文档内容
微专题：函数奇偶性的应用
【考点梳理】
1. 函数的奇偶性
偶函数 奇函数
定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，
且 f ( － x ) ＝－ f ( x ) ，那么函数f(x)就叫做奇函
且 f ( － x ) ＝ f ( x ) ，那么函数f(x)就叫做偶函数
数
图象
关于 y 轴 对称 关于原点对称
特点
2. 函数奇偶性的几个常用结论
(1)具有奇偶性函数的定义域关于原点对称，即“定义域关于原点对称”是“一个函数具有奇偶性”的必要不
充分条件.
(2)f(x)为偶函数⇔f(x)＝f(|x|).
(3)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0.
(4)若f(x)既是奇函数，又是偶函数，则它的图象一定在x轴上.
(5)若函数f(x)为奇函数，且在[a，b]上为增(减)函数，则f(x)在[－b，－a]上为增(减)函数；若函数f(x)为偶函数，
且在[a，b]上为增(减)函数，则f(x)在[－b，－a]上为减(增)函数.
(6)奇、偶函数的“运算”(共同定义域上)：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇.
(7)常用的两个等价关系
①f(x＋a)为偶函数⇔f(－x＋a)＝f(x＋a)⇔f(x)的图象关于直线x＝a对称.
②f(x＋a)为奇函数⇔f(－x＋a)＝－f(x＋a)⇔f(x)的图象关于点(a，0)对称.
【题型归纳】
题型一：函数奇偶性的定义与判断
1．设函数 ，则下列函数中为偶函数的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列函数中，既是偶函数又在区间 上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列函数中，是偶函数且不存在零点的是（ ）
第 1 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B．
C． D．
题型二：由奇偶性求函数解析式
4．已知 为偶函数，当 时， ，则 （ ）
A． B．0 C．1 D．2
5．定义在R上的奇函数 ，满足当 时， ．当 时的表示式是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知函数 是奇函数，且当 时， ，那么当 时， 的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
题型三：函数奇偶性的应用
7．设函数 是定义在实数集上的奇函数，在区间 上是增函数，且 ，则有（ ）
A． B．
C． D．
8．函数 的大致图象是（ ）
第 2 页
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9．已知定义在R上的函数 （m为实数）为偶函数，记a＝f（log 3），b＝f（log 5），c＝f
0．5 2
（2m），则a，b，c的大小关系为（ ）
A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜b＜c．
题型四：由奇偶性求参数
10．已知命题 的展开式中的常数项为7，命题 ：若函数 是奇函数，则 ，下
列命题中为真命题的是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知奇函数 的最小正周期为 ，将 的图象向右平移 个单位得到函
数 的图象，则函数 的图象（ ）
A．关于点 对称 B．关于点 对称
C．关于直线 对称 D．关于直线 对称
12．“函数 在 上单调递减”是“函数 为偶函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
第 3 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【双基达标】
13．设 为定义在R上的函数，函数 是奇函数.对于下列四个结论：
① ；
② ；
③函数 的图象关于原点对称；
④函数 的图象关于点 对称；
其中，正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
14．函数 在 的图像大致为
A． B． C．
D．
15．定义在 上的偶函数 满足：对任意的 ，有 ，则 、 、
的大小关系为（ ）
A． B．
第 4 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司C． D．
16．已知 是实数集上的偶函数，且在区间 上是增函数，则 ， ， 的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
17．若定义在 的奇函数f(x)在 单调递减，且f(2)=0，则满足 的x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
18．定义在 上的函数 的导函数为 ，满足： ， ，且当 时，
，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
19．已知函数 满足 ，且对任意的 ，都有 ，
则满足不等式 的 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
20．若函数 是奇函数，则a的值为（ ）
A．1 B．－1
