文档内容
微专题：指数函数单调性的应用
【考点梳理】
指数函数
定义 一般地，函数y＝ax(a＞0，且a≠1)叫做指数函数
图象 0＜a＜1 a＞1
定义域 R
值域 (0 ，＋∞ )
过定点 (0 ， 1) ，即 x ＝ 0 时，y＝1
性质
减函数 增函数
【题型归纳】
题型一： 由指数（型）的单调性求参数
1．已知 是定义域为 上的减函数，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．“ ”是“函数 在R上为增函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知函数 对 ， ，满足 ，则实数a的取
值范围是（ ）
A． B．
C． D．
题型二：比较指数幂的大小
4．已知 ，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知偶函数 在 上单调递减，若 ， ， ，则（ ）
第 1 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B．
C． D．
6．已知函数 是定义在 上的偶函数，且当 时，对任意的不相等实数 总有
成立，则（ ）
A． B．
C． D．
题型三：由指数函数的单调性解不等式
7．已知奇函数 在 上单调递减，且 ，则不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数 是奇函数，当 时， ，则不等式 的解集是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知函数 是 上的单调函数，且对于任意实数 ，都有 ，则满足不等式 的
的取值范围是（ ）
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
【双基达标】
10．已知 （ ，且 ），且 ，则a的取值范围是（ ）
第 2 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A．（0，＋∞） B．（1，＋∞）
C．（－∞，1） D．（0，1）
11．函数 （ ）
A．是 上的减函数
B．是 上的增函数
C．在 上是减函数，在 上是增函数
D．无法判断其单调性
12．已知 ，c＝sin1，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．a＜c＜b
13．下列函数中是偶函数且在区间 单调递减的函数是（ ）
A． B． C． D．
14．已知函数 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
15．已知函数 ，若数列 满足 ，且 是递增数列，则实数 的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
16．设 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是
A． B． C． D．
17．设 ， ，且 ，则下列关系式中不可能成立的是（ ）
第 3 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B．
C． D．
18．下列函数中，在 上单调递减的是（ ）
A． B．
C． D．
19．设函数f（x）＝a－|x|（a＞0且a≠1），f（2）＝4，则（ ）
A．f（－1）＞f（－2） B．f（1）＞f（2）
C．f（2）＜f（－2） D．f（－3）＞f（－2）
20．若 ， ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
21．若函数f(x)＝ 的定义域是[1，＋∞)，则a的取值范围是（ ）
A．[0，1)∪(1，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(0，1) D．(2，＋∞)
22．函数 ，满足对任意 ，都有 成立，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
23．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
24．已知 ， ， ，则这三个数的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
25．已知函数 ，则关于 的不等式 的解集为
第 4 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（ ）
A． B． C． D．
【高分突破】
一、单选题
26．设 ， ， ，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
27．已知 ，则 ， ， ， 中值最大的为
A． B． C． D．
28．已知x∈（e﹣1，1），令a＝lnx，b ，c＝elnx，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＜c＜b B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a
29．设 ，则（ ）
A． B． C． D．
30．f(x)＝2x·(x－a)－1在(0，＋∞)内有零点，则a的取值范围是（ ）
A．(－∞，＋∞) B．(－2，＋∞)
C．(0，＋∞) D．(－1，＋∞)
31．已知 ，则
A． B． C． D．
32．已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
33．已知函数 ，则满足 的 取值范围是（ ）
A． B． C． D．
第 5 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司34．“ ”是“函数 在 上为增函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二、多选题
35．已知函数 ， 则下列说法正确的是（ ）
A． 是奇函数
B． 的图象关于点 对称
C．若函数 在 上的最大值、最小值分别为 、 ，则
D．令 ，若 ，则实数 的取值范围是
36．下列各式比较大小，正确的是（ ）
A．1.72.5＞1.73 B．
C．1.70.3＞0.93.1 D．
37．已知函数 ， ，若 ，则（ ）
A．
B．
C．
D．
38．若 ， ，则下列表达正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
第 6 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司39．存在实数 使不等式 在 成立，则 的范围为__________．
40．若不等式 对一切实数 恒成立，则实数 的取值范围是________.
41．函数 的定义域为___________.
42．某公司通过统计分析发现，工人工作效率E与工作年限 ，劳累程度 ，劳动动机
相关，并建立了数学模型 ．
已知甲、乙为该公司的员工，给出下列四个结论：
①甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作年限长，劳累程度弱，则甲比乙工作效率高；
②甲与乙劳累程度相同，且甲比乙工作年限长，劳动动机高，则甲比乙工作效率高；
③甲与乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，劳动动机低，则甲比乙劳累程度强：
④甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短．则甲比乙劳累程度弱．
其中所有正确结论的序号是__________．
43．设函数 ，若 在 上单调递增，则 的取值范围是__________．
44．设 是定义在 上的偶函数，且当 时， ，若对任意的 ，不等式
恒成立，则符合条件的实数 的一个值是_______.
