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专题 03 二次根式的加减（六大题型）
【题型1 同类二次根式的相关概念】
【题型2 二次根式的加减】
【题型3 二次根式的混合运算】
【题型4 二次根式的化简求值】
【题型5 二次根式的实际应用】
【题型6 分母有理化】
【题型1 同类二次根式的相关概念】
1.（23-24八年级上·河南漯河·期末）下列各式中与❑√2是同类二次根式的是（ ）
√1
A．❑√20 B．❑ C．❑√24 D．❑√0.2
2
【答案】B
【分析】本题考查二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键，先将各项进
行化简，再利用同类二次根式的定义逐一判断即可．
【详解】解：A、❑√20=2❑√5，与❑√2不是同类二次根式，此项错误；
√1 ❑√2
B、❑ = ，与❑√2是同类二次根式，此项正确；
2 2
C、❑√24=2❑√6，与❑√2不是同类二次根式，此项错误；
√ 2 ❑√5
D、❑√0.2=❑ = ，与❑√2不是同类二次根式，此项错误；
10 5
故选：B．
√ 1 √ 1
2．（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）在❑√27，❑ ，❑1 中与❑√3可以合并的个数
12 2
有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【分析】本题考查的是同类二次根式的概念，掌握二次根式的性质是解题的关键．根据
二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念解答即可．
【详解】解：❑√27=❑√9×3=3❑√3，与❑√3可以合并，√ 1 √ 3 ❑√3
❑ =❑ = ，与❑√3可以合并；
12 36 6
√ 1 √3 √6 ❑√6
❑1 =❑ =❑ = ，与❑√3不可以合并；
2 2 4 2
则与❑√3可以合并的个数有2个．
故选：C．
3．（2022八年级上·四川成都·专题练习）下列二次根式能与4❑√3合并的是（ ）
A．❑√12 B．❑√18 C．❑√24 D．❑√32
【答案】A
【分析】本题考查了同类二次根式、二次根式的化简，熟练掌握二次根式的化简方法是
解题关键．先化简二次根式，再找出同类二次根式即可得．
【详解】解：A、❑√12=2❑√3，与4❑√3是同类二次根式，可以合并，则此项符合题意；
B、❑√18=3❑√2，与4❑√3不是同类二次根式，不可以合并，则此项不符合题意；
C、❑√24=2❑√6，与4❑√3不是同类二次根式，不可以合并，则此项不符合题意；
D、❑√32=4❑√2，与4❑√3不是同类二次根式，不可以合并，则此项不符合题意；
故选：A．
5．（24-25八年级上·上海·期中）若最简二次根式❑√3x−4和❑√16−x是同类二次根式，则
x= ．
【答案】5
【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，被开方数相同的两个最简二次根式叫做
同类二次根式，据此求解即可．
【详解】解：∵最简二次根式❑√3x−4和❑√16−x是同类二次根式，
∴3x−4=16−x，
∴x=5，
故答案为：5．
6．（24-25九年级上·河南南阳·期中）如果最简二次根式❑√2a−7与❑√12是同类二次根式，
那么a的值是 ．
【答案】5
【分析】本题考查了最简二次根式和同类二次根式，熟记相关概念是解题关键．根据最
简二次根式和同类二次根式的定义可得2a−7=3，解方程即可得．
【详解】解：∵ ❑√12=2❑√3，
而最简二次根式❑√2a−7与❑√12是同类二次根式，∴2a−7=3，
解得：a=5，
故答案为：5．
【题型2 二次根式的加减】
√3
7．（24-25八年级上·上海·期末）计算：2❑ −❑√24＝ ．
2
【答案】−❑√6
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题关键是熟练掌握化简二次根式为最
简二次根式．
先把二次根式化简成最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．
√3×2
【详解】解：原式=2❑ −❑√4×6
2×2