C．±1 D．0
21．已知函数 ，则 （ ）
A．0 B．2 C．2021 D．2022
22．下列函数中，是奇函数且在 上为增函数的是（ ）
A． B． C． D．
第 5 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司23．设函数 的定义域为R， 为奇函数， 为偶函数，当 时， ．若
，则 （ ）
A． B． C． D．
24．已知 是定义在 上的奇函数，当 时， ，若关于 的方程
恰有4个不相等的实数根，则这4个实数根之和为（ ）
A． B．4 C．8 D． 或8
25．已知定义在 上的函数 ，其导函数为 ，若 ，且当 时， ，
则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
26．已知 为偶函数，当 时， ，则曲线 在点 处的切线斜率是（ ）
A．1 B．2 C． D．
27．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）
A． B．
C． D． ，且
28．已知函数 ，则满足 的 取值范围是（ ）
A． B． C． D．
29．设函数 ,则 （ ）
第 6 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减
C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减
30．已知函数 为 上的偶函数，对任意 ， ，均有 成立，若
，则 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【高分突破】
一、单选题
31．函数 对任意 ，都有 的图形关于 对称，且 则
（ ）
A．-1 B．1 C．0 D．2
32．设函数 ，若 的导函数 是偶函数，则 可以是（ ）
A． B． C． D．
33．设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)= ，则当x<0时，f(x)=
A． B．
C． D．
34．函数 为奇函数， 为偶函数，在公共定义域内，下列结论一定正确的是（ ）
A． 为奇函数 B． 为偶函数
C． 为奇函数 D． 为偶函数
35．若 是定义在 上的函数，则“ 是奇函数”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
36．设函数 ，则下列函数中为奇函数的是（ ）
第 7 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B． C． D．
37．函数 的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
38．已知函数 的定义域都是R，且 是奇函数， 是偶函数，则（ ）
A． 是奇函数 B． 是奇函数
C． 是偶函数 D． 是偶函数
39．下列函数既是偶函数，在 上又是增函数的是（ ）
A． B． C． D．
40．下列函数中是偶函数，且在 为增函数的是（ ）
A． B．
C． D．
41．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世
界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设 ，用 表示不超过 的最大整数，则 称为高斯函
数，例如： ， ．已知函数 ，则关于函数 的叙述中正确的是（ ）
第 8 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． 是偶函数 B． 是奇函数
C． 在 上是增函数 D． 的值域是
三、填空题
42．函数 是定义在 上的奇函数，并且满足 ，当 时， ，则
__________.
43．已知函数 是偶函数，且当 时， ，则当 时，该函数的解析式为 __________
44．能说明“若 为偶函数，则 为奇函数”为假命题的一个函数是__________.
45．已知奇函数 的导函数为 ， ，若 ，则实数 的取值范围为
______.
46．函数 是偶函数，则实数 __________．
47．已知定义域为 的函数 是奇函数，则函数 的值域为___________．
四、解答题
48．已知函数 ，且 ．
（1）求m；
（2）判断并证明 的奇偶性；
（3）判断函数 在 ，上是单调递增还是单调递减？并证明．
49．若函数 为偶函数，当 时， ．
（1）求函数 的表达式，画出函数 的图象；
（2）若函数 在区间 上单调递减，求实数 的取值范围．
50．已知函数 ，（ ， ）.
(1)若 为奇函数，求 的值和此时不等式 的解集；
第 9 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(2)若不等式 对 恒成立，求 的取值范围.
51．设 ，已知函数 .
（1）若 是奇函数，求 的值；
（2）当 时，证明： ；
（3）设 ，若实数 满足 ，证明： .
52．已知函数 是图象经过点 的幂函数，函数 是定义域为 的奇函数，且当 时，
.
（Ⅰ）求函数 的解析式；
（Ⅱ）求当 时函数 的解析式，并在给定的坐标系中画出 （ ）的图象
（Ⅲ）写出函数 （ ）的单调区间.
第 10 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案
1．A
【解析】
【分析】
根据偶函数的定义即可判断.
【详解】
，则 ，因为 是偶函数，故 为偶函数.
