文档内容
专题03 勾股定理应用重难点题型归纳（十大题型）
重难点题型归纳
1.最短路径问题与翻折问题
【题型01 与长方形有关的最短路径问题】
【题型02 与圆柱有关的最短路径问题】
【题型03 与台阶有关的最短路径问题】
【题型04将军饮马与最短路径问题】
【题型05几何图形中翻折、旋转问题】
2. 实际应用
【题型06梯子滑落问题】
【题型07 树枝旗子折断问题】
【题型08 航海是否有影响问题】
【题型09 风吹荷花问题】
【题型10垂美四边形问题】
【方法技巧】长方体最短路径基本模型如下：
几何体中最短路径基本模型如下：
基本思路：将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短确定最短路线，构造直
角三角形，利用勾股定理求解
垂美四边形（1）构造直角三角形解决问题；
（2）垂美四边形
【定义】对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.
【结论】如图，四边形ABCD的对角线AC⊥BD，
则①AB²＋CD²＝AD²＋BC². ②S四ABCD＝ AC·BD
【题型01 与长方形有关的最短路径问题】
1．（24-25七年级上·山东泰安·期中）如图，四边形ABCD是长方形地面，长AB=10m，
宽AD=5m，中间竖有一堵砖墙高MN=1m，一只蚂蚱从点A爬到点C，则它至少要走
（ ）
A．13m B．❑√146m C．5❑√5m D．12m
【答案】A
【分析】本题主要考查了平面展开最短路线问题、勾股定理等知识点，根据题意画出平
面展开图是解答题的关键．如图：连接AC，利用勾股定理求出AC的长，再把中间的
墙平面展开，使原来的矩形长度增加而宽度不变，求出新矩形的对角线长即可．
【详解】解：如图所示：
2MN
将图展开，图形长度增加 ，
原图长度增加2米，则AB=10+2=12m，
如图：连接AC，
∵四边形ABCD是长方形，AB=12m，宽AD=5m，∴AC=❑√AB2+BC2=❑√52+122=13m，
∴蚂蚱从A点爬到C点，它至少要走13m的路程．
故选：A．
2．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离
点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短
距离是 ．
【答案】25
【分析】本题主要考查两点之间线段最短，勾股定理，关键是将长方体侧面展开，然后
利用两点之间线段最短解答．要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是
将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答．
【详解】解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，
如第1个图：
∵ B C
长方体的宽为10，高为20，点 离点 的距离是5，
∴BD=CD+BC=10+5=15，AD=20，
在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：
∴AB=❑√BD2+AD2=❑√152+202=25；
只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第2个图：∵ B C
长方体的宽为10，高为20，点 离点 的距离是
5，
∴BD=CD+BC=20+5=25，AD=10，
在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：
∴AB=❑√BD2+AD2=❑√102+252=5❑√29；
只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第3个图：
∵ B C
长方体的宽为10，高为20，点 离点 的距离是5，
∴AC=CD+AD=20+10=30，
在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：
∴AB=❑√AC2+BC2=❑√302+52=5❑√37；
∵25<5❑√29<5❑√37，
∴蚂蚁爬行的最短距离是25，
故答案为：25.
3．（24-25八年级上·黑龙江大庆·期末）如图，长方体的长为3cm，宽为3cm，高为5cm．
一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A爬到点C，蚂蚁爬行的最短路程是 cm．
【答案】❑√61
【分析】本题主要考查了平面展开-最短路径问题，勾股定理，解题的关键是熟练掌握
勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a,b，斜边为c，那么a2+b2=c2．分两种情况画出图形，求出最短路径长度，然后再进行比较即可．
【详解】解：如图1，由勾股定理得：AC=❑√62+52=❑√61(cm)．
如图2，由勾股定理得：AC=❑√32+82=❑√73(cm)．
因为❑√73>❑√61，
故蚂蚁爬行的最短路线为❑√61cm，
故答案为：❑√61．
4．（24-25八年级上·辽宁锦州·期中）如图，用7个棱长为1的正方体搭成一个几何体，沿
着该几何体的表面从点M到点N的所有路径中，最短路径的长是 ．
【答案】5
【分析】本题主要考查了两点之间线段最短，以及勾股定理，正确画出侧面展开图，确
定两点之间线段最短是解题的关键．
先画出侧面展开图，根据两点之间践段最短，利用勾股定理求出线段MN的长即可．
【详解】将将第一层小正方体的顶面和正面，以及第二层小正方体的顶面和正面展开，
如下图，连接MN，
则最短路径MN=❑√42+32=5
故答案为：5．
5．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）如图，一个长方体建筑物的长、宽、高分别为3米、
