文档内容
微专题：向量共线定理及其应用
【考点梳理】
1、向量共线定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa.
2、a∥b⇔a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据，注意待定系数法和方程思想的应用；若a与b不共线且
λa＝μb，则λ＝μ＝0. 对于两个向量共线定理(a(a≠0)与b共线⇔存在唯一实数λ使得b＝λa)中条件“a≠0”的理解：
①当a＝0时，a与任一向量b都是共线的；②当a＝0且b≠0时，b＝λa是不成立的，但a与b共线. 因此，为了更
具一般性，且使充分性和必要性都成立，我们要求a≠0. 换句话说，如果不加条件“a≠0”，“a与b共线”是“存
在唯一实数λ使得b＝λa”的必要不充分条件.
【题型归纳】
题型一：平面向量共线定理证明点共线问题
1．已知 ， ， ，则（ ）
A．A，B，D三点共线 B．A，B，C三点共线
C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线
2．已知 ， ， ，且 不共线，则（ ）
A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线
C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线
3．已知 ， 是不共线的向量， ， 若 三点共线，则实数 满足
（ ）
A． B．
C． D．
题型二： 平面向量共线定理证明线平行问题
4．设 是单位向量， ， ， ，则四边形 是（ ）
A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
5．若平面四边形ABCD满足： ， ，则该四边形一定是（ ）
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
6．已知平面四边形 ，则“ ( 为实数)， ”是“四边形 是平行四边形”的
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A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
题型三：已知向量共线（平行）求参数
7．如图，在 中，点 是线段 上一点，若 ，则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知 是平面内两个不共线向量， ， ，A，B，C三点共线，则m＝（ ）
A．－ B． C．－6 D．6
9．已知向量 不共线，且向量 与 的方向相反，则实数t的值为（ ）
A．1 B．— C．1或－ D．－1或－
题型四：平面向量共线定理的推论的应用
10．已知A，B，C是圆O上的三点，CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外的点D，若 ，
则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
11．在 中， 是线段 上一点（不与顶点重合），若 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
第 2 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司12．在 中，点D在边AB的延长线上， ， 则（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
【双基达标】
13．在平面四边形 中，已知 的面积是 的面积的2倍.若存在正实数 使得
成立，则 的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
14．已知平面向量 ， 不共线， ， ， ，则（ ）
A． ， ， 三点共线 B． ， ， 三点共线
C． ， ， 三点共线 D． ， ， 三点共线
15．在 中，M为BC边上任意一点，N为线段AM上任意一点，若 （ ， ），则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
16．设 ， 是平面内两个不共线的向量， ， ， ，若A，B，C三点共
线，则 的最小值是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
17．已知 ， 是两个不共线的平面向量，向量 ， ，若 ，则有（ ）
A． B． C． D．
18．已知 ， 是不共线的向量， ， ， ，若 三点共线，则实数λ，µ
满足（ ）
第 3 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B． C． D．
19．在 中， ， 是 上一点，若 ，则实数 的值为（ ）.
A． B． C． D．
20．点P满足向量 ，则点P与AB的位置关系是（ ）
A．点P在线段AB上
B．点P在线段AB延长线上
C．点P在线段AB反向延长线上
D．点P在直线AB外
21．设 分别是 的三边 上的点，且 ，则 与
（ ）
A．反向平行 B．同向平行
C．互相垂直 D．既不平行也不垂直
22．已知向量 ， 不共线，向量 ， ，若O，A，B三点共线，则 （ ）
A． B． C． D．
23．在△ 中，点D满足 = ，直线 与 交于点 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
24．如图，已知平行四边形 的对角线相交于点 ，过点 的直线与 所在直线分别交于点 ， ，
满足 ，若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
25．如图，在△ABC中，点D是线段BC上的动点（端点除外），且 ，则 的最小值为
