微专题：利用导数解决实际问题
【考点梳理】
函数的优化问题即实际问题中的最值问题，其一般解题步骤为：一设，设出自变量、因变量；二列，列出函
数关系式，并写出定义域；三解，解出函数的最值，一般常用导数求解；四答，回答实际问题.
【题型归纳】
题型一：利润最大问题
1．某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足
关系式 ，其中 ，a为常数.已知销售价格为6元/千克时，每日可售出该商品13千克.
(1)求a的值；
(2)若该商品的成本为4元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.
2．设某商品的利润只由生产成本和销售收入决定．生产成本C（单位：万元）与生产量x（单位：百件）间的函
数关系是 ；销售收入S（单位：万元）与生产量x间的函数关系是
．
(1)把商品的利润表示为生产量x的函数；
(2)为使商品的利润最大化，应如何确定生产量？
3．某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是 分，其中r（单位：cm）是瓶子的半径．
已知每出售1mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制作商能制作的瓶子的最大半径为6cm．
(1)瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？
(2)瓶子的半径多大时，每瓶饮料的利润最小？
(3)假设每瓶饮料的利润不为负值，求瓶子的半径的取值范围．
题型二：面积、体积最大问题
4．某游乐场计划用钢管制作成一个长方体的框架，内部安装攀爬设备供游客活动之用，若钢管总长为54m，框架
的底面长宽之比为5：4，那么框架高为多少时，这个框架内部的活动空间最大？（钢管的中空部分和厚度忽略不
计)
5．如图，某街道拟设立一占地面积为 平方米的常态化核酸采样点，场地形状为矩形．根据防疫要求，采样点周
围通道设计规格要求为：长边外通道宽5米，短边外通道宽8米，采样点长边不小于20米，至多长28米．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(1)设采样点长边为 米，采样点及周围通道的总占地面积为 平方米，试建立 关于 的函数关系式，并指明定义
域；
(2)当 时，试求 的最小值，并指出取到最小值时 的取值．
6．如图所示， 是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚
线折起，使得 ， ， ， 四个点重合于图中的点 ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒， ， 在 上是
被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设 ．
(1)求包装盒的容积 关于 的函数表达式，并求出函数的定义域；
(2)当 为多少时，包装盒的容积 最大？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
题型三：成本最小问题
7．第31届世界大学生夏季运动会即将在成都拉开帷幕.为了配合大运会的基础设施建设，组委会拟在成都东安湖
体育公园修建一座具有成都文化特色的桥.两端的桥墩已建好，这两桥墩相距160米，余下工程只需要建两端桥墩
之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为32万元，距离为x米（其中 ， ）的相
邻两墩之间的桥面工程费用为 万元.假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，设需
要新建n个桥墩（显然 ），记余下工程的费用为y万元.
(1)试写出y关于x的函数关系式；
(2)需新建多少个桥墩才能使y最小？
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司8．某城镇在规划的一工业园区内架设一条16千米的高压线，已知该段线路两端的高压线塔已经搭建好，余下的
工程只需要在已建好的两高压线塔之间等距离的再修建若干座高压电线塔和架设电线．已知建造一座高压线电塔
需2万元，搭建距离为x千米的相邻两高压电线塔之间的电线和人工费用等为 万元，所有高
压电线塔都视为“点”，且不考虑其他因素，记余下的工程费用为y万元．
(1)试写出y关于x的函数关系式．
(2)问：需要建造多少座高压线塔，才能使工程费y有最小值？最小值是多少？（参考数据：
）
9．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用15
年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为8万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度
x（单位：cm）满足关系： ，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设 为隔热
层建造费用与15年的能源消耗费用之和．
(1)求k的值及 的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用 达到最小，并求最小值．
题型四：用料最省问题
10．某种圆柱形的饮料罐的容积一定时，如何确定它的高与底半径，才使得所用材料最省？
11．学校外的湿地公园有一形状为半圆形的荷花池.如图所示，为了提升荷花池的观赏性，现计划在池塘的中轴线
OC上设计一个观景台 点D与点O，C不重合 ，其中AD，BD，CD段建设架空木栈道，已知 ，设建
设的架空木栈道的总长为y m．
（1）设 ，将y表示成 的函数关系式，并写出 的取值范围；
（2）试确定观景台的位置，使三段木栈道的总长度最短．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司12．如图，用铁丝围成一个上面是半圆，下面是矩形的图形，其面积为 ．为使所用材料最省，圆的直径应为
多少？
【双基达标】
13．某市一特色酒店由一些完全相同的帐篷构成.每座帐篷的体积为 ，且分上､下两层，其中上层是半径为
米的半球体，下层是底面半径为r米，高为h米的圆柱体（如图）.经测算，上层半球体部分每平方米的建
造费用为2千元，下层圆柱体的侧面､隔层和地面三个部分每平方米的建造费用均为3千元，设每座账篷的建造费
用为y千元.
(1)求y关于r的函数解析式，并指出该函数的定义域；
(2)当半径r为何值时，每座帐篷的建造费用最小？并求出最小值.
14．随着生活水平的提高，人们对生活质量的要求也逐步提高，尤其是在饮食方面，虾因营养又美味而受到不少
人的青睐.罗氏沼虾食性杂，生长快，易养殖，市场前景好，现已成为我国重点发展的特优水产品之一，不仅池塘
养殖有了较大发展，而且稻田养殖也获得了成功.某养殖户有多个养虾池，每个虾池投放40000尾虾苗，成活率均
为75%，到售卖时会存在一定的个体差异.为了解某虾池虾的具体生长情况，从该虾池中随机捕捉200尾测量其长
度（单位： ），得到频率分布直方图，如图所示：
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(1)试利用样本估计总体的思想估计该虾池虾的平均长度.
