得 ，且 ，利用诱导公式以及辅助角公式可得出 周长
，利用正弦型函数的基本性质可求得取值范围.
(1)
为等腰三角形或直角三角形，证明如下：
由 及正弦定理得， ，
即 ，
即 ，
整理得 ，所以 ，
故 或 ，
又 、 、 为 的内角，所以 或 ，
因此 为等腰三角形或直角三角形．
(2)
由（1）及 知 为直角三角形且不是等腰三角形，
且 ， 故 ，且 ，
周长 ，
因为 ，故 ，
得 ，所以 ，
第 29 页所以 周长的取值范围为 ．
48．（1）最小正周期是 ，单调递减区间是 ；（2）直角三角形，理由见解析．
【解析】
【分析】
（1）由数量积坐标运算求得 ，并由二倍角公式、两角和的正弦公式化函数为一个角一个三角函数形式，然后
由正弦函数性质求得最小正周期和减区间；
（2）先求得 角，由面积公式求得 ，再由余弦定理求得 ，可判断三角形形状．
【详解】
（1） ，
所以最小正周期是 ，
，解得 ，
减区间是 ；
（2）由（1） ， ，
因为 ，所以 ，所以 ， ，
， ，
， ， ，
是直角三角形．
49．(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）由题意和正弦定理及两角和的正弦公式，化简得到 ，即可求解；
（2）根据 是锐角三角形，求得 ，由正弦定理化简得到 ，进而求得 的取值范围.
(1)
解：因为 ，由正弦定理得 ，
因为 = ，
所以 ，则 或 ，
即 或 （舍去），故 .
(2)
第 30 页解：因为 是锐角三角形，所以 ，解得 ，
所以 ，
由正弦定理可得： ，则 ，
所以 .
第 31 页第 32 页
