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专题03 勾股定理应用重难点题型归纳（十大题型）
重难点题型归纳
1.最短路径问题与翻折问题
【题型01 与长方形有关的最短路径问题】
【题型02 与圆柱有关的最短路径问题】
【题型03 与台阶有关的最短路径问题】
【题型04将军饮马与最短路径问题】
【题型05几何图形中翻折、旋转问题】
2. 实际应用
【题型06梯子滑落问题】
【题型07 树枝旗子折断问题】
【题型08 航海是否有影响问题】
【题型09 风吹荷花问题】
【题型10垂美四边形问题】
【方法技巧】长方体最短路径基本模型如下：
几何体中最短路径基本模型如下：
基本思路：将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短确定最短路线，构造直
角三角形，利用勾股定理求解
垂美四边形（1）构造直角三角形解决问题；
（2）垂美四边形
【定义】对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.
【结论】如图，四边形ABCD的对角线AC⊥BD，
则①AB²＋CD²＝AD²＋BC². ②S四ABCD＝ AC·BD
【题型01 与长方形有关的最短路径问题】
1．（24-25七年级上·山东泰安·期中）如图，四边形ABCD是长方形地面，长AB=10m，
宽AD=5m，中间竖有一堵砖墙高MN=1m，一只蚂蚱从点A爬到点C，则它至少要走
（ ）
A．13m B．❑√146m C．5❑√5m D．12m
2．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离
点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短
距离是 ．
3．（24-25八年级上·黑龙江大庆·期末）如图，长方体的长为3cm，宽为3cm，高为5cm．
一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A爬到点C，蚂蚁爬行的最短路程是 cm．4．（24-25八年级上·辽宁锦州·期中）如图，用7个棱长为1的正方体搭成一个几何体，沿
着该几何体的表面从点M到点N的所有路径中，最短路径的长是 ．
5．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）如图，一个长方体建筑物的长、宽、高分别为3米、
1米和6米，为了美观，现要在该建筑物上缠绕灯线以便安装小彩灯，灯线的绕法是从
下底面的顶点A开始经过四个侧面绕3圈绕到上底面的顶点B，那么用在该建筑物上的
灯线最短需要 米．
6．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）如图，长方体的底面边长分别为1cm和2cm，高为
1
4cm，点P在棱BC上，BP= BC，若一只蚂蚁从A点开始沿图中3个侧面（即沿
4
AM−MN−NP）爬行到达P点，则蚂蚁爬行的最短路径长为 cm．【题型02 与圆柱有关的最短路径问题】
7．（24-25八年级上·河南郑州·期末）某3D打印社团制作了一根盘龙金箍棒，如图，把金
箍棒看成圆柱体，它的底面周长是15cm，龙头部分沿最短路径绕金箍棒盘旋1圈升高
8cm，则龙头部分的长为（ ）
A．10cm B．13cm C．14cm D．17cm
8．（24-25七年级上·山东东营·期中）如图，圆柱形容器高为10cm，在其外壁距离下底面
3cm的A处有一只蚂蚁，它想吃到正对面外壁距离上底面2cm的B处的一滴蜂蜜，其中
圆柱的底面周长为24cm，则蚂蚁爬行的最短距离为（ ）
A．10cm B．13cm C．24cm D．25cm
9．（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为
15cm，底面周长为8cm，在容器内壁离容器底部6cm的A处有一饭粒，此时一只蚂蚁
正好在与点A处相对的玻璃杯外壁，且距离容器顶部1cm的点B处，则蚂蚁吃到饭粒
需爬行的最短路径长度是 cm．10．（24-25八年级上·甘肃张掖·期中）临汾是帝尧之都，有着尧都之称．尧都华表柱身祥
云腾龙，顶蹲冲天吼，底座浮雕长城和黄河壶口瀑布，是中华民族历史悠久、文化灿
烂的标志．如图，在底面周长约为6米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕
龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点C，B为AC的中
点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为
．
11．（24-25八年级上·山西晋中·期中）用一张半径为4cm的半圆形纸片，围成一个圆锥
（连接处无缝隙也无重合），一只蚂蚁沿着圆锥表面爬行，从点A爬行到点B的最短
路线长为 cm．
12．（24-25八年级上·陕西汉中·阶段练习）如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的
示意图，该U型池可以看作是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的