第 4 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（ ）
A．16 B．17 C．18 D．19
26．在 ABC中，已知D是AB边上的一点，若 ，则λ等于（ ）
A． B． C． D．
27．如图，在△ 中， ， 是 上的一点，若 ，则实数 的值为（ ）
A． B．
C． D．
28．已知 ，则共线的三点为（ ）
A． B． C． D．
29．若过点 和点 的直线与方向向量为 的直线平行，则实数 的值是（ ）
A． B． C．2 D．
30．在梯形ABCD中， 且 ，点P在边BC上，若 ，则实数 （ ）
A． B． C． D．
【高分突破】
一、单选题
31．如图，在 中， ， 是 上一点，若 ，则实数 的值为（ ）
第 5 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A．3 B．4 C．5 D．6
32．已知点E是 的中线 上的一点（不包括端点）．若 ，则 的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．9
33．已知点 不共线， 为实数， ，则“ ”是“点 在 内（不含边
界）”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
34．如图， 中，点M是BC的中点，点N满足 ，AM与CN交于点D， ，则
（ ）
A． B． C． D．
35．设 是不共线的两个非零向量，已知 ， ，若 三点共线，则 的
值为（ ）
A．1 B．2 C．-2 D．-1
36．如图，在 中， ， 是 上的一点，若 ，则实数 的值为（ ）
第 6 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B． C． D．
二、多选题
37．若向量 ， ，下列结论正确的是（ ）
A．若 同向，则
B．与 垂直的单位向量一定是
C．若 在 上的投影向量为 （ 是与向量 同向的单位向量），则
D．若 与 所成角为锐角，则n的取值范围是
38．如图，在等腰梯形ABCD中， ，E是BC的中点，连接AE，BD相交于点F，连接
CF，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
39．已知向量 ， ， ，若点A，B，C能构成三角形，则实数t可以为
A．-2 B． C．1 D．-1
40．对于给定的 ，其外心为O，重心为G，垂心为H，内心为Q，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
第 7 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司D．若A、P、Q三点共线，则存在实数 使
三、填空题
41．设 ， 是两个不共线的非零向量，若向量 与 的方向相反，则k＝________.
42．设 是平面内两个不共线的向量， ， ， ， ．若A， ， 三点共
线，则 的最小值是__．
43．在△ABC中， D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若 （m
为常数），则CD的长度是________．
44．已知 ， （ ， ），若 ，则 的最小值为__________．
45．在正方体 中，点E，F分别是底面 和侧面 的中心，若 ，
则 ______．
46．如图，在长方形ABCD中，M，N分别为线段BC，CD的中点，若 ， ， ，则
的值为______．
四、解答题
47．如图，平行四边形ABCD中，E，F分别是AD，AB的中点，G为BE与DF的交点．若 ， ．
第 8 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（1）试以 ， 为基底表示 ， ；
（2）求证：A，G，C三点共线．
48．设向量 ， ， .
(1)求 ；
(2)若 ， ，求 的值；
(3)若 ， ， ，求证：A， ， 三点共线.
49．在 中，点P是AB上一点，且 ，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，且 ，
求t的值．
50．如图所示， 是 的一条中线，点 满足 ，过点 的直线分别与射线 ，射线 交于 ，
两点.
(1)求证： ；
(2)设 ， ， ， ，求 的值；
(3)如果 是边长为 的等边三角形，求 的取值范围.
51．已知 是非零向量， 且 ，求证： .
第 9 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案
1．A
【解析】
【分析】
根据平面向量的共线定理判断即可
【详解】
由题意得 ，又 有公共点B，所以A，B，D三点共线.
故选：A
2．B
【解析】
【分析】
根据三点关系的等价条件进行判断即可．
【详解】
解： ， ， ，且 不共线，
，
已知 ，
，
即 与 共线，
则 , , 三点共线，
故选：B．
3．D
【解析】
【分析】
根据向量的线性运算，可表达出 ，然后根据向量共线即可求解.
【详解】
, ,
因为 三点共线，所以 ,故 ，所以
故选：D
4．B
【解析】
【分析】
由题知 ，进而得 ， ，再根据菱形的定义即可得答案.
【详解】
解：因为 ， ，
所以 ，即 ， ，
所以四边形 是平行四边形，
第 10 页因为 ，即 ，
所以四边形 是菱形.
故选：B
5．B
【解析】
【分析】
根据向量相等可证明四边形为平行四边形，再由向量数量积为0知对角线互相垂直可知为菱形.
【详解】
， ,
所以四边形ABCD为平行四边形，
, ，
所以BD垂直AC，所以四边形ABCD为菱形.
故选：B
6．B
【解析】
【分析】
根据充分必要条件的判断，看“ ( 为实数)， ”和“四边形 是平行四边形”二者是否
能够互相推出，即可得到答案.
