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专题 02 反比例函数与三角形或线段长度的综合
类型一：反比例函数与三角形的面积
类型二：反比例函数与线段长度（包含最值问题）
类型三：反比例函数中存在直角三角形问题
类型四：反比例函数中存在等腰三角形问题
类型一：反比例函数与三角形的面积
1．如图，已知A（﹣1，n），B（4，﹣1）是一次函数y＝kx+b的图象和反比例函数 的图象的两个交
点．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）求三角形AOB的面积．
2．如图，一次函数y＝ x﹣2的图象与反比例函数 的图象交于点B，与x轴交于点A，且点
B的横坐标为6．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若点C（m，2）在反比例函数 的图象上，连接AC，BC，求△ABC的面积．3．如图，一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数 的图象交于点A（﹣3，a），B
（1，3），且一次函数与x轴，y轴分别交于点C，D．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）在反比例函数图象上有一点P，使得S△OCP ＝4S△OBD ，求点P的坐标．
4．如图，一次函数y ＝k x+b（k 是常数且k ≠0）与反比例函数 的图象交于A（﹣2，2），B
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（4，﹣1）两点．
（1）求k ，k 和b的值；
1 2
（2）直接写出关于x的不等式 的解集： ；
（3）点P是y轴上的一个动点，若△ABP的面积为9，求点P的坐标为．5．如图，一次函数y＝kx+b的图象交反比例函数y＝ 图象于A（ ，4），B（3，m）两点．
（1）求m，n的值；
（2）点E是y轴上一点，且S△AOB ＝S△EOB ，求E点的坐标；
（3）请你根据图象直接写出不等式kx+b＞ 的解集．
6．如图，直线y＝kx+b与双曲线 相交于A（﹣3，1），B两点，与x轴相交于点C（﹣4，
0）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求一次函数的解析式；
（3）连接OA，OB，求△AOB的面积．7．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝﹣ 的图象交于A（﹣1，m），B
（n，﹣3）两点，一次函数y＝kx+b的图象与y轴交于点C．
（1）求一次函数的解析式；
（2）根据函数的图象，直接写出不等式kx+b≤﹣ 的解集；
（3）点P是x轴上一点，且△BOP的面积等于△AOB面积的2倍，求点P
的坐标．
8．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB：y＝x+m与反比例函数 的图象交于A、B两点，与x轴
相交于点C，已知点A，B的坐标分别为（3，1）和（﹣1，n）．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）请直接写出不等式 的解集；
（3）点P为反比例函数y＝ 图象上的任意一点，若S△POC ＝3S△AOC ，
求点P的坐标．类型二：反比例函数与线段长度（包含最值问题）
9．如图，Rt△ABO中，∠ABO＝90°，AB＝2，反比例函数 的图象经过点A．直线CD垂直平分
AO，交AO于点C，交y轴于点D，交x轴于点E．
（1）求点A的坐标及OC的长；
（2）求点E的坐标．
10．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A，C在反比例函数y＝ 图象上，直线AC交OB于
点D，交x，y轴正半轴于点E，F，且OE＝OF＝3
（1）求OB的长；
（2）若AB＝ ，求k的值．11．如图，直线l：y＝x+2的与曲线 交于点A（1，n），B两点．
（1）求不等式 的解集；
（2）直线x＝a（a＞0）分别与l，双曲线交于C，D两点（点C与点D不重合），若AC＝AD，求a的
值．
12．如图，反比例函数 与一次函数y＝﹣2x+m的图象交于点A（﹣1，4），BC⊥y轴于点
D，分别交反比例函数与一次函数的图象于点B，C．
（1）求反比例函数 与一次函数y＝﹣2x+m的表达式；
（2）当OD＝1时，求线段BC的长．
（3）直接写出上 的解集．13．如图，反比例函数 和一次函数y＝ax+b的图象交于A（1，3）和B（﹣1.5，n）两点．
（1）求k，n的值；
（2）求出关于x的不等式 的解集：
（3）在x轴上找出一点M使MA+MB最小，并求点M坐标；在x轴上画出点N，使NA﹣NB最大，并
求点N坐标．
14．如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（﹣2，1）、B（a，﹣2）两点是一次函数y＝kx+b和反比例函数 图象的两个交点，直线AB与x轴交于点C．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）观察图象，直接写出不等式 的解集；
（3）在y轴上取一点P，使PA﹣PC的值最大，并求出PA﹣PC的最大值及点P的坐标．
