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微专题：数列的单调性与最值
【考点梳理】
数列是特殊函数，研究其性质一般都离不开函数与方程思想的应用. 解决数列单调性的方法主要有：作差比
较、作商比较及结合相应函数直观判断，求最大项可通过列不等式组求.
数列最值：若则a 最大；若则a 最小.
n n
【题型归纳】
题型一：判断数列的增减性
1．已知等比数列 的前 项和为 ，且 ，则“数列 递增”是“数列 递增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．下列命题中，正确的是（ ）
A．若等比数列 的公比 ，则 为递增数列 ；
B．若等比数列 的公比 ， 为递减数列 ；
C．常数列既是等差数列又是等比数列；
D．若 是等差数列，则 是等比数列.
3．已知 是等比数列，则“ ”是“ 为递减数列”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
题型二：确定数列中的最大（小）项
4．已知数列 的通项公式为 ，则数列 的前n项和 最小时n的值是（ ）
A．4或5 B．4 C．5 D．5或6
5．已知无穷等比数列 中 ， ，它的前n项和为 ，则下列命题正确的是（ ）
A．数列 是递增数列 B．数列 是递减数列
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司C．数列 存在最小项 D．数列 存在最大项
6．数列 的前 项的和 满足 ，则下列选项中正确的是（ ）
A．数列 是常数列
B．若 ，则 是递增数列
C．若 ，则
D．若 ，则 的最小项的值为
题型三：根据数列的单调性求参数
7．设数列 的通项公式为 ，若数列 是单调递增数列， 则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．数列{ }的通项公式为 ．若{ }为递增数列，则 的取值范围是（ ）
A．[1，＋∞） B． C．（－∞，1] D．
9．数列{an}满足a＝1， ，若 ，b＝－λ，且数列{bn}满足bn
1 1 ＋1
＞bn（n∈N*），则实数λ的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【双基达标】
10．等比数列 的公比为q，前n项和为 ，设甲： ，乙： 是递增数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
11．已知等差数列 为递增数列，若 ， ，则数列 的公差 等于（ ）
A．1 B．2 C．9 D．10
12．在等差数列 中， ， ．记 ，则数列 （ ）．
A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项
13．已知数列 是首项为 ，公差为1的等差数列，数列 满足 ．若对任意的 ，都有 成
立，则实数 的取值范围是（ ）
A． ， B． C． ， D．
14．已知数列 的通项公式为 ，则数列 各项中最大项是（ ）
A．第13项 B．第14项 C．第15项 D．第16项
15．已知数列 的前 项和 满足 ，记数列 的前 项和为 ， ．则使得 成立的 的
最大值为（ ）
A．17 B．18 C．19 D．20
16．已知数列 的前 项和 ，且 ， ，则数列 的最小项为（ ）
A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项
17．已知数列 的通项公式为 ，则数列 为（ ）
A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．无法确定数列的增减性
18．已知数列 的通项公式为 ， 是数列 的最小项，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
19．已知数列{ }的通项为 ，则“ ”是“ ， ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
20．已知数列 中， ，则数列 的最小项是（ ）
A．第1项 B．第3项、第4项 C．第4项 D．第2项、第3项
21．已知数列 的前 项和为 ， ， 且 ，满足 ，数列 的前 项和为 ，
则下列说法中错误的是（ ）
A． B．
C．数列 的最大项为 D．
22．对于数列{an}，若存在正整数k(k≥2)，使得 ， ，则称 是数列{an}的“谷值”，k是数列{an}
的“谷值点”.在数列{an}中，若an＝ ，则数列{an}的“谷值点”为（ ）
A．2 B．7 C．2，7 D．2，3，7
23．数列{an}满足an ＝2an+1，a＝1，若bn＝ an﹣n2+4n为单调递增数列，则 的取值范围为（ ）
+1 1
A． B． C． D．
24．已知等差数列 的前 项和记为 ，则“ ”是“ 为单调数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
25．已知等比数列 前 项和 满足 （ ），数列 是递增的，且 ，则实数
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【高分突破】
一、单选题
26．已知数列 的前n项和 ，若 ， 恒成立，则实数 的最大值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
27．已知等比数列 的前 项积为 ，若 ， ，则当 取最大值时， 的值为（ ）
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A．10 B．8 C．6 D．4
28．已知 为等差数列 的前 项和， ， ，则下列数值中最大的是（ ）
