文档内容
微专题：圆的切线方程
【考点梳理】
1、直线与圆的位置关系
设圆的半径为r(r>0)，圆心到直线的距离为d，则直线与圆的位置关系如下表所示.
位置 公共点 几何 直线、圆的方程组成的方程
图示
关系 个数 特征 组的解
相离 0 d > r 无实数解
两组相同
相切 1 d＝r
实数解
两组不同
相交 2 d < r
实数解
2、与切线、切点弦有关结论
(1)已知
⊙O：x2＋y2＝r2；
1
⊙O：(x－a)2＋(y－b)2＝r2；
2
⊙O：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
3
①若点M(x，y)在圆上，则过M的切线方程分别为
0 0
xx＋yy＝r2；
0 0
(x－a)(x－a)＋(y－b)(y－b)＝r2；
0 0
xx＋yy＋D·＋E·＋F＝0.
0 0
②若点M(x ，y)在圆外，过点M引圆的两条切线，切点为M ，M ，则切点弦(两切点的连线段)所在直线的方
0 0 1 2
程分别为
xx＋yy＝r2；
0 0
(x－a)(x－a)＋(y－b)(y－b)＝r2；
0 0
xx＋yy＋D·＋E·＋F＝0.
0 0
(2)圆x2＋y2＝r2的斜率为k的两条切线方程分别为
y＝kx±r.
(3)过圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外一点M(x，y)引圆的切线，T为切点，切线长公式为＝.
0 0
【题型归纳】
题型一： 过圆上一点的圆的切线方程
1．过点 作圆 的切线，则切线方程为（ ）
第 1 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B．
C． D． 或
2．已知直线 经过点 ，且 与圆 相切，则 的方程为（ ）
A． B． C． D．
3．若经过点 的直线与圆 相切，则该直线在y轴上的截距为( )
A． B．5 C． D．
题型二： 过圆外一点的圆的切线方程
4．过点 的直线经x轴反射后与圆 相切，则切线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
5．已知过点 的直线与圆 相切，且与直线 垂直，则 （ ）
A． B． C． D．
6．已知圆 ，P为直线 上的动点，过点P作圆C的切线 ，切点为A，当
的面积最小时， 的外接圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
题型三： 切线长
7．已知圆 ，P为抛物线 上的动点，过点P作圆的切线，则切线长的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
8．已知圆 ： ，点 是直线 上的动点，过 作圆的两条切线，切点分别为 ， ，则
第 2 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司的最小值为（ ）
A． B． C． D．
9．已知圆 ，点M为直线 上一个动点，过点M作圆C的两条切线，切点分别
为A，B，则四边形 周长的最小值为（ ）
A．8 B． C． D．
题型四： 已知切线求参数
10．直线 与圆 相切，则 的值为（ ）
A． B．1 C． D．
11．双曲线 的渐近线与圆 相切，则 ( )
A．3 B．5 C．－3 D．－5
12．已知圆 ，过点P（5，5）作圆M的一条切线，切点为N，则切点N到直线PM的距离
为（ ）
A． B． C． D．
【双基达标】
13．过坐标原点且与圆 相切的直线方程为（ ）
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
14．已知直线 是圆 的对称轴，过点 作圆C的一条切线，
第 3 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司切点为B，则 等于（ ）
A．4 B． C． D．3
15．已知圆O： ，直线l： ，P为直线l上一动点，过点P作圆O的两条切线PA，PB，A，B
为切点，则（ ）
A．点P到圆O上的点的最小距离为 B．线段PA长度的最小值为
C． 的最小值为3 D．存在点P，使得 的面积为
16．已知圆 ，点M为直线 上一个动点，过点M作圆C的两条切线，切点分
别为A，B，则当四边形 周长取最小值时，四边形 的外接圆方程为（ ）
A． B．
C． D．
17．在平面直角坐标系xOy中，已知圆 ，直线 与圆 相切，与圆 相交于 两
点，分别以点 为切点作圆 的切线 ．设直线 的交点为 ，则 的最小值为（ ）
A．9 B．7 C． D．
18．若圆 上总存在两点关于直线 对称，则过圆 外一点 向圆 所作
的切线长的最小值是（ ）
A． B．2 C．3 D．4
19．若圆 与圆 外离，过直线 上任意一点P分别作圆
的切线，切点分别为M，N，且均保持 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
20．已知 为直线 ： 上一个定点， ， 为圆 ： 上两个不同的动点.若
的最大值为 ，则点 的横坐标为（ ）
第 4 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B．
C． D．
21．过坐标原点 作圆 的两条切线，切点为 ，直线 被圆截得弦 的长度为
A． B．
C． D．
22．若从坐标原点O向圆 作两条切线，切点分别为A，B，则线段 的长为（ ）
A． B．3 C． D．
23．已知抛物线 上三点 ，直线 是圆 的两条切线，则直线 的方程为