15．如图，反比例函数 的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于A（2，5），B（n，1）两点，（1）求反比例函数和一次函数的关系式．
（2）根据图象直接写出不等式 时，x的取值范围；
（3）若动点P在x轴上，求PA+PB的最小值．
类型三：反比例函数中存在直角三角形问题16．如图，在坐标系中，正比例函数y＝﹣x的图象与反比例函数y＝ 的图象交于A、B两点．
①试根据图象求k的值；
②P为y轴上一点，若以点A、B、P为顶点的三角形是直角三角形，试直接写出满足条件的点 P所有
可能的坐标．
17．如图，已知一次函数y ＝kx+b与反比例函数y ＝ （x＞0）的图象分别
1 2
交于点A（2，4）和点B（4，n），与坐标轴分别交于点C和点D．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求y ＜y 时，自变量x的取值范围；
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（3）若点P是x轴上一动点，当△ABP为直角三角形时，求点P的坐标．
18．如图，一次函数y ＝k x+b（k≠0）和 交于A（1，6）、B（3，m）两点．
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（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）观察图形，请直接写出y ＜y 时，x的取值范围；
1 2
（3）在y轴上取一点P，连接PA、PB，请问△ABP能否恰好构成直角三角形？如能，请求出P点坐标；
如不能，请说明理由．
19．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝ （k≠0，x＜0）与一次函数y＝ax+b的图象交于点A
（﹣3，1）、B（m，3）．点C的坐标为（1，0），连接AC，BC．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）当x＜0时，直接写出不等式 ≥ax+b的解集 ；
（3）若点M为y轴的正半轴上的动点，当△ACM是直角三角形时，求出点M的坐标．
20．如图，直线y ＝x+b交x轴于点B，交y轴于点A（0，2），与反比例函数y ＝ 的图象交于C（1，
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m），D（n，﹣1），连接OC，OD．
（1）求k的值；
（2）求△COD的面积．（3）根据图象直接写出y ＜y 时，x的取值范围．
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（4）点M是反比例函数y ＝ 上一点，是否存在点M，使点M、C、D为顶点的三角形是直角三角形，
2
且CD为直角边，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
类型四：反比例函数中存在等腰三角形问题
21．如图，直线AB交x轴于点A（4，0），交y轴于点B，交反比例函数y＝ （k≠0）于点P（第一象
限），若点P的纵坐标为2，且∠BAO＝45°
（1）求出反比例函数y＝ （k≠0）的解析式；（2）过线段AB上一点C作x轴的垂线，交反比例函数y＝ （k≠0）于点D，连接PD，当△CDP为
等腰三角形时，求点C的坐标．
22．如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）和反比例函数y＝ （x＞0）经过点A（4，m）．
（1）求点A的坐标；
（2）用等式表示k，b之间的关系（用含k的代数式表示b）；
（3）连接OA，一次函数y＝kx+b（k≠0）与x轴交于点B，当△OAB是等腰三角形时，直接写出点B
的坐标．
23．如图1，直线y ＝kx+3与双曲线y ＝ （x＞0）交于点P，PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，
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直线y
1
＝kx+3分别交x轴、y轴于点C和点D，且S△DBP ＝27， ．
（1）求OD和AP的长；
（2）求m的值；（3）如图2，点M为直线BP上的一个动点，连接CB、CM，当△BCM为等腰三角形时，请直接写出
点M的坐标．
24．如图，一次函数y＝k x+b（k ≠0）与反比例函数 的图象交于点A（﹣1，2），B
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（n，﹣1）．
（1）求这两个函数的表达式；
（2）若一次函数y＝﹣ x+m与反比例函数y＝ 的图象恰有一个交点，求m的值．
（3）点P（t，0）在x轴上（其中t≠0），当△ABP为等腰三角形时，求点P的坐标．（直接写出结论）
25．如图，反比例函数y＝ 与一次函数y＝kx+b的图象交于点A（﹣2，1），B（1，n），交y轴于点
C．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）若点P是y轴上的点，请直接写出能使△PAC为等腰三角形的点P的坐标．