A． B．
C． D．
29．已知数列 满足 则数列 的最大项为（ ）
A． B． C． D．
30．已知正项数列 满足 ，当 最大时， 的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
31．已知数列 满足 ，且 是递增数列，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
32．已知数列 的前 项和为 ，且 ，若 ，则数列 的最大项为（ ）
A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．第8项
33．已知曲线 在点 处的切线为l，数列 的首项为1，点 为切线l上一点，
则数列 中的最小项为（ ）
A． B． C． D．
34．已知数列 的通项公式是 ，那么这个数列是（ ）
A．摆动数列 B．递减数列 C．递增数列 D．常数列
二、多选题
35．已知等比数列 的前n项和为 ，且 ， 是 与 的等差中项，数列 满足 ，
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司数列 的前n项和为 ，则下列命题正确的是（ ）
A．数列 的通项公式
B．
C．数列 的通项公式为
D． 的取值范围是
36．下列四个选项中，不正确的是（ ）
A．数列 ， 的一个通项公式是
B．数列的图象是一群孤立的点
C．数列1， ，1， ， 与数列 ，1， ，1， 是同一数列
D．数列 ， ， 是递增数列
37．分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，分形几何具有自身相似性，从它的任何一个局部
经过放大，都可以得到一个和整体全等的图形.如下图的雪花曲线，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，
以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段，得图2，如此继续下去，得图（3）...记 为第 个图形的
边长，记 为第 个图形的周长， 为 的前 项和，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．若 为 中的不同两项，且 ，则 最小值是1 D．若 恒成立，则
的最小值为
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司38．在平面四边形ABCD中， 的面积是 面积的2倍，又数列 满足 ，当 时，恒有
，设 的前n项和为 ，则（ ）
A． 为等比数列 B． 为递减数列
C． 为等差数列 D．
三、填空题
39．高斯函数 也称为取整函数，其中 表示不超过x的最大整数，例如 ．已知数列 满足 ，
，设数列 的前n项和为 ，则 ______．
40．已知数列{an}对任意m，n∈N*都满足am n=am+an，且a=1，若命题“ n∈N*，λan≤ +12”为真，则实数λ的
+ 1
∀
最大值为____.
41．请写出一个符含下列要求的数列 的通项公式：① 为无穷数列；② 为单调递增数列；③ .
这个数列的通项公式可以是______.
42．已知 ，且数列 是递增数列，则实数 的取值范围是______．
43．已知等差数列 的各项均为正数，且数列 的前 项和为 ，则数列 的最大项为___________.（用
数字作答）
44．已知数列 满足 ， ，数列 是单调递增数列，且 ，
，则实数 的取值范围为___________.
四、解答题
45．已知数列 的前 项和 ，且 ， .
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（1）求数列 的通项公式；
（2）求数列 的最小项的值.
46．已知数列 满足： ．
（1）求 ， 的值；
（2）求数列 的通项公式；
（3）令 ，如果对任意 ，都有 ，求实数 的取值范围．
47．已知数列 的前n项和为 ， ， ， .
（1）求证：数列 是等比数列；
（2）设数列 的前n项和为 ，已知 ，若不等式 对于 恒成立，求实数m的最大
值.
48．已知数列 的通项公式为 .
（1）问0.25是不是这个数列的项？如果是，为第几项；如果不是，请说明理由
（2）计算 ，并判断其符号；
（3）求此数列的最小项，该数列是否存在最大项？
49．已知数列 各项都不为 ， 且满足 ，
(1)求 的通项公式；
(2)若 ， 的前n项和为 ，求 取得最小值时的n的值．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案
1．A
【解析】
【分析】
从“数列 递增”和“数列 递增”两方面作为条件分别证明结论是否成立即可.
【详解】
因为 ，且数列 递增，所以 ，因此 ，所以数列 递增，所以“数列 递增”是
“数列 递增”的充分条件；
若数列 递增，则 ，所以 ，又 ，所以 对 成立，即 ，则 ，
但是 的符号不确定，所以数列 不一定递增，所以“数列 递增”是“数列 递增”的
不必要条件；
因此“数列 递增”是“数列 递增”的充分不必要条件.
故选：A
2．D
【解析】
【分析】
对A,B,C举反例判断即可，对D，设 ， ，再根据等比数列的定义判断即可
【详解】
对A，等比数列 的首项 公比 ，则 为递减数列 ，故A错误；
对B，等比数列 的首项 公比 ，则 为递增数列 ，故B错误；
对C，若常数列 满足 ， 则 不是等比数列，故C错误；
对D，设 ， ，则 ，又 为常数且不为0，故 是等比数
列，故D正确；
故选：D
3．A
【解析】
【分析】
由 求出公比的取值范围，然后结合等比数列的通项即可判断数列的单调性，举出反例说明 为递减数
列不一定能得到 ，再根据充分条件和必要条件即可得出答案.