（ ）
A． B．
C． D．
24．已知 是椭圆 上的任意一点，过原点 作圆 的两条切线，设这
两条切线与椭圆交于 ， 两点，则 ， 的斜率之积为（ ）
A． B． C． D．
25．已知圆 与直线 切于点 ，则直线 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
26．一条光线从点 射出，经 轴反射后与圆 相切，则反射光线所在直线的斜率为
（ ）
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
第 5 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司27．已知直线 过点 ，且与圆 相切，则直线 的方程为（ ）
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
28．若直线 与圆 相切，则 的值是（ ）
A．-2或12 B．2或-12 C．-2或-12 D．2或12
29．已知点 是椭圆 上的任意一点，过点 作圆 ： 的切线，设其中一个切点为 ，则
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
30．直线 平分圆 的周长，过点 作圆C的一条切线，切点为
Q，则 （ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【高分突破】
一、单选题
31．经过点 的圆 的切线方程是（ ）
A． B．
C． D．
32．过圆 上一点 作圆 的两条切线，切点分别为 ， ，若 ，则实数
（ ）
A． B． C． D．
33．已知圆 ，直线 ，点 为 上一动点，过点 作圆 的切线 ， （切点为 ，
），当四边形 的面积最小时，直线 的方程为（ ）
第 6 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B． C． D．
34．经过点 且与直线 ： 相切于点 的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
35．由直线 上一点P 向 圆 C： 引切线，则切线长的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
二、多选题
36．瑞士著名数学家欧拉在年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角
形的“欧拉线”．若 满足 ，顶点 、 ，且其“欧拉线”与圆 相切，
则下列结论正确的是（ ）
A．圆 上的点到原点的最大距离为
B．圆 上存在三个点到直线 的距离为
C．若点 在圆 上，则 的最小值是
D．若圆 与圆 有公共点，则
37．已知圆M： ，点P为x轴上一个动点，过点P作圆M的两条切线，切点分别为A，B，直线AB
与MP交于点C，则下列结论正确的是（ ）
A．四边形PAMB周长的最小值为 B． 的最大值为2
C．若 ，则 的面积为 D．若 ，则 的最大值为
38．已知圆 ， 为圆心）直线 ，点 在直线 上运动，直线PA，PB分别于圆
切于点 ， ．则下列说法正确的是（ ）
A．四边形 的面积最小值为
第 7 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司B． 最短时，弦 长为
C． 最短时，弦 直线方程为
D．直线 过定点为 ，
39．在平面直角坐标系 中，圆 的方程为 .若直线 上存在一点 ，使过 所作的圆的
两条切线相互垂直，则实数 的取可以是
A． B． C． D．
三、填空题
40．已知圆 的圆心在直线 上，且与直线 切于点 ，则圆 被直线 截得
的弦长为___________.
41．已知圆C: ，点 在抛物线T： 上运动，过点 引直线 ， 与圆C相切，切点分别为
， ，则 的取值范围为__________.
42．已知圆 ，则过点 作圆 的切线 的方程为___________.
43．已知圆 和圆 ，过点P（x，y）分别作 的切线PA，PB，其中A，B为切点，
且 ，则动点P的轨迹方程为___________．
44．已知点 在抛物线 ： 上运动，圆 过点 ， ， ，过点 引直线 ， 与圆 相切，
切点分别为 ， ，则 的取值范围为__________.
45．过圆x2+y2＝25上一点P作圆x2+y2＝m2（0＜m＜5）的两条切线，切点分别为A、B，若∠AOB＝120°，则实数
m的值为____________．
四、解答题
46．已知圆 ，点 的坐标为 ，过点 作圆 的切线，切点为 ，
（1）求直线 的方程；
（2）过 点的圆的切线长；
（3）直线 的方程.
47．
第 8 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(1)在平面直角坐标系 中，直线 与圆 相切于点 ，圆心 在直线 上. 求圆 的方程；
(2)已知圆 与圆 ： 相交，求实数 的取值范围.
48．直线 ： 与圆 ： 相交于 、 两点．
（1）求平行于 且与圆 相切的直线方程；
（2）求 面积．
49．已知椭圆 的离心率为 ，圆 与 轴相切， 为坐标原点.
(1)求椭圆 的方程；
(2)设椭圆 的右焦点为 ，过点 的直线 交椭圆于 两点，是否存在直线 使 的面积为 ？若存在，
求出直线 的方程；若不存在，请说明理由.
50．已知直线 过点 ，再从下列条件①、条件②、条件③这三个条件中任意选择一个作为已知，求直线 的方
程.