(2)已知该虾池虾的长度均在 之间，根据虾的长度将虾分为四个等级，长度､等级与售价 （单位：元/尾）之
间的关系如下表（ ）：
长度/
等级 三级 二级 一级 特级
/（元/尾
）
①从该虾池中随机捕捉4尾虾，试求至少有2尾为特级虾的概率；
②若该虾池的前期修建成本为40000元，购买相关设备的成本为7150元，虾苗0.65元/尾，每茬虾的养殖成本为
6500元.假设每茬虾的利润相同，在不考虑维修成本的前提下，试问该虾池至少需养几茬虾才能盈利？
15．如图，矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线 在x轴上方的曲线上，求矩形面积最大时
的边长.
16．如图所示，两村庄 和 相距 ，现计划在两村庄外以 为直径的半圆弧 上选择一点 建造自来水厂，
并沿线段 和 铺设引水管道.根据调研分析， 段的引水管道造价为 万元 ， 段的引水管道造价为
万元 ，设 ，铺设引水管道的总造价为 万元，且已知当自来水厂建在半圆弧 的中点时，
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司.
(1)求 的值，并将 表示为 的函数；
(2)分析 是否存在最大值，若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由.
17．为了提升学生“数学建模”的核心素养，某校数学兴趣活动小组指导老师给学生布置了一项探究任务：如图，
有一张边长为27cm的等边三角形纸片ABC，从中裁出等边三角形纸片 作为底面，从剩余梯形 中裁出
三个全等的矩形作为侧面，围成一个无盖的三棱柱（不计损耗）．
（1）若三棱柱的侧面积等于底面积，求此三棱柱的底面边长；
（2）当三棱柱的底面边长为何值时，三棱柱的体积最大？
18．如图，抛物线 与动圆 相交于 四个不同点．
（1）求 的取值范围；
（2）求四边 面积 的最大值及相应 的值．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司19．某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是 分，其中r（cm）是瓶子的半径，已知每
出售1 mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6 cm．
(1)瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最大？
(2)瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？
20．某地打算修建一条公路，但设计路线正好经过一个野生动物迁徙路线，为了保护野生动物，决定修建高架桥，
为野生动物的迁徙提供安全通道.若高架桥的两端及两端的桥墩已建好，两端的桥墩相距1200米，余下的工程只需
要建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经预测，一个桥墩的工程费用为500万元，距离为x米的相邻两桥墩之间的桥面
工程费用为 万元，假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其它因素，记余下工程
的费用为y万元.
(1)试写出y关于x的函数关系式；
(2)需新建多少个桥墩才能使y最小？并求出其最小值.参考数据： ，
21．人们用大数据来描述和定义信息时代产生的海量数据，并利用这些数据处理事务和做出决策，某公司通过大
数据收集到该公司销售的某电子产品1月至5月的销售量如下表.
月份x 1 2 3 4 5
销售量y（万件） 4.9 5.8 6.8 8.3 10.2
该公司为了预测未来几个月的销售量，建立了y关于x的回归模型： .
(1)根据所给数据与回归模型，求y关于x的回归方程（ 的值精确到0.1）；
(2)已知该公司的月利润z（单位：万元）与x，y的关系为 ，根据（1）的结果，问该公司哪一个
月的月利润预报值最大？
参考公式：对于一组数据 ，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别
为 ， .
22．2021年10月16日，是第41个世界粮食日．黑龙江作为全国粮食生产大省，连续十一年粮食产量位居全国首
位．近年来受疫情影响，全国各地经济产值均有所下降．为改变现状，各省均推出支持企业落户创业政策，哈市
某企业响应号召，引进一条先进食品生产线，以稻米为原料进行深加工，发明了一种新产品，若该产品的质量指
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司标值为m（ ），其质量指标等级划分如表：
[70，
质量指标值m [75，80） [80，85） [85，90） [90，95） [95，100]
75）
质量指标等
废品 次品 三级 二级 一级 特级
级
为了解该产品的经济效益并及时调整生产线，该企业先进行试生产，现从试生产的产品中随机抽取了10000件，
将其质量指标值m的数据作为样本，绘制如下频率分布直方图：
(1)若将频率作为概率，从这10000件产品中随机抽取2件产品，记事件A为“抽出的产品中至少有1件为二级及
以上产品”，求事件A发生的概率；
(2)若从质量指标值m不低于90的样本中利用分层抽样的方法抽取6件产品，然后从这6件产品中任取3件产品，
求质量指标值 的件数X的分布列及数学期望；
(3)若每件产品的质量指标值m与利润y（单位：元）的关系如表（2<t<4）：
质量指标值 [70，
[75，80） [80，85） [85，90） [90，95） [95，100]
m 75）
利润y（元） －3t 2t 3t 4t 5t
每件产品的平均利润达到最大值时，试确定t值及此最大值（结果保留一位小数）．
（参考数值：ln2≈0.7，ln5≈1.6）．
23．如图所示，在底半径为 、高为 （ 为定值，且 ）的圆锥内部内接一个底半径为 、高为 的圆柱，
甲、乙两位同学采用两种不同的方法来解决. 甲采用圆柱底面与圆锥底面重合的“竖放”方式（图甲），乙采用圆
柱母线与圆锥底面直径重合的“横放”方式（图乙）.
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(1)设 、 分别“竖放”、“横放”时内接圆柱的体积，用内接圆柱的底半径 为自变量分别表示 、 ；
(2)试分别求 、 的最大值 、 ，并比较 、 的大小.
24．一边长为1米的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长都为 的小正方形，然后做成一个无盖方盒．
（1）试把方盒的容积 表示为 的函数．
（2） 多大时，方盒的容积 最大？
25．已知某商品进价为a元/件，根据以往经验，当售价是b 元/件时，可卖出c件.市场调查表明，当售价
下降10%时，销量可增加40%．现决定一次性降价，销售价为多少时，可获得最大利润？
【高分突破】
26．某产品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件.如果降低价格，销售量将会增加，且每星期多卖出的商
品件数与商品单价的降低值x(单位：元， )的平方成正比.已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件.