截面是直径为8m（即BC=AD=8m）的半圆，其边缘AB=CD=20m，点E在CD上，
CE=5m．一名滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离为 m．（边缘
部分的厚度可以忽略不计，π取3）【题型03 与台阶有关的最短路径问题】
13．（23-24八年级下·广东广州·期中）一个台阶如图，阶梯每一层高15cm，宽25cm，
长60cm．一只蚂蚁从A点爬到B点最短路程是（ ）
A．60cm B．80cm C．90cm D．100cm
14．（24-25八年级上·河南焦作·期中）如图，三级台阶每一级的长宽高分别是5cm，3cm
和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，点A上有一只蚂蚁，想到点B去吃可
口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点B的最短路程长为 cm．
【题型04将军饮马与最短路径问题】
15．（23-24八年级下·河南安阳·阶段练习）如图，在公路l的一侧有A，B两个工厂，A，
B到公路的垂直距离分别为1km和3km，A，B之间的水平距离为3km．现要在公路l
上建一个运输点，使A，B两厂到运输点的总路线最短，则最短总路线为
km．16．（2024·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A(3,0)，B(0,2)，
过点B作y轴的垂线l，P为直线l上一动点，连接PO，PA，则PO+PA的最小值为
．
17．（2024·山东济南·三模）如图，在边长为4米的正方形场地ABCD内，有一块以BC为
直径的半圆形激光发射器接收“感应区”，边AB上的P处有一个激光发射器，红外
线从点P发射后，经平面镜AD、CD反射后到达“感应区”，若AP=1米，激光途经
的最短路线长 米．
18．（22-23八年级下·云南昭通·期中）如图，银行和超市在人民路（东西方向）上，小智
同学家和学校分别在银行和超市的正北方向．已知学校和超市相距0.5千米，超市和
银行相距0.8千米，银行和小智家相距1千米．星期五放学后，小智同学先到超市和
银行之间的某个地方和小华见面，然后再回家．(1)为了让小智从放学到回家所走的路程最短，小华应在哪个位置等小智？请在图中画
出该位置，并简要说明作图方法或步骤；
(2)求出小智走过的最短路程．
【题型05几何图形中翻折、旋转问题】
19．（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，三角形纸片ABC中，
∠BAC=90°，AB=4，AC=6，沿AD和EF将纸片折叠，使点B和点C都落在边
BC上的点P处，则EC的长是（ ）
5 5 7 3
A． B． C． D．
2 3 2 5
20．（24-25八年级上·江西抚州·期末）如图，在长方形ABCD中，AB=2，AD=4，将此
长方形沿EF折叠，使点D与点B重合，则AE的长度为 ．21．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CA=CB=4，
点D在边BC上．将△ACD沿AD折叠，使点C落在点C′处，连接BC′，则BC′的最
小值为 ．
22．（24-25八年级上·广东揭阳·期中）如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D
落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN，则线段CN的长是 ．
23．（23-24八年级下·湖北宜昌·期中）在△ABC中，∠C=90°,AC=6,BC=8,D,E分
别是斜边AB和直角边CB上的点，把△ABC沿着直线DE折叠，顶点B的对应点是B′．
(1)如图①，如果点B′和顶点A重合，求CE的长；
(2)如图②，如果B′是AC的中点，求CE的长．24．（24-25八年级上·河南焦作·期末）如图，在长方形纸片ABCD中，四个角是直角，对
边平行，AB=CD=3，AD=BC=9．点E、F分别在AD、BC边上，连接EF，如图
1，把长方形纸片沿着EF折叠，设C、D的对应点分别是C′、D′．
(1)当∠≝=50°时，则∠BFC′=______．
(2)在折叠的过程中，当D的对应点D′恰好与点B重合时，请结合图2，求出BF和CF
的长；
(3)在折叠的过程中，当点D′落在直线BC上，且BD′=3时，请直接写出DD′的长．
【题型06梯子滑落问题】
25．（24-25八年级上·河南郑州·期中）与危险相伴，与烈火为伍，致敬和平年代的英雄，
最美的逆行者——中国消防员．云梯消防车是常见的消防器械，云梯最多能伸长到30
米，消防车高3米，如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的B处有一老人需要救援，救
人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置A与楼房的距离为24米．(1)求B处与地面的距离．
(2)完成B处的救援后，消防员发现在B处的上方6米的D处有一小孩没有及时撤离，为
了能成功地救出小孩，则消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC为多少米?