1米和6米，为了美观，现要在该建筑物上缠绕灯线以便安装小彩灯，灯线的绕法是从
下底面的顶点A开始经过四个侧面绕3圈绕到上底面的顶点B，那么用在该建筑物上的
灯线最短需要 米．
【答案】10
【分析】本题考查了勾股定理与最短路径的计算，理解题意，掌握勾股定理的运用是解
题的关键．
根据题意，将立体图形展开，运用勾股定理即可求解．
【详解】解：如图所示，AB=A'B'=6米，A A'=3+1+3+1=8米，
∴AB'=❑√ A' A2+(A'B') 2 =❑√82+62=10米，故答案为：10 ．
6．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）如图，长方体的底面边长分别为1cm和2cm，高为
1
4cm，点P在棱BC上，BP= BC，若一只蚂蚁从A点开始沿图中3个侧面（即沿
4
AM−MN−NP）爬行到达P点，则蚂蚁爬行的最短路径长为 cm．
【答案】5
【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，要求所用细线的最短距离，需将长方体
的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．
【详解】解：将长方体展开，连接A、P，如图，当点M、N在线段AP上时，根据
“两点之间线段最短”，得最短路径为线段AP的长，
1
∵长方体的底面边长分别为1cm和2cm，高为4cm，点P在棱BC上，且BP= BC，
4
3
∴AC=4cm，PC= BC=3cm，
4
∴AP=❑√42+32=5(cm)，
即蚂蚁爬行的最短路径长为5cm．
故答案为：5．
【题型02 与圆柱有关的最短路径问题】7．（24-25八年级上·河南郑州·期末）某3D打印社团制作了一根盘龙金箍棒，如图，把金
箍棒看成圆柱体，它的底面周长是15cm，龙头部分沿最短路径绕金箍棒盘旋1圈升高
8cm，则龙头部分的长为（ ）
A．10cm B．13cm C．14cm D．17cm
【答案】D
【分析】此题考查平面展开——最短路径问题，勾股定理．正确画出图形是解题关键．
根据题意画出图形，利用圆柱侧面展开图，结合勾股定理求出即可．
【详解】解：如下图，则AC=15cm,BC=8cm，
AB=❑√AC2+BC2=❑√152+82=17(cm)
，
即龙头不符的长为17cm，
故选：D．
8．（24-25七年级上·山东东营·期中）如图，圆柱形容器高为10cm，在其外壁距离下底面
3cm的A处有一只蚂蚁，它想吃到正对面外壁距离上底面2cm的B处的一滴蜂蜜，其中
圆柱的底面周长为24cm，则蚂蚁爬行的最短距离为（ ）A．10cm B．13cm C．24cm D．25cm
【答案】B
【分析】本题考查平面展开-最短路径问题，解题的关键是计算出圆柱展开后所得长方
形的长和宽的值，然后用勾股定理进行计算．先把圆柱的侧面展开得其侧面展开图，由
勾股定理求得AB的长．
【详解】解：如图，将圆柱的侧面沿过A点的一条母线剪开，得到长方形连接AB,
则线段AB的长就是蚂蚁爬行的最短距离，
故AB=❑√(10−3−2) 2+122=13(cm).
故选：B.
9．（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为
15cm，底面周长为8cm，在容器内壁离容器底部6cm的A处有一饭粒，此时一只蚂蚁
正好在与点A处相对的玻璃杯外壁，且距离容器顶部1cm的点B处，则蚂蚁吃到饭粒
需爬行的最短路径长度是 cm．
【答案】2❑√29
【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题、轴对称的性质、勾股定理，解决本题的
关键是根据轴对称的性质画出蚂蚁走的最短路径，构造直角三角形，、利用勾股定理
求出结果．
【详解】解：如下图所示，将圆柱的侧面展开，
1
则有EC= ×8=4cm，AE=15−6=9cm，BC=1cm，
2
作点B关于EC的对称点B'，作B'D∥EC交AE的延长线于点D，
则DE=B'C=BC=1cm，B'D=EC=4cm，∴AD=AE+DE=9+1=10cm，
∴AB'=❑√AD2+B'D2=❑√102+42=2❑√29cm
故答案为：2❑√29 ．
10．（24-25八年级上·甘肃张掖·期中）临汾是帝尧之都，有着尧都之称．尧都华表柱身祥
云腾龙，顶蹲冲天吼，底座浮雕长城和黄河壶口瀑布，是中华民族历史悠久、文化灿
烂的标志．如图，在底面周长约为6米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕
龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点C，B为AC的中
点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为
．
【答案】20
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用——最短距离问题，解题的关键是能够
将圆柱体的侧面展开，并分析出每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形．
根据题意得到把圆柱体的侧面展开后是长方形，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组
成直角三角形，根据勾股定理求出每圈龙的长度，最后乘2即可得到结果．
【详解】解：根据题意得：把圆柱体的侧面展开后是长方形，
如图，雕龙把大长方形均分为2个小长方形，则雕刻在石柱上的巨龙的最短长度为2
个小长方形的对角线的和，∵底面周长约为6米，柱身高约16米，
1 1
∴AB=6，AE= AD= ×16=8，
2 2
在Rt△BAE中
∴BE=❑√AB2+AE2=❑√62+82=10，
∴雕刻在石柱上的巨龙至少为10×2=20米．
