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微专题：利用导数解决实际问题
【考点梳理】
函数的优化问题即实际问题中的最值问题，其一般解题步骤为：一设，设出自变量、因变量；二列，列出函
数关系式，并写出定义域；三解，解出函数的最值，一般常用导数求解；四答，回答实际问题.
【题型归纳】
题型一：利润最大问题
1．某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足
关系式 ，其中 ，a为常数.已知销售价格为6元/千克时，每日可售出该商品13千克.
(1)求a的值；
(2)若该商品的成本为4元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.
2．设某商品的利润只由生产成本和销售收入决定．生产成本C（单位：万元）与生产量x（单位：百件）间的函
数关系是 ；销售收入S（单位：万元）与生产量x间的函数关系是
．
(1)把商品的利润表示为生产量x的函数；
(2)为使商品的利润最大化，应如何确定生产量？
3．某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是 分，其中r（单位：cm）是瓶子的半径．
已知每出售1mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制作商能制作的瓶子的最大半径为6cm．
(1)瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？
(2)瓶子的半径多大时，每瓶饮料的利润最小？
(3)假设每瓶饮料的利润不为负值，求瓶子的半径的取值范围．
题型二：面积、体积最大问题
4．某游乐场计划用钢管制作成一个长方体的框架，内部安装攀爬设备供游客活动之用，若钢管总长为54m，框架
的底面长宽之比为5：4，那么框架高为多少时，这个框架内部的活动空间最大？（钢管的中空部分和厚度忽略不
计)
5．如图，某街道拟设立一占地面积为 平方米的常态化核酸采样点，场地形状为矩形．根据防疫要求，采样点周
围通道设计规格要求为：长边外通道宽5米，短边外通道宽8米，采样点长边不小于20米，至多长28米．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(1)设采样点长边为 米，采样点及周围通道的总占地面积为 平方米，试建立 关于 的函数关系式，并指明定义
域；
(2)当 时，试求 的最小值，并指出取到最小值时 的取值．
6．如图所示， 是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚
线折起，使得 ， ， ， 四个点重合于图中的点 ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒， ， 在 上是
被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设 ．
(1)求包装盒的容积 关于 的函数表达式，并求出函数的定义域；
(2)当 为多少时，包装盒的容积 最大？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
题型三：成本最小问题
7．第31届世界大学生夏季运动会即将在成都拉开帷幕.为了配合大运会的基础设施建设，组委会拟在成都东安湖
体育公园修建一座具有成都文化特色的桥.两端的桥墩已建好，这两桥墩相距160米，余下工程只需要建两端桥墩
之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为32万元，距离为x米（其中 ， ）的相
邻两墩之间的桥面工程费用为 万元.假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，设需
要新建n个桥墩（显然 ），记余下工程的费用为y万元.
(1)试写出y关于x的函数关系式；
(2)需新建多少个桥墩才能使y最小？
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司8．某城镇在规划的一工业园区内架设一条16千米的高压线，已知该段线路两端的高压线塔已经搭建好，余下的
工程只需要在已建好的两高压线塔之间等距离的再修建若干座高压电线塔和架设电线．已知建造一座高压线电塔
需2万元，搭建距离为x千米的相邻两高压电线塔之间的电线和人工费用等为 万元，所有高
压电线塔都视为“点”，且不考虑其他因素，记余下的工程费用为y万元．
(1)试写出y关于x的函数关系式．
(2)问：需要建造多少座高压线塔，才能使工程费y有最小值？最小值是多少？（参考数据：
）
9．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用15
年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为8万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度
x（单位：cm）满足关系： ，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设 为隔热
层建造费用与15年的能源消耗费用之和．
(1)求k的值及 的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用 达到最小，并求最小值．
题型四：用料最省问题
10．某种圆柱形的饮料罐的容积一定时，如何确定它的高与底半径，才使得所用材料最省？
11．学校外的湿地公园有一形状为半圆形的荷花池.如图所示，为了提升荷花池的观赏性，现计划在池塘的中轴线
OC上设计一个观景台 点D与点O，C不重合 ，其中AD，BD，CD段建设架空木栈道，已知 ，设建
设的架空木栈道的总长为y m．
（1）设 ，将y表示成 的函数关系式，并写出 的取值范围；
（2）试确定观景台的位置，使三段木栈道的总长度最短．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司12．如图，用铁丝围成一个上面是半圆，下面是矩形的图形，其面积为 ．为使所用材料最省，圆的直径应为
多少？
【双基达标】
13．某市一特色酒店由一些完全相同的帐篷构成.每座帐篷的体积为 ，且分上､下两层，其中上层是半径为
米的半球体，下层是底面半径为r米，高为h米的圆柱体（如图）.经测算，上层半球体部分每平方米的建
造费用为2千元，下层圆柱体的侧面､隔层和地面三个部分每平方米的建造费用均为3千元，设每座账篷的建造费
用为y千元.