条件①：直线 经过直线 与 的交点；
条件②：直线 与圆 相切；
条件③：直线 与坐标轴围成的三角形的面积为 ．
第 9 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案
1．C
【解析】
【分析】
确定点 在圆上，即可求得圆心和该点连线的斜率，即得过该点的切线的斜率，由直线
的点斜式方程可得答案.
【详解】
将点 代入 中， 成立，
即点 在圆上，
圆心 和 连线的斜率为 ，
故过圆 上点 的切线的斜率为 ，
则切线方程为 ，即 ，
故选：C
2．A
【解析】
【分析】
直线 经过点 ，且 与圆 相切可知 ，再使用点斜式即可.
【详解】
直线 经过点 ，且 与圆 相切，则 ,
故直线 的方程为 ，即 .
故选：A.
3．C
【解析】
【分析】
判断P点在圆上，圆心为原点O，则切线斜率为 ，根据直线方程的点斜式写出切线方
程，令x＝0即可求出它在y轴上的截距.
【详解】
∵ ，∴P在圆上，
设圆心为O，则 ，则过P的切线斜率 ，
第 10 页∴切线方程为： ，
令 得 .
故选：C.
4．D
【解析】
【分析】
由题意可知切线 的斜率存在，可设切线 的斜率为 ，由点斜式得切线 ，
再根据直线与圆相切，圆心 到 的距离为 代入计算．
【详解】
圆 的圆心 ，半径
点 关于 轴对称的点为 ，则过点 与圆 相切的直线即为所求．
由题意可知切线 的斜率存在，可设切线 的斜率为
则 的方程为 即
圆心 到 的距离为 ，解得 ，
故选：D．
5．C
【解析】
【分析】
先求出过点 的直线与圆 相切的直线方程，利用两直线垂直列方程
求出m.
【详解】
设过点 的直线为l.
（1）当l的斜率不存在时，直线l： .圆 的圆心到l的距离为
，所以不是圆的切线，不合题意.
（2）当l的斜率存在时，直线l： .由题意可得： ，解得：k=2.
因为l与直线 垂直，所以 ，解得：m=-2.
故选：C
6．C
【解析】
【分析】
第 11 页先确定 的面积最小时 点坐标，再由 是直角三角形求出外接圆的圆心和半径，
即可求出外接圆方程.
【详解】
由题可知， ，半径 ，圆心 ，所以
，要使 的面积最小，即 最
小， 的最小值为点 到直线 的距离 ，即当 点运动到
时， 最小，直线 的斜率为 ，此时直线 的方程为 ，由
，解得 ，所以 ，因为 是直角三角形，所以斜边
的中点坐标为 ，而 ，所以 的外接圆圆心为 ，
半径为 ，所以 的外接圆的方程为 .
故选：C.
7．C
【解析】
【分析】
首先得到圆的圆心坐标与半径，设 ，利用距离公式求出 ，根据二次函数的性
质求出 的最小值，即可求出切线长最小值；
【详解】
解：圆 的圆心为 ，半径 ，
第 12 页因为 为抛物线 上的动点，设 ，
则 ，
所以当 时 ，过点 作圆的切线，此时切线长最小，最小为 ；
故选：C
8．B
【解析】
【分析】
利用面积相等求出 .设 ，得到 .利用几何法分析出
，即可求出 的最小值.
【详解】
圆 ： 化为标准方程： ，其圆心 ,半径
.
过点P引圆C的两条切线,切点分别为点A、B,如图：
在△PAC中,有 ，即 ，变形可得：
.
设 ，则 .
所以当 的值即x最小时， 的值最大，此时 最小.
而 的最小值为点C到直线 的距离，即 ，
所以 .
故选：B
第 13 页9．A
【解析】
【分析】
根据圆的切线性质，结合点到直线的距离公式进行求解即可.
【详解】
圆 的圆心坐标为 ，半径为 ，
因为过点M作圆C的两条切线，切点分别为A，B，
所以有 ， ，
因此有 ，
要想四边形 周长最小，只需 最小，即当 时，
此时 ，此时 ，
即最小值为 ，
故选：A
【点睛】
关键点睛：利用圆切线性质是解题的关键.
10．C
【解析】
【分析】
利用几何法，由圆心到直线的距离等于半径列方程，即可求解.
【详解】
因为直线 与圆 相切，
所以由圆心到直线的距离等于半径得： ，即 ，解得： .
故选：C
11．A
第 14 页【解析】
【分析】
根据双曲线标准方程求出其渐近线方程，根据圆心到直线的距离等于半径即可求出a的值．
【详解】
双曲线 的渐近线为y＝ ，即x± y＝0，
圆 化为 ，则4－a＞0，a＜4，
圆心为(2，0)，半径r＝ ，
由题可知 ，解得 ．
故选：A．
12．B
【解析】
【分析】
由圆的方程可得 且半径 ，两点距离公式有 ，根据圆的切线性质，应用
勾股定理有 ，再应用等面积法求切点N到直线PM的距离.