故答案为：20．
11．（24-25八年级上·山西晋中·期中）用一张半径为4cm的半圆形纸片，围成一个圆锥
（连接处无缝隙也无重合），一只蚂蚁沿着圆锥表面爬行，从点A爬行到点B的最短
路线长为 cm．
【答案】2❑√5
【分析】本题考查的是勾股定理的应用．画出图形，根据勾股定理计算，得到答案．
【详解】解：如图，线段AB的长为所求的最短路线长，
由勾股定理得：AB=❑√AP2+BP2=❑√42+22=2❑√5(cm)，
故答案为：2❑√5．
12．（24-25八年级上·陕西汉中·阶段练习）如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的
示意图，该U型池可以看作是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为8m（即BC=AD=8m）的半圆，其边缘AB=CD=20m，点E在CD上，
CE=5m．一名滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离为 m．（边缘
部分的厚度可以忽略不计，π取3）
【答案】3❑√41
【分析】本题考查了平面展开−最短路径问题，U型池的侧面展开图是一个矩形，此
矩形的宽等于半径8m的半圆的弧长，矩形的长等于AB=CD=20m，解决本题的关键
是把U型池的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．要求滑行的最
短距离，需将该U型池的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．
1
【详解】解：如图是其侧面展开图：AD= π×8=4π(m)，AB=CD=20m，
2
DE=CD−CE=20−5=15m，
在Rt△ADE中，AE=❑√AD2+DE2=❑√(4π) 2+152=❑√122+152=3❑√41(m)，
故他滑行的最短距离约为3❑√41m；
故答案为：3❑√41．
【题型03 与台阶有关的最短路径问题】
13．（23-24八年级下·广东广州·期中）一个台阶如图，阶梯每一层高15cm，宽25cm，
长60cm．一只蚂蚁从A点爬到B点最短路程是（ ）A．60cm B．80cm C．90cm D．100cm
【答案】D
【分析】此题主要考查了平面展开−最短路径问题．先将图形平面展开，再用勾股定理
根据两点之间线段最短进行解答 ．
【详解】解：如图所示：
台阶平面展开图为长方形，AC=60cm，BC=15+15+25+25=80(cm)，
则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．
由勾股定理得：AB=❑√602+802=100(cm)，
故选：D．
14．（24-25八年级上·河南焦作·期中）如图，三级台阶每一级的长宽高分别是5cm，3cm
和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，点A上有一只蚂蚁，想到点B去吃可
口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点B的最短路程长为 cm．
【答案】13
【分析】本题主要考查了平面展开图中的最短路径问题，勾股定理，熟练掌握平面展
开图及勾股定理是解决本题的关键．先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．
【详解】解：如图所示，
∵三级台阶平面展开图为长方形，宽为5，长为(3+1)×3=12，
∴蚂蚁沿台阶面爬行到点B最短路程是此长方形的对角线长，
由勾股定理得，AB=❑√52+122=13，
则蚂蚁沿着台阶面爬到点最短路程是13；
故答案为：13
【题型04将军饮马与最短路径问题】
15．（23-24八年级下·河南安阳·阶段练习）如图，在公路l的一侧有A，B两个工厂，A，
B到公路的垂直距离分别为1km和3km，A，B之间的水平距离为3km．现要在公路l
上建一个运输点，使A，B两厂到运输点的总路线最短，则最短总路线为
km．
【答案】5
【分析】本题考查轴对称的性质，作A点关于直线l的对称点C，连接CB交直线MN
于点P，则此时AP+PB最小，然后利用勾股定理解题即可．
【详解】解：作A点关于直线l的对称点C，连接CB交直线MN于点P，则此时
AP+PB最小，过点C作CD⊥B′B交BB′的延长线于点D，
∵A A′=1km，BB′=3km，A′B′=3km，
∴CD=3km，A′C=1km，
则B′D=1km，
∴BD=4km，
∴在Rt△BCD中，CB=❑√CD2+BD2=❑√32+42=5(km)，
即AP+PB的最小值为5km，
故答案为：5．
16．（2024·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A(3,0)，B(0,2)，
过点B作y轴的垂线l，P为直线l上一动点，连接PO，PA，则PO+PA的最小值为
．
【答案】5
【分析】本题考查轴对称—最短问题以及勾股定理和轴对称图形的性质．先取点A关
于直线l的对称点A′，连A′O交直线l于点C，连AC，得到AC=A′C，A′ A⊥l，再
由轴对称图形的性质和两点之间线段最短，得到当O,P,A′三点共线时，PO+PA的
最小值为A′O，再利用勾股定理求A′O即可．
【详解】解：取点A关于直线l的对称点A′，连A′O交直线l于点C，连AC，
则可知AC=A′C，A′ A⊥l，
∴PO+PA=PO+PA′≥A′O，即当O,P,A′三点共线时，PO+PA的最小值为A′O，
∵直线l垂直于y轴，
∴A′ A⊥x轴，
∵A(3,0)，B(0,2)，
∴AO=3,A A′=4，
∴在Rt△A′ AO中，
A′O=❑√OA2+A A′2=❑√32+42=5，
故答案为：5
17．（2024·山东济南·三模）如图，在边长为4米的正方形场地ABCD内，有一块以BC为