故选：A
2．D
【解析】
【分析】
根据基本初等函数的奇偶性、单调性判断即可.
【详解】
解：对于A： 为非奇非偶函数，故A错误；
对于B： 为偶函数，且在 上单调递减，故B错误；
对于C： 定义域为 ，故函数为非奇非偶函数，故C错误；
对于D： 定义域为 ，且 ，
故 为偶函数，又 ，所以 在 上单调递增，故D正确；
故选：D
3．D
【解析】
【分析】
结合基本函数的函数的性质和零点的概念，逐项判定，即可求解.
【详解】
对于A中，函数 的对称轴为 轴，故 是偶函数，
令 得 ，所以 的零点为 ．不符合题意；
对于B中，函数 的定义域为 ，不关于原点对称，
故 不是偶函数，不符合题意；
对于C中，函数 的定义域为 ，不关于原点对称，
故 不是偶函数，不符合题意．
对于D中，函数 ，可得 ，所以函数为偶函数，
令 ，此时方程无解，所以函数 无零点，不符合题意.
第 11 页故选：D.
4．A
【解析】
【分析】
根据 为偶函数， 求出当 时， ，再求出导函数，代入 即可得解.
【详解】
当 时， ，则 ，此时 ，
所以 ．
故选：A
5．C
【解析】
【分析】
根据当 时奇函数 满足 ，结合奇函数在R上满足 求解即可
【详解】
因为 是定义在R上的奇函数，故 ，又当 时， ，故
，故
故选：C
6．B
【解析】
【分析】
根据奇函数的性质计算可得；
【详解】
解：当 时，则 ，所以 ，
又因为函数 是奇函数，所以 ，
所以当 时 ．
故选：B
7．A
【解析】
【分析】
由奇偶性和单调性求解即可
【详解】
为奇函数，
∴ ，
又∵
第 12 页∴ ， ， ，
又∵ ，且函数在区间 上是增函数，
∴ ，
∴ ， ，
故选：A.
8．D
【解析】
【分析】
利用奇偶性可排除BC；利用 时， 可排除A.
【详解】
定义域为 ，又 ，
为定义域上的偶函数，图象关于 轴对称，可排除BC；
当 时， ， ， ，可排除A.
故选：D.
9．B
【解析】
【分析】
先求出m＝0，进而判断出 的图像过原点，且关于y轴对称，在（－∞，0）上单调递减，在（0，＋∞）上单
调递增．由0＜log 3＜log 5，即可得到c＜a＜b．
2 2
【详解】
由函数 为偶函数，
所以 ，即 ，解得m＝0，
即f（x）＝2|x|－1，其图像过原点，且关于y轴对称，在（－∞，0）上单调递减，在（0，＋∞）上单调递增．
又a＝f（log 3）＝f（－log 3）＝f（log 3），b＝f（log 5），
0．5 2 2 2
c＝f（0），且0＜log 3＜log 5，所以c＜a＜b．
2 2
故选：B
10．B
【解析】
【分析】
先判断 的真假，再利用复合命题的真值表判断即可
【详解】
的展开式中的常数项为 ，
第 13 页故命题 为真命题，进而 为假命题；
若函数 为奇函数，则 ，则 ，即 ，
故命题 为假命题， 为真命题．
所以 为假命题， 为真命题， 为假命题， 为假命题，
故选：B．
11．A
【解析】
【分析】
先由奇函数及周期求得 ，再由平移求得 ，再利用正弦函数的对称性求解即可.
【详解】
因为 是奇函数，则 ，又 ，则 ，又因为最小正周期 ， ，则
，
则 ，则 ，令 ，
解得 ，当 时， ， 时， ， 时， ，即函数 关于点
对称，A正确，B错误；
令 ，解得 ，当 时， ， 时， ，C错误，D错误.
故选：A.
12．B
【解析】
【分析】
求出两个条件中参数 的取值范围，利用集合的包含关系判断可得出结论.