【详解】
由题设， 且半径 ，故 ，
又N是切点，则 ，若切点N到直线PM的距离为 ，
所以 ，故 .
故选：B
13．A
【解析】
【分析】
求出圆心及半径，分直线斜率不存在和存在两种情况，当斜率存在时，可设切线方程为
，由直线与圆相切可得圆心到直线的距离等于半径，列出方程，解得即可得出答案.
【详解】
解：化为标准方程 ，即得圆心 和半径 ，
当切线斜率不存在时，切线方程为 ，此时，圆心到切线的距离为 ，不符题意，
故舍去；
当斜率存在时，设过坐标原点的切线方程为 ，即 ，
第 15 页∴线心距 ，平方去分母得 ，解得 或 ，∴所求
的切线方程为 或 ，
故选：A.
14．A
【解析】
【分析】
根据直线 是圆 的对称轴，则圆心在直线l上，
求得 ，由过点 作圆C的一条切线，切点为B，利用勾股定理即可求得 .
【详解】
由方程 得 ，圆心为 ，
因为直线l是圆C的对称轴，所以圆心在直线l上，所以 ，所以A点坐标为 ，
则 ，所以 .
故选：A．
15．C
【解析】
【分析】
根据给定条件结合圆的性质、圆的切线长定理逐项分析各个选项，计算判断作答.
【详解】
圆O： 的圆心 ，半径 ，如图，
对于A，点O到直线l的距离 ，则点P到圆O上的点的最小距离为 ，
A不正确；
对于B，由选项A知， ，由切线长定理得
，B不正确；
第 16 页对于C，依题意， ，在 中， ，
则
，
由选项B知， ，而函数 在 上单调递增，则当 时，
，C正确；
对于D， ，
，由选项B知 ，显然 对 单调递增，
因此，当 时， ，D不正确.
故选：C
16．D
【解析】
【分析】
根据给定条件，利用切线长定理求出四边形 周长最小时点M的坐标即可求解作答.
【详解】
圆 的圆心 ，半径 ，点C到直线l的距离
，
依题意， ，四边形 周长
，
当且仅当 时取“=”，此时直线 ，由 得点 ，
四边形 的外接圆圆心为线段 中点 ，半径 ，方程为 .
故选：D
17．D
【解析】
【分析】
第 17 页根据题意得切点弦 的方程为 ，进而根据其与圆 相切得
，即 ，进而根据二次函数性质得 最小值.
【详解】
解：设点 ， ， ， ，
因为分别以点 为切点作圆 的切线 ．设直线 的交点为 ，
所以 ，则 ，即 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，即 是方程 的解，
所以点 在直线 上，
同理可得 在直线 上，
所以切点弦 的方程为 ，
因为直线 与圆 相切，
所以 ，解得 ，即
所以 ，
所以当 时，直线 方程为 ，此时
所以 的最小值为 .
故选：D
18．D
【解析】
【分析】
依题意可知动点 在直线 ： 上移动，当 与直线 垂直时， 最小，
从而切线长最小. 由点到直线距离公式求得 的最小值，进而可得结果.
【详解】
圆 ： ，圆心为 ，半径 .
依题意知，直线 过圆心 ，所以 ，即动点 在直线 ：
上移动.
第 18 页所以，当 与直线 垂直时， 最小，从而切线长最小， .
此时，切线长的最小值为 .
故选：D.
19．A
【解析】
【分析】
设 ，由切线长公式得 ，由此得关于 的恒等式，恒等式知识
可求得 值，从而得结论，注意两圆外离．
【详解】
设 ．∵过直线 上任意一点P分别作圆 的切线，切点分别为
M，N，且均保持 ，
∴ ，
即 ，
即 ，
∴ 且 ，
∴ 或
∵圆 与圆 外离，
∴ ，∴ ，
∴ ，
故选：A．
20．A
第 19 页【解析】
首先分析出当 ， 分别为圆 的切线时， 最大，过圆心 作直线 的垂线，
垂足即为 取得最大值时的点 ，可得 ，在 中，可得
，设 可列方程，结合点 满足直线 的方程，即可求 的坐标.
【详解】
由圆 ： 可得 ，
所以圆心为 ，半径 .
因为点 到 的距离 ，所以 与圆 相离，
由图知当 ， 分别为圆 的切线时， 最大，
若 最大，则 最大，
因为 ，
所以 最小时， 最大，
当 时， 最小， 最大，则 最大，
因为此时 ，所以 ，
在 中， ，
设 ，则 ①，
②，
由 可得 代入②可得：
解得： .
故选：A.