四、解答题
45．指数函数 图像经过点 ．
(1)求函数 的解析式；
(2)解不等式 ．
46．已知函数 为奇函数.
（1）求实数 的值，并判断 在 上的单调性（不必证明）；
（2）若关于 的不等式 的解集非空，求实数 的取值范围.
47．为落实中央“精准扶贫”政策，让市民吃上放心蔬菜，某企业于2020年在其扶贫基地投入300万元研发资金
用于蔬菜的开发与种植，并计划今后10年内在此基础上，每年投入的研发资金数比上一年增长 .
（1）以2021年为第1年，分别计算该企业第1年、第2年投入的研发资金数，并写出第 年该企业投入的研发资
第 7 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司金数 （万元）与 的函数关系式以及函数的定义域；
（2）该企业从哪年开始，每年投入的研发资金数将超过600万元？
48．已知函数 ，（ ， ）.
(1)若 为奇函数，求 的值和此时不等式 的解集；
(2)若不等式 对 恒成立，求 的取值范围.
49．（1）已知函数 的图像恒过定点A，且点A又在函数 的图像上，求
不等式 的解集；
（2）已知 ，求函数 的最大值和最小值.
第 8 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案
1．B
【解析】
【分析】
根据分段函数为减函数，则两段解析式均为减函数，结合区间端点处的大小关系列式求解即可
【详解】
由题意， ，故 ，解得
故选：B
2．A
【解析】
【分析】
由指数函数的性质可得 在R上为增函数的等价条件，再由充分、必要条件的定义即可得解.
【详解】
解： 在R上为增函数，则 ，即 ．
故 时， 为增函数，充分性成立；
但 为增函数，a还可以是 ，故必要性不成立．
故选：A．
3．D
【解析】
【分析】
先判断 是R上的增函数，列关于实数a的不等式组，即可求得实数a的取值范围.
【详解】
由题意，得 是R上的增函数，
则 ，解得 ，
故选：
4．D
【解析】
【分析】
利用函数的单调性判断出 ， ， ，即可得到正确答案.
【详解】
因为 为减函数，所以 ，即 ；
因为 为增函数，所以 ，即 ；
第 9 页因为 为增函数，所以 ，即 ；
所以 .
故选：D
5．C
【解析】
【分析】
利用指数、对数函数性质比较 ， ， 大小，再利用给定函数性质求解作答.
【详解】
依题意， ，而偶函数 在 上单调递减，
则 ，而 ，即 ，
所以 .
故选：C
6．D
【解析】
【分析】
根据题意可得函数当 时为减函数，再根据偶函数的对称性，结合 的大小关系判断即可
【详解】
因为当 时，对任意的不相等实数 总有 成立，故当 时 为减函数，又
偶函数 ，且 ， ，故 ，故
故选：D
7．D
【解析】
【分析】
不等式 可化为 ，构造 ，可得其单调递减及 ，即可得解
【详解】
因为 ，所以 ，令 ， 在 上单调递减，则 在 上单调递减，
是奇函数， ，则 ，则 ，故 ，故 ，
故选：D
8．B
【解析】
【分析】
根据函数为奇函数求出当 时，函数 的函数解析式，再分 和 两种情况讨论，结合指数函数的单
第 10 页调性解不等式即可.
【详解】
解：因为函数 是奇函数，所以 ，且
当 时，则 ，
则 ，
所以当 时， ，
则 ，解得 ，
，解得 ，
所以不等式 的解集是 .
故选：B.
9．A
【解析】
【分析】
先根据 是单调函数，确认 是常数 ，则 ，可求出 ，得到 解析式，再根据函数单调性的
性质，进行求解即可.
【详解】
令 ，则有 ，在 中，令 ，则有 ，
即 ，显然函数 是单调递增的，而 ，显然有 ，
因此 ， ，
因为 是 上的增函数，且 在 单调递减，
显然 在 单调递增，且 ，
所以当 时， ；
又当 时， 恒成立，
所以 的 的取值范围是 或 ；
故选：A．
10．D
【解析】
【分析】
由 ，且 ，排除AC；利用指数函数的单调性排除B，确定D.
【详解】
由 ，且 ，排除AC；
第 11 页∵ ，
当 时， 为单调递减函数，∴ ，与已知矛盾矛盾，故B错误；
当 时， 为单调递增函数，∴ ，符合题意.