（1）将一个星期的商品销售利润表示成关于x的函数 ；
（2）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？
27．如图，有一矩形钢板ABCD缺损了一角，边缘线OM上每一点到点D的距离都等于它到边AB的距离.工人师
傅要将缺损的一角切割下来使剩余部分成一个五边形，若AB＝1m，AD＝0.5m，则五边形ABCEF的面积的最大值
为多少.
28．将一块 的矩形钢板按如图所示的方式划线，要求①至⑦全为矩形，沿线裁去阴影部分，把剩余部分焊
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司接成一个以⑦为底，⑤⑥为盖的水箱，设水箱的高为 ，容积为 .
（1）写出y关于x的函数关系式；
（2）当x取何值时，水箱的容积最大？
29．某地拟规划种植一批芍药，为了美观，将种植区域（区域Ⅰ）设计成半径为 的扇形 ，中心角
．为方便观赏，增加收入，在种植区域外围规划观赏区（区域Ⅱ）和休闲区（区域Ⅲ），并
将外围区域按如图所示的方案扩建成正方形 ，其中点 ， 分别在边 和 上．已知种植区、观赏区和
休闲区每平方千米的年收入分别是10万元、20万元、20万元．
（1）要使观赏区的年收入不低于5万元，求 的最大值；
（2）试问：当 为多少时，年总收入最大？
30．某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位： ），其中容器的中间为圆柱形，左、右两端均为半
球形，按照设计要求容器的容积为 ，且 ，假设该容器的建造费用仅与其表面积有关，已知圆柱形部
分每平方米的建造费用为3万元，半球形部分每平方米的建造费用为 （ ）万元，该容器的总建造费用为 万
元.
（1）写出 关于 的函数表达式，并求该函数的定义域；
（2）求该容器的总建造费用最少时的 的值.
31．一家公司计划生产某种小型产品的月固定成本为1万元，每生产1万件需要再投入2万元.设该公司个月内生
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司产该小型产品x万件并全部销售完，每万件的销售收入为 万元，且每万件国家给予补助 万
元.（e为自然对数的底数）
(1)写出月利润 （万元）关于月生产量x（万件）的函数解析式；
(2)当月生产量在 万件时，求该公司在生产这种小型产品中所获得的最大月利润及此时的月生产量.（注：月
利润=月销售收入+月国家补助-月总成本）
32．某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为30元，并且每件产品需向总公司缴纳5元的管理费，根据多
年的管理经验，预计当每件产品的售价为 元时，产品一年的销售量为 （ 为自然对数的底数）万件.已知每件
产品的售价为40元时，该产品的一年销售量为500万件，经物价部门核定每件产品的售价 最低不低于35元，最
高不超过41元.
(1)求 的值；
(2)求分公司经营该产品一年的利润 （万元）与每件产品的售价 （元）的函数关系式；
(3)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润 最大，并求出 的最大值.
33．《九章算术》是古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，书中记载了一种名为“刍甍”的五面体．
“刍薨”字面意思为茅草屋顶，图1是一栋农村别墅，为全新的混凝土结构，它由上部屋顶和下部主体两部分组
成．如图2，屋顶五面体为刍薨”，其中前后两坡屋面 和 是全等的等腰梯形，左右两坡屋面 和
是全等的三角形，点 在平面 和 上射影分别为 ， ，已知 m， m，梯形
的面积是 面积的2.2倍．设 ．
（1）求屋顶面积 关于 的函数关系式．
（2）已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比，比例系数为 ，下部主体造价与其高度成正比，比例系数为
．现欲造一栋总高度为 m的别墅，试问：当 为何值时，总造价最低？
34．石宝寨位于重庆市忠县境内长江北岸边，被称为“江上明珠”，国家AAAA级旅游景区，全国重点文物保护
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司单位，长江三峡最佳旅游景观之一，美国探索频道中国七大奇观之一，世界八大奇异建筑之一.近期石宝寨景区为
提高经济效益，拟投入资金对景区经行改造升级，经过市场调查可知，景区门票增收y（单位：万元）与投入资金
40）（单位：万元）之间的关系式为： ，其中 为常数，当投入资金 为
10万元时，门票增收 为 万元；当投入资金 为30万元时，门票增收 为37万元.（参考数据，
）
(1)求 的解析式：
(2)石宝寨景区投入资金为多少时，改造升级后的旅游利润 最大，最大值为多少？
35．易拉罐用料最省问题的研究．小明同学最近注意到一条新闻，易拉罐(如图所示)作为饮品的容器，每年的用量
可达数万亿个．这让他想到一个用料最优化的问题，即在易拉罐的体积一定的情况下，如何确定易拉罐的高和半
径才能使得用料最省？他研究发现易拉罐的上盖､下底和侧壁的厚度是不同的，进而结合数学建模知识进行了深入
研究．以下是小明的研究过程，请你补全缺失的部分．
以下是小明的研究过程，请你补全缺失的部分．
（1）模型假设：
①易拉罐近似看成圆柱体；
②上盖､下底､侧壁的厚度处处均匀；
③上盖､下底､侧壁所用金属相同；
④易拉罐接口处的所用材料忽略不计．
（2）建立模型
记圆柱体积为 ，高为 ，底面半径为 ，上盖､下底和侧壁的厚度分别为 ，
金属用料总量为C．
由几何知识得到如下数量关系：
①
②
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司由①得 ，代入②整理得： ．
因为 都是常数，不妨设 ，
则用料总量的函数简化为 ．
请写出表格中代入整理这一步的目的是：___________________________．
（3）求解模型：
所以，在 ___________(用 表示)时， 取得最小值，即在此种情况下用料最省．
（4）检验模型：
小明上网查阅到目前330毫升可乐易拉罐的数据，得知 ，代入（3）
的模型结果，经计算得 经验算，确认计算无误，但是这与实际罐体半径 差异较大．实际上，
在经济利益驱动之下，目前的罐体成本应该已经达最优．
（5）模型评价与改进：
模型计算结果与现实数据存在较大差异的原因可能为：
_________________________________________________________________________________________________．
相应改进措施为：
___________________________________________________________________________________________________
______________________________．
36．如图，某生态农庄内有一直角梯形区域 ， ， ， 百米， 百米．该区域内原
有道路 ，现新修一条直道 （宽度忽略不计），点 在道路 上（异于 ， 两点）， ，
．
（1）用 表示直道 的长度；
（2）计划在 区域内种植观赏植物，在 区域内种植经济作物．已知种植观赏植物的成本为每平方百米
2万元，种植经济作物的成本为每平方百米1万元，新建道路 的成本为每百米1万元，求以上三项费用总和的
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司最小值．
37．如图，有甲、乙两个工厂，甲厂位于笔直河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，位于离河岸40 km的B
处，BD垂直于河岸，垂足为D且D与A相距50 km．两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂
铺设水管的费用分别为每千米3a元和5a元，问：供水站C建在岸边何处才能使铺设水管的费用最省？
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案
1．(1)
(2)当 元/千克时，商场每日销售该商品所获最大利润
【解析】
【分析】
（1）根据题意， ，解方程即可得答案；
（2）设商场每日销售该商品的利润为 ，则 ， ，再根据导数研究函数
单调性，求最值即可得答案.