❑√6
=2× −2❑√6
2
=❑√6−2❑√6
=−❑√6
故答案为：−❑√6．
8．（24-25九年级上·吉林长春·期末）计算：2❑√32−3❑√20−4❑√200+5❑√2000．
【答案】94❑√5−32❑√2
【分析】本题主要考查二次根式的加减运算，先化简各二次根式，再合并同类二次根式
即可得．
【详解】解：2❑√32−3❑√20−4❑√200+5❑√2000
=8❑√2−6❑√5−40❑√2+100❑√5
=8❑√2−40❑√2+100❑√5−6❑√5
=94❑√5−32❑√2．
√1
9．（24-25八年级上·陕西西安·期中）计算：2❑√12−12❑ +3❑√48．
3
【答案】12❑√3
【分析】本题考查二次根式加减运算，熟练掌握二次根式化简是解题的关键．
先化简各二次根式，再合并同类二次根式即可．
【详解】解：原式=4❑√3−4❑√3+12❑√3
=12❑√3．10．（23-24七年级下·全国·单元测试）计算：
(1)4❑√5+6(2−❑√3)−5(❑√5−2❑√3)
(2)|❑√5−2)+❑√25+❑√(−2) 2+√3−27
【答案】(1)−❑√5+4❑√3+12
(2)❑√5+2
【分析】本题考查了立方根、算术平方根、绝对值以及二次根式的加减混合运算，正
确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先去括号，再合并同类二次根式，即可作答．
（2）分别化简绝对值、算术平方根、立方根，再运算加法，即可作答．
【详解】（1）解：4❑√5+6(2−❑√3)−5(❑√5−2❑√3)
=4❑√5+12−6❑√3−5❑√5+10❑√3
=−❑√5+4❑√3+12；
（2）解：|❑√5−2)+❑√25+❑√(−2) 2+√3−27
=❑√5−2+5+2+(−3)
=❑√5+2．
11．（23-24八年级下·全国·单元测试）计算：
(1)❑√2−❑√8+❑√32；
(2)(❑√2−2❑√3+1)(1+2❑√3−❑√2)．
【答案】(1)3❑√2
(2)4❑√6−13
【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的开平方运算和完全平方
公式及平方差公式是解题的关键．
（1）将二次根式先开平方再利用二次根式加减运算即可得到答案；
（2）将式子根据平方差公式变形，再利用完全平方公式计算即可．
【详解】（1）解： 原式=❑√2−2❑√2+4❑√2
=3❑√2．
（2）解：原式=[1−(2❑√3−❑√2))[1+(2❑√3−❑√2))=12−(2❑√3−❑√2) 2
=1−(12−4❑√6+2)
=1−12+4❑√6−2
=4❑√6−13．
1 √1
12．（22-23八年级下·云南红河·阶段练习）计算：❑√48+ ❑√75−3❑ ；
5 3
【答案】4❑√3
【分析】本题考查了二次根式的加减运算，应先把各个二次根式化成最简二次根式，
然后再合并同类二次根式即可．
【详解】原式=4❑√3+❑√3−❑√3=4❑√3．
13．（23-24八年级下·广西河池·期中）计算：❑√8+2❑√3−(❑√27+❑√2)．
【答案】❑√2−❑√3
【分析】本题考查二次根式的加减运算，先化简，去括号，再合并同类二次根式即可．
【详解】解：原式=2❑√2+2❑√3−3❑√3−❑√2
=❑√2−❑√3
【题型3 二次根式的混合运算】
14．（24-25八年级上·全国·期末）计算．
√1
(1)❑√27+√3−8+❑ −❑√12；
3
❑√2
(2)2❑√3× −❑√48÷❑√3+(2−❑√6)(2+❑√6)．
4
4❑√3
【答案】(1) −2
3
❑√6
(2) −6
2
【分析】本题主要考查二次根式的化简，加减乘除混合运算，掌握二次根式的化简，
二次根式的混合运算法则是解题的关键．
（1）化简二次根式，求出立方根，根据加减法即可求解．
（2）化简二次根式，根据二次根式的乘除法，加减法即可求解．
√1
【详解】（1）解： ❑√27+√3−8+❑ −❑√12
3❑√3
=3❑√3+(−2)+ −2❑√3
3
4❑√3
= −2；
3
❑√2
（2）解：2❑√3× −❑√48÷❑√3+(2−❑√6)(2+❑√6)
4
❑√6
= −❑√16+(4−6)
2
❑√6
= −4−2
2
❑√6
= −6．
2