故选：D.
11．B
【解析】
【分析】
利用指数函数的单调性结合单调性的性质可得出结论.
【详解】
因为指数函数 为 上的增函数，指数函数 为 上的减函数，
故函数 是 上的增函数.
故选：B.
12．D
【解析】
【分析】
由对数的运算法则求出a,然后根据指数函数与正弦函数的单调性分别对b,c进行放缩，最后求得答案.
【详解】
由题意， ， ， ，则 .
故选：D.
13．A
【解析】
【分析】
利用幂指对函数的性质逐一分析给定四个函数的单调性和奇偶性，可得结论．
【详解】
解： 是偶函数且在区间 上单调递减，满足条件；
是非奇非 偶函数，不满足条件；
是偶函数，但在区间 上单调递增，不满足条件；
是奇函数不是偶函数，不合题意.
故选： ．
14．C
【解析】
第 12 页【分析】
由函数解析式判断函数的单调性，根据单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可；
【详解】
解：因为 ，
当 时 函数单调递减，且 ，
当 时 函数单调递减，且 ，
所以函数 在 上是单调递减，
所以不等式 等价于 ，解得 ．
即不等式的解集为 ；
故选：C
15．C
【解析】
由题意可得分段函数 在每一段都是单调递增且 ，即可得解.
【详解】
因为函数 ， ，且 是递增数列，
则 ，解得 .
故选：C.
【点睛】
在处理函数与数列的综合问题时，要注意数列是一类特殊的函数，它的图象是一群孤立的点.
16．B
【解析】
【分析】
先利用指数函数 为 上的单调减函数，比较 、 的大小，再利用幂函数 在 上为增函数，比
较 、 的大小，即可得正确选项；
【详解】
解：因为 为减函数，故 ，又 在 上为增函数，故 ，
即 ，即
故选：B
【点睛】
第 13 页本题主要考查根据指数与幂函数单调性判断函数值大小问题，属于基础题.
17．D
【解析】
【分析】
由条件 ，且 分析出 的大小关系，再讨论函数 的单调性即可逐一判断作答
【详解】
因 ，且 ，则有 且 ，于是得 ，
函数 ，则 在 上递减，在 上递增，
当 时，有 成立，A选项可能成立；
当 时，有 成立，C选项可能成立；
由 知 ，即 取 某个数，存在 ，
使得 成立，如图，即B选项可能成立；
对于D，由 成立知，必有 ，由 成立知，必有 ，即出现矛盾，D选
项不可能成立，
所以不可能成立的是D.
故选：D
18．D
【解析】
【分析】
根据函数单调性的性质可判断每个选项中函数在 的单调性.
【详解】
对于A，当 时， 单调递增，故A错误；
对于B， ，故 在 和 上单调递增，故B错误；
第 14 页对于C， 在 上单调递增，故C错误；
对于D， 在 上单调递减，故D正确
故选：D.
【点睛】
本题主要考查对函数单调性的判断，根据基本初等函数的复合函数单调性进行判断即可，属于基础题.
19．D
【解析】
【分析】
由f（2）＝4求出a，容易知道函数为R上的偶函数，然后求出函数的单调区间，进而得到答案.
【详解】
由f（2）＝4得a－2＝4，又∵a＞0，∴a＝ ，f（x）＝2|x|，∴函数f（x）为偶函数，在（－∞，0）上单调递减，
在（0，＋∞）上单调递增，则A,B错误，D正确.
而f(-2)=f(2)，故C错误.
故选:D.
20．A
【解析】
【分析】
根据指数函数 以及幂函数 的单调性比较出 之间的大小关系.
【详解】
因为 在 上单调递减，所以 ，即 ，
又因为 在 上单调递增，所以 ，即 ，
所以 ，
故选：A.
【点睛】
本题考查根据指数函数、幂函数的单调性比较数值大小，难度一般.注意幂函数 当 时在 上单调递
增.
21．B
【解析】
【分析】
由不等式 的解集是 ，结合指数函数单调性可得．
【详解】
∵ax－a≥0，∴ax≥a，∴当a＞1时，x≥1．故函数定义域为[1，＋∞)时，a＞1．
故选：B．
22．C
【解析】
【分析】
第 15 页根据条件可知 在 上单调递减，从而得出 ，解出 的范围即可．
【详解】
解： 满足对任意 ，都有 成立，
在 上是减函数，
因为
，解得 ，
的取值范围是 ．
故选： ．
23．C
【解析】
【分析】
根据指数不等式以及一元二次不等式计算方法得到集合 ，然后根据并集的概念计算即可.