直径的半圆形激光发射器接收“感应区”，边AB上的P处有一个激光发射器，红外
线从点P发射后，经平面镜AD、CD反射后到达“感应区”，若AP=1米，激光途经
的最短路线长 米．
【答案】(❑√61−2)/(−2+❑√61)
【分析】本题主要考查了最短路径问题．解题关键是熟练掌握轴对称性质，勾股定理
解直角三角形．
由光的反射规律可知，物体和像是关于平面镜对称．设半圆的圆心为O，作半⊙O关
于CD对称的半⊙O'，点P关于AD在对称点P'，连接O'P'，分别交AD、CD、⊙O'于点E、F、H，连接OF交CD于点G，由轴对称性质知PE=P'E，FG=GH，得到
最短路线为：PE+EF+FH=P'H，由正方形性质知，AB=BC=4,∠ABC=90°，
得到BP'=5, BO'=6，由勾股定理得到O'P'=❑√61，即得．
【详解】设半圆的圆心为O，
作半⊙O关于CD对称的半⊙O'，点P关于AD对称点P'，连接O'P'，分别交AD、
CD、⊙O'于点E、F、H，连接OF交CD于点G，
则PE=P'E，FG=GH，
激光途经的最短路线为：PE+EF+FH=P'E+EF+FH=P'H，
正方形ABCD中，AB=BC=4,∠ABC=90°，
1
∴O'C=OC= BC=2，
2
∵AP'=AP=1，
∴BP'=AB+AP'=5,BO'=BC+CO'=6，
∴O'P'=❑√BP'2+BO'2=❑√61，
∴P'H=O'P'−O'H=❑√61−2，
∴激光途经的最短路线为(❑√61−2)米．
故答案为：(❑√61−2)．
18．（22-23八年级下·云南昭通·期中）如图，银行和超市在人民路（东西方向）上，小智
同学家和学校分别在银行和超市的正北方向．已知学校和超市相距0.5千米，超市和
银行相距0.8千米，银行和小智家相距1千米．星期五放学后，小智同学先到超市和
银行之间的某个地方和小华见面，然后再回家．(1)为了让小智从放学到回家所走的路程最短，小华应在哪个位置等小智？请在图中画
出该位置，并简要说明作图方法或步骤；
(2)求出小智走过的最短路程．
【答案】(1)见解析
(2)小智走过的最短路程为1.7千米
【分析】（1）根据两点之间线段最短即轴对称的性质作图；
（2）根据勾股定理求解．
本题考查了作图的应用与设计，掌握轴对称的性质及勾股定理是解题的关键．
【详解】（1）如图：
步骤：①作A关于BE的对称点Q，
②连接QD交BE于点C，
点C即为所求；
（2）过Q作QF⊥DE交其延长线于F，则四边形BEFQ为矩形，
∴QF=BE=0.8千米，EF=BQ=AB=0.5千米，
∴DF=DE+EF=1.5千米，
∴DQ=❑√QF2+DF 2 =1.7（千米），
即小智走过的最短路程为1.7千米．【题型05几何图形中翻折、旋转问题】
19．（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，三角形纸片ABC中，
∠BAC=90°，AB=4，AC=6，沿AD和EF将纸片折叠，使点B和点C都落在边
BC上的点P处，则EC的长是（ ）
5 5 7 3
A． B． C． D．
2 3 2 5
【答案】B
【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理；根据题意可得AP=AB=4，
∠B=∠APB，CE=PE，∠C=∠CPE，可得∠APE=90°，继而设AE=x，则
CE=DE=6−x，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：∵沿AD纸片折叠，使点B落在边BC上的点P处，
∴AP=AB=4，∠B=∠APB，
∵折叠纸片，使点C与点P重合，
∴CE=PE，∠C=∠CPE，
∵∠BAC=90°，
∴∠B+∠C=90°，
∴∠APB+∠CPE=90°，
∴∠APE=90°，
∴AP2+PE2=AE2，
设AE=x，则CE=PE=6−x，
在Rt△APE中， 由勾股定理得AP2+PE2=AE2
∴42+(6−x) 2=x2，
13 13
解得x= ，即AE= ，
3 3
13 5
∴CE=6− = ，
3 3故选：B．
20．（24-25八年级上·江西抚州·期末）如图，在长方形ABCD中，AB=2，AD=4，将此
长方形沿EF折叠，使点D与点B重合，则AE的长度为 ．
3
【答案】
2
【分析】本题考查勾股定理与折叠问题．折叠得到BE=DE，设AE=x，利用勾股定
理进行求解即可，掌握折叠的性质和勾股定理，是解题的关键．
【详解】解：∵将此长方形沿EF折叠，使点D与点B重合，
∴BE=DE，
设AE=x，
∵在长方形ABCD中，AB=2，AD=4，
∴∠A=90°，BE=DE=4−x，
由勾股定理得BE2=AE2+AB2，
∴(4−x) 2=x2+22，
3
∴x= ，
2
3
∴AE= ．
2
3
故答案为： ．
2
21．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CA=CB=4，
点D在边BC上．将△ACD沿AD折叠，使点C落在点C′处，连接BC′，则BC′的最
小值为 ．【答案】4❑√2−4/−4+4❑√2
【分析】本题主要考查勾股定理、折叠的性质及三角不等关系，熟练掌握勾股定理、
折叠的性质及三角不等关系是解题的关键．
由折叠性质可知AC=AC′=4，然后根据三角不等关系可进行求解．
【详解】解：∵∠C=90°，CA=CB=4，
∴AB=❑√AC2+BC2=4❑√2，
由折叠的性质可知AC=AC′=4，
∵BC′≥AB−AC′，
∴当A、C′、B三点在同一条直线时，BC′取最小值，最小值即为
BC′=AB−AC′=4❑√2−4；
故答案为：4❑√2−4．
22．（24-25八年级上·广东揭阳·期中）如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D
落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN，则线段CN的长是 ．