15．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）计算：
√1
(1)❑√48÷❑√3−❑ ×❑√14+❑√28
2
√1
(2)❑√75−6❑ +|2−❑√3)
3
【答案】(1)4+❑√7
(2)2+2❑√3
【分析】本题考查了二次根式的混合计算，熟练掌握二次根式的性质，二次根式的乘
法和除法法则，乘法公式是解决问题的关键．
（1）先根据二次根式的除法法则和乘法法则运算，然后把各二次根式化为最简二次根
式后合并即可；
（2）先化简各二次根式和绝对值，再合并计算即可．
√1
【详解】（1）解：❑√48÷❑√3−❑ ×❑√14+❑√28
2
=❑√16−❑√7+2❑√7
=4+❑√7；
√1
（2）解：❑√75−6❑ +|2−❑√3)
3
=5❑√3−2❑√3+2−❑√3
=2+2❑√3．
16．（24-25八年级上·四川达州·阶段练习）计算：
√1
(1)❑√48+❑√3−❑ ×❑√12+❑√24
2(2)❑√81+√3−27+❑ √ ( − 2) 2 ．
3
【答案】(1)5❑√3+❑√6
2
(2)6
3
【分析】本题主要考查二次根式的运算及立方根，熟练掌握二次根式的运算及立方根
是解题的关键；
（1）根据二次根式的加减乘运算可进行求解；
（2）先利用二次根式及立方根的性质化简，然后再进行求解．
√1
【详解】（1）解：原式=4❑√3+❑√3−❑ ×12+2❑√6
2
=5❑√3+❑√6；
2
（2）解：原式=9−3+
3
2
=6 ．
3
17．（24-25八年级上·山东枣庄·期中）解下列各题：
√3
(1)❑√18−❑√12×❑ ；
2
(2)(❑√5−2)(❑√5+2)−(❑√27−2❑√6)÷❑√3．
【答案】(1)0
(2)−2+2❑√2
【分析】本题主要考查二次根式的四则混合运算；
（1）先计算二次根式的乘法，再计算减法；
（2）先用平方差公式计算，同时进行除法计算，最后计算加减法．
√3
【详解】（1）解：❑√18−❑√12×❑
2
=❑√18−❑√6×❑√3
=❑√18−❑√18
=0
（2）解：(❑√5−2)(❑√5+2)−(❑√27−2❑√6)÷❑√3=5−4−(3❑√3−2❑√6)÷❑√3
=1−(3❑√3÷❑√3−2❑√6÷❑√3)
=1−(3−2❑√2)
=1−3+2❑√2
=−2+2❑√2
18．（24-25八年级上·全国·期末）计算：
(1)42+10÷(−1)+❑√8+|❑√2−3|
√3
(2)❑√27−❑ ×❑√8
2
【答案】(1)9+❑√2
(2)❑√3
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则以及运算顺序是解此题
的关键．
（1）先乘方，除法，利用二次根式和绝对值的性质进行化简，再计算加减即可；
（2）先利用二次根式的性质进行化简，再计算加减即可．
【详解】（1）解：原式=16−10+2❑√2+3−❑√2=9+❑√2
√3
（2）解：原式=3❑√3−❑ ×8=3❑√3−2❑√3=❑√3
2
19．（24-25九年级上·四川内江·期中）计算：
(1)4❑√3−❑√20+❑√5−❑√27
√1
(2)(❑√a+❑√2)(❑√a−❑√2)−❑√a2b⋅❑
b
【答案】(1)❑√3−❑√5
(2)−2
【分析】本题主要考查了二次根式的性质、二次根式的加减运算、二次根式的混合运
算等知识点，掌握二次根式的性质成为解题的关键．
（1）先根据二次根式的性质化简，然后再合并同类二次根式即可；
（2）先说明a≥0，再根据平方差公式以及二次根式的性质化简，最后再按二次根式
的混合运算法则计算即可．【详解】（1）解：4❑√3−❑√20+❑√5−❑√27
=4❑√3−2❑√5+❑√5−3❑√3
=❑√3−❑√5．
（2）解：∵❑√a，
∴a≥0，
√1
∴(❑√a+❑√2)(❑√a−❑√2)−❑√a2b⋅❑
b
√1
=a−2−a❑√b⋅❑
b
√ 1
=a−2−a❑b⋅
b
=a−2−a
=−2．
20．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）计算：
(1)❑√32−❑√18+❑√2−√38；
√1
(2)(❑√12−❑√24)÷❑√6−2❑ ；
2
(3)(π−❑√10) 0 −❑√12+|−2❑√3|+❑√(−3) 2；
(4)(❑√5−❑√7)(❑√5+❑√7)−(2❑√3+1) 2．