【详解】
若函数 在 上单调递减，则 ，
若函数 为偶函数，则 ，解得 ，
因为 ，
因此，函数 在 上单调递减”是“函数 为偶函数”的必要不充分条件.
故选：B.
13．C
【解析】
第 14 页令 ，①：根据 求解出 的值并判断；②：根据 为奇函数可知 ，化简
此式并进行判断；根据 与 的图象关系确定出 关于点对称的情况，由此判断出③④是否正
确.
【详解】
令 ，
①因为 为 上的奇函数，所以 ，所以 ，故正确；
②因为 为 上的奇函数，所以 ，所以 ，即 ，故正确；
因为 的图象由 的图象向左平移一个单位得到的，
又 的图象关于原点对称，所以 的图象关于点 对称，故③错误④正确，
所以正确的有：①②④，
故选：C.
【点睛】
结论点睛：通过奇偶性判断函数对称性的常见情况：
（1）若 为偶函数，则函数 的图象关于直线 对称；
（2）若 为奇函数，则函数 的图象关于点 成中心对称.
14．B
【解析】
【分析】
由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由 的近似值即可得出结果．
【详解】
设 ，则 ，所以 是奇函数，图象关于原点成中心对称，排
除选项C．又 排除选项D； ，排除选项A，故选B．
【点睛】
本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择．本题较易，注重了基础知识、
基本计算能力的考查．
15．D
【解析】
【分析】
由已知条件得出单调性，再由偶函数把自变量转化到同一单调区间上，由单调性得结论．
【详解】
因为对任意的 ，有 ，
所以当 时， ，所以 在 上是减函数，
又 是偶函数，所以 ， ，
第 15 页因为 ，所以 ，即 ．
故选：D．
【点睛】
本题考查函数的单调性与奇偶性，解题方法是利用奇偶性化自变量为同一单调区间，利用单调性比较大小．
16．D
【解析】
【分析】
结合 的奇偶性和单调性比较出三者的大小关系.
【详解】
因为 是实数集上的偶函数，所以 ， ，
又因为在区间 上是增函数，并且 ，所以 ，
所以 ，所以D选项的正确的．
故选：D
【点睛】
本小题主要考查函数的奇偶性和单调性，属于基础题.
17．D
【解析】
【分析】
首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化
为对应自变量不等式，最后求并集得结果.
【详解】
因为定义在 上的奇函数 在 上单调递减，且 ，
所以 在 上也是单调递减，且 ， ，
所以当 时， ，当 时， ，
所以由 可得：
或 或
解得 或 ，
所以满足 的 的取值范围是 ，
故选：D.
【点睛】
本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.
18．A
【解析】
【分析】
由给定的不等式构造函数 对 求导，根据已知条件可判断 非得单调性，将所求解不等式转化
为 有关的不等式，利用单调性脱去 即可求解.
第 16 页【详解】
令 ，则 可得
所以 是 上的奇函数，
，
当 时， ，所以 ，
是 上单调递增，
所以 是 上单调递增，
因为 ，
由 可得 即 ，
由 是 上单调递增，可得 解得： ，
所以不等式 的解集为 ，
故选：A.
【点睛】
关键点点睛：本题解题的关键点是：构造函数 ，根据已知条件判断 的奇偶性和单调性，利用单
调性解不等式 .
19．A
【解析】
【分析】
可化为 ，构造函数 ，再结合奇偶性可知该函数在R上
单调递增，又将所求不等式变形，即可由单调性解该抽象不等式.
【详解】
根据题意可知，
可转化为 ，
所以 在[0，+∞)上是增函数，又 ，
所以 为奇函数，所以 在R上为增函数，
因为 ， ，
所以 ，
第 17 页所以 ，
解得 ，
即x的取值范围是 .
故选：A.
【关键点点睛】
本题的关键是将不等式 化为 ，从而构造函数 ，再根据
奇偶性和单调性解抽象不等式.