【答案】3cm/3厘米
【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，由折叠的性质可得：DN=EN，设
CN=xcm，则EN=DN=(8−x)cm，再由勾股定理计算即可得解．
【详解】解：由题意可得：BC=8cm，∠C=90°，
∵点E是BC边的中点，1
∴CE= BC=4cm，
2
由折叠的性质可得：DN=EN，
设CN=xcm，则EN=DN=(8−x)cm，
在Rt△ECN中，由勾股定理可得：CE2+CN2=EN2，
∴42+x2=(8−x) 2，
解得：x=3，
∴CN=3cm，
故答案为：3cm．
23．（23-24八年级下·湖北宜昌·期中）在△ABC中，∠C=90°,AC=6,BC=8,D,E分
别是斜边AB和直角边CB上的点，把△ABC沿着直线DE折叠，顶点B的对应点是B′．
(1)如图①，如果点B′和顶点A重合，求CE的长；
(2)如图②，如果B′是AC的中点，求CE的长．
7
【答案】(1)
4
55
(2)
16
【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解此
题的关键．
（1）由折叠可得AE=BE，设CE=x，则AE=BE=8−x，再由勾股定理进行计算即
可得出答案；
1
（2）由题意得B′C= AC=3，由折叠的性质可得：BE=B′E，设CE= y，则
2
BE=B′E=8−y，再由勾股定理计算即可得解．
【详解】（1）解：若点B′和顶点A重合，由折叠的性质可得：AE=BE，
设CE=x，则AE=BE=BC−CE=8−x，
∵∠C=90°，∴由勾股定理得：AC2+CE2=AE2，
∴62+x2=(8−x) 2，
7
解得：x= ，
4
7
∴CE= ．
4
（2）解：∵点B′落在AC的中点，
1
∴CB′= AC=3，
2
设CE= y，则B′E=BE=BC−CE=8−y，
∵∠C=90°，
∴由勾股定理得：B′C2+CE2=B′E2，
∴32+ y2=(8−y) 2，
55
解得：y= ，
16
55
即CE的长为： ．
16
24．（24-25八年级上·河南焦作·期末）如图，在长方形纸片ABCD中，四个角是直角，对
边平行，AB=CD=3，AD=BC=9．点E、F分别在AD、BC边上，连接EF，如图
1，把长方形纸片沿着EF折叠，设C、D的对应点分别是C′、D′．
(1)当∠≝=50°时，则∠BFC′=______．
(2)在折叠的过程中，当D的对应点D′恰好与点B重合时，请结合图2，求出BF和CF
的长；
(3)在折叠的过程中，当点D′落在直线BC上，且BD′=3时，请直接写出DD′的长．
【答案】(1)80°
(2)BF=5，CF=4(3)3❑√5或3❑√17
【分析】本题考查勾股定理，长方形，折叠的知识，解题的关键是掌握勾股定理的应
用，长方形的性质，折叠的性质，进行解答，即可．
（1）根据折叠的性质，求出∠≝=∠D′EF=50°，根据长方形的性质，平行线的性
质，可得∠≝=∠BFE=50°，根据四边形的内角和为360°，得到
90°+50°+∠EFC′+90°=360°，求出∠EFC′=130°，最后根据
∠EFC′=∠BFE+∠BFC=130°，即可；
（2）根据长方形的性质，可得BC′=3，C′F=CF，∠BC′F=90°，设CF=x，根
据勾股定理，可得BC′2+C′F2=BF2，求出CF=4，即可得到BF；
（3）根据题意，分类讨论点D′的位置，当点D′落在直线BC上；当点D′落在直线BC
的延长线上，根据勾股定理，进行解答，即可．
【详解】（1）解：由折叠可得，∠≝=∠D′EF=50°，
∵四边形ABCD是长方形，四个角 是直角，
∴AD∥BC，∠D=∠D′=90°，∠C=∠C′=90°，
∴∠≝=∠BFE=50°
∵∠D′+∠D′EF+∠EFC′+∠C′=360°，，
∴90°+50°+∠EFC′+90°=360°，
∴∠EFC′=130°，
∵∠EFC′=∠BFE+∠BFC′=50°+∠BFC′=130°，
∴∠BFC′=80°，
故答案为：80°．
（2）解：∵长方形纸片ABCD中，四个角是直角，AB=CD=3，AD=BC=9，
∴BC′=3，C′F=CF，∠BC′F=90°，
设CF=x，
∴BF=9−x，
∴在Rt△BC′F中，BC′2+C′F2=BF2，
∴32+x2=(9−x) 2，
解得：x=4，
∴CF=4，
∴BF=5．
（3）解：连接DD′，当点D′落在直线BC上，且BD′=3，
∵长方形纸片ABCD中，四个角是直角，AB=CD=3，AD=BC=9，
∴DCB=90°，BC=9=BD′+D′C，
∴D′C=6，
∴D′C2+DC2=DD′2，
∴62+32=DD′2，
∴DD′=3❑√5；
当点D′落在直线BC的延长线上，且BD′=3，连接DD′，
∴DCB=90°，D′C=6BC+BD′=9+3=12，
∴D′C2+DC2=DD′2，
∴122+32=DD′2，
∴DD′=3❑√17，
综上所述，DD′的长3❑√5或3❑√17．
【题型06梯子滑落问题】
25．（24-25八年级上·河南郑州·期中）与危险相伴，与烈火为伍，致敬和平年代的英雄，
最美的逆行者——中国消防员．云梯消防车是常见的消防器械，云梯最多能伸长到30
米，消防车高3米，如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的B处有一老人需要救援，救
人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置A与楼房的距离为24米．(1)求B处与地面的距离．
(2)完成B处的救援后，消防员发现在B处的上方6米的D处有一小孩没有及时撤离，为
了能成功地救出小孩，则消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC为多少米?