【点睛】
关键点点睛：本题解题的关键点是分析出 时，且 ， 分别为圆 的切线时
最大，设 列方程，可求点 的坐标.
第 20 页21．A
【解析】
【分析】
求得圆的圆心坐标和半径，借助 ，即可求解.
【详解】
如图所示，设圆 的圆心坐标为 ，半径为 ，
则 , ，
则 ，可得 ，
故选A.
【点睛】
本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到圆的切线方程应用，着重
考查了推理与运算能力，属于基础题.
22．D
【解析】
圆心为 在 轴上，因此 关于 对称，即 轴，在四边形 中易求得
的长．
【详解】
圆 标准方程是 ，圆心为 ，半径为 ，
所以 关于 对称，即关于 轴对称，而 ， ，所以 ，
所以 ．
故选：D．
【点睛】
结论点睛：过圆 外一点 作圆 的切线，切点为 ，则 的垂直平分线是 ，则由
第 21 页面积法得切点弦长 ．
23．B
【解析】
先利用点 求抛物线方程，利用相切关系求切线AB，AC，再分别联立直线和抛物线
求出点 ，即求出直线 方程.
【详解】
在抛物线 上，故 ，即 ，抛物线方程为 ，
设过点 与圆 相切的直线的方程为： ，即
，则圆心 到切线的距离 ，解得 ，如图，
直线 ，直线 .
联立 ，得 ，
故 ，由 得 ，故 ，
联立 ，得 ，
故 ，由 得 ，故 ，
故 ，又由 在抛物线上可知，
第 22 页直线 的斜率为 ，
故直线 的方程为 ，即 .
故选：B.
【点睛】
方法点睛：
求圆的切线的方程的求法：
（1）几何法：设直线的方程，利用圆心到直线的距离等于半径构建关系求出参数，即得方
程；
（2）代数法：设直线的方程，联立直线与圆的方程，使判别式等于零解出参数，即可得方
程.
24．B
【解析】
【分析】
设过原点 作圆 两条切线方程为 ，切线 ， 的斜率分别记
为 ， ，
其中 ， 是方程 的两根，计算可得结论.
【详解】
由圆： ，得圆心为 ，半径 为 .
设过原点 作圆 两条切线方程为 ，
由题意可知，圆心为 到两条切线 的距离等于 ，则
即 ，
设切线 ， 的斜率分别记为 ， ，则
由已知得 ， 就是 ， 的斜率,
因为 是椭圆 上的任意一点，
所以 ，即 .
第 23 页所以 ， 是方程 的两个实数根，
所以 .
故选：B.
25．A
【解析】
【分析】
由圆心和切点求得切线的斜率后可得切线方程．
【详解】
圆 可化为 ，
所以点 与圆心连线所在直线的斜率为 ，
则所求直线的斜率为 ，
由点斜式方程，可得 ，
整理得 .
故选：A.
26．D
【解析】
根据光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点 关于 轴的对称点 ，设
反射光线所在直线方程为 ，利用直线与圆相切的性质即可求得斜率 .
【详解】
根据光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点 关于 轴的对称点 ，
设反射光线所在直线的斜率为 ，
则反射光线所在直线方程为 ，即 ，
又由反射光线与圆 相切，可得 ，
整理得 ，解得 或 .
故选：D.
【点睛】
过一定点，求圆的切线时，首先判断点与圆的位置关系．若点在圆外，有两个结果，若只
求出一个，应该考虑切线斜率不存在的情况.
第 24 页27．A
【解析】
【分析】
根据题意，先判断点 在圆外；再讨论过点 的切线斜率存在和不存在两种情况，根据直
线与圆的位置关系求出切线方程，即可得出结果.
【详解】
由 ，得点 在圆外，
当过点 的切线斜率存在时，设所求切线的斜率为 ，
则切线方程为 ，即 ，
因为圆心到切线的距离等于半径，
∴ ，解得 .
故所求切线方程为 ；
当过点 的切线斜率不存在时，方程为 ，也满足条件.
故直线 的方程为 或 .
故选：A.
【点睛】
本题主要考查求过圆外一点的切线方程，属于基础题型.
28．C
【解析】
【分析】
解方程 即得解.
【详解】
解：由题得圆的圆心坐标为 半径为1，
所以 或 .
故选：C
29．B
【解析】
【分析】
设 ，得到 ，利用椭圆的范围求解.
【详解】
解：设 ，
第 25 页则 ，
，
，
因为 ，
所以 ，即 ，
故选：B
30．B
【解析】
【分析】
由条件求出参数 ，再根据切线的性质 .
【详解】
圆 的圆心为 ，半径为 ，
因为直线 平分圆 的周长，
所以直线 经过 ，所以 ，故 ，
由已知 ， ， ，圆的半径为3，
所以 ，
故选：B.