(1)
解：因为销售价格为6元/千克时，每日可售出该商品13千克，商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x
（单位：元/千克）满足关系式 ，其中 ，a为常数
所以 ，解得
所以， ，
(2)
解：设商场每日销售该商品的利润为 ，
则 ，
因为
当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减
所以当 元/千克时，商场每日销售该商品所获最大利润
2．(1) ；
(2)商品的利润最大时生产量为 百件.
【解析】
【分析】
（1）利用 求出利润函数即可；
（2）利用导数求 在 上的最大值，由一次函数单调性求 上的最大值，比较大小，即可确定利
润最大时的生产量.
(1)
由题意，利润 .
(2)
第 15 页由（1），当 时， ，
所以 ，令 ，则 或 （舍），
故 ， ，即 递增； ， ，即 递减；
所以 的极大值也是最大值为 （万元）；
当 时 递减，此时最大值为 （万元）.
综上，使商品的利润最大，产量为 百件.
3．(1)当 时，每瓶饮料的利润最大
(2)当 时，每瓶饮料的利润最小
(3)
【解析】
【分析】
（1）由题意得到每瓶饮料的利润为 ，利用导数法求解；
（2）由（1）根据唯一的极小值点为最小值点求解；
（3）由 求解.
(1)
解：由题知：每瓶饮料的利润为：
， ，
所以 ，
令 ，解得 ，
当 时， ， 在 上单调递减，
当 时， ， 在 上单调递增，
又 ，
所以，当 时，每瓶饮料的利润最大；
(2)
由（1）知：当 时，每瓶饮料的利润最小；
(3)
由 ，
解得 ，
故所求瓶子的半径取值范围是 .
第 16 页4．4.5米
【解析】
【分析】
设长方体底面长为 米，宽为 米，求出高后得长方体的体积，由导数求得最大值，得结论，注意变量的范围．
【详解】
设长方体底面长为 米，宽为 米，则高为 ，
， ，所以 ，
，
，
时， ， 递增， 时， ， 递减，
所以 时， 取得极大值也是最大值 （立方米）．
（米）
所以框架高为4.5米时，这个框架内部的活动空间最大
5．(1)
(2)当 时，S的最小值为 ，此时 ;
当 时，S的最小值为 ，此时 .
【解析】
【分析】
（1）表示出采样点及周围通道的长，宽，写出S关于 的函数关系式即可；
（2）分两种情况讨论a的取值范围，当 时，根据基本不等式的性质求出S的最小值，以及满足条件
的 的值；当 时，借助于导数解决问题，求得答案.
(1)
由题意采样点及周围通道构成的矩形的长是 ，宽是 ，
故 ；
(2)
由（1）知， ，
当 时， ，
当且仅当 即 时取等号，此时 ，且满足 ，
第 17 页故此时S的最小值为 ，此时 ;
当 时，令 ，
则 ，
由于 时， ，故 ，
即 单调递减，
故 ，此时 ，满足 ,
故S的最小值为 ，此时 .
6．(1) ，定义域为
(2)当时，当 时, 包装盒的容积最大是
【解析】
【分析】
（1）设包装盒的高为 ,底面边长为 ,求出函数的解析式,注明定义域即可.（2）利用函数的导数判断函
数的单调性,求解函数的最值即可.
(1)
设包装盒的高为 , 底面边长为 ,
则
所以
其定义域为
(2)
由 ,可得 ,
当 时, ;当 时, ;
当 时, 取得极大值也是最大值: .
答:当 时, 包装盒的容积最大是
7．(1) ；
(2)需新建9个桥墩才能使y最小.
【解析】
【分析】
（1）求出 ，即得y关于x的函数关系式；
第 18 页（2）利用导数求出函数的单调区间即得解.
(1)
解：由 ，得 ，
所以
.
(2)
解：由（1）知， ，
令 ，得 ，所以 .
当 时， ，则 在区间 内为减函数；
当 时， ，则 在区间 内为增函数.
所以 在 处取得最小值，此时 .
故需新建9个桥墩才能使y最小.
8．(1)
(2)需建19座高压线塔可使得余下的工程费用最低，且最小值为44.72万元
【解析】
【分析】
（1）由已知可得工程费用包括建造高压线电塔所需费用和搭建距离为x千米的相邻两高压电线塔之间的电线和人
工费用的总和，即可列出函数关系式；
（2）利用导数求解函数的单调性，然后求出最小值即可.