【详解】
解：设数列 的公比为 ，
若 ，
则 ，所以 ，
第 9 页则 ，
，所以 ，
所以 为递减数列；
若 为递减数列，
当 时， ，数列为递减数列，
此时 ，
所以由 为递减数列不一定能得到 ，
所以“ ”是“ 为递减数列”的充分而不必要条件.
故选：A.
4．A
【解析】
【分析】
令 ，求出 ，再根据数列的符号即可得出答案.
【详解】
解：令 ，则 ，
又 ，
所以数列 的前n项和 最小时n的值是4或5.
故选：A.
5．C
【解析】
【分析】
对AB，举公比为负数的反例判断即可
对CD，设等比数列 公比为 ，分 和 两种情况讨论，再得出结论即可
【详解】
对AB，当公比为 时， 此时 ，此时 既不是递增也不是递减数列；
对CD，设等比数列 公比为 ，当 时，因为 ，故 ，故 ，此时
，易得 随 的增大而增大，故 存在最小项 ，不存在最大项；
当 时，因为 ，故 ，故 ， ，因为 ，故当 为偶数时，
，随着 的增大而增大，此时 无最大值，当 时有最小值 ；
第 10 页当 为奇数时， ，随着 的增大而减小，故 无最小值，有最大值 .综上，
当 时，因为 ，故当 时有最小值 ，当 时有最大值
综上所述，数列 存在最小项，不一定有最大项，故C正确；D错误
故选：C
6．D
【解析】
【分析】
由题设可得 且 ( )，进而可知 时 偶数项、奇数项的值分别相等，再结合各项的
描述判断正误.
【详解】
当 时， ，
当 时， ，则 ，
而 不一定成立，故 不一定是常数列，A错误；
由 ，显然 且 ，即 不单调，B错误；
若 ，则 ， ，故 ， 偶数项为3，奇数项为 ，
而 ，C错误；
若 ，则 ， ，故 ， 偶数项为 ，奇数项为2，故 的最小项的值为 ，D正确.
故选：D
7．C
【解析】
【分析】
由数列 是单调递增数列，可得 ，从而有 恒成立，由 ，可求得 的取值范围.
【详解】
解：由题意得：
由数列 是单调递增数列，所以 ，
即 ，即 （ ）恒成立，
又因为数列 是单调递减数列
所以当 时， 取得最大值 ，所以 .
故选：C.
8．D
【解析】
【分析】
由题意可得 对于 都成立，化简求解即可求出 的取值范围
第 11 页【详解】
因为数列{ }的通项公式为 ，且{ }为递增数列，
所以 对于 都成立，
所以 对于 都成立，
即 ，
所以 对于 都成立，
所以 对于 都成立，
所以 ，
即 的取值范围是 ，
故选：D
9．C
【解析】
【分析】
由数列递推式 得到 是首项为2，公比为2的等比数列，求出其通项公式后代入
，当 时， ，且 求得实数 的取值范围.
【详解】
解：由 得， ，则 ，
由 ，得 ，
∴数列 是首项为2，公比为2的等比数列，
∴ ，
由 ，得 ，
因为数列 满足 ，
，即 ，
所以 ，
又∵ ， ，
由 ，得 ，得 ，
第 12 页综上：实数 的取值范围是 .
故选：C.
10．B
【解析】
【分析】
当 时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当 是递增数列时，必有 成立即可说明 成立，则
甲是乙的必要条件，即可选出答案．
【详解】
由题，当数列为 时，满足 ，
但是 不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．
若 是递增数列，则必有 成立，若 不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则 成立，所
以甲是乙的必要条件．
故选：B．
【点睛】
在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程．
11．A
【解析】
【分析】
根据给定条件结合等差数列性质计算出 ，进而求出 与 即可得解.
【详解】
在等差数列 中，依题意， ，
解得 ，而 ，且 为递增数列，即 ，则 ， ，
所以数列 的公差 .
故选：A
12．B
【解析】
【分析】
首先求得数列的通项公式，然后结合数列中各个项数的符号和大小即可确定数列中是否存在最大项和最小项.