31．D
【解析】
【分析】
第 26 页判断点在圆上，再由切线的几何性质求斜率，进而求切线方程.
【详解】
，
在圆上，且 ，
过 的切线斜率为 .
过 的切线方程为： ，即 .
故选:D.
32．C
【解析】
取圆 上任意一点P，过P作圆 的两条切线 ， ，根据
题中条件，求出 ，进而可求出结果.
【详解】
取圆 上任意一点P，
过P作圆 的两条切线 ， ，
当 时， 且 ， ；
则 ，所以实数 .
故选：C.
【点睛】
本题主要考查求由直线与圆相切求参数，属于基础题型.
33．C
【解析】
【分析】
设四边形 的面积为 ，求出四边形 的面积最小时，四边形 是正方形，求
第 27 页出线段 的中点坐标为 ，直线 的斜率为 即得解.
【详解】
设四边形 的面积为 ，
， ，
所以，当 最小时， 就最小， ，
所以 ． 此时 .
所以 ，四边形 是正方形，
由题得直线 的方程为 ，
联立 得 ，
所以线段 的中点坐标为 ，
由题得直线 的斜率为
所以直线 的方程为 ，
化简得直线 的方程为 .
故选：C
34．A
【解析】
【分析】
利用圆心到直线 的距离等于圆心到点 的距离等于圆心到点 的距离等于半径即可求解.
【详解】
设圆心坐标为 ，
则圆心到直线 的距离等于圆心到点 的距离等于圆心到点 的距离等于半径，
第 28 页即： ，
解得 ， ， ，∴圆的方程为
故选：A.
35．D
【解析】
【分析】
由切线性质，切线长等于 ，因此只要 最小即可，此最小值即为 到直线的
距离．
【详解】
点P为直线上到圆心C距离最小的点时，切线长最小，故有 ．切线长最
小值为： ．
故选D．
【点睛】
本题考查切线的性质，考查点到直线的距离公式．属于基础题．
36．BD
【解析】
【分析】
求出“欧拉线”方程，利用“欧拉线”与圆 相切求出 ，利用圆的几何性质可判断A选
项的正误；计算出圆 到直线 的距离，可判断B选项的正误；设 ，利
用直线 与圆 有公共点，求出 的取值范围可判断C选项的正误；利用圆与
圆的位置关系可判断D选项的正误.
【详解】
由题意， 为等腰三角形， 的欧拉线即 的垂直平分线，
、 ， 的中点坐标为 ，直线 的斜率为 ，
则 的垂直平分线方程为 ，即 ．
由“欧拉线”与圆 相切，
所以，圆心 到直线 的距离为 ，
则圆 的方程为 ，
圆心 到原点的距离为 ，则圆 上的点到原点的最大距离为 ，故A错
误；
第 29 页圆心 到直线 的距离为 ，
圆 上存在三个点到直线 的距离为 ，故B正确；
的几何意义为圆上的点与定点 连线的斜率，
设 ，即 ，则直线 与圆 有公共点，
由 ，解得 ， 的最小值是 ，故C错误；
的圆心坐标 ，半径为 ，
圆 的圆心坐标为 ，半径为 ，
要使圆 与圆 有公共点，则圆心距的范围为 ，
所以， ,解得 ，故D正确．
故选：BD．
37．ACD
【解析】
【分析】
对A，可将四边形PAMB周长转化为 ，结合勾股定理可求最值；对B，由圆内最
长的弦为直径可判断错误；对C，由几何关系先求出 ，由等面积法可求出 ，结
合面积公式可求 ；对D，分点 是否与原点重合分类讨论，当点 不与原点重合时，
求出切线长方程和直线 方程，联立可求动点 轨迹，由点与圆的位置关系可求 .
【详解】
如图所示，对于选项A，四边形PAMB的周长为 ，
因为 ，所以四边形PAMB的周长为 ，设 ，当 与原点重合
时最小，则 ，则四边形PAMB的周长为 ，则当t取最小值2时，四
边形PAMB的周长最小，为 ，故A正确；
第 30 页对于选项B，因为圆M： 的直径为2，所以 ，故B错误；
对于选项C，因为 ，所以 ， ，由等面积法可得 ，
求得 ， ， ，所以 的面积为 ，故C正确；
对于选项D，当点P与原点重合时， ，则 ，则 ，则 ，则
；当点P不与原点重合时，设 （ ），则切点弦AB的方程
为 （利用结论：过圆外一点 的切线弦方程为
求得），直线MP的方程为 ，联立两方程，可
得 ，消去m，得动点C的轨迹方程为 ．又因为
，所以 ，故D正确．
故选：ACD．
38．ABD
【解析】
【分析】
A选项，四边形的面积可以看成两个直角三角形的面积之和，又因切线长定理可知，当
最短时，面积最小 ；
B选项， 等面积法，即由 A 选项的四边形面积求弦长；
C选项，两垂直直线的斜率相乘等于 ，两平行直线斜率相等；
D选项，由向量积公式求定点坐标.