【答案】(1)2❑√2−2
(2)−2
(3)4
(4)−15−4❑√3
【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，实数的混合运算；
（1）先化简各二次根式，求解立方根，再合并即可；
（2）先计算二次根式的除法运算，化简二次根式，再合并即可；
（3）先计算零次幂，化简二次根式，化简绝对值，计算算术平方根，再合并即可；
（4）先计算二次根式的乘法，再合并即可．
【详解】（1）解：❑√32−❑√18+❑√2−√38
=4❑√2−3❑√2+❑√2−2
=2❑√2−2；√1
（2）解：(❑√12−❑√24)÷❑√6−2❑
2
=❑√2−2−❑√2
=−2；
（3）解：(π−❑√10) 0 −❑√12+|−2❑√3|+❑√(−3) 2
=1−2❑√3+2❑√3+3
=4；
（4）解：(❑√5−❑√7)(❑√5+❑√7)−(2❑√3+1) 2
=5−7−(12+4❑√3+1)
=−2−13−4❑√3
=−15−4❑√3；
【题型4 二次根式的化简求值】
21．（24-25八年级下·全国·期末）设a=−1+❑√5，b=−1−❑√5，求下列各式的值：
b
(1) ；
a
(2)a2−2ab+b2．
3+❑√5
【答案】(1)−
2
(2)20
【分析】本题主要考查了代数式求值，二次根式的运算，完全平方公式的应用，熟练
掌握运算法则是解答本题的关键．
（1）将a,b的值代入，分母有理化即可得出答案；
（2）先计算出a−b=2❑√5，把a2−2ab+b2变形为(a−b) 2，然后整体代入求值即可．
【详解】（1）解：∵a=−1+❑√5，b=−1−❑√5，
b −1−❑√5
∴ =
a −1+❑√5
(−1−❑√5) 2
=
(−1+❑√5)(−1−❑√5)6+2❑√5
=
−4
3+❑√5
=− ；
2
（2）解：∵ a−b=(−1+❑√5)−(−1−❑√5)=2❑√5，
∴ a2−2ab+b2
=(a−b) 2
=(2❑√5) 2
=20．
√1 √a
22．（24-25八年级下·全国·阶段练习）先化简，再求值：a❑ +❑√4b−❑ +❑√b，其中
a 4
a=8，b=2．
❑√a
【答案】 +3❑√b, 4❑√2
2
【分析】本题主要考查二次根式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
根据二次根式的定义对式子进行化简，再代入相应的值运算即可．
√1 √a
【详解】解：a❑ +❑√4b−❑ +❑√b，
a 4
❑√a
=❑√a+2❑√b− +❑√b，
2
❑√a
= +3❑√b,
2
当a=8,b=2时，
❑√8
原式= +3❑√2，
2
=❑√2+3❑√2，
=4❑√2.
( 2 ) a2+a
23．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）先化简，再求值： +1 ÷ ，
a−1 a2−2a+1
其中a=❑√2．
a−1 2−❑√2
【答案】 ,
a 2【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解，约分是解题的关键．先因
式分解，后变除法为乘法，约分化简，后代入计算即可．
( 2 ) a2+a
【详解】解： +1 ÷
a−1 a2−2a+1
( 2 a−1) a(a+1)
= + ÷
a−1 a−1 (a−1) 2
a+1 (a−1) 2
= ⋅
a−1 a(a+1)
a−1
= ，
a
❑√2−1 2−❑√2
当a=❑√2时，原式= = ．
❑√2 2
24．（24-25八年级上·陕西西安·期中）已知a=❑√6−2，b=❑√6+2
(1)求ab的值；
(2)求a2+ab+b2的值．
【答案】(1)2
(2)22
【分析】本题考查了二次根式的化简求值、完全平方公式，熟练掌握二次根式的混合
运算法则是解题关键．
（1）利用平方差公式可计算出答案；
（2）将原式变形为(a+b) 2−ab，然后代入求值即可．
【详解】（1）解：已知a=❑√6−2，b=❑√6+2
那么ab=(❑√6−2)×(❑√6+2)=6−4=2
（2）解：原式=(a+b) 2−ab
其中a=❑√6−2，b=❑√6+2
那么原式=(❑√6−2+❑√6+2) 2 −(❑√6−2)(❑√6+2)
=(2❑√6) 2 −2
=24−2=22
