易错点03函数概念与基本初等函数-备战2023年高考数学考试易错题（解析版）（全国通用）_02高考数学_通用版（老高考）复习资料_2023年复习资料_专项复习

易错点 03 函数概念与基本初等函数
易错点1：求解与函数有关的问题易忽略定义域优先的原则；
研究与函数有关的问题时，一定要先明确函数的定义域是什么，才能进行下一步工作。
易错点2：判断函数奇偶性时，易忽略检验函数定义域是否关于原点对称；
判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据 与 的关系得到结论；
易错点3： 根据定义证明函数的单调性时，规范格式是什么？(取值, 作差, 判正负 )；
王新奎新疆屯敞
判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异
减”性得到结论.
易错点4：指对型函数比较大小
要熟练掌握常用初等函数的单调性如：一次函数的单调性取决于一次项系数的符号，二次函数
的单调性决定于二次项系数的符号及对称轴的位置，指数函数、对数函数的单调性决定于其底
数的范围（大于1还是小于1），特别在解决涉及指、对复合函数的单调性问题时要树立分类
讨论的数学思想（对数型函数还要注意定义域的限制）.
易错点5：用函数图象解题时作图不准
“数形结合”是重要思想方法之一，以其准确、快速、灵活及操作性强等诸多优点颇受数学学
习者的青睐。但我们在解题时应充分利用函数性质，画准图形，不能主观臆造，导致图形“失
真”，从而得出错误的答案。
易错点6：在涉及指对型函数的单调性有关问题时，没有根据性质进行分类讨论的意识和易
忽略对数函数的真数的限制条件；
要熟练掌握常用初等函数的单调性如：一次函数的单调性取决于一次项系数的符号，二
次函数的单调性决定于二次项系数的符号及对称轴的位置，指数函数、对数函数的单调
性决定于其底数的范围（大于1还是小于1），特别在解决涉及指、对复合函数的单调性
问题时要树立分类讨论的数学思想（对数型函数还要注意定义域的限制）；
易错点7：抽象函数的推理不严谨致误；
所谓抽象函数问题，是指没有具体地给出函数的解析式，只给出它的一些特征或性质。
解决这类问题常涉及到函数的概念和函数的各种性质，因而它具有抽象性、综合性和技
巧性等特点;解决抽象函数的方法有：换元法、方程组法、待定系数法、赋值法、转化
法、递推法等；1．已知 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：由题意得：
因为 ， ，
所以 ．
故选：B
2．已知函数 ，则 （ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】C
【详解】
故选：C
3．已知函数 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】根据题目所给的函数解析式，可知函数 在 上是减函数，
所以 ，解得 ．
故选：B
4．函数 的图象大致为（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由题可得函数 定义域为 ，且 ，故函数为奇函数，
故排除BD，
由 ， ，故C错误，
故选：A.
5．已知函数 ，若 ， ， 均不相等，且 = = ，则 的
取值范围是（ ）
A．（1，10） B．(5，6) C．(10，12) D．(20，24)
【答案】C
【详解】函数的图象如图所示，
不妨设 ，则 ，
所以 ， ，
所以 ， ，
所以 ，
故选：C1．已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为 ，故 .
故答案为：C.
2．设 是定义域为R的奇函数，且 .若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意可得： ，
而 ，故 .
故选：C.
3．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小
数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足 ．已知
某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（
）
A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6
【答案】C
【详解】由 ，当 时， ，
则 .
故选：C.
4．设函数f(x)= 若 ，则实数 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】当 时， ，由 得 ，
所以 ，可得： ，
当 时， ，
由 得 ，
所以 ，即 ，即 ，
综上可知： 或 .
故选：C
5．已知函数 若函数 恰有4个零点，则 的取
值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】注意到 ，所以要使 恰有4个零点，只需方程 恰有3个实根
即可，
令 ，即 与 的图象有 个不同交点.
因为 ，
当 时，此时 ，如图1， 与 有 个不同交点，不满足题意；
当 时，如图2，此时 与 恒有 个不同交点，满足题意；
当 时，如图3，当 与 相切时，联立方程得 ，令 得 ，解得 （负值舍去），所以 .
综上， 的取值范围为 .
故选：D.
1．已知函数 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．【答案】C
【详解】解：因为 ，
当 时 函数单调递减，且 ，
当 时 函数单调递减，且 ，
所以函数 在 上是单调递减，
所以不等式 等价于 ，解得 ．
即不等式的解集为 ；
故选：C
2．下列函数既是奇函数，又是增函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：由题意得：
对于选项A：函数 是偶函数，故不符合题意；
对于选项B：函数 是奇函数，且是单调递增函数，故符合题意；
对于选项C：函数 是非奇非偶函数，故不符合题意；
对于选项D：根据幂函数的性质可知函数 是奇函数，但不是单调递增函数，故不符合题
意；
故选：B
3．设函数 ，若函数 的图象关于点 对称，则 （ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】B【详解】因为函数 的图象关于点 对称，故函数 的图象关于点 对称，
即 为奇函数，故 ，
所以 .
故选：B.
4．设 ，函数 ，若 的最小值为 ，则实数 的取值范围
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】当 时， ，
当且仅当 时，等号成立；
即当 时，函数 的最小值为 ，
当 时， ，
要使得函数 的最小值为 ，则满足 ，解得 ，
即实数 的取值范围是 .
故选：A.
5．已知函数 ，则关于 的不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题设， 对称轴为 且图象开口向下，则 在 上递增， 上递减，f(x)ax24ax2ax(x4)2 f(x) (4,2) f(0)2
由 ，即 恒过 且 ，
所以(0,4)上 f(x)2，(4,)上 f(x)<2，
ylog x (0,) (0,4) y2 (4,) y2
而 2 在 上递增，且 上 ， 上 ，
f(x)log x (0,4)
所以 2 的解集为 .
故选：C
alog 3 blog 5 clog 8
6．设 5 ， 8 ， 13 ，则（ ）
A．abc B．bac C．bca D．cab
【答案】A
a log 3 (log 3log 8)2 log 24
  5 log 3log 8 5 5 ( 5 )2 1
【详解】解： b log 5 5 5 4 2 ，
8
ab；
55 84
，
54log
5
8
，
log
5
81.25
，
blog
8
50.8
；
134 85
，
45log
13
8
，
clog
13
80.8
，
cb
，
综上，cba．
故选：A．
7．我国古代数学家李善兰在《对数探源》中利用尖锥术理论来制作对数表.他通过“对数积”
5
求得ln2≈0.693，ln ≈0.223，由此可知ln0.2的近似值为（ ）
4
A．－1.519 B．－1.726 C．－1.609 D．－1.316
【答案】C
5
【详解】因为ln2≈0.693，所以ln4≈1.386，因为
ln 0.223
，
4
5  5
ln5ln 4ln ln41.3860.2231.609
所以 4  4 ，
所以ln0.2＝－ln5≈－1.609.
故选：C8．已知函数 f(x)图象如图所示，那么该函数可能为（ ）
 lnx
 (x0)
  x2
A． B．
f x
lnx lnx
f(x)  (x0)
|x|  x2
 x1
 (x0)
f x ex ln|x|
C． x1ex(x0) D． f(x)
 x
【答案】D
【详解】由图象可知，函数定义域为(,0)(0,)，图象关于原点对称，函数是奇函数，
x1时 f(x)0，
lnx
据此， f(x) 定义域不符合，排除A;
|x|
 lnx
 (x0)
  x2
若
f x
，则 时， ，不符合图象，故排除B；
lnx