【详解】
对于“ ( 为实数)， ”，这种情况下对应的平面四边形可能是等腰梯形，故不能推出“四边
形 是平行四边形”，
而“四边形 是平行四边形”时，一定有“ ( 为实数)， ”成立，
故“ ( 为实数)， ”是“四边形 是平行四边形”的必要不充分条件，
故选：B.
7．C
【解析】
【分析】
利用向量共线设 ， ，从而得到 ，得到方程组，求出 .
【详解】
因为 三点共线，所以设 ，
即 ，整理得： ，
第 11 页因为 ，所以 ，解得：
故选：C
8．C
【解析】
【分析】
根据向量共线定理，列方程求 即可.
【详解】
因为A，B，C三点共线，
所以 ， 共线，又 是平面内两个不共线向量，
所以可设 ，因为 ， ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
故选：C.
9．B
【解析】
【分析】
由向量平行求得 值，再代入确定两向量反向即得．
【详解】
因为 与 共线，所以 ，解得 或－ ．
当 时 与 同向，不符合题意，当 时 与 反向，符合题意．
故选：B．
10．D
【解析】
【分析】
利用平面向量共线定理的推论求解．
【详解】
在圆外，则 且 ，又 ，
所以 ，
又 三点共线，
所以 ， ，而 ，所以 ．
故选：D．
11．B
第 12 页【解析】
【分析】
根据三点共线得 ，然后由基本不等式求得最小值．
【详解】
因为 是线段 上一点（不与顶点重合），若 ，
所以 且 ，
所以 ，当且仅当 ，即 ， 时
等号成立，
故选：B．
12．B
【解析】
【分析】
利用平面向量基本定理即可求解.
【详解】
因为点D在边AB的延长线上， ，所以 ，即 ,
所以 .
又 ，由平面向量基本定理可得：
， .
故选：B
13．A
【解析】
【分析】
由面积比得 ，再利用 三点共线可得出 的关系，从而利用基本不等式可求得 的最小值．
【详解】
如图，设 与 交于点 ，
由 的面积是 的面积的2倍，可得 ，
第 13 页所以 ，
又 三点共线，即 共线，
所以存在实数 使得 ，
因为 ，
所以 ，消去k，可得 ，
又因为 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时等号成立．
所以 的最小值为1．
故选：A．
14．D
【解析】
【分析】
根据给定条件逐项计算对应三点确定的某两个向量，再判断是否共线作答.
【详解】
平面向量 ， 不共线， ， ， ，
对于A， ，与 不共线，A不正确；
对于B，因 ， ，则 与 不共线，B不正确；
对于C，因 ， ，则 与 不共线，C不正确；
对于D， ，即 ，
又线段 与 有公共点 ，则 ， ， 三点共线，D正确.
故选：D
15．C
【解析】
【分析】
设 ， ，当 时， 可得 ，从而有 ；当 时，有 ，
根据 、 、 三点共线，可得 ，进而可得 ，从而即可求解.
【详解】
解：由题意，设 ， ，
第 14 页当 时， ，所以 ，
所以 ，从而有 ；
当 时，因为 （ ， ），
所以 ，即 ，
因为 、 、 三点共线，所以 ，即 .
综上， 的取值范围是 .
故选：C.
16．A
【解析】
【分析】
根据向量共线定理得到 ，再根据基本不等式可求出结果.
【详解】
因为A，B，C三点共线，所以向量 、 共线，
所以存在 ，使得 ，即 ，
即 ，
因为 、 不共线，所以 ，消去 ，得 ，
因为 ， ，所以 ，当且仅当 ， 时，
等号成立.
故选：A
17．C
【解析】
【分析】
根据平面向量共线定理可设 ，可得 ，再根据平面向量基本定理列方程组即可求解.
【详解】
因为 ，所以设 ，
因为 ， ，
所以 ，可得 ，
所以 ，
第 15 页故选：C．
18．B
【解析】
根据向量的线性运算方法，分别求得 ， ；
再由 ，得到 ，即可求解.
【详解】
由 ， ， ，
可得 ， ；
若 三点共线，则 ，可得 ，化简得 .
故选：B.
19．D
【解析】
【分析】
根据向量共线转化为 ，利用三点共线求实数 的取值.
【详解】
，又因为 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
因为点 三点共线，所以 ，
解得： .