20．C
【解析】
【分析】
根据函数奇函数的概念可得 ，进而结合对数的运算即可求出结果.
【详解】
因为 是奇函数，所以f(－x)＋f(x)＝0．即 恒成立，所以
，即 恒成立，所以 ，即 ．
当 时， ，定义域为 ，且 ，故符合题意；
当 时， ，定义域为 ，且 ，故符合题意；
故选：C.
21．B
【解析】
【分析】
求 可得 为偶函数，可得 ，计算 可得定值，即可求解.
【详解】
因为 ，
，
即 ，所以 是偶函数，所以 ，
第 18 页又因为
，
所以 ，
故选：B.
22．A
【解析】
【分析】
利用函数奇偶性的定义和单调性的定义逐个分析判断即可
【详解】
对于A，定义域为 ，因为 ，所以函数是奇函数，任取 ，且 ，
则 ，因为 ，且 ，所以 ，即 ，所以
在 上为增函数，所以A正确，
对于B，因为定义域为 ，所以函数 为非奇非偶函数，所以B错误，
对于C，因为定义域为 ，因为 ，所以 为偶函数，所以C错误，
对于D，因为定义域为 ，因为 ，所以函数 为非奇非偶函数，所以D
错误，
故选：A
23．D
【解析】
【分析】
通过 是奇函数和 是偶函数条件，可以确定出函数解析式 ，进而利用定义或周期性
结论，即可得到答案．
【详解】
因为 是奇函数，所以 ①；
因为 是偶函数，所以 ②．
令 ，由①得： ，由②得： ，
因为 ，所以 ，
令 ，由①得： ，所以 ．
思路一：从定义入手．
第 19 页所以 ．
思路二：从周期性入手
由两个对称性可知，函数 的周期 ．
所以 ．
故选：D．
【点睛】
在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果．
24．D
【解析】
【分析】
根据函数的解析式作出函数在 时图象，换元 解方程可得 或 ，利用图象求出交点对应横坐标，
注意利用函数为奇函数图象关于原点对称，分 与 两种情况讨论，数形结合即可求解.
【详解】
作出函数在 时的图象，如图所示，
设 ，
则关于 的方程 的方程等价于
解得： 或 ，
如图，
第 20 页当t=1时，即 对应一个交点为 ，方程恰有4个不同的根，可分为两种情况:
（1） ，即 对应3个交点，且 ，
此时4个实数根之和为8；
（2） ，即 对应3个交点，且 ，
此时4个实数根之和为 .
故选：D
【点睛】
解决此类问题的关键有两点，第一换元后对方程等价转化求解 或 ，
第二结合函数图象处理方程 有四个根，即要转化为数形结合，看图象交点的个数及横坐标即可求解.
25．C
【解析】
【分析】
令 ，可根据已知等式验证出 为偶函数，同时根据导数得到 的单调性；将所求不等式
转化为 ，根据单调性可得到 ，解不等式求得结果.
【详解】
令 ，则 ，
， ， ，
为定义在 上的偶函数；
当 时， ， 在 上单调递减，
又 为偶函数， 在 上单调递增.
由 得：
，即 ，
，解得： ，即不等式的解集为 .
故选： .
【点睛】
本题考查利用函数的奇偶性和单调性求解函数不等式的问题，涉及到构造函数、利用导数确定函数的单调性等知
识；解题关键是能够通过构造函数的方式将不等式转化为函数值的比较，再根据单调性转化为自变量之间的大小
关系.
26．B
【解析】
【分析】
第 21 页利用偶函数求 的解析式再求导，根据导数的几何意义即可求 处的切线斜率.
【详解】
设 ，则 ， ，又 为偶函数，
∴ ，则对应导函数为 ，
∴ ，即所求的切线斜率为2.
故选：B
27．B
【解析】
【分析】
根据指对幂函数的单调性与奇偶性依次讨论个选项即可得答案.