(1)
（1）由题意知，需要新建的高压线塔为 座．
所以 ，
即 ．
(2)
由（1），得 ，
令 得 或 （舍去）．
由 ，得 ；由 ，得 ，
所以函数y在区间 上单调递减；在区间 上单调递增．
第 19 页所以当 时，函数y取得最小值，
且 ，
此时应建高压线塔为 （座）．
故需建19座高压线塔可使得余下的工程费用最低，且最小值为44.72万元．
9．(1) ， ；
(2)当隔热层修建 cm厚时，总费用达到最小值为 万元．
【解析】
【分析】
（1）根据给定条件，求出k值，再列出函数 的表达式作答.
（2）利用导数求出（1）中函数的最小值即可作答.
(1)
隔热层厚度xcm，依题意，每年能源消耗费用为 ，由 ，得 ，
因此 ，而建造费用为 ，
则隔热层建造费用与15年的能源消耗费用之和为 ，
所以 .
(2)
由（1）知， ，令 ，即 ，而 ，解得 ，
当 时， ，当 时， ，即 在 上递减，在 上递增，
则当 时， 取最小值 ．
所以当隔热层修建 cm厚时，总费用达到最小值为 万元．
10．当罐高与底的直径相等时，所用材料最省.
【解析】
【分析】
设圆柱的高为h，底半径为R，根据题意得到 ，然后得到S(R)＝ ＋2πR2，进而利用导数判断单调性，进
而求出最值.
【详解】
设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积S(R)＝2πRh＋2πR2，
第 20 页又V＝πR2h，则h＝ ，所以
S(R)＝2πR· ＋2πR2＝ ＋2πR2，
由S′(R)＝－ ＋4πR＝0，
解得R＝ ，从而h＝ ＝2 ，即h＝2R，
当0<R< 时，S′(R)<0，当R> 时，S′(R)>0.
因此，当R＝ 时，S(R)有极小值，且是S(R)的最小值.
故当罐高与底的直径相等时，所用材料最省.
11．（1） ， ；（2）当D位于线段AB的中垂线上且距离AB边 处时，能使三
段木栈道总长度最短
【解析】
【分析】
（1）利用直角三角函数表示出DA，DO，DC，即可表示出y；
（2）对 求导,利用导数即可求得最值.
【详解】
由 ， ， ，
则 ， ，所以 ，
所以 ， ；
，令 ，得 ，
又 ，所以 ，
当 时， ，y 是 的减函数；
当 时， ，y 是 的增函数，
所以，当 时， ） ，此时 ．
答：当D位于线段AB的中垂线上且距离AB边 处时，能使三段木栈道总长度最短
第 21 页12．
【解析】
【分析】
假设圆的半径为 ，矩形的长为 ，根据题目信息得到关系式 ，再将图形的周长表示出来得
，最后构造函数，求导判断函数取得最小值时 的值即可.
【详解】
设圆的半径为 ，则半圆的面积为 ，
所以矩形的宽为 ，设矩形的长为 ，则矩形的面积为 ，
所以 ，即 ，
该图形的周长为 ，
令 ，所以 ，
令
解得： （舍负），
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增
所以当即 时，函数 取得最小值.
即圆的直径 时，所需材料最省.
13．(1) ，
(2)当半径r为3米时，建造费用最小，最小为162π千元
【解析】
【分析】
（1）利用圆柱和球的表面积、体积公式建立函数关系式；
（2）利用导数判断单调性，求出最小值.
(1)
（1）由题意可得 ，所以 ，
所以 ，即 .
第 22 页因为 ， ，所以 ，所以 ，
故 ， .
(2)
（2）设 ， ，则 ，
令 ，解得 .
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增.
所以当 时， 取得极小值，也是最小值，且 .
所以当 时， .
所以当半径r为3米时，建造费用最小，最小为162π千元.
14．(1)10.76cm
(2)① ；②该虾池至少需养3茬虾才能盈利
【解析】
【分析】
（1）根据平均数的计算公式即可得到结果.
（2）①先根据频率分布直方图求出随机捕捉一尾虾，该虾为特级虾的概率，再利用相互独立事件的概率计算公式
求解即可；
②列出虾的长度､售价与对应概率的表格，求出每尾虾的售价的期望值，利用函数的有关知识求得平均每尾虾的最
高售价，进而求得养一茬虾的最大利润，最后根据题意列不等式，求解即可.
(1)
由题意知，样本平均数
，所以估计该虾池虾的平均长度为10.76cm.
(2)
①由频率估计概率知，随机捕捉一尾虾，该虾为特级虾的概率为 ，
则从该虾池中随机捕捉4尾虾，至少有2尾为特级虾的概率为 .②由题
意可知，该虾池虾的长度､售价与对应概率如下表所示（ ）：）
长度/cm
（元/尾）
概率 0.12 0.40 0.28 0.20
所以
.
第 23 页记 ，则 ，
令 ，得 ，
故当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
所以当 时， 取得最大值，
.
所以养一茬虾的最大利润 （元）.
设该虾池至少需养 茬虾才能盈利，则 ，解得 .
因为 ，所以在不考虑维修成本的前提下，该虾池至少需养3茬虾才能盈利.
15．当矩形面积最大时，矩形边AB长 ，BC长
【解析】
【分析】
先设出 点坐标，进而表示出矩形的面积，通过求导可求出其最大面积.
【详解】
设点 ，
那么矩形面积 ， .
令 解得 （负舍）.
所以S在（0， ）上单调递增，在（ ，2）上单调递；..
所以当 时，S有最大值.此时
答：当矩形面积最大时，矩形边AB长 ，BC长 .
16．(1) ， ，其中 ；
(2)存在，且 的最大值为 .
【解析】
【分析】
（1）求得 ，根据已知条件求出 的取值范围，根据题意得出 ，将 代入
函数解析式可求得 的值，由此可得出 表示为 的函数关系式；
（2）利用导数分析函数 在 上的单调性，由此可得出结论.