故选：D
【点睛】
本题考查向量共线，平面向量基本定理，重点考查转化思想，计算能力，属于基础题型.
20．C
【解析】
【分析】
由题设条件得出 ，即可得出点P与AB的位置关系.
【详解】
∴点P在线段AB反向延长线上
故选：C.
21．A
第 16 页【解析】
【分析】
首先根据平面向量基本定理表示 ， ， ，然后三式相
加得到答案.
【详解】
同理： ， ，
所以
,
所以 与 反向平行.
故选：A
【点睛】
本题主要考查向量共线定理和平面向量基本定理，重点考查向量的表示，属于基础题型.
22．A
【解析】
【分析】
根据O，A，B三点共线，则 ， ， ，代入整理．
【详解】
因为O，A，B三点共线，则
所以 ， ，即
整理得：
又∵向量 ， 不共线，则 ，则
故选：A．
23．C
【解析】
【分析】
根据向量的减法运算及共线向量计算，可得出 即可求解.
【详解】
设 ,
则 ,
第 17 页，且 ， 共线，则 ，
所以
所以 ，解得 ，
此时 ，所以 ，故 .
故选：C
24．B
【解析】
【分析】
用向量 表示 ，再利用点M，O，N共线列式计算作答.
【详解】
因平行四边形 的对角线相交于点 ，则 ，
而 ，于是得 ，又点M，O，N共线，
因此， ，即 ，又 ，解得 ，
所以 .
故选：B
25．A
【解析】
【分析】
由题意可得 ，则 ，化简后可利用基本不等式可求得结果
【详解】
因为点D是线段BC上的动点（端点除外），且 ，
所以 ，且 ，
所以
第 18 页，
当且仅当 ，即 时，取等号，
所以 的最小值为16，
故选：A
26．B
【解析】
【分析】
利用共线向量定理求解.
【详解】
因为D是AB边上的一点，
所以A，B，D三点共线，
所以 ，则 ，
因为 ，
所以 ，
因为A，B，C不共线，
所以 ，解得 ，
故选：B
27．A
【解析】
【分析】
根据已知条件用 表示 ，结合共线定理的推论即可求得参数值.
【详解】
因为 ，又 ，则 ，
故
因为 三点共线，故可得 ，解得 .
故选：A.
28．D
【解析】
【分析】
根据向量的线性运算以及共线定理判断即可.
第 19 页【详解】
不满足共线定理，A错误；
不满足共线定理，B错误；
，
，
不满足共线定理，C错误；
，D正确.
故选：D.
29．B
【解析】
【分析】
求出 坐标，由向量共线可得关于 的方程，进而可求出 的值.
【详解】
由题意得， 与 共线，所以 ，
解得 ．经检验知， 符合题意，
故选:B．
【点睛】
本题考查了由向量平行求参数，属于基础题.
30．A
【解析】
【分析】
延长 、 交于点 ，根据三点共线的推论得到 ，再根据梯形上下底的比例关系，即可得到
，代入即可得解；
【详解】
解：延长 、 交于点 ，则 、 、 三点共线，于是可得 ，
因为 且 ，所以 ，
所以 ，故 ；
第 20 页故选：A
31．B
【解析】
【分析】
由 ，得 ，代入 中，再由 三点共线，列方程可求出实数 的值
【详解】
因为 ，得 ，
因为 ，
所以 ，
因为 三点共线，
所以 ，解得 ，
故选：B
32．C
【解析】
【分析】
先根据向量共线可知 ，表达出 和 的关系式后利用基本不等式的代“1”法解基本不等式即
可.
【详解】
解：由题意得：
点E是 的中线 上的一点（不包括端点）,则由共线向量定理可知：
设
第 21 页当且仅当 ，即 时取等号，故 的最小值为 .
故选：C
33．B
【解析】
【分析】
利用向量共线的推论及充分条件和必要条件的定义即可得解.
【详解】
若 ，且 ，可知 三点共线，
若 ，点 在 内部（不含边界），则 ；
反之不成立，例如 时，此时 在 外部，
所以“ ”是“点 在 内（不含边界）”的必要不充分条件，
故选：B.
34．C
【解析】
【分析】
利用平面向量基本定理，向量的线性运算可得 ，再利用三点共线列式计算作答.