【答案】(1)21米；
(2)6米．
【分析】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与
方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，
画出准确的示意图．
（1）先根据勾股定理求出OB的长，进而可得出结论；
（2）由勾股定理求出OA的长，利用OC=OA−OC即可得出结论．
【详解】（1）解：在Rt△OAB中，
∵AB=30米，OA=24米，
∴OB=❑√AB2−OA 2 =❑√302−242=18米
∴BE=OB+OE=18+3=21（米）．
答：B处与地面的距离是21米；
（2）在Rt△COD中，
∵CD=30米，OD=OB+BD=18+6=24（米），
∴OC=❑√CD2−OD2=❑√302−242=18米
∴AC=OA−OC=24−18=6（米）．
答：消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC为6米．
26．（24-25八年级上·辽宁本溪·期末）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学
们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在A的正下方
物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距离
BC=60cm，物体C到定滑轮A的垂直距离AC=80cm．（实验过程中，绳子始终保
持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计．）
(1)求绳子的总长度；
(2)如图2，若物体C升高70cm，求滑块B向左滑动的距离．
【答案】(1)绳子的总长度为180cm
(2)90cm
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
（1）在Rt△ACB中利用勾股定理直接计算即可；
（2）由（1）得绳子的总长度为180cm，得到AB =170cm，在Rt△ACB 中利用勾
1 1
股定理求出B C=150cm，再利用线段和差即可解答．
1
【详解】（1）解：由题意得，∠ACB=90°，
∴在Rt△ACB中，AB2=AC2+BC2，
∴AB=❑√AC2+BC2=❑√802+602=100cm，
∴AB+AC=100+80=180cm．
答：绳子的总长度为180cm．
（2）解：由题意得，CC =70cm，
1
∴AC =AC−CC =80−70=10cm，
1 1
由（1）得，绳子的总长度为180cm，
∴AB =180−AC =180−10=170cm，
1 1
在Rt△ACB 中，AB2=AC2+B C2 ，
1 1 1
∴B C=❑√AB2−AC2=❑√1702−802=150cm，
1 1∴BB =B C−BC=150−60=90cm，
1 1
答：滑块B向左滑动的距离为90cm．
27．（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）某教学楼走廊左右两侧是竖直的墙MD和NE（即
MD⊥DE，NE⊥DE）．一架梯子AB在走廊DE上斜靠在左墙MD时，梯子底端
B到左墙的距离BD=7dm，顶端A到地面的距离AD=24dm．（图中所有点均在同一
平面内）
(1)求梯子AB的长；
(2)如果保持底端位置B不动，将梯子斜靠在右墙NE上时，若梯子顶端C距离地面的
距离CE=20dm，求该教学楼走廊的宽度DE的长．
【答案】(1)AB=25dm
(2)DE=22dm
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题关键；
（1）在Rt△ADB中，由勾股定理计算出AB即可；
（2）在Rt△CEB中，由勾股定理计算出BE，即可求出结论．
【详解】（1）解：∵MD⊥DE，
∴∠ADB=90°，
在Rt△ADB中，AD=24dm，BD=7dm，
∴AB=❑√AD2+BD2=❑√72+242=25dm；
（2）解：在Rt△CEB中，CE=20dm，BC=AB=25dm，
∴BE=❑√BC2−CE2=❑√252−202=15dm，
∴DE=BD+BE=7+15=22dm．
28．（23-24八年级下·广西防城港·期中）【综合实践】【问题情境】消防云梯的作用是用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到
达高层救援现场，如图，已知一架云梯AB长25m斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙
角的距离OB=20cm，∠AOB=90°．
【独立思考】（1）求这架云梯顶部距离地面OA的长度．
【深入探究】（2）消防员接到命令，按要求将云梯从顶部A下滑到A′位置上（云梯
长度不改变），则底部B沿水平方向向前滑动到B′位置上，若A A′=8m，求BB′的长
度．
【问题解决】（3）在演练中，墙边距地面24m的窗口有求数声，消防员需调整云梯去
救援被困人员．经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长
1
度的 ，则云梯和消防员相对安全，在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达24m
5
高的窗口去救援被因人员？
【答案】（1）OA长为15m；（2）BB′的长度为4m；（3）在相对安全的前提下，云
梯的顶端能到达24m高的窗口去救援被困人员
【分析】本题考查了勾股定理的应用．
（1）根据勾股定理即可求出；
（2）先求出OA′，根据勾股定理求出OB′，进一步即可求出BB′；
（2）当云梯的顶端到达24m高的窗口时，根据勾股定理得云梯的底端距离墙的距离