(1)
解：因为 为半圆弧的直径，则 ，则 ，
第 24 页由题意可得 ，可得 ，
所以， ，其中 ，
当点 在 的中点时， ，此时 ，解得 ，
因此， ，其中 .
(2)
解：因为 ，其中 ，则 ，
因为函数 在 上为减函数，由 可得 ，
当 时， ，此时函数 单调递增，
当 时， ，此时函数 单调递减，
故当 时，函数 取最大值，即 .
17．（1）18cm（2）18cm
【解析】
【分析】
(1) 设三棱柱的底面边长为 ,再根据三角形中的关系表达出底面积和与侧面积的关系式再解方程即可.
(2)同(1)可知 ,再求导分析函数的单调性求最大值即可.
【详解】
设三棱柱的底面边长为 ,即 ,
则 .
因为 为等边三角形,
所以三棱柱的高为 .
（1）因为三棱柱的底面积为 ,
侧面积为 ,
所以 ,
解得 或 （舍去）.
即三棱柱的底面边长为18cm.
第 25 页（2）三棱柱的体积 .
因为 , ,
所以 .
因为 ,
所以当 时, ,故 单调递增;
当 时, ,故 单调递减.
所以当 时, 取到极大值,也是最大值,
.
即当底面边长为18cm时,三棱柱的体积最大,为 .
【点睛】
本题主要考查了利用导数求解立体几何中的最值问题,需要根据题意设合适的边长,再求出体积关于边长的表达式,再
求导分析最值即可.属于中档题.
18．（1） ；（2） 的最大值 ， .
【解析】
【分析】
（1）联立抛物线和圆的方程，要圆与抛物线有四个不同交点，即方程有两个不等正根，写出满足的不等式组，求
得r的取值范围.
（2）设出A，B坐标，根据（1）中联立结果写出韦达定理，表示出四边形ABCD的面积表达式，方法一借助导数
求单调区间，从而求得最大值；方法二把表达式写成因式乘积的形式，借助不等式求得最大值.
【详解】
解：（1）联立抛物线与圆方程
消 可得：
要圆与抛物线有四个不同交点，即方程有两个不等正根．
所以，
解得： 的取值范围为 ；
（2）设 ，其中 ，则
第 26 页令
当 时， 单调递增；
当 时， 单调递减．
当 时， 取得最大值，即 ，
方法二：
当 时，即 取得最大值，
【点睛】
方法点睛：求面积最值时可以先写出面积表达式，对于高次函数可以借助导数来求得最值，如果能写出因式乘积
的形式，部分题型也可以利用不等式求得最值.
19．(1)瓶子半径为 时，每瓶饮料的利润最大
(2)瓶子半径为 时，每瓶饮料的利润最小，并且是亏损的
【解析】
【分析】
先确定利润函数，再利用求导的方法，即可得到结论．
(1)
由于瓶子的半径为 ，
所以每瓶饮料的利润是 ， ．
令 ，解得 （ 舍去）．
所以当 时， ；当 时， ．
当 时， ，它表示 在区间 上单调递增，即半径越大，利润越高；
当 时， ，它表示 在区间 上单调递减，即半径越大，利润越低．
又 ，
第 27 页故半径为 时，能使每瓶饮料的利润最大．
(2)
由（1）可知， 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减．
所以当 时， 有最小值，其值为 ，
故瓶子半径为 时，每瓶饮料的利润最小，并且是亏损的.
20．(1)
(2)需新建 个桥墩才能使y最小，最小值为 万元.
【解析】
【分析】
（1）利用题中的已知条件设出需要建设桥墩的个数，进而表示出工程的费用即可；
（2）利用（1）的结果，再利用导数研究函数的单调性即可求出最值.
(1)
由已知两端的桥墩相距1200米，且相邻两桥墩相距x米，故需要建桥墩 个，
则
所以y关于x的函数关系式为 ，
(2)
由（1）知
令 ，即 ，解得 （舍）或
当 时， ，函数单调递减；当 时， ，函数单调递增；
所以当 时，y有最小值，
且
又
（万元）
所以需新建 个桥墩才能使y最小，最小值为 万元.
21．(1) ；
第 28 页(2)第9个月的月利润预报值最大
【解析】
【分析】
（1）根据数据与回归方程的公式进行求解 ，得到回归方程；（2）结合第一问所求得到 关于 的函数，通过
导函数求出单调区间，极值及最值，求出答案.
(1)
令 ，则 ， ，
，
，所以y关于x的回归方程为 ；
(2)
由（1）知： ，
，令 ，
令 得： ，令 得： ，令 得： ，所以 在
处取得极大值，也是最大值，
所以第9个月的月利润预报值最大.
22．(1)0.91；
(2)分布列见解析，1；
(3)t＝3.2时，每件产品的平均利润达到最大约为5.5．
【解析】
【分析】
（1）根据二项分布的性质进行求解即可；
（2）根据分层抽查的性质，结合古典概型计算公式、数学期望的公式进行求解即可；
（3）根据每件产品的平均利润表达式，结合导数的性质进行求解即可.