【详解】
解：对于A选项， ，为偶函数，故错误；
对于B选项， ，为奇函数，且函数 均为减函数，故
为减函数，故正确；
对于C选项，指数函数没有奇偶性，故错误；
对于D选项，函数为奇函数，在定义域上没有单调性，故错误.
故选：B
28．A
【解析】
【分析】
由题意可得 是偶函数，且在区间 上单调递增，则不等式 等价为 ，即
，从而得到答案.
【详解】
由 ，知 是偶函数，
不等式 等价为 ，
当 时， ， 在区间 上单调递增，
解得： .
故选：A.
【点睛】
本题考查根据函数的奇偶性和单调性求解函数不等式的问题，关键是能够利用单调性将不等式转化为自变量大小
关系，从而解出不等式，属于中档题.
29．A
【解析】
【分析】
第 22 页根据函数的解析式可知函数的定义域为 ，利用定义可得出函数 为奇函数，
再根据函数的单调性法则，即可解出．
【详解】
因为函数 定义域为 ，其关于原点对称，而 ，
所以函数 为奇函数．
又因为函数 在 上单调递增，在 上单调递增，
而 在 上单调递减，在 上单调递减，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递增．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查利用函数的解析式研究函数的性质，属于基础题．
30．D
【解析】
【分析】
根据条件判断函数的单调性，然后利用单调性进行比较即可．
【详解】
解： 对任意 ， ，均有 成立，
此时函数在区间 为减函数，
是偶函数，
当 时， 为增函数，
， ， ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
即 .
故选：D．
31．B
【解析】
【分析】
根据题意得到函数周期为12，函数为奇函数，据此得到 ，计算得到答案.
【详解】
第 23 页函数周期为 ， ，
的图形关于 对称，故 关于 对称， .
故 .
故选：B.
32．A
【解析】
求出导函数，根据偶函数的性质得到 ， ， ,当 时， .
【详解】
因为 ，
所以 ，
因为 为偶函数，所以 对任意实数 恒成立，
所以 对任意实数 恒成立，
所以 对任意实数 恒成立，
所以 对任意实数 恒成立，
所以 对任意实数 恒成立，
所以 ，所以 ， .
当 时， .
故选：A
【点睛】
本题考查了导数的计算，考查了函数的奇偶性，考查了两角和与差的余弦公式，属于中档题.
33．D
【解析】
【分析】
先把x<0，转化为-x>0,代入可得 ，结合奇偶性可得 .
【详解】
是奇函数， 时， ．
当 时， ， ，得 ．故选D．
【点睛】
本题考查分段函数的奇偶性和解析式，渗透了数学抽象和数学运算素养．采取代换法，利用转化与化归的思想解
题．
34．C
【解析】
【分析】
依次构造函数，结合函数的奇偶性的定义判断求解即可.
第 24 页【详解】
令 ，则 ,且 ，
既不是奇函数，也不是偶函数，故A、B错误；
令 ，则 ,且 ，
是奇函数，不是偶函数，故C正确、D错误；
故选：C
35．B
【解析】
当 是奇函数时，设 ，可得 不成立，反之取 ，可得 ，令
，可得 ，即得到答案.
【详解】
当 是奇函数时，设
若取 ，则 ，
，显然此时 .
所以当 是奇函数不能得到 成立.
若 成立时，取 ，可得
即得到 .
令 ，则有 ，即
所以此时 是奇函数.
所以“ 是奇函数”是“ ”的必要不充分条件.
故选：B
【点睛】
本题考查必要不充分条件的判断和函数奇偶性的判断以及应用，属于基础题题.
36．B
【解析】
【分析】
分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可.
【详解】
由题意可得 ，
对于A， 不是奇函数；
第 25 页对于B， 是奇函数；
对于C， ，定义域不关于原点对称，不是奇函数；
对于D， ，定义域不关于原点对称，不是奇函数.
故选：B
【点睛】
本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题.
37．C
【解析】
【分析】
先求解 的定义域并判断奇偶性，然后根据 的值以及 在 上的单调性选择合适图象.