【详解】
选项，四边形的面积可以看成两个直角三角形的面积之和，
即 ，
又因切线长定理可知，即 ，
当 最短时，四边形面积最小．
又 与 及半径 构成直角三角形，
最短时， 最短，
即 ，
，
第 31 页，
故 正确．
由上述可知， 时， 最短，
由等面积法可知， ．
得 ，
故 正确．
， ， ，
，
可设 的直线方程为 ，
由半弦长、半径、弦心距构成直角三角形可知，弦心距 ，
圆心 到直线 的距离 ，
解得 ，
即直线 的方程为 ．
故 错误．
设圆上一点 为 ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ，
易知 ，
同理 ，
．
，
原式 ，
将 ， 代入得 等号成立，
故直线 过定点为 ， ， 正确．
故选:ABD．
39．AB
【解析】
【分析】
先得到 的轨迹方程为圆，与直线 有交点，得到 的范围，得到答案.
【详解】
第 32 页所作的圆的两条切线相互垂直，所以 ，圆点 ，两切点构成正方形
即
在直线 上，圆心距
计算得到
故答案选AB
【点睛】
本题考查了圆的切线问题，通过切线垂直得到 的轨迹方程是解题的关键.
40．
【解析】
【分析】
设圆心坐标为 ，根据圆的几何性质可知，直线 与直线 垂直，可求得 的值，
进而可求得圆的方程，求出圆心到直线 的距离，利用勾股定理可求得结果.
【详解】
设圆心坐标为 ，则 ，
由圆的几何性质可得 ，直线 的斜率为 ，则 ，解得 ，
则圆心为 ，圆 的半径为 ，
所以，圆 的方程为 ，
圆心 到直线 的距离为 ，
因此，所求弦长为 .
故答案为： .
【点睛】
方法点睛：圆的弦长的常用求法
（1）几何法：求圆的半径为 ，弦心距为 ，弦长为 ，则 ；
（2）代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式 .
41．
【解析】
【分析】
设出点 的坐标 ，探讨出 的取值范围，借助四边形MPCQ的面积计算，把
第 33 页表示为 的函数即可作答.
【详解】
如图，连接CP，CQ，CM，依题意， ，而 ，
而 ，则CM垂直平分线段PQ，于是得四边形MPCQ的面积为 面积的2
倍，
从而得 ，即
，
设点 ，而 ， ，则 ，
当且仅当t=1时取“=”， ，
因此得 ，即 ，得 ，
所以 的取值范围为 .
故答案为：
42． 或
【解析】
【分析】
本题考查求圆的切线方程，分斜率存在与不存在，利用由圆心到切线的距离等于半径，求
解即得.
【详解】
圆 的圆心坐标 ，半径 ,
当切线 的斜率不存在时， ，显然到圆心的距离等于半径，故而是圆的一条切线；
当切线 的斜率存在时，设斜率为 ， ，即： ,
由圆心到切线的距离等于半径，得 ，解得 ，
故切线的方程为 ，
第 34 页故答案为： 或
【点睛】
易错点睛：本题考查求过点作圆的切线，关键是由首先验证斜率不存在时是否是圆的切线，
考查学生的分类讨论思想，属于易错题.
43．
【解析】
【分析】
利用切线长的平方等于点到圆心的距离的平方减去半径的平方，列出关系式，整理即得.
【详解】
解:设P(x,y),则由|PA|=|PB|，得|PA|2=|PB|2,
所以 ,
化简得： ,此即为P的轨迹方程，
故答案为： .
【点睛】
本题考查求动点的轨迹方程问题，涉及圆的切线长度的计算，属基础题.
44．
【解析】
【分析】
先由已知条件求出圆 的方程，然后画出图形，则由圆的性质可得 ， ，
，所以四边形 的面积为 ，而四边形 的面积为
面积的两倍，从而得 ，进而有
，由此可求出 的最小值，而当当 正无穷大时， 趋近
圆的直径4，从而可得结果
【详解】
设圆 的方程为 ，将 ， ， 分别代入，可得
，解得 ，即圆 ： ；
如图，连接 ， ， ， ，易得 ， ， ，
第 35 页所以四边形 的面积为 ；
另外四边形 的面积为 面积的两倍，所以 ，
故 ，
故当 最小时， 最小，
设 ，则 ，所以当 时， ，当
正无穷大时， 趋近圆的直径4，故 的取值范围为 .