(1)
抽取到为二级及以上产品的件数为Y，则由频率分布直方图可得，任取1件产品为二级及以上产品的概率为：5
（0.08+0.04+0.02）＝0.7．
则Y~B（2，0.7），
则 ；
(2)
由频率分布直方图得指标值大于或等于90的产品中，
第 29 页的频率为0.04×5＝0.2，
的频率为0.02×5＝0.1，
∴利用分层抽样抽取的6件产品中， 的有4件， 的有2件，
从这6件产品中，任取3件，质量指标值 的产品件数X的所有可能取值为0，1，2，则：
， ， ，
∴X的分布列为：
X 0 1 2
P
∴X的数学期望为： ；
(3)
由频率分布直方图可得该产品的质量指标值m与利润y（元）的关系如表所示（2<t<4），
质量指标值 [70， [75， [80， [85， [90，
[95，100]
m 75） 80） 85） 90） 95）
利润y
－3t 2t 3t 4t 5t
（元）
P 0.05 0.1 0.15 0.4 0.2 0.1
∴每件产品的平均利润：
，（2<t<4），
则 ，
令 ，解得t＝2ln5，
∴当 时， ，函数 单调递增，
当 时， ，函数 单调递减，
∴当t＝2ln5时，h（t）取最大值为 ，
当t＝2ln5≈3.2时，每件产品的平均利润达到最大约为5.5．
23．(1) ，
(2) ， ，
【解析】
第 30 页【分析】
（1）作出圆锥的轴截面，截圆柱得一内接矩形，设 ， 由相似形得出 的关系，
竖放， ，横放， ，由体积公式计算可得 ；
（2）由导数求得 的最大值，并比较可得．
(1)
如图是圆锥的轴截面截圆柱得一内接矩形，设 ，
根据三角形相似得， .
①若圆柱“竖放”，则
②若圆柱“横放”，则
(2)
① ，由 ，解得
当 时， ， 递增；当 时， ， 递减；
② 由 解得
当 时， ， 递增；当 时， ， 递减；
第 31 页24．（1） ；（2） .
【解析】
（1）由已知可得方盒的底面边长为 ，高为 ，进而可得答案；
（2）利用导数法，可得方盒的容积V的最大值.
【详解】
（1）由题意可得方盒的底面边长为 ，高为 ，
无盖方盒的容积 .
（2）因为 ，
所以 ，
令 ，得 （舍），或 ，
当 时， ，当 时， ，
因此 是函数V的极大值点，也是最大值点，
故当 时，方盒的容积最大.
25．
【解析】
【分析】
设销售价为x，则降价相对于售价是b时，降低了 个10%，从而销量提高了 个40%，从而求得可获得
的利润为y，求导，由导数求得函数最大值，此时取得的x的值即为销售价.
【详解】
设销售价为x，可获得的利润为y，
则 ，
求导得 ，令 ，
解得 ，由 知， ，
当 时， ，函数单增；
当 时， ，函数单减；
因此 是函数的极大值点，也是最大值点；
第 32 页故当销售价为 元/件时，可获得最大利润.
26．（1） ；（2）当定价为 元时，一个星期的商品销售利润最大.
【解析】
【分析】
（1）根据已知条件先确定出每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值 之间的关系，然后根据(售价 成本
降价值) ( 多卖出的商品件数)得到 的解析式，同时注意定义域；
（2）根据 列出关于 的表格，分析出 的单调性和极值，再结合端点值确定出 取最
大值时对应的 的值即可.
【详解】
解：（1）设一星期多卖出的商品件数为t件，设 ，
由题意知 ，解得 .
由题意知， ；
（2）
极小 极大值
9072 单调递减 单调递增 单调递减
值
且 ，
因为 ，所以当 时，商品销售利润最大，此时定价为 元.
所以当定价为 元时，一个星期的商品销售利润最大.
【点睛】
思路点睛：利用导数解决生活中优化问题的基本思路：
（1）将实际问题利用函数进行抽象表达，并注意函数定义域；
（2）利用导数解决函数的最值问题；
（3）根据函数的最值得到优化问题的答案.
27．
【解析】
【分析】
先求得△DEF的面积的最小值，即可求得五边形ABCEF的面积的最大值
【详解】
取BC中点H，连接OH.
第 33 页以O为坐标原点，分别以OH、OD所在直线为x、y轴，建立平面直角坐标系，
则 ， ，设边缘线OM上一点P的坐标为 ，
则 ，所以 ， .
设EF与边缘线OM的切点为 ，
因为 ，所以 ，故EF所在直线的方程为 ，
因此 ， ，其中 ，
则
所以 ，
令 ，解得 或 （舍去），
当 时， ，当 时， ，
即当 时， 取得最小值 .
从而五边形ABCEF的面积的最大值为 .
28．（1） ；（2） .
【解析】
（1）根据水箱的高为 ，得到水箱底面的长和宽，再由长方体的体积公式求解.
（2）由（1）得 ，然后利用导数法求解.
【详解】
（1）由水箱的高为 ，得水箱底面的宽为 ，长为 .
故水箱的容积 .
（2）由（1）得 ，令 ，
第 34 页解得 （舍去）或 ，
所以 在 内单调递增，在 内单调递减，
所以当 时，水箱的容积最大.
29．（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）由 ， ， ，所以 与 全等.
可得 ，根据面积公式，可求得观赏区的面积为 ，要使得观赏
区的年收入不低于5万元，则要求 ，解不等式即可求出结果.
（2）由题意可得种植区的面积为 ，正方形面积为 ，设年总收入为 万
元，则
，利用导数在函数单调性中的应用，即可求出结果.
【详解】
（1）∵ ， ， ，所以 与 全等.
所以 ，观赏区的面积为
，要使得观赏区的年收入不低于5
万元，则要求 ，即 ，结合 可知 ，则 的最大值为 .
（2）种植区的面积为 ，
正方形面积为 ，
设年总收入为 万元，则
，
其中 ，求导可得 .
当 时， ， 递增；当 时， ， 递增.
第 35 页所以当 时， 取得最大值，此时年总收入最大.
【点睛】
题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质的应用，考查了数形结合思想，以及导数在求最
值的应用.
30．（1） ，定义域为 ；
（2）当 时， ；当 时， .
【解析】
【分析】
（1）利用 ，可得 ，则可得 关于 的函数表达式，
，代入即得解；
（2）求导，分 ， 两种情况讨论，即得解
【详解】
（1）设容器的容积为 ，由题意，知 .
又 ，故 .
由于 ，
解得 ，
所以 ，
其定义域为 .
（2）由（1）得 ， .
由于 ，所以 .
当 时， .令 ，则 ，
所以 .
①当 ，即 时，
若 ，则 ；若 ，则 ；若 ，则 .