【详解】
定义域为 ， ，
则 ， 为奇函数，图象关于原点对称，故排除B；
，故排除A；
∵ ，当 时，可得 ，当 时， ， 单调递增，故排除D.
故选：C.
38．AD
【解析】
【分析】
由奇偶性的定义逐一证明即可.
【详解】
对于A， ， ，即 是奇函数，故A正确；
对于B， ， ，即 是偶函数，故B错误；
对于C， ， ，即 是奇函数，故C错误；
对于D， ， ，即 是偶函数，
故D正确；
故选：AD
【点睛】
关键点睛：解决本题的关键在于利用定义证明奇偶性.
39．AC
【解析】
【分析】
第 26 页根据偶函数的定义和增函数的性质，逐个分析判断即可得解.
【详解】
对A， 开口向上，且对称轴为 ，所以 是偶函数，
在 上是增函数，故A正确；
对B， 为奇函数，故B错误；
对C， 为偶函数，当 时， 为增函数，故C正确；
对D，令 ， 为偶函数，
当 ， 为减函数，故D错误，
故选：AC
40．ACD
【解析】
【分析】
根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．
【详解】
解：根据题意，依次分析选项：
对于 ， ，偶函数，且在 为增函数，符合题意；
对于 ， ，不是偶函数，不符合题意；
对于 ， ，是偶函数，在 上为增函数，故在 为增函数，符合题意；
对于 ， ，是偶函数，且在 为增函数，符合题意；
第 27 页故选： ．
41．BC
【解析】
计算 得出 判断选项A不正确；用函数的奇偶性定义，可证 是奇函数，选
项B正确；通过分离常数结合复合函数的单调性，可得出 在R上是增函数，判断选项C正确；由 的范围，
利用不等式的关系，可求出 ，选项D不正确，即可求得结果.
【详解】
根据题意知， .
∵ ，
，
，
∴函数 既不是奇函数也不是偶函数，A错误；
，
∴ 是奇函数，B正确；
在R上是增函数，由复合函数的单调性知 在R上是增函数，C正确；
， ， ，
， ，D错误.
故选：BC.
【点睛】
关键点睛：本题是一道以数学文化为背景，判断函数性质的习题，属于中档题型，本题的关键是理解函数
第 28 页，然后才会对函数 变形，并作出判断.
42．
【解析】
【分析】
根据已知条件，可求函数 的周期性，对称性，以及 的值，利用函数函数 的周期性，奇偶性进行
计算即可.
【详解】
解：因为 ，故 ，则函数 的周期是2，
又函数 是定义在 上的奇函数，则 ；
则 ， ，
当 时， ，则 ，
则 .
故答案为： .
43．
【解析】
【分析】
设 ,则 ,当 时, 于是可求得 ,再利用偶函数 的性质,即可求得 函
数的解析式.
【详解】
设 ,则
根据偶函数
故答案为: .
【点睛】
已知函数的奇偶性求解析式,将待求区间上的自变量,转化到已知区间上,再利用奇偶性求出 的解析式.
44． (答案不唯一)
【解析】
根据题中条件，只需任意写出满足题意的函数即可.
【详解】
若 ，则 是偶函数，
第 29 页但 ，所以 不是奇函数；能满足“若 为偶函数，则 为奇函数”为假命题.
故答案为： .
【点睛】
本题主要考查命题真假的判定，涉及导数的计算，以及函数奇偶性的判定，属于基础题型.
45．
【解析】
【分析】
求导可得 在 上单调递增，结合 是奇函数，可转化
为 ，借助单调性和定义域，列出不等式组，即得解
【详解】
因为 时， ，所以 在 上单调递增.
又 是奇函数，由 ，
得 ，
所以 ，解得 ，
所以实数 的取值范围为 .
故答案为：
46．1
【解析】
【分析】
由已知奇偶性可得 ，结合已知解析式可求出 ，即可求出 .