为7m，根据7m>5m，即可得到在相对安全的前提下，云梯的顶端能到达24m高的窗
口去救援被困人员．
【详解】解：（1）在Rt△OAB中，
OA=❑√AB2−OB2=❑√252−202=15m，
答：OA长为15m；
（2）∵OA=15m,A A′=8m，
∴OA′=OA−A A′=15−8=7m，在Rt△A'OB'中，
OB′=❑√A′B′−OA′=❑√252−72=24m，
∴BB′=OB′−OB=24−20=4m
答：BB′的长度为4m ；
（3）当云梯的顶端到达24m高的窗口时，根据勾股定理得云梯的底端距离墙的距离为：
❑√252−242=7m，
1
∵25× =5m，7m>5m ，
5
∴在相对安全的前提下，云梯的顶端能到达24m高的窗口去救援被困人员．
【题型07 树枝旗子折断问题】
29．（23-24八年级上·陕西咸阳·期中）如图，一根垂直于地面的旗杆高6.4m，因刮大风旗
杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部的距离AB=3.2m．
(1)求旗杆折断处点C距离地面的高度AC；
(2)工人在修复的过程中，发现在折断处C的下方1.4m的点D处，有一明显裂痕，若下
次大风将修复好的旗杆从点D处吹断，旗杆的顶部落在水平地面上的B 处，形成一个
1
Rt△ADB ，请求出AB 的长．
1 1
【答案】(1)AC=2.4米
8
(2) ❑√11米
5【分析】本题考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方
程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，
画出准确的示意图．
（1）由题意可知AC+BC=6.4米，根据勾股定理可得：AB2+AC2=BC2，又因为
AB=3.2米，所以可求得AC的长；
（2）先求出D点距地AD=2.4−1.4=1米，B D=6.4−1=5.4米，再根据勾股定理
1
可以求得AB 的长．
1
【详解】（1）解：由题意可知：AC+BC=6.4米，
∵∠A=90°，
∴AB2+AC2=BC2，
又∵AB=3.2米，
∴3.22+AC2=(6.4−AC) 2，
∴AC=2.4米；
（2）解：∵D点距地面AD=2.4−1.4=1米，
∴B D=6.4−1=5.4米，
1
8
∴ AB =❑√B D2−AD2=❑√5.42−12= ❑√11（米)．
1 1 5
30．（23-24八年级下·山东济宁·阶段练习）如图，有两只猴子在一棵树CD高5m的点B处，
它们都要到A处的池塘去喝水，其中一只猴子沿树爬下走到离树10m处的池塘A处，
另一只猴子爬到树顶D后直线跃向池塘的A处，如果两只猴子所经过的路程相等，这
棵树高有多少米？树顶D到池塘A的距离有多少米？
【答案】树高7.5米，树顶D到池塘A的距离有12.5米
【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，考查了直角三角形的构建，本题
中正确的找出BD+DA=BC+CA的等量关系并根据直角△ACD求BD是解题的关键．已知BC，要求CD求BD即可，可以设BD为x，找到两只猴子经过路程相等的等量关
系，即BD+DA=BC+CA，根据此等量关系列出方程即可求解．
【详解】解：设BD为x米，且存在BD+DA=BC+CA，
即BD+DA=15，DA=15−x，
在直角△ACD中，AD为斜边，
则CD2+AC2=AD2，
即(5+x) 2+102=(15−x) 2
解得x=2.5，
∴AD=15−x=12.5米，
CD=BC+BD=5米+2.5米=7.5米，
答：树高7.5米，树顶D到池塘A的距离有12.5米
【题型08 航海是否有影响问题】
31．（24-25八年级上·四川达州·期末）如图，在海平面上有A，B，C三个标记点，
其中A在C的北偏西52°方向上，与C的距漓是40海里，B在C的南偏西38°方向上，
与C的距离是30海里．
(1)求点A与点B之间的距离；
(2)若在点C处有一灯塔，灯塔的信号有效覆盖半径为25海里，此时在点B处有一艘轮
船准备沿直线向点A处航行，轮船航行的速度为每小时20海里．轮船在驶向A处的过
程中，有多少小时可以接收到信号？
【答案】(1)点A与点B之间的距离为50海里
(2)有0.7小时可以接收到信号
【分析】本题考查了勾股定理的应用−航海问题，方向角的应用，路程、速度、时间
的关系，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．
（1）由题意易得∠ACB是直角，由勾股定理即可求得点A与点B之间的距离；（2）过点C作CH⊥AB交AB于点H，在AB上取点M，N，使得CN=CM=25海里，
分别求得NH、MH的长，可求得此时轮船过MN时的时间，从而可求得最多能收到
的信号次数．
【详解】（1）解：由题意，得：∠NCA=52°，∠SCB=38°；
∴∠ACB=90°；
∵AC=40海里，BC=30海里；
∴AB=❑√AC2+BC2=❑√402+302=50（海里），
即：点A与点B之间的距离为50海里；
（2）解：过点C作CH⊥AB交AB于点H，在AB上取点M，N，使得CN=CM=25
海里．
∵CH⊥AB
；
∴∠CHB=90°；
1 1
∵ S = AC⋅BC= AB⋅CH；
△ABC 2 2
∴CH=24海里；
∵CN=CM=25海里；
∴ NH=MH=❑√CM2−CH2=7海里；
行驶时间为7×2÷20=0.7（小时）．
答：有0.7小时可以接收到信号．
32．（24-25八年级上·江苏常州·期中）2024年9月第13号台风“贝碧嘉”登陆，使我国
长三角很多地区受到严重影响，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径
100km（即距离台风中心小于或等于100km区域内都会受台风影响）．如图，线段
BD是台风“贝碧嘉”中心从上海市（记为点B）向西北方向移动到常州市（记为点