所以 是该函数的极小值点，也是最小值点.
第 36 页②当 ，即 时，若 ，则 （仅当 时， ），所以函数单调递减.
所以 是该函数的最小值点.
综上所述，当 时，总建造费用最少时 ；当 时，总建造费用最少时 .
31．(1)
(2)该公司在生产这种小型产品中所获得的最大月利润为 万元，此时的月生产量为e万件
【解析】
【分析】
（1）根据题意结合月利润=月销售收入+月国家补助-月总成本写出函数解析式即可；
（2）利用导数求出函数的单调区间，从而可求得函数的最值，即可得解.
(1)
解：由题意，
可得 ；
(2)
解：由（1）知 ，
则 ，
当 时， ， 随x的变化情况如下表：
x 1 e
0 + 0 -
由上表，得 在 上的最大值为 ，
所以月生产量在 万件时，该公司在生产这种小型产品中所获得的最大月利润为 万元，此时的月生产
量为e万件.
32．(1)
(2)
(3)36元，最大值为
【解析】
第 37 页【分析】
（1）利用条件预计当每件产品的售价为 元时，产品一年的销售量为 万件，即可求得；
（2）根据一年的利润等于单件产品利润乘以年销售量即可列出函数关系式；
（3）利用导数求出函数的最值即可.
(1)
由题意可知，已知每件产品的售价为40元时，该产品的一年销售量为500万件
即 ，解得 ，
(2)
(3)
令 ， ，令 ，
∴ 在区间 上为增函数， 为减函数
即 时，
∴当每年产品的售价为36元时，分公司一年的利润最大，最大值为
33．（1） ；（2）当 为 时，该别墅总造价最低．
【解析】
【分析】
（1）先求得 ,进而求得屋顶面积 关于 的函数关系式.
（2）首先求得别墅总造价，利用导数求得当 时，总造价最低.
【详解】
（1）由题意，知 平面 ，
因为 平面 ，所以 ．
在 中， ， ，所以 ．
所以 的面积为 ．
所以屋顶面积 ．
所以 关于 的函数关系式为 ．
第 38 页（2）在 ， ，所以下部主体高度为 ．
所以别墅总造价为
．
设 ， ，则 ，
令 ，得 ，又 ，所以 ．
与 随 的变化情况如下表：
0
所以当 时， 在 上有最小值．
所以当 为 时，该别墅总造价最低．
34．(1)
(2)20万元，10万元
【解析】
【分析】
（1）根据 ，由投入资金 为10万元时，门票增收 为 万元；投入资金 为30
万元时，门票增收 为37万元求解；
（2）由（1）得 ，利用导数法求解.
(1)
解：因为 ，
且当投入资金 为10万元时，门票增收 为 万元；
当投入资金 为30万元时，门票增收 为37万元，
所以 ，
第 39 页解得 ，
所以 ；
(2)
由（1）知： ，
则 ，
令 ，得 ，
当 时， ，当 时， ，
所以当 万元时， 取得最大值10万元.
35．（2）消元，消去变量 ，使②中 的表达式只含有一个自变量 ；（3） ；（5）答案见解析．
【解析】
【分析】
（2）整理的部分是目的，消元后整理为函数；（3）利用导数求解极小值点；（5）从模型的选择入手，比较与实
际的差距，从而得到原因，以及改进的措施.
【详解】
（2）表格中代入整理这一步的目的是：消元，消去变量 ，使②中 的表达式只含有一个自变量 ．
（3）解：由 可得 ，
当 时， ；
当 时， ，所以 的单调递增区间是 ．
当 时， ，所以 的单调递减区间是 ．
所以，在 时， 取得最小值，即在此种情况下用料最省．
（5）说明：本小题的答案不唯一，下面两种是常见的两个考虑维度，答出任何一条即可，但是学生指出的原因和
改进措施必须相匹配，只填出一空不给分．
模型计算结果与现实数据存在较大差异的原因可能为：
①模型假设过于简单，把易拉罐近似看成圆柱体，但实际上易拉罐的上部为近似圆台体，尤其是底部有凹进去的
部分相应改进措施：更精细描述易拉罐，例如将易拉罐体看作是圆台和圆柱的组合体．
②模型主要考虑了如何设计使得用料最省，但实际上还需要考虑生产与运输中的其它限制条件，还有消费者的喜
好等其它因素．相应改进措施：了解在现实中，商家认为的最优内涵要素，重新界定问题．
第 40 页36．（1） ， ；（2） 万元．
【解析】
【分析】
（1）根据解三角形和正弦定理可得 ， ，
（2）分别求出 ， ，可得 ，设三项费用之和为 ，可得 ， ，
利用导数求出最值.
【详解】
解：（1）过点 作 ，垂足为 ，
在 中，
∵ ， ， ，
∴ ，
在 中，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中，由正弦定理可得 ，
∴ ， ，
（2）在 中，由正弦定理可得 ，
∴ ，
第 41 页∴ ，
又
∴ ，
设三项费用之和为 ，
则
， ，
∴ ，令 ，解得 ，
当 时， ，函数 单调递减，
当 时， ，函数 单调递增，
∴ ，即三项费用总和的最小值为 万元．
37．供水站C建在岸边A、D之间距甲厂20 km处.
【解析】
【分析】
根据题意建立数学模型，通过适当设定变元，构造相应的函数关系，通过求导，求出最值，可确定供水站的位置.
【详解】
根据题意可知点C，在线段AD上某一适当位置时，才能使总运费最省，设C点距D点 x km，则BD=40，AC=50
－x,
第 42 页∴ ，
设铺设水管的总费用为y元，则
，
∴ ，
令 ，可得 ，
在 上，y 只有一个极小值点，根据实际意义，函数在 (km)处取得最小值，
此时 (km),
故供水站C建在岸边A、D之间距甲厂20 km处，能使铺设水管的费用最省.
第 43 页第 44 页