【详解】
在 中，点M是BC的中点， ，则 ，
又 ，于是得 ，因点C，D，N共线，则有 ，解得 ，
所以 .
故选：C
35．D
【解析】
【分析】
由向量加法得 ，由 三点共线知 ， 共线，结合平面向量基本定理可解.
【详解】
因为 ，故存在实数 ，使得 ，又 ，
所以 ，因为 不共线，故 ，即 .
第 22 页故选：D
36．D
【解析】
【分析】
利用向量的线性运算将条件 化为 ，再根据 、 、 三点共线，得
出 ，即可求解
【详解】
由题意可知， ，所以 ，
又 ，即 .
因为 、 、 三点共线，所以 ，解得 .
故选：D．
37．AC
【解析】
【分析】
A．先根据 共线确定出 的可取值，然后根据 同向确定出 的值；
B．分析 的相反向量与 的位置关系并进行判断；
C．根据 求解出 的值；
D．根据 且 不同向即可求解出 的取值范围.
【详解】
A．设 ，所以 ，所以 ，即 ，所以 满足，故正确；
B．因为 ，所以 也是与 垂直的单位向量，故错误；
C．因为 在 上的投影向量为 ，所以 ，所以 ，所以 ，故正确；
第 23 页D．因为 与 所成角为锐角，所以 且 不同向，
所以 ，所以 ，故错误；
故选：AC.
【点睛】
思路点睛：已知向量的夹角为锐角或者钝角，求解参数范围的步骤：
（1）根据两个向量的夹角为锐角或钝角，得到 或 ，求解出 的范围；
（2）特殊分析：当两个向量共线时，计算出参数的取值；
（3）排除两个向量共线时参数的取值，确定出参数的取值范围.
38．ABD
【解析】
【分析】
根据平面向量的线性运算并结合平面向量共线定理即可判断答案.
【详解】
对于A选项，
，故A选项正确；
对于B选项，因为B，F，D三点共线，设 ，由 ，所以存在唯一实数 ，使得
，结合A可知， ，因为 不共
线，所以 ，所以 ，故B选项正确；
对于C选项，结合B， ，故C选项错误；
对于D选项，结合B， ，故D选项正确.
故选：ABD.
39．ABD
【解析】
若点A，B，C能构成三角形，故A，B，C三点不共线，即向量 不共线，计算两个向量的坐标，由向量共
线的坐标表示，即得解
【详解】
若点A，B，C能构成三角形，故A，B，C三点不共线，则向量 不共线，
由于向量 ， ， ，
第 24 页故 ，
若A，B，C三点不共线，则
故选：ABD
【点睛】
本题考查了向量共线的坐标表示，考查了学生转化划归，概念理解，数学运算能力，属于中档题.
40．BCD
【解析】
【分析】
直接利用三角形的内心，外心，垂心，重心的相关关系，向量的线性运算的应用判断A、B、C、D的结论．
【详解】
解：对于A：给定的 ，其外心为 ，所以 ，故A不正确；
对于B：因为 为给定的 的垂心，故 ，
即 ,
解得： ,故B正确；
对于C：因为重心为G，则有 ， ，所以 ，
故C正确；
对于D：由于点 在 的平分线上， 为单位向量，所以 与 的平分线对应向量共线，所
以存在实数 使 ，故D正确．
故选：BCD．
41．
【解析】
【分析】
根据共线向量定理可得 ，解方程即可得到答案；
【详解】
由题意知， ．
，又 不共线，
∴ .
故答案为：
42．4
【解析】
【分析】
第 25 页利用向量共线得到 ，再利用基本不等式“1”的妙用求解最小值.
【详解】
， ．若A， ， 三点共线，
设 ，
即 ，
是平面内两个不共线的向量，
，解得 ， ，
即 ，
则 ，
当且仅当 ，即 ，即 ， 时，取等号，
故最小值为4，
故答案为：4
43． 或0
【解析】
【分析】
根据题设条件可设 ，结合 与 三点共线，可求得 ，再根据勾股定理求出
，然后根据余弦定理即可求解.
【详解】
∵ 三点共线，
∴可设 ，
∵ ，
∴ ，即 ，
若 且 ，则 三点共线，
∴ ，即 ，
∵ ，∴ ，
∵ , , ，
∴ ，
第 26 页设 ， ，则 ， .