(1)求y关于r的函数解析式，并指出该函数的定义域；
(2)当半径r为何值时，每座帐篷的建造费用最小？并求出最小值.
14．随着生活水平的提高，人们对生活质量的要求也逐步提高，尤其是在饮食方面，虾因营养又美味而受到不少
人的青睐.罗氏沼虾食性杂，生长快，易养殖，市场前景好，现已成为我国重点发展的特优水产品之一，不仅池塘
养殖有了较大发展，而且稻田养殖也获得了成功.某养殖户有多个养虾池，每个虾池投放40000尾虾苗，成活率均
为75%，到售卖时会存在一定的个体差异.为了解某虾池虾的具体生长情况，从该虾池中随机捕捉200尾测量其长
度（单位： ），得到频率分布直方图，如图所示：
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(1)试利用样本估计总体的思想估计该虾池虾的平均长度.
(2)已知该虾池虾的长度均在 之间，根据虾的长度将虾分为四个等级，长度､等级与售价 （单位：元/尾）之
间的关系如下表（ ）：
长度/
等级 三级 二级 一级 特级
/（元/尾
）
①从该虾池中随机捕捉4尾虾，试求至少有2尾为特级虾的概率；
②若该虾池的前期修建成本为40000元，购买相关设备的成本为7150元，虾苗0.65元/尾，每茬虾的养殖成本为
6500元.假设每茬虾的利润相同，在不考虑维修成本的前提下，试问该虾池至少需养几茬虾才能盈利？
15．如图，矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线 在x轴上方的曲线上，求矩形面积最大时
的边长.
16．如图所示，两村庄 和 相距 ，现计划在两村庄外以 为直径的半圆弧 上选择一点 建造自来水厂，
并沿线段 和 铺设引水管道.根据调研分析， 段的引水管道造价为 万元 ， 段的引水管道造价为
万元 ，设 ，铺设引水管道的总造价为 万元，且已知当自来水厂建在半圆弧 的中点时，
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(1)求 的值，并将 表示为 的函数；
(2)分析 是否存在最大值，若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由.
17．为了提升学生“数学建模”的核心素养，某校数学兴趣活动小组指导老师给学生布置了一项探究任务：如图，
有一张边长为27cm的等边三角形纸片ABC，从中裁出等边三角形纸片 作为底面，从剩余梯形 中裁出
三个全等的矩形作为侧面，围成一个无盖的三棱柱（不计损耗）．
（1）若三棱柱的侧面积等于底面积，求此三棱柱的底面边长；
（2）当三棱柱的底面边长为何值时，三棱柱的体积最大？
18．如图，抛物线 与动圆 相交于 四个不同点．
（1）求 的取值范围；
（2）求四边 面积 的最大值及相应 的值．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司19．某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是 分，其中r（cm）是瓶子的半径，已知每
出售1 mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6 cm．
(1)瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最大？
(2)瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？
20．某地打算修建一条公路，但设计路线正好经过一个野生动物迁徙路线，为了保护野生动物，决定修建高架桥，
为野生动物的迁徙提供安全通道.若高架桥的两端及两端的桥墩已建好，两端的桥墩相距1200米，余下的工程只需
要建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经预测，一个桥墩的工程费用为500万元，距离为x米的相邻两桥墩之间的桥面
工程费用为 万元，假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其它因素，记余下工程
的费用为y万元.