a−b a−4❑√ab+4b
25．（24-25八年级上·上海·阶段练习）（1）先化简，后求值： − ，
❑√a+❑√b 2❑√b−❑√a
1 1
其中a= ,b= ．
2 8
1
（2）已知a= ，求a2−4a+2的值．
2+❑√3
❑√2
【答案】（1）2❑√a−3❑√b， ；（2）1
4
【分析】本题考查二次根式的化简求值，灵活运用二次根式的运算是解答的关键．
（1）根据二次根式的运算及分母有理数，结合完全平方公式化简原式，然后代值求解
即可；
（2）先分母有理数求得a值，再利用完全平方公式化简原式，然后代值求解即可．
a−b a−4❑√ab+4b
【详解】解：（1） −
❑√a+❑√b 2❑√b−❑√a
(a−b)(❑√a−❑√b) (❑√a) 2 −2⋅❑√a⋅2❑√b+(2❑√b) 2
= −
(❑√a+❑√b)(❑√a−❑√b) 2❑√b−❑√a
(a−b)(❑√a−❑√b) (❑√a−2❑√b) 2
= +
a−b ❑√a−2❑√b
=❑√a−❑√b+❑√a−2❑√b
=2❑√a−3❑√b，
1 1
当a= ,b= 时，
2 8
√1 √1 3❑√2 ❑√2
原式=2❑ −3❑ =❑√2− = ．
2 8 4 4
1 1×(2−❑√3) 2−❑√3
（2）∵a= = = =2−❑√3，
2+❑√3 (2+❑√3)(2−❑√3) 4−3
∴a−2=−❑√3，
∴a2−4a+2
=(a−2) 2−2
=(−❑√3) 2 −2=3−2
=1．
26．（23-24八年级下·广东广州·期中）已知：x =❑√5+1，x =❑√5−1．
1 2
(1)求x ⋅x 的值．
1 2
(2)求x2+x2的值．
1 2
【答案】(1)4
(2)12
【分析】本题考查二次根式的混合运算，平方差公式和完全平方公式，
（1）将x 和x 的值直接代入x ⋅x ，再利用平方差公式进行计算即可；
1 2 1 2
（2）先将x2+x2转化为(x −x ) 2+2x ⋅x ，然后(x −x )和x ⋅x 的值代入计算即可；
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
掌握相应的运算法则和公式是解题的关键．
【详解】（1）解：∵x =❑√5+1，x =❑√5−1，
1 2
∴x ⋅x =(❑√5+1)(❑√5−1)
1 2
=(❑√5) 2 −12
=5−1
=4；
（2）∵x =❑√5+1，x =❑√5−1，
1 2
∴x −x =❑√5+1−(❑√5−1)=❑√5+1−❑√5+1=2，
1 2
∴x2+x2=(x −x ) 2+2x ⋅x
1 2 1 2 1 2
=22+2×4
=4+8
=12．
【题型5 二次根式的实际应用】
27．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）如图是两个长方体容器甲和乙，它们的体积相同，高均为ℎ，甲盒子底面是边长为a的正方形，乙盒子底面是长为b，宽为c(c≠b)的长
方形．
(1)若bc=24,ℎ =❑√3，求甲盒子的侧面积；
(2)设甲，乙两个盒子侧面积分别为S ，S ，
甲 乙
①S ______S （填“>”“=”“<”）
甲 乙
②说明①的理由．
【答案】(1)24❑√2
(2)①<；②见解析
【分析】本题考查了二次根式的运用、完全平方公式以及因式分解等知识点，掌握长
方体的体积和侧面积公式是解题关键．
（1）由题意得甲、乙底面积相同，可得，据此即可求解；
（2）由题意可得甲的侧面积为：4aℎ，乙的侧面积为：2bℎ +2cℎ =2ℎ(b+c)．作
差即可求解．
【详解】（1）解∵长方体体积相同，高相同，
∴甲、乙底面积相同．
∴a2=bc．
∵bc=24，
∴a2=24．
∴a=2❑√6．
∴甲盒子的侧面积=4aℎ =4×2❑√6×❑√3=24❑√2；
（2）解：①由②可知S <S ，
甲 乙
故答案为：<；
②由题意，S =4aℎ,S =2bℎ +2cℎ =2ℎ(b+c),bc=a2 ，
甲 乙
∴S −S =4aℎ−2ℎ(b+c)=2ℎ [2a−(b+c))=2ℎ [2❑√bc−(b+c))，
甲 乙
∵b,c均为非负数，c≠b，∴(❑√b−❑√c) 2>0，
即b+c−2❑√bc>0，
∴b+c>2❑√bc．
∴2❑√bc−(b+c)<0，
∴S −S <0，
甲 乙
∴S <S ．
甲 乙