∴根据余弦定理可得 ， ，
∵ ，
∴ ，解得 ，
∴ 的长度为 .
当 时， ， 重合，此时 的长度为 ，
当 时， ， 重合，此时 ，不合题意，舍去.
故答案为：0或 .
【点睛】
本题考查了平面向量知识的应用、余弦定理的应用以及求解运算能力，解答本题的关键是设出 ．
44．16
【解析】
【分析】
由 ，列方程化简变形可得 ，从而 ，然后利用基本不等式可得答案
【详解】
因为 ， ， ，
所以 ，
因为 ， ，所以 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 取等号，
所以 的最小值为16，
故答案为：16
45． ##－0.5
【解析】
【分析】
作图，连接连接 ， ，构造三角形中位线解题﹒
【详解】
如图，连接 ， ，
第 27 页则点E在 上，点F在 上，
易知 ，且 ，
∴ ，即 ，∴ ．
故答案为：
46．
【解析】
【分析】
设 ， ，以 为坐标原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，建立坐标系，用
坐标表示 ，即可求出 的值，进而得到答案．
【详解】
设 ， ，以 为坐标原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，建立如图所示坐
标系，则 ， ， ， ， ， ，则 ， ，
，
即 ，
则 即 ，解得 ， ，则 .
第 28 页【点睛】
本题考查了向量的线性运算，考查了向量在平面几何的应用，考查了学生的推理能力与计算能力，属于中档题．
47．（1） ， ；（2）证明见解析.
【解析】
（1）根据向量的加法，减法以及数乘运算，即可求出；
（2）以 ， 为基底，利用向量共线定理，两种方式表示出向量 ，由平面向量基本定理，解方程可求出
，而 ，根据共线定理即可证出．
【详解】
（1） ， ．
（2）因为D，G，F三点共线，则 ，，
即 ．
因为B，G，E三点共线，则 ，
即 ，
由平面向量基本定理知 ，解得 ，
所以 ，
所以A，G，C三点共线．
【点睛】
本题主要考查向量的线性运算，平面向量基本定理和向量共线定理的应用，意在考查学生的数学运算和逻辑推理
能力，属于基础题．
48．(1)1
(2)2
(3)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）先求 ，进而求 ；（2）列出方程组，求出 ，进而求出 ；（3）求出
，从而得到 ，得到结果.
(1)
， ；
(2)
第 29 页，所以 ，解得： ，所以 ；
(3)
因为 ，所以 ，所以A， ， 三点共线.
49．
【解析】
【分析】
由 ，化简为 ，得到点P是AB的一个三等分点（靠近A点），再根据A，M，Q三点共
线，设 ，然后用 分别表示向量 ，再根据 求解.
【详解】
如图所示：
因为 ，
所以 ，
所以 ，
即 ，
所以点P是AB的一个三等分点（靠近A点），
又因为A，M，Q三点共线，且Q为BC的中点，
设 ，
则 ，
，
因为 ，
所以 ，
第 30 页则 ，解得 ，
所以t的值是 .
50．(1)见详解
(2)3
(3)
【解析】
【分析】
（1）根据题意，结合向量加减法运算，即可证明；
（2）根据题意，用 和 表示 ， 结合 ， ， 三点共线，即可求解；
（3）根据题意，结合（1）（2）用 和 分别表示出 和 ，进而可以表示出 ，再结合均值不
等式与二次函数的最值，即可求解.
(1)
证明：因 ，所以 ，又因 为 的中点，所以 ，所以
.
(2)
因 ， ， ， ，所以 ， ，又因 ，所以
，又因 ， ， 三点共线，所以 ，即 .
(3)
设 ， ， ， ，由（1）（2）可知 ， ，即 .
因 ， ，
所以
，
又因 是边长为 的等边三角形，
所以 ，
令 ，因 ，即 ，当且仅当 时，等号成立，所以 .
第 31 页因此 ，
又因 ，所以 ，所以 .
51．证明见解析
【解析】
由共线定理得存在实数m，n，使得 ，然后分析 的关系得证．
【详解】
证明：∵ 是非零向量， 且 ，，∴存在实数m，n，使得 .
若 ，则 ，显然有 ；若 ，则 .
【点睛】
本题考查平面向量共线定理，说明非零向量共线具有传递性．
第 32 页第 33 页
