文档内容
专题 03 勾股定理应用（十二大类型）
【题型1应用勾股定理解决梯子滑落高度问题】
【题型2应用勾股定理解决旗杆高度】
【题型3应用勾股定理解决小鸟飞行的距离】
【题型4应用勾股定理解决大树折断前的高度】
【题型5应用勾股定理解决水杯中的筷子问题】
【题型6应用勾股定理解决航海问题】
【题型7应用勾股定理解决风吹荷花模型】
【题型8应用勾股定理解决汽车是否超速问题】
【题型9应用勾股定理解决是否受台风影响问题】
【题型10应用勾股定理解决选扯距离相离问题】
【题型11应用勾股定理解决几何图形中折叠问题】
【题型12面展开图-最短路径问题】
【题型1应用勾股定理解决梯子滑落高度问题】
1．（2023春•益阳期末）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子
底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将
梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为（ ）
A．2.2米 B．2.3米 C．2.4米 D．2.5米
2．（2023秋•峄城区期中）如果梯子的底端离建筑物底部8米，则17米长的梯子可以达到
建筑物的高度是（ ）
A．12米 B．13米 C．14米 D．15米2．（2023秋•海淀区校级期末）如图，一个梯子 AB长25米，斜靠在竖直的墙上，这时梯
子下端B与墙角C距离为7米，梯子滑动后停在DE上的位置上，如图，测得AE的长4
米，则梯子底端B向右滑动了 米．
3．（2023秋•南关区期末）如图，一把梯子靠在垂直于水平地面的墙上，梯子 AB的长
为2.5米，梯子的底部离墙的距离BC为0.7米．若梯子的顶部向下滑0.4米到D处，此
时梯子的底部向外滑到E处，求梯子的底部向外滑出多少米？
【题型2应用勾股定理解决旗杆高度】
4．（2023•定西模拟）如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面 5m处撕裂折断，旗杆顶部
落在离旗杆底部12m处，旗杆折断之前的高度是（ ）
A．5m B．12m C．13m D．18m
5．（2023春•济南期末）如图，小霞将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，
然后将绳子拉到离旗杆底端12米处，发现此时绳子底端距离打结处约6米，则滑轮到
地面的高度为 米．6．（2023秋•吉安期中）在第十四届全国人大一次会议召开之际，某中学举行了庄严的升
旗仪式．看着冉冉升起的五星红旗（如图1），小乐想用刚学过的知识计算旗杆的高度．
如图2，AD为旗杆AE上用来固定国旗的绳子，点D距地面的高度DE＝1m．将绳子AD
拉至AB的位置，测得点B到AE的距离BC＝3m，到地面的垂直高度BF＝2m，求旗杆
AE的高度．
【题型3应用勾股定理解决小鸟飞行的距离】
7．（2022秋•婺城区期末）如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，
一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行（ ）米．
A．6 B．8 C．10 D．12
8.（2022秋•兴庆区校级期末）如图，有两棵树分别用线段AB和CD表示，树高AB＝15米，
CD＝7米，两树间的距离BD＝6米，一只鸟从一棵树的树梢（点A）飞到另一棵树的树
梢（点C），则这只鸟飞行的最短距离AC＝（ ）
A．6米 B．8米 C．10米 D．12米
9．（2022•三穗县校级模拟）有一只喜鹊在一棵3m高的小树上觅食，它的巢筑在距离该树24m的一棵大树上，大树高11m，且巢离树顶部1m．当它听到巢中幼鸟的叫声，立
即赶过去，如果它飞行的速度为5m/s，那它至少需要时间 才能赶回巢中．
【题型4应用勾股定理解决大树折断前的高度】
10．（2023秋•公主岭市期末）如图，一竖直的木杆在离地面3米处折断，木杆顶端落地
面离木杆底端4米处，木杆折断之前的高度为（ ）
A．7米 B．8米 C．9米 D．12米
11．（2022秋•辉县市校级期末）如图1，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面5米处折
断倒下，树顶落在离树根12米处，图2是这棵大树折断的示意图，则这棵大树在折断
之前的高是（ ）
A．20米 B．18米 C．16米 D．15米
12．（2023秋•汝州市期中）《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一
丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？题意是：一根竹子原高1丈（1丈＝10尺），
中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？设折断处离地面
的高度为x尺，则可列方程为（ ）
A．x2﹣3＝（10﹣x）2 B．x2﹣32＝（10﹣x）2
C．x2+3＝（10﹣x）2 D．x2+32＝（10﹣x）213．（2022秋•达川区校级期末）如图，一棵大树（树干与地面垂直）在一次强台风中于
离地面6米B处折断倒下，倒下后的树顶C与树根A的距离为8米，则这棵大树在折断
前的高度为（ ）
A．10米 B．12米 C．14米 D．16米
14．（2023•南宁模拟）在《九章算术》中有一个问题（如图）：今有竹高一丈，末折抵地，
去本三尺，问折者高几何？它的意思是：一根竹子原高一丈（10尺），中部一处折断，
竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面（ ）尺．
A．4 B．3.6 C．4.5 D．4.55
15．（2023秋•金水区期中）如图，一根直立的旗杆高8m，因刮大风旗杆从点C处折断，
顶部B着地且离旗杆底部A4m．
（1）求旗杆距地面多高处折断；
（2）工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方1.25m的点D处，有一明显裂痕，
若下次大风将旗杆从点D处吹断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的危险？
【题型5应用勾股定理解决水杯中的筷子问题】
16．（2022秋•陵水县期末）如图，将一根长 24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度是为h cm，则h的取值范围是（