28．（23-24八年级下·河南驻马店·阶段练习）如图，从一个大正方形中裁去面积为8cm2和
18cm2的两个小正方形，
(1)求大正方形的边长；
(2)求留下的阴影部分的面积．
【答案】(1)5❑√2(cm)
(2)24(cm2)
【分析】本题主要考查了二次根式的应用：
（1）根据正方形面积计算公式求出两个小正方形的边长，然后求和即可得到答案；
（2）根据（1）所求求出大正方形的面积，再减去两个小正方形的面积即可得到答案．
【详解】（1）解：∵两个小正方形面积为8cm2和18cm2，
∴大正方形的边长=❑√18+❑√8=2❑√2+3❑√2=5❑√2(cm)；
（2）解：∵大正方形的面积为(5❑√2) 2=50(cm2)，
∴阴影部分的面积=50−8−18=24(cm2)．
29．（23-24八年级上·福建福州·阶段练习）有一块矩形木板，木工采用如图的方式，在木
板上截出两个面积分别为18dm2和32dm2的正方形木板．(1)截出的两块正方形木料的边长分别为______，______．
(2)求剩余木料的面积．
【答案】(1)3❑√2，4❑√2
(2)6
【分析】（1）根据平方根的定义计算即可；
（2）利用面积公式进行计算即可；
本题主要考查二次根式的应用，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
【详解】（1）解：两个正方形木板的面积分别为18dm2和32dm2，
∴这两个正方形的边长分别为：
❑√18=3❑√2(dm),
❑√32=4❑√2(dm)．
（2）∵这两个正方形的边长分别为：3❑√2，4❑√2
∴剩余木料的面积为(4❑√2−3❑√2)×3❑√2=❑√2×3❑√2=6(dm2)．
30．（23-24八年级上·山东枣庄·期中）新版北师八年级（上）数学教材P51页第22题指出：
1
设一个三角形的三边长分别为a，b，c，P= (a+b+c)，则有下列面积公式；
2
√ 1( (a2+b2−c2 ) 2 )
S=❑√p(p−a)(p−b)(p−c)（海伦公式）．S=❑ a2b2− （秦九韶
4 2
公式）．
(1)若一个三角形边长依次为5、6、7，求这个三角形的面积．小明利用海伦公式很
快就可以求出这个三角形的面积．以下是他的部分求解过程，请你把它补充完整．
解：∵一个三角形边长依次为5、6、7，即a=5，b=6，c=7，
1 1
∴p= (a+b+c)= (5+6+7)=______．
2 2根据海伦公式可得：S=❑√p(p−a)(p−b)(p−c)=______．
(2)请你选择海伦公式或秦九韶公式计算：若一个三角形的三边长分别是❑√5，❑√6，❑√7，
求这个三角形的面积．
【答案】(1)9，6❑√6
❑√26
(2)
2
【分析】本题主要考查三角形面积的计算方法，实数的运算，二次根式的运算，理解
材料提示的计算方法，掌握实数的计算，二次根式的运算法则是解题的关键．
（1）根据实数的运算法则即可求解；
（2）根据材料提示，运用二次根式的性质化简即可求解．
1 1
【详解】（1）解：p= (a+b+c)= ×(5+6+7)=9，
2 2
S=❑√p(p−a)(p−b)(p−c)=❑√9×(9−5)×(9−6)×(9−7)=❑√9×4×3×2=6❑√6，
故答案为：9，6❑√6．
（2）解：解：∵a=❑√5，b=❑√6，c=❑√7，
∴a2=5，b2=6，c2=7，
√ 1 [ (a2+b2−c2 ) 2 )
∴S=❑ × a2b2−
4 2
=❑
√1
×
(
5×6−
(5+6−7) 2 )
4 2
=❑
√1
×
(
30−
(4) 2 )
4 2
√1
=❑ ×(30−4)
4
√13
=❑
2
❑√26
= ．
2
31．（23-24八年级下·河南周口·期中）交警通常根据刹车后，车轮划过的距离估计车辆行
驶的速度，所依据的经验公式是v=16❑√df，其中v表示车速（单位：km/h），d表示车轮划过的距离（单位：m），f表示摩擦系数．在某次交通事故调查中测得
d=10m，f =1.2．（参考数据：❑√3≈1.73）
(1)求肇事汽车的速度；
(2)若此路段限速60km/h，请通过计算判断肇事汽车是否超速？
【答案】(1)55.36km/h
(2)没有超速，理由见解析
【分析】（1）将d=10m，f =1.2代入公式进行计算即可求解；
（2）根据（1）的结论，根据题意，比较大小，即可求解．