D）的大致路线，无锡市惠山区（记为点C）大致在线段BD上，南通市记为点A，且
AB⊥AC．若A，C之间相距120km，A，B之间相距160km．(1)判断南通市（记为点A）是否会受到台风“贝碧嘉”的影响，并说明理由．
(2)若台风“贝碧嘉”中心的移动速度为20km/h，则台风影响南通市（记为点A）持续
时间有多长？
【答案】(1)南通市会受到台风“贝碧嘉”的影响，见解析
(2)2.8h
【分析】（1）过点A作AM⊥BD于点M，求得最短距离AM，与影响半径100km比
较大小，判断解答即可．
（2）以点A为圆心，100km为半径作圆，交BD于点E、F，根据AE=AF=100km，
AM⊥BD，得到ME=MF，根据勾股定理得到ME=❑√AE2−AM2=28(km)，继而
得到EF=2ME=56(km)，求时间即可．
本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，正确构造直角三角形，
熟练掌握解直角三角形是解题的关键．
【详解】（1）解：过点A作AM⊥BD于点M，
∵AB⊥AC，A，C之间相距120km，A，B之间相距160km．
∴BC=❑√AC2+AB2=200(km)，
1 1
根据题意，得 AC·BA= AM·BC，
2 2
AB·AC 120×160
∴AM= = =96(km)，
BC 200
∵100>96，∴南通市会受到台风“贝碧嘉”的影响．
（2）解：以点A为圆心，100km为半径作圆，交BD于点E、F，
∵AE=AF=100km，AM⊥BD，
∴ME=MF，
∴ME=❑√AE2−AM2=28(km)，
∴EF=2ME=56(km)，
56
∴台风影响南通市持续时间为 =2.8(h)．
20
答：台风影响南通市持续时间为2.8h．
33．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，某沿海城市A接到台风预警，在该市正南方
向340km的B处有一台风中心，沿BD方向以15km/h的速度移动，已知城市A到BC
的距离AD为160km．
(1)台风中心经过多长时间从B点移到D点？
(2)如果在距台风中心200km的圆形区域内都将受到台风的影响，那么A市受到台风影
响的时间持续多少小时？
【答案】(1)20h
(2)16h
【分析】本题考查了勾股定理的应用．
（1）先对Rt△ABD运用勾股定理求出BD，即可求出时间；
（2）在射线BC上取点E、F，使得AE=AF=200km，对Rt△AED运用勾股定理求得ED=120km，则即可求出EF，那么时间即可求解．
【详解】（1）解：由题意可知，AD⊥BC，AB=340km，AD=160km，
在Rt△ABD中，BD=❑√AB2−AD2=300(km)，
∵300÷15=20(h)，
∴台风中心经过20h从B点移到D点；
（2）解：如图，在射线BC上取点E、F，使得AE=AF=200km，
由AD⊥BC得DE=DF，
在Rt△AED中，ED=❑√AE2−AD2=120(km)，
∴EF=2ED=240km，
∴t=240÷15=16(h)，
∴A市受到台风影响的时间持续16h．
34．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，经过A村和B村（将A，B村看成直线l上的
点）的笔直公路1旁有一块山地正在开发，现需要在C处进行爆破．已知C处与A村
的距离为900米，C处与B村的距离为1200米，且AC⊥BC．
(1)求A，B两村之间的距离；
(2)为了安全起见，爆破点C周围半径750米范围内不得进入，在进行爆破时，公路AB
段是否有危险而需要封锁？如果需要，请计算需要封锁的路段长度；如果不需要，请
说明理由．
【答案】(1)1500米；
(2)AB段公路需要封锁，需要封锁的路段长度为420米．【分析】此题考查了勾股定理的应用，等腰三角形的判定和性质等知识．
（1）由勾股定理即可求解；
（2）过C作CD⊥AB于D.先用等积法求出CD，比较得到结论：AB段公路需要封锁．
以点C为圆心，750米为半径画弧，交AB于点E，F，连接CE，CF，利用勾股定理
和等腰三角形的性质即可求出需要封锁的路段长度．
【详解】（1）解：在Rt△ABC中，AC=900米，BC=1200米，
∴AB=❑√AC2+BC2=❑√9002+12002=1500（米）.
答：A，B两村之间的距离为1500米；
（2）公路AB有危险而需要封锁.
理由如下：如图，过C作CD⊥AB于D.
1 1
∵S = AB⋅CD= BC⋅AC
△ABC 2 2
，
AC⋅BC 900×1200
∴CD= = =720（米）．
AB 1500
由于720米<750米，故有危险，
因此AB段公路需要封锁．
以点C为圆心，750米为半径画弧，交AB于点E，F，连接CE，CF，
∴EC=FC=750米，
∴ED=❑√7502−7202=210（米），△CEF是等腰三角形，
1
∴DE=DF= EF
2
∴EF=2DE=420（米），
则需要封锁的路段长度为420米．
【题型09 风吹荷花问题】
35．（23-24八年级下·北京朝阳·期末）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，
方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意
是：如图，水池底面的宽AB=1丈，芦苇OC生长在AB的中点O处，高出水面的部分CD=1尺．将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即OC=OE， 求
水池的深度和芦苇的长度(1丈等于10尺)．
(1)求水池的深度OD；
(2)中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般
解法．他的解法用现代符号语言可以表示为：若已知水池宽AB=2a， 芦苇高出水面
a2−n2
的部分CD=n(n