）
A．5≤h≤12 B．12≤h≤19 C．11≤h≤12 D．12≤h≤13
17．（2022秋•蒲城县期末）将一根24cm的筷子置于底面直径为12cm，高为16cm的圆柱
形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为h cm，则h的最小值为（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
18．（2022秋•宁化县期中）如图，将一根长为20cm的吸管，置于底面直径为5cm，高为
12cm的圆柱形水杯中，设吸管露在杯子外面的长度是为 hcm，则h的取值范围是
．
【题型6应用勾股定理解决航海问题】
19．（2023春•武江区期中）如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航
行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时
后，两船相距（ ）
A．40海里 B．35海里 C．30海里 D．25海里20．（2023春•仁化县期中）某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号
轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号沿东北方向航行，每小时航行
16海里，“海天”号沿西北方向航行，每小时航行12海里．它们离开港口2小时后两
船相距 海里．
21．（2023秋•开封期末）如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离
为30海里的A处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向
上的B处，求此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离．
22．（2023秋•茂南区期中）如图，两艘轮船M和N分别从港口A出发，轮船M以4海
里/时的速度向东北方向航行，轮船N以3海里/时的速度从港口A出发向东南方向航行，
行驶5个小时后，MN两船的距离多少海里？
23．（2023春•湘潭县期末）已知A，B两艘船同时从港口O出发，船A以15km/h的速度向东航行；船B以10km/h的速度向北航行．它们离开港口2h后，相距多远？
24．（2023春•庆云县期中）如图，有一艘货船和一艘客船同时从港口 A出发，客船每小
时比货船多走5海里，客船与货船速度的比为4：3，货船沿南偏东80°方向航行，2小
时后货船到达B处，客船到达C处，若此时两船相距50海里，求客船航行的方向．
25．（2023春•梁山县期末）某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”
号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海
天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距 30海里，如果知道“远
航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
【题型7应用勾股定理解决风吹荷花模型】26．（2023春•盐山县期末）如图，有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，在水池
正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到
达池边的水面，这根芦苇的长度为（ ）尺．
A．10 B．12 C．13 D．14
27．（2023秋•肃州区校级期末）《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“仅有池一
丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：
有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面
部分BC为1尺．如果把芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部 B恰好
碰到岸边的B′（示意图如图，则水深为 尺．
28．（2023秋•乳山市期中）一根离河岸边1.5m远的芦苇，芦苇高出水面0.5m，将芦苇拉
向河岸边，芦苇顶端与水面刚好齐平，则芦苇处河水的深度为 m．
29．（2023秋•石景山区期末）《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，
葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”
题意是：有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB生长在它的中央，
高出水面部分BC为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的
顶部B恰好碰到岸边的B'（如图）．水深和芦苇长各多少尺？
【题型8应用勾股定理解决汽车是否超速问题】30．（2023秋•银川期中）“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路
上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某
一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪A正前方60米B处，过了5秒后，测得小汽车C
与车速检测仪A间距离为100米，这辆小汽车超速了吗？
31．（2023秋•市北区期中）某条东西走向的道路限速70公里/时．如图，一辆小汽车在这
条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到C处，C处位于车速检测仪A处的正北方30
米．2秒钟后，这辆小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪之间的距离是50米，
请通过计算说明这辆小汽车是否超速．
32．（2023春•新会区校级期中）如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时
刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，测得小汽车与
车速检测仪间的距离为 50m，若规定小汽车在该城市街路上的行驶速度不得超过
70km/h，则这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：1m/s＝3.6km/h）
33．（2023春•崆峒区校级期中）某路段限速标志规定：小汽车在此路段上的行驶速度不得超过70km/h，如图，一辆小汽车在该笔直路段l上行驶，某一时刻刚好行驶到路对面的
车速检测仪A的正前方30m的点C处，2s后小汽车行驶到点B处，测得此时小汽车与车速
检测仪A间的距离为50m．
（1）求BC的长．
（2）这辆小汽车超速了吗？并说明理由．
【题型9应用勾股定理解决是否受台风影响问题】
34．（2023秋•秦州区期末）2023年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到
严重影响．据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径250km（即以
台风中心为圆心，250km为半径的圆形区域都会受台风影响）．如图，线段BC是台风
中心从C市向西北方向移动到B市的大致路线，A是某个大型农场，且AB⊥AC．若
A，C之间相距300km，A，B之间相距400km．
（1）判断农场A是否会受到台风的影响，请说明理由．
（2）若台风中心的移动速度为25km/h，则台风影响该农场持续时间有多长？
35．（2022秋•秦安县校级期末）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千
米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向 AB由点A行驶向点B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为300km
和400km，又AB＝500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．
（1）海港C受台风影响吗？为什么？
（2）若台风的速度为20km/h，台风影响该海港持续的时间有多长？
36．（2023秋•武侯区校级月考）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数
十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，此时某台风中心在海域B处，在沿海城
市A的正南方向320千米，其中心风力为13级，每远离台风中心25千米，台风就会减
弱一级，如图所示，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东30°方向向C移动，且
台风中心的风力不变，若城市所受风力超过5级，则称受台风影响．试问：
（1）A城市是否会受到台风影响？请说明理由．
（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？
（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？
37．（2023春•公安县期中）如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，∠OPN＝30°，点A
处有一所学校．AP＝240m．假设汽车在公路MN上行驶时，周围150m以内会受到噪音
影响，则学校是否会受到噪音影响？请说明理由．如果受影响，请求出受影响的时间．
（已知汽车的速度为18m/秒．）【题型10应用勾股定理解决选扯距离相离问题】
38．（2022秋•新泰市期末）如图所示，有一个直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC
＝8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上且与AE重合，你能求出
CD的长吗？
39．（2023秋•青岛期中）如图，平面直角坐标系中，点D的坐标为（15，9），过点D作
DA⊥y轴，DC⊥x轴，点E为y轴上一点，将△AED沿直线DE折叠，点A落在边BC
上的点F处．
（1）请你直接写出点A的坐标；
（2）求FC，AE的长；
（3）求四边形EOFD的面积．
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【题型11应用勾股定理解决几何图形中折叠问题】
40．（2023春•长沙期末）如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，点
D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为 ．41．（2020春•嘉荫县期末）如图将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上
F处，已知CE＝3，AB＝8，则BF＝ ．
【题型12面展开图-最短路径问题】
42．（2022秋•诏安县期中）如图，长方体的高为 9dm，底面是边长为6dm的正方形．一
只蚂蚁从顶点A开始爬向顶点B，那么它爬行的最短路程为（ ）
A．10dm B．12dm C．15dm D．20dm
43．（2022春•同心县期末）如图，一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为 20、3、
2，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则
蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是 ．
44．（2022秋•宛城区期末）如图，圆柱形容器的高为0.9m，底面周长为1.2m，在容器内
壁离容器底部0.3m处的点B处有一蚊子．此时，一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.2m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为 ．
45．（2022秋•仁寿县校级月考）如图．长方体的底面是边长2cm的正方形，高为6cm．
如果从点A开始经过4个侧面缠绕2圈到达B，那么所用细线最短需要 cm．