【详解】（1）解：依题意，v=16❑√10×1.2=16×2❑√3≈32×1.73=55.36 km/h
（2）解：∵肇事汽车的速度为55.36km/h<60km/h
∴肇事汽车没有超速．
【点睛】本题考查了二次根式的应用，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
【题型6 分母有理化】
1
32．（23-24八年级下·福建龙岩·阶段练习）已知a= ，b=❑√3−2，则有（ ）
❑√3+2
1 1
A．a=b B．a=−b C．a= D．a=−
b b
【答案】B
【分析】本题考查了分母有理化，熟练掌握分母有理化的方法，是解题关键．根据分母
有理化，可化简a，根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．
1 2−❑√3
【详解】解：∵a= = =2−❑√3，
❑√3+2 (2+❑√3)(2−❑√3)
b=❑√3−2，
∴a=−b，
故选：B．
1
33．（23-24八年级下·湖南湘西·期中）分母有理化： = ．
2−❑√3
【答案】2+❑√3/❑√3+21
【分析】本题考查了分母有理化，根据 ，分子和分母同时乘上(2+❑√3)，化简即
2−❑√3
可作答．
1 1×(2+❑√3) 2+❑√3
【详解】解：依题意， = = =2+❑√3
2−❑√3 (2−❑√3)(2+❑√3) 4−3
故答案为：2+❑√3．
34．（23-24八年级下·山东潍坊·期中）阅读材料：
1
在解决问题“已知a= ，求3a2−6a−1的值”时，小亮是这样分析与解答的：
❑√2−1
1 ❑√2+1
∵a= = =❑√2+1，∴a−1=❑√2，∴(a−1) 2=2，
❑√2−1 (❑√2−1)(❑√2+1)
a2−2a+1=2，∴a2−2a=1，∴3a2−6a−1=3(a2−2a)−1=3−1=2．
请你根据小亮的分析过程，解决如下问题：
2
(1)化简： ；
3−❑√7
1
(2)若a= ，求4a2−24a+8的值．
3+2❑√2
【答案】(1)3+❑√7；
(2)4．
【分析】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握分母有理化是解题的关键．
（1）根据平方差公式计算；
（2）利用分母有理化把a化简，再根据完全平方公式计算即可．
2 2(3+❑√7)
【详解】（1）解： = =3+❑√7；
3−❑√7 (3+❑√7)(3−❑√7)
1 3−2❑√2
（2）解：∵a= = =3−2❑√2，
3+2❑√2 (3+2❑√2)(3−2❑√2)
∴a−3=−2❑√2，
∴(a−3) 2=(−2❑√2) 2 ，∴a2−6a+9=8，
∴a2−6a=−1，
∴4a2−24a=−4，
∴4a2−24a+8=4．
1
35．（23-24八年级下·广西南宁·开学考试）在解决问题“已知a= ，求2a2−8a+1
2+❑√3
的值”时，小明是这样分析与解答的：先将a进行分母有理化，过程如下，
1 2−❑√3
a= = =2−❑√3，
2+❑√3 (2+❑√3)(2−❑√3)
∴a=2−❑√3，
∴(a−2) 2=3，a2−4a+4=3，
∴a2−4a=−1，
∴2a2−8a+1=2(a2−4a)+1=2×(−1)+1=−1．
请你根据上述分析过程，解决如下问题：
1
(1)若a= ，请将a进行分母有理化；
❑√2−1
(2)在（1）的条件下，求2a3−4a2−1的值．
【答案】(1)❑√2+1
(2)2❑√2+1
【分析】本题考查的是分母有理化，二次根式的混合运算，求解代数式的值；
（1）把分子分母都乘以❑√2+1即可；
（2）由a=❑√2+1，可得a−1=❑√2，可得a2−2a=1，再把2a3−4a2−1变形，再逐
步代入计算即可．
1 ❑√2+1
【详解】（1）解：a= = =❑√2+1；
❑√2−1 (❑√2−1)(❑√2+1)
（2）解：∵a=❑√2+1，
∴a−1=❑√2，
∴a2−2a+1=2，
∴a2−2a=1，
∴2a3−4a2−1=2a(a2−2a)−1
=2a−1
=2(❑√2+1)−1
=2❑√2+1；
36．（23-24八年级下·广东广州·期末）在进行二次根式化简时，我们有时会碰上形如
3 2 3 3×❑√5 3❑√5
， 的式子，这样的式子我们可以将其进一步化简， = = ，