故答案为：
【点睛】关键点点睛：此题考查圆的方程的求法，考查抛物线的有关知识，解题的关键是
求出圆的方程，然后结合题意画出图形，由图可得四边形 的面积为 面积的
两倍，从而可得 ，由此可求出 的最小
值，考查计算能力，属于中档题
45． ##
【解析】
【分析】
根据题意，由圆的方程求出圆的圆心和半径，作出草图，由圆的切线性质分析可得|OP|＝2|
OA|，然后可算出答案．
【详解】
根据题意，如图：x2+y2＝25的圆心为（0，0），半径R＝5，即|OP|＝5，
第 36 页圆O：x2+y2＝m2，圆心为（0，0），半径r＝m，则|OA|＝|OB|＝m，
若∠AOB＝120°，则∠APB＝60°，∠OPA＝30°，
又由OA⊥AP，则|OP|＝2|OA|，则m ．
故答案为： ．
46．（1） ， ；（2） ；（3）
【解析】
【分析】
（1）设切线斜率为 以及切线方程，由圆心到切线的距离等于半径得出 的值，即可求解
（2）由点 到圆心 的距离，圆的半径以及切线长满足勾股定理，即可求出切线长；
（3）利用（2）写出圆心为点 的圆的方程，通过圆系方程即可得出公共弦方程.
【详解】
（1）由题意可得圆心 ，半径 ，
由已知得过点 的圆的切线斜率存在设为 ，
则切线方程为 ，
则圆心 到直线的距离为 ，
即 ，解得 或 .
所以切线方程是
；
（2）在 中，
， ，
第 37 页.
（3）以点 为圆心，切线长 为半径的圆的方程为：
，
圆 ，
两圆方程相减可得：
即
所以直线 的方程为：
47．(1)
(2)
【解析】
【分析】
(1)根据给定条件设圆心 ，再借助切线性质求出a值，进而求出半径即可得解.
(2)求出圆 与圆 半径，利用两圆相交列式求解即得.
(1)
因圆心 在直线 上，则设圆心 ，半径是 ，
于是得圆 方程是 ，而圆 与直线 相切于点 ，
即 与直线 垂直，则有直线CA斜率 ，解得 ，
因此，圆心 ， ，
所以圆 的方程是： .
(2)
圆 ： 化为 ，圆心 ，半径 ，
而圆 的圆心 ，半径 ，则 ，
因圆 与圆 相交，于是有 ，即 ，
解得 ，即 ，
所以实数 的取值范围是 .
48．（1） 或 ；（2） ．
【解析】
【分析】
（1）设切线方程为 ，由切线定义求得 ，进而求得结果；
（2）作 ，由点到直线距离公式求得 ，再由弦长公式求得 ，进而求得面
第 38 页积.
【详解】
（1）设切线方程为 ，则圆心 到切线的距离 ，解得
，
所以切线方程为 或 ；
（2）作 ，垂足为 ， ，
∴ ，
∴ ．
49．(1)
(2)存在， 或 或 或
【解析】
【分析】
（1）根据圆 与 轴相切可得 ，再结合离心率即可求出椭圆 的方程；
（2）设直线 ， ，与椭圆联立，利用韦达定理以及
求出面积，然后解方程即可.
(1)
因为圆 与 轴相切，所以 所以 ，
又 ，所以 ，
第 39 页所以椭圆 ；
(2)
由（1）可知椭圆 的右焦点为 ，
①当直线 的斜率为 时，显然不适合题意；
②当直线 的斜率不为 时，
设直线 ，
联立 ， 恒成立，
所以 ，
则
所以
令 ，
解得 或 ，即得 或
所以符合条件的直线方程分别为 或 或 或
.
50．答案见解析.
【解析】
选择条件①：解方程组求得已知两直线的交点坐标，根据斜率公式求得直线 的斜率，
然后利用斜截式写出直线 的方程并化为一般形式；
选择条件②：先判定直线 的斜率存在，射出点斜式方程，利用直线与圆相切的条件列式
求得直线 的斜率得到方程；
选择条件③：先判定直线 不与坐标轴平行，设处直线 的方程的点斜式，求得横截距，进
而利用已知三角形的面积求得斜率的之，得到直线的方程.
【详解】
选择条件①：
解方程组 得
第 40 页则直线 的斜率为 ，
所以直线 的方程为 ，即 .
选择条件②：
设直线 的方程为 （显然直线 的斜率存在），即 .
圆 的圆心为 ，半径为 .
因为 直线 与圆 相切，
所以 . 解得 .
所以直线 的方程为 ，即 .
选择条件③：
设直线 的方程为 （显然直线 不与坐标轴平行），
令 得 .
则 .
解得 .
所以直线 的方程为 ，即， .
【点睛】
本题考查直线方程的各种求法，涉及直线与圆相切的条件，注意判定直线的斜率是否存在，
注意思维的严密性.
第 41 页第 42 页