【详解】
由题可知： ，
所以
故选：C
24．D
【解析】
【分析】
分别判断出a、b、c的范围，与0、 、1比较大小，即可得到结论.
【详解】
因为 ，所以 .
因为 ，所以 .
而 ，所以 ，故 .
故选D.
25．D
【解析】
【分析】
第 16 页设 ，确定 的定义域、单调性和奇偶性，利用 奇偶性将不等式
转化为 ，再利用 的单调性解不等式即可.
【详解】
设 ，
因为 对任意的 恒成立，故 的定义域为R，
又
是定义在R上的奇函数，
又 均在R上单调递增，
又对于函数 ，
当 时，明显 为单调递增函数，
当 时， ，由于 在 上单调递减，故
为单调递增函数，
又函数 为连续函数，故函数 在R上单调递增，
在R上单调递增.
由 ，
可得 ，
即 ，
从而 ，
解得 .
故选：D.
26．C
【解析】
【分析】
利用指数函数的单调性及幂函数的单调性即可比较大小.
【详解】
解：令 ，该函数为减函数
所以 ，即
令 ，该函数在 上单调递增
第 17 页所以 ，即
所以a，b，c的大小关系是：
故选：C.
27．C
【解析】
【分析】
由题意首先确定 的范围，然后结合指数函数的单调性和幂函数的单调性确定所给选项中最大的数即可.
【详解】
由于 ，故 ，且 .
由指数函数的单调性可得： ， ，
由幂函数的单调性可得： ，
综上可得， ， ， ， 中值最大的为 .
故选C.
【点睛】
本题主要考查三角函数范围的应用，指数函数的单调性，幂函数的单调性的应用等知识，意在考查学生的转化能
力和计算求解能力.
28．A
【解析】
【分析】
根据 为增函数,可得 ,根据 为递减函数,可得 ,根据对数恒等式可得 .
【详解】
因为 ,且 为增函数,所以 ,
因为 且 为递减函数,所以 ,
,
所以 .
故选:A
【点睛】
本题考查了根据对数函数和指数函数的性质比较大小,关键是找中间值进行比较,属于基础题.
29．C
【解析】
【分析】
构造函数 ， 导数判断其单调性，由此确定 的大小.
【详解】
第 18 页设 ，因为 ，
当 时， ，当 时 ，
所以函数 在 单调递减，在 上单调递增，
所以 ，所以 ，故 ，即 ，
所以 ，所以 ，故 ，所以 ，
故 ，
设 ，则 ,
令 ， ，
当 时， ，函数 单调递减，
当 时， ，函数 单调递增，
又 ，
所以当 时， ，
所以当 时， ，函数 单调递增，
所以 ，即 ，所以
故选：C.
30．D
【解析】
【分析】
由题意可得a＝x－ (x＞0), 令g(x)＝x－ ，求出g(x)的值域为(－1，＋∞)即得解.
【详解】
由题意可得a＝x－ (x＞0).
令g(x)＝x－ ，
因为 都是增函数，
所以该函数在(0，＋∞)上为增函数（增函数+增函数=增函数），
所以 ，
可知g(x)的值域为(－1，＋∞)，
故当a＞－1时，f(x)在(0，＋∞)内有零点.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查函数的零点问题，考查指数函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
第 19 页31．B
【解析】
【分析】
运用中间量 比较 ，运用中间量 比较
【详解】
则 ．故选B．
【点睛】
本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．
32．A
【解析】
【分析】
利用指出函数的单调性，及对数的运算，即可求解.
【详解】
解： ，
即 ，故选A.
33．A
【解析】
【分析】
由题意可得 是偶函数，且在区间 上单调递增，则不等式 等价为 ，即
，从而得到答案.
【详解】
由 ，知 是偶函数，
不等式 等价为 ，
当 时， ， 在区间 上单调递增，
解得： .
故选：A.
【点睛】
本题考查根据函数的奇偶性和单调性求解函数不等式的问题，关键是能够利用单调性将不等式转化为自变量大小
关系，从而解出不等式，属于中档题.
34．A
【解析】
【分析】
由指数函数的性质可得 在 上为增函数的等价条件，再由充分、必要条件的定义即可得解.
【详解】
第 20 页若 在 上为增函数，则 ，即 ，
因为 是 的充分不必要条件，
所以“ ”是“函数 在 上为增函数”的充分不必要条件.
故选：A．
35．BCD
【解析】
【分析】
利用函数的奇偶性的定义，可判定A错误；利用图像的平移变换，可判定B正确；利用函数的图象平移和奇偶性，
可得判定C正确；利用函数的单调性，可判定D正确.