【详解】
因为 ，且 是偶函数，则 ，
，
即 ，所以实数 ．
故答案为: 1.
47．
【解析】
【分析】
根据 ，求得 的值，即可求出 的表达式进而可以求 的值域。
【详解】
第 30 页因为函数 是奇函数，所以 ，
所以
因为 ，所以 ，所以
故答案为：
【点睛】
此题考查奇函数性质 ，分式函数值域问题，属于简单题目。
48．（1） ；（2）奇函数，证明见解析；（3）单调递增函数，证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据题意，将 代入函数解析式，求解即可；
（2）利用奇函数的定义判断并证明即可；
（3）利用函数单调性的定义判断并证明即可．
【详解】
（1）根据题意，函数 ，且 ，
则 ，解得 ；
（2）由（1）可知 ，其定义域为 ，关于原点对称，
又由 ，
所以 是奇函数；
（3） 在 上是单调递增函数．
证明如下：
设 ，则 ，
因为 ，
所以 ， ，则 ，即 ，
所以 在 上是单调递增函数．
49．（1） ；作图见解析；（2） ．
【解析】
【分析】
（1）根据题意，利用函数的奇偶性求出函数的解析式，作出函数的图象即可，
（2）结合函数的图象可得关于 的不等式，解可得 的取值范围，即可得答案．
第 31 页【详解】
解：（1）当 时， ， ．
由 是偶函数，得 ．
所以 ．
函数 的图象，如图．
（2）由图象可知，函数 的单调递减区间是 和 ．
要使 在 上单调递减，
则 ，解得 ，
所以实数a的取值范围是 ．
50．(1) ，不等式解集为 ；
(2) .
【解析】
【分析】
（1）由奇函数定义可得 ，由此可得 ，由此可将不等式化为 ，解不等式得 ，
由指数函数单调性可得 的范围；
（2）令 ，将恒成立的不等式转化为 ，由 的范围和二次函数性质可求得 的最小值，
由此可得 的范围.
(1)
为奇函数， 对 恒成立，
即 对 恒成立， .
此时 ，即 ，
第 32 页或 （舍），解得： ， 不等式的解集为 .
(2)
由 得： ，即 ，
当 时，令 ，原问题等价 对 恒成立，
即 对 恒成立，
令 ， ，
在 上单调递增，在 上单调递减， ， ，
即 的取值范围为 .
51．（1） ；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【解析】
（1）由于函数的定义域为 ，进而结合奇函数 即可得 ；
（2）采用作差比较大小，整理化简得 ；
（3）令 ， ，进而得 ，再结合题意即
可得 ，再分 和 两种情况讨论，其中当 时，结合（2）的结论得
，等号不能同时成立.
【详解】
解：（1）由题意，对任意 ，都有 ，
即 ，亦即 ，因此 ；
（2）证明：因为 ， ，
.
所以， .
第 33 页（3）设 ，则 ，
当 时， ；
当 时， ；
， ，
所以 .
由 得 ，即 .
①当 时， ， ，所以 ；
②当 时，由（2）知，
，等号不能同时成立.
综上可知 .
【点睛】
本题第二问解题的关键在于作差法比较大小，第三问在于换元法求得函数的值域 ，
进而结合题意得 ，再结合第二问的结论分类讨论求解.考查换元思想和运算求解能力，是难题.
52．（1） ；（2）当 时， ； 在 上的图象见解析；（3） 的单调递
增区间为 和 ，递减区间为
【解析】
【分析】
（1）设出幂函数的解析式，把点代入即可求出函数解析式；
（2）利用奇函数的性质可以直接写出当 时， 的解析式，并画出图像；
（3）利用 的图象写出单调区间即可
【详解】
（1）设 ，
则
（2） ，
当 时
设 则 ，
是 上的奇函数
第 34 页即当 时，
图象如下图所示：
（3）由 在 上的图象可知：
的单调递增区间为 和 ，递减区间为
第 35 页第 36 页