(1)试写出y关于x的函数关系式；
(2)需新建多少个桥墩才能使y最小？并求出其最小值.参考数据： ，
21．人们用大数据来描述和定义信息时代产生的海量数据，并利用这些数据处理事务和做出决策，某公司通过大
数据收集到该公司销售的某电子产品1月至5月的销售量如下表.
月份x 1 2 3 4 5
销售量y（万件） 4.9 5.8 6.8 8.3 10.2
该公司为了预测未来几个月的销售量，建立了y关于x的回归模型： .
(1)根据所给数据与回归模型，求y关于x的回归方程（ 的值精确到0.1）；
(2)已知该公司的月利润z（单位：万元）与x，y的关系为 ，根据（1）的结果，问该公司哪一个
月的月利润预报值最大？
参考公式：对于一组数据 ，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别
为 ， .
22．2021年10月16日，是第41个世界粮食日．黑龙江作为全国粮食生产大省，连续十一年粮食产量位居全国首
位．近年来受疫情影响，全国各地经济产值均有所下降．为改变现状，各省均推出支持企业落户创业政策，哈市
某企业响应号召，引进一条先进食品生产线，以稻米为原料进行深加工，发明了一种新产品，若该产品的质量指
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司标值为m（ ），其质量指标等级划分如表：
[70，
质量指标值m [75，80） [80，85） [85，90） [90，95） [95，100]
75）
质量指标等
废品 次品 三级 二级 一级 特级
级
为了解该产品的经济效益并及时调整生产线，该企业先进行试生产，现从试生产的产品中随机抽取了10000件，
将其质量指标值m的数据作为样本，绘制如下频率分布直方图：
(1)若将频率作为概率，从这10000件产品中随机抽取2件产品，记事件A为“抽出的产品中至少有1件为二级及
以上产品”，求事件A发生的概率；
(2)若从质量指标值m不低于90的样本中利用分层抽样的方法抽取6件产品，然后从这6件产品中任取3件产品，
求质量指标值 的件数X的分布列及数学期望；
(3)若每件产品的质量指标值m与利润y（单位：元）的关系如表（2 时，S′(R)>0.
因此，当R＝ 时，S(R)有极小值，且是S(R)的最小值.
故当罐高与底的直径相等时，所用材料最省.
11．（1） ， ；（2）当D位于线段AB的中垂线上且距离AB边 处时，能使三
段木栈道总长度最短
【解析】
【分析】
（1）利用直角三角函数表示出DA，DO，DC，即可表示出y；
（2）对 求导,利用导数即可求得最值.
【详解】
由 ， ， ，
则 ， ，所以 ，
所以 ， ；
，令 ，得 ，
又 ，所以 ，
当 时， ，y 是 的减函数；
当 时， ，y 是 的增函数，
所以，当 时， ） ，此时 ．
答：当D位于线段AB的中垂线上且距离AB边 处时，能使三段木栈道总长度最短
第 21 页12．
【解析】
【分析】
假设圆的半径为 ，矩形的长为 ，根据题目信息得到关系式 ，再将图形的周长表示出来得
，最后构造函数，求导判断函数取得最小值时 的值即可.
【详解】
设圆的半径为 ，则半圆的面积为 ，
所以矩形的宽为 ，设矩形的长为 ，则矩形的面积为 ，
所以 ，即 ，
该图形的周长为 ，
令 ，所以 ，
令
解得： （舍负），
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增
所以当即 时，函数 取得最小值.
即圆的直径 时，所需材料最省.
13．(1) ，
(2)当半径r为3米时，建造费用最小，最小为162π千元
【解析】
【分析】
（1）利用圆柱和球的表面积、体积公式建立函数关系式；
（2）利用导数判断单调性，求出最小值.
(1)
（1）由题意可得 ，所以 ，
所以 ，即 .
第 22 页因为 ， ，所以 ，所以 ，
故 ， .
(2)
（2）设 ， ，则 ，
令 ，解得 .
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增.