❑√5 ❑√2−1 ❑√5 ❑√5×❑√5 5
2 2×(❑√2+1)
= =2❑√2+2，这种化简的方法叫做分母有理化，请利用分母
❑√2−1 (❑√2−1)(❑√2+1)
有理化解答下列问题：
2 3
(1)化简： = ______； = ______；
❑√7 ❑√6+❑√5
(2)矩形的面积为 2+2❑√5，一边长为 ❑√5+2，求这个矩形的周长；
❑√a+❑√b 2❑√b
(3)当a>b>0时，化简： − ．
❑√a−❑√b ❑√a+❑√b
2❑√7
【答案】(1) ，3❑√6−3❑√5
7
(2)16−2❑√5
a+3b
(3)
a−b
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算， 按照二次根式的混合运算法则求解即
可
（1）根据分母有理化的步骤进行计算即可．
（2）首先求出矩形的另外一边长，再按矩形的周长公式计算即可．
（3）把各分母先有理化再进行加减运算．
2 2⋅❑√7 2❑√7
【详解】（1）解： = = ，
❑√7 ❑√7⋅❑√7 7
3 3(❑√6−❑√5)
= =3❑√6−3❑√5
❑√6+❑√5 (❑√6+❑√5)(❑√6−❑√5)
（2）矩形的另外一边长为：2+2❑√5 (2+2❑√5)(❑√5−2) 2❑√5+10−4−4❑√5
= = =6−2❑√5
❑√5+2 (❑√5+2)(❑√5−2) 5−4
矩形的周长为：2(❑√5+2+6−2❑√5)=2(8−❑√5)=16−2❑√5．
∴
（3）当a>b>0时
❑√a+❑√b 2❑√b
−
❑√a−❑√b ❑√a+❑√b
(❑√a+❑√b) 2 2❑√b(❑√a−❑√b)
= −
(❑√a−❑√b)(❑√a+❑√b) (❑√a+❑√b)(❑√a−❑√b)
(❑√a+❑√b) 2 −2❑√b(❑√a−❑√b)
==
(❑√a−❑√b)(❑√a+❑√b)
a+2❑√ab+b−2❑√ab+2b
=
a−b
a+3b
=
a−b
37．（23-24八年级下·河北承德·期中）阅读下列材料，然后回答问题：在进行二次根式运
3 √2 2
算时，我们有时会碰上如 、❑ 、 一样的式子，其实我们还可以将其进一
❑√5 3 ❑√3+1
步化简：
3 3×❑√5 3
= = ❑√5（Ⅰ）
❑√5 ❑√5×❑√5 5
√2 √2×3 ❑√6
❑ =❑ = （Ⅱ）
3 3×3 3
2 2×(❑√3−1) 2(❑√3−1)
= = =❑√3−1（Ⅲ）
❑√3+1 (❑√3+1)(❑√3−1) (❑√3) 2 −12
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
2
还可以用以下方法化简：
❑√3+1
2 3−1 (❑√3) 2 −12 (❑√3+1)(❑√3−1)
= = = =❑√3−1（Ⅳ）
❑√3+1 ❑√3+1 ❑√3+1 ❑√3+1
2
(1)请用不同的方法化简
❑√5+❑√32
①参照（Ⅲ）式得 = ；
❑√5+❑√3
2
②参照（Ⅳ）式得 = ；
❑√5+❑√3
2 2 2 2
(2)化简： + + +˙...+
❑√3+1 ❑√5+❑√3 ❑√7+❑√5 ❑√2n+1+❑√2n−1
2(❑√5−❑√3) 2(❑√5−❑√3)
【答案】(1)① = =❑√5−❑√3；
(❑√5+❑√3)(❑√5−❑√3) (❑√5) 2 −(❑√3) 2
5−3 (❑√5) 2 −(❑√3) 2 (❑√5+❑√3)(❑√5−❑√3)
② = = =❑√5−❑√3
❑√5+❑√3 ❑√5+❑√3 ❑√5+❑√3
(2)−1+❑√2n+1
【分析】本题主要考查了分母有理化以及分式的加减法运算，根据分母有理化的方法
进行运算即可．
（1）根据分母有理化的两种方式分别进行运算即可．
（2）根据分母有理化的结果进行分式的加法运算即可．
2 2(❑√5−❑√3) 2(❑√5−❑√3)
【详解】（1）解：① = = =❑√5−❑√3，
❑√5+❑√3 (❑√5+❑√3)(❑√5−❑√3) (❑√5) 2 −(❑√3) 2
2 5−3 (❑√5) 2 −(❑√3) 2 (❑√5+❑√3)(❑√5−❑√3)
② = = = =❑√5−❑√3
❑√5+❑√3 ❑√5+❑√3 ❑√5+❑√3 ❑√5+❑√3
2 2 2 2
（2） + + +˙...+
❑√3+1 ❑√5+❑√3 ❑√7+❑√5 ❑√2n+1+❑√2n−1