26．（24-25八年级上·辽宁本溪·期末）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学
们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在A的正下方
物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的
升降．实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距离
BC=60cm，物体C到定滑轮A的垂直距离AC=80cm．（实验过程中，绳子始终保
持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计．）
(1)求绳子的总长度；
(2)如图2，若物体C升高70cm，求滑块B向左滑动的距离．
27．（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）某教学楼走廊左右两侧是竖直的墙MD和NE（即MD⊥DE，NE⊥DE）．一架梯子AB在走廊DE上斜靠在左墙MD时，梯子底端
B到左墙的距离BD=7dm，顶端A到地面的距离AD=24dm．（图中所有点均在同一
平面内）
(1)求梯子AB的长；
(2)如果保持底端位置B不动，将梯子斜靠在右墙NE上时，若梯子顶端C距离地面的
距离CE=20dm，求该教学楼走廊的宽度DE的长．
28．（23-24八年级下·广西防城港·期中）【综合实践】
【问题情境】消防云梯的作用是用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到
达高层救援现场，如图，已知一架云梯AB长25m斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙
角的距离OB=20cm，∠AOB=90°．
【独立思考】（1）求这架云梯顶部距离地面OA的长度．
【深入探究】（2）消防员接到命令，按要求将云梯从顶部A下滑到A′位置上（云梯
长度不改变），则底部B沿水平方向向前滑动到B′位置上，若A A′=8m，求BB′的长
度．
【问题解决】（3）在演练中，墙边距地面24m的窗口有求数声，消防员需调整云梯去
救援被困人员．经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长1
度的 ，则云梯和消防员相对安全，在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达24m
5
高的窗口去救援被因人员？
【题型07 树枝旗子折断问题】
29．（23-24八年级上·陕西咸阳·期中）如图，一根垂直于地面的旗杆高6.4m，因刮大风旗
杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部的距离AB=3.2m．
(1)求旗杆折断处点C距离地面的高度AC；
(2)工人在修复的过程中，发现在折断处C的下方1.4m的点D处，有一明显裂痕，若下
次大风将修复好的旗杆从点D处吹断，旗杆的顶部落在水平地面上的B 处，形成一个
1
Rt△ADB ，请求出AB 的长．
1 1
30．（23-24八年级下·山东济宁·阶段练习）如图，有两只猴子在一棵树CD高5m的点B处，
它们都要到A处的池塘去喝水，其中一只猴子沿树爬下走到离树10m处的池塘A处，
另一只猴子爬到树顶D后直线跃向池塘的A处，如果两只猴子所经过的路程相等，这
棵树高有多少米？树顶D到池塘A的距离有多少米？
【题型08 航海是否有影响问题】
31．（24-25八年级上·四川达州·期末）如图，在海平面上有A，B，C三个标记点，
其中A在C的北偏西52°方向上，与C的距漓是40海里，B在C的南偏西38°方向上，
与C的距离是30海里．(1)求点A与点B之间的距离；
(2)若在点C处有一灯塔，灯塔的信号有效覆盖半径为25海里，此时在点B处有一艘轮
船准备沿直线向点A处航行，轮船航行的速度为每小时20海里．轮船在驶向A处的过
程中，有多少小时可以接收到信号？
32．（24-25八年级上·江苏常州·期中）2024年9月第13号台风“贝碧嘉”登陆，使我国
长三角很多地区受到严重影响，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径
100km（即距离台风中心小于或等于100km区域内都会受台风影响）．如图，线段
BD是台风“贝碧嘉”中心从上海市（记为点B）向西北方向移动到常州市（记为点
D）的大致路线，无锡市惠山区（记为点C）大致在线段BD上，南通市记为点A，且
AB⊥AC．若A，C之间相距120km，A，B之间相距160km．
(1)判断南通市（记为点A）是否会受到台风“贝碧嘉”的影响，并说明理由．
(2)若台风“贝碧嘉”中心的移动速度为20km/h，则台风影响南通市（记为点A）持续
时间有多长？
33．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，某沿海城市A接到台风预警，在该市正南方
向340km的B处有一台风中心，沿BD方向以15km/h的速度移动，已知城市A到BC
的距离AD为160km．(1)台风中心经过多长时间从B点移到D点？
(2)如果在距台风中心200km的圆形区域内都将受到台风的影响，那么A市受到台风影
响的时间持续多少小时？
34．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，经过A村和B村（将A，B村看成直线l上的
点）的笔直公路1旁有一块山地正在开发，现需要在C处进行爆破．已知C处与A村
的距离为900米，C处与B村的距离为1200米，且AC⊥BC．
(1)求A，B两村之间的距离；
(2)为了安全起见，爆破点C周围半径750米范围内不得进入，在进行爆破时，公路AB
段是否有危险而需要封锁？如果需要，请计算需要封锁的路段长度；如果不需要，请
说明理由．
【题型09 风吹荷花问题】
35．（23-24八年级下·北京朝阳·期末）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，
方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意
是：如图，水池底面的宽AB=1丈，芦苇OC生长在AB的中点O处，高出水面的部分CD=1尺．将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即OC=OE， 求
水池的深度和芦苇的长度(1丈等于10尺)．
(1)求水池的深度OD；
(2)中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般
解法．他的解法用现代符号语言可以表示为：若已知水池宽AB=2a， 芦苇高出水面
a2−n2
的部分CD=n(n