所以当 时， 取得极小值，也是最小值，且 .
所以当 时， .
所以当半径r为3米时，建造费用最小，最小为162π千元.
14．(1)10.76cm
(2)① ；②该虾池至少需养3茬虾才能盈利
【解析】
【分析】
（1）根据平均数的计算公式即可得到结果.
（2）①先根据频率分布直方图求出随机捕捉一尾虾，该虾为特级虾的概率，再利用相互独立事件的概率计算公式
求解即可；
②列出虾的长度､售价与对应概率的表格，求出每尾虾的售价的期望值，利用函数的有关知识求得平均每尾虾的最
高售价，进而求得养一茬虾的最大利润，最后根据题意列不等式，求解即可.
(1)
由题意知，样本平均数
，所以估计该虾池虾的平均长度为10.76cm.
(2)
①由频率估计概率知，随机捕捉一尾虾，该虾为特级虾的概率为 ，
则从该虾池中随机捕捉4尾虾，至少有2尾为特级虾的概率为 .②由题
意可知，该虾池虾的长度､售价与对应概率如下表所示（ ）：）
长度/cm
（元/尾）
概率 0.12 0.40 0.28 0.20
所以
.
第 23 页记 ，则 ，
令 ，得 ，
故当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
所以当 时， 取得最大值，
.
所以养一茬虾的最大利润 （元）.
设该虾池至少需养 茬虾才能盈利，则 ，解得 .
因为 ，所以在不考虑维修成本的前提下，该虾池至少需养3茬虾才能盈利.
15．当矩形面积最大时，矩形边AB长 ，BC长
【解析】
【分析】
先设出 点坐标，进而表示出矩形的面积，通过求导可求出其最大面积.
【详解】
设点 ，
那么矩形面积 ， .
令 解得 （负舍）.
所以S在（0， ）上单调递增，在（ ，2）上单调递；..
所以当 时，S有最大值.此时
答：当矩形面积最大时，矩形边AB长 ，BC长 .
16．(1) ， ，其中 ；
(2)存在，且 的最大值为 .
【解析】
【分析】
（1）求得 ，根据已知条件求出 的取值范围，根据题意得出 ，将 代入
函数解析式可求得 的值，由此可得出 表示为 的函数关系式；
（2）利用导数分析函数 在 上的单调性，由此可得出结论.
(1)
解：因为 为半圆弧的直径，则 ，则 ，
第 24 页由题意可得 ，可得 ，
所以， ，其中 ，
当点 在 的中点时， ，此时 ，解得 ，
因此， ，其中 .
(2)
解：因为 ，其中 ，则 ，
因为函数 在 上为减函数，由 可得 ，
当 时， ，此时函数 单调递增，
当 时， ，此时函数 单调递减，
故当 时，函数 取最大值，即 .
17．（1）18cm（2）18cm
【解析】
【分析】
(1) 设三棱柱的底面边长为 ,再根据三角形中的关系表达出底面积和与侧面积的关系式再解方程即可.
(2)同(1)可知 ,再求导分析函数的单调性求最大值即可.
【详解】
设三棱柱的底面边长为 ,即 ,
则 .
因为 为等边三角形,
所以三棱柱的高为 .
（1）因为三棱柱的底面积为 ,
侧面积为 ,
所以 ,
解得 或 （舍去）.
即三棱柱的底面边长为18cm.
第 25 页（2）三棱柱的体积 .
因为 , ,
所以 .
因为 ,
所以当 时, ,故 单调递增;
当 时, ,故 单调递减.
所以当 时, 取到极大值,也是最大值,
.
即当底面边长为18cm时,三棱柱的体积最大,为 .
【点睛】
本题主要考查了利用导数求解立体几何中的最值问题,需要根据题意设合适的边长,再求出体积关于边长的表达式,再
求导分析最值即可.属于中档题.
18．（1） ；（2） 的最大值 ， .
【解析】
【分析】
（1）联立抛物线和圆的方程，要圆与抛物线有四个不同交点，即方程有两个不等正根，写出满足的不等式组，求
得r的取值范围.