(x0)
 x2 x1 f(x)0
 x1
 (x0)
若 f x ex ，则当 趋向于 时， 趋向于 ，当 趋向于 时，
x1
x1ex(x0) f(x)
 x 0 ex 1 x 0
f(x)(x1)ex
趋向于1，不符合图象，故排除C;
故选：D
R f(x) f(x+1)- f(x)=0 f(x) x[3,3]
9．函数定义在 上的奇函数 满足在 ，则 在 上的零点至少
有（ ）个
A．6 B．7
C．12 D．13【答案】D
f(x) f(0)0 f(x+1)- f(x)=0
【详解】 是奇函数，故 ，又由 得周期为1，故
1 1 1 1
f(-3)=f(-2)=f(-1)=f(1)=f(2)=f(3)=0，又 f(
2
) f(
2
) ， f(
2
)f(
2
)，因此
1 1 k
f( )=f(- )=0，再由周期为1，总之，有 f( )=0,k =0,北1, 2,北3, 4,北5, 6，共13个零点，
2 2 2
故选:D．
2x2a1x2,xa
f x
10．已知函数  ax13,xa ，若 f x恰有两个零点，则实数 a 的取值范围为
（ ）
,21,00, ,21,00,
A． B．
1, 1,00,
C． D．
【答案】B
a12 160 y2x2a1x2
【详解】∵ ，则二次函数 有两个零点
 a1
 a
若 恰有两个零点，则 4 ，得
f x2x2a1x2,xa f aa2a20
 a2
f x ax13ax4,xa a240 a2
此时 无零点，则 ，解得
则a2
 a1
 a
若 无零点，则 4 ，得
f x2x2a1x2,xa f aa2a20
 a1
 1
a

a

此时 有两个零点，则 ，得
f x ax13,xa f a a2130
 a2
则a2
f x2x2a1x2,xa f aa2a20
1a2
若 有且仅有一个零点，则 得 ，f aa2a20
a1 a2 a2
或 ，得 或 ，经检验 不合题意
则1a2
 a0


此时 f x ax13,xa 有且仅有一个零点，则  f a a2130，解得 2a2 且 a0
则1a2且a0
a,21,00,
综上所述：
故选：B．