【详解】
由题意可知，等差数列的公差 ，
则其通项公式为： ，
注意到 ，
且由 可知 ，
第 13 页由 可知数列 不存在最小项，
由于 ，
故数列 中的正项只有有限项： ， .
故数列 中存在最大项，且最大项为 .
故选：B.
【点睛】
本题主要考查等差数列的通项公式，等差数列中项的符号问题，分类讨论的数学思想等知识，属于中等题.
13．D
【解析】
【分析】
由等差数列通项公式得 ，再结合题意得数列 单调递增，且满足 ， ，即
，再解不等式即可得答案.
【详解】
解：根据题意：数列 是首项为 ，公差为1的等差数列，
所以 ，
由于数列 满足 ，
所以 对任意的 都成立，
故数列 单调递增，且满足 ， ，
所以 ，
解得 ．
故选： ．
14．C
【解析】
【分析】
由给定条件知数列 首项不是最大项，利用数列最大项比它前一项和后一项都不小的特点列式即可作答.
【详解】
依题意得 ，设数列 的最大项为 ，于是有 ，
从而得 ，整理得： ，解得 ，而 ，则 ，
所以数列 各项中最大项是第15项.
第 14 页故选：C
15．C
【解析】
【分析】
根据 求 通项公式，注意讨论 、 并判断是否可合并，再应用裂项法求 ，最后根据不等
式求 的最大值即可.
【详解】
当 时， ；当 时， ；而 也符合 ，
∴ ， .又 ，
∴ ，要使 ，
即 ，得 且 ，则 的最大值为19.
故选：C.
16．A
【解析】
【分析】
由 与 的关系 化简即可求出 及 ，可得 ，分析单调性即可求解.
【详解】
∵ ,
∴ ,则 ,即 ,
∴ .
易知 ,
∵ ,
当 时, ,
∴当 时, ,
当 时, ,
又 ,
∴当 时, 有最小值.
故选：A
【点睛】
第 15 页本题主要考查了数列 与 的关系，数列的单调性，属于中档题.
17．B
【解析】
【分析】
根据题意，化简 ，得到 ，即可求解.
【详解】
由题意，数列 的通项公式为 ，
可得 （ 且 ），
所以 ，即数列 为递减数列.
故选：B.
18．D
【解析】
【分析】
利用最值的含义转化为不等式恒成立问题解决即可
【详解】
解：由题意可得 ，
整理得 ，
当 时，不等式化简为 恒成立，所以 ，
当 时，不等式化简为 恒成立，所以 ，
综上， ，
所以实数 的取值范围是 ，
故选：D
19．A
【解析】
【分析】
根据 ，求得 ，对 恒成立，进而得到 ，结合充分条件、必要条件的判定方法，
即可求解.
【详解】
由题意，数列 的通项为 ，
则 ，
即 ，对 恒成立，
第 16 页当 时， 取得最小值 ，所以 ，
所以“ ”是“ ， ”的充分不必要条件.
故选：A.
20．D
【解析】
【分析】
根据题意，可知数列 的通项公式 ，根据二次函数的性质可知，当 或3时，
取得最小值，从而得出答案.
【详解】
解：由题可知， ，
由于 ，所以当 或3时， 取得最小值，
所以数列 的最小项是第2项、第3项.
故选：D.
21．D
【解析】
当 且 时，由 代入 可推导出数列 为等差数列，确定该数列的首项和公
差，可求得数列 的通项公式，由 可判断A选项的正误；利用 的表达式可判断BC选项的正误；
求出 ，可判断D选项的正误.
【详解】
当 且 时，由 ，
由 可得 ，
整理得 （ 且 ）.
则 为以2为首项，以2为公差的等差数列 ， .
A中，当 时， ，A选项正确；
B中， 为等差数列，显然有 ，B选项正确；
C中，记 ，
第 17 页，
，故 为递减数列，
，C选项正确；
D中， ， ， .
，D
选项错误.
故选：D．
【点睛】
关键点点睛：利用 与 的关系求通项，一般利用 来求解，在变形过程中要注意 是否适用，
当利用作差法求解不方便时，应利用 将递推关系转化为有关 的递推数列来求解.
22．C
【解析】
【分析】
由数列通项公式写出前n项，结合数列 “谷值点”的定义判断{an}的“谷值点”.
【详解】
由an＝ ，则 ， ， ，
当n≥7，n∈N*时恒有 > 0，
∴an＝ ＝ ，此时数列{an}递增，
综上，a