【详解】
由题意函数 ，
因为 恒成立，即函数 的定义域为 ，
又因为 ，所以 不是奇函数，所以 错误；
将 的图象向下平移两个单位得到 ，
再向左平移一个单位得到 ，
此时 ，所以 图象关于点 对称，
所以 的图象关于 对称，所以B正确；
将函数 的图象向左平移一个单位得 ，
因为 ，
即 ，所以函数 为奇函数，
所以函数 关于 点对称，
所以 若在 处 取得最大值，则 在 处取得最小值，
则 ，所以C正确；
由 ，可得 ，
由 ，
设 ， ，
可得 ，所以 为减函数，
可得函数 为减函数，
第 21 页所以函数 为单调递减函数，
又由 为减函数，所以 为减函数，
因为 关于点 对称，
所以 ，即 ，
即 ，解得 ，所以D正确.
故选：BCD.
【点睛】
求解函数有关的不等式的方法及策略：
1、解函数不等式的依据是函数的单调性的定义，
具体步骤：①将函数不等式转化为 的形式；
②根据函数 的单调性去掉对应法则“ ”转化为形如：“ ”或“ ”的常规不等式，从而得解.
2、利用函数的图象研究不等式，当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函
数的图象上、下关系问题，从而利用数形结合求解.
36．BC
【解析】
【分析】
A、B选项利用指数函数的单调性进行比较；C选项利用中间值1比大小；D选项利用指数函数和幂函数的单调性
比较．
【详解】
解：对于选项A：∵函数y＝1.7x在R上单调递增，且2.5＜3，
∴1.72.5＜1.73，故选项A错误，
对于选项B： ＝ ，
∵函数y＝2x在R上单调递增，且 ，
∴ ＝ ，故选项B正确，
对于选项C：∵1.70.3＞1.70＝1，0＜0.93.1＜0.90＝1，
∴1.70.3＞0.93.1，故选项C正确，
对于选项D：∵函数y＝ 在R上单调递减，且 ，
∴ ，
又∵函数y＝ 在（0，+∞）上单调递增，且 ，
∴ ，
第 22 页∴ ＜ ，故选项D错误，
故选：BC．
37．AC
【解析】
【分析】
对选项A、B，利用指数幂的运算性质即可判断选项A正确，选项B错误；
对选项C、利用 在R上单调递增即可判断，选项C正确；
对选项D、根据 ，且 ，由凹凸性有 ，又 ，
由凹凸性有 即可判断选项D错误；
【详解】
解：对选项A：因为 ，所以 ，故选项A正确；
对选项B：因为 ，所以 ，故选项B错误；
对选项C：由题意，因为 ，所以 在R上单调递增，
不妨设 ，则 ，所以 ，即 ，
故选项C正确；
对选项D：因为 ，且 ，所以由凹凸性有 ，
又 ，所以由凹凸性有 ，
所以有 ，
即 ，
即 ，故选项D错误；
故选：AC.
38．AB
【解析】
【分析】
由对数函数和指数函数、幂函数的性质判断．
【详解】
解：∵ ，∴函数 在 上单调递减，
又∵ ，
∴ ，
第 23 页∴ ，
即 ，所以选项A正确，选项B正确，
∵幂函数 在 上单调递增，且 ，
∴ ，所以选项C错误，
∵指数函数 在R上单调递减，且 ，
∴ ，所以选项D错误，
故选：AB．
39． ##a≤4##{a|a≤4}
【解析】
【分析】
利用函数 的单调性求出它在 上的最大值即可.
【详解】
函数 在R上单调递减，当 时， ，
因存在实数 使不等式 在 成立，则 .
所以 的范围为 .
故答案为：
40．
【解析】
【分析】
题目考察根据指数型函数的单调性解不等式的问题，将不等式左右两边变为底数相同的指数，根据单调性比较指
数部分大小即可
【详解】
原不等式可变形为 ，因为指数函数 为增函数，
则有 ，
即 对一切实数 恒成立.
①当 时， ，满足题意；
②当 时，若二次函数大于0恒成立，则需 且 ，
即 且 ，解得 .
综上，实数 的取值范围是 .
故答案为：
41．
【解析】
【分析】
第 24 页根据具体函数的定义域求法，结合指数函数的单调性求解.
【详解】
解：由 ，
得 ，
所以 ，
所以函数的定义域为 ，
故答案为：
42．①②④
【解析】
【分析】
利用指数函数的性质，幂函数的性质逐项分析即得.
【详解】
设甲