（2）设出A，B坐标，根据（1）中联立结果写出韦达定理，表示出四边形ABCD的面积表达式，方法一借助导数
求单调区间，从而求得最大值；方法二把表达式写成因式乘积的形式，借助不等式求得最大值.
【详解】
解：（1）联立抛物线与圆方程
消 可得：
要圆与抛物线有四个不同交点，即方程有两个不等正根．
所以，
解得： 的取值范围为 ；
（2）设 ，其中 ，则
第 26 页令
当 时， 单调递增；
当 时， 单调递减．
当 时， 取得最大值，即 ，
方法二：
当 时，即 取得最大值，
【点睛】
方法点睛：求面积最值时可以先写出面积表达式，对于高次函数可以借助导数来求得最值，如果能写出因式乘积
的形式，部分题型也可以利用不等式求得最值.
19．(1)瓶子半径为 时，每瓶饮料的利润最大
(2)瓶子半径为 时，每瓶饮料的利润最小，并且是亏损的
【解析】
【分析】
先确定利润函数，再利用求导的方法，即可得到结论．
(1)
由于瓶子的半径为 ，
所以每瓶饮料的利润是 ， ．
令 ，解得 （ 舍去）．
所以当 时， ；当 时， ．
当 时， ，它表示 在区间 上单调递增，即半径越大，利润越高；
当 时， ，它表示 在区间 上单调递减，即半径越大，利润越低．
又 ，
第 27 页故半径为 时，能使每瓶饮料的利润最大．
(2)
由（1）可知， 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减．
所以当 时， 有最小值，其值为 ，
故瓶子半径为 时，每瓶饮料的利润最小，并且是亏损的.
20．(1)
(2)需新建 个桥墩才能使y最小，最小值为 万元.
【解析】
【分析】
（1）利用题中的已知条件设出需要建设桥墩的个数，进而表示出工程的费用即可；
（2）利用（1）的结果，再利用导数研究函数的单调性即可求出最值.
(1)
由已知两端的桥墩相距1200米，且相邻两桥墩相距x米，故需要建桥墩 个，
则
所以y关于x的函数关系式为 ，
(2)
由（1）知
令 ，即 ，解得 （舍）或
当 时， ，函数单调递减；当 时， ，函数单调递增；
所以当 时，y有最小值，
且
又
（万元）
所以需新建 个桥墩才能使y最小，最小值为 万元.
21．(1) ；
第 28 页(2)第9个月的月利润预报值最大
【解析】
【分析】
（1）根据数据与回归方程的公式进行求解 ，得到回归方程；（2）结合第一问所求得到 关于 的函数，通过
导函数求出单调区间，极值及最值，求出答案.
(1)
令 ，则 ， ，
，
，所以y关于x的回归方程为 ；
(2)
由（1）知： ，
，令 ，
令 得： ，令 得： ，令 得： ，所以 在
处取得极大值，也是最大值，
所以第9个月的月利润预报值最大.
22．(1)0.91；
(2)分布列见解析，1；
(3)t＝3.2时，每件产品的平均利润达到最大约为5.5．
【解析】
【分析】
（1）根据二项分布的性质进行求解即可；
（2）根据分层抽查的性质，结合古典概型计算公式、数学期望的公式进行求解即可；
（3）根据每件产品的平均利润表达式，结合导数的性质进行求解即可.
(1)
抽取到为二级及以上产品的件数为Y，则由频率分布直方图可得，任取1件产品为二级及以上产品的概率为：5
（0.08+0.04+0.02）＝0.7．
则Y~B（2，0.7），
则 ；
(2)
由频率分布直方图得指标值大于或等于90的产品中，
第 29 页的频率为0.04×5＝0.2，
的频率为0.02×5＝0.1，
∴利用分层抽样抽取的6件产品中， 的有4件， 的有2件，
从这6件产品中，任取3件，质量指标值 的产品件数X的所有可能取值为0，1，2，则：
， ， ，
∴X的分布列为：
X 0 1 2
P
∴X的数学期望为： ；
(3)
由频率分布直方图可得该产品的质量指标值m与利润y（元）的关系如表所示（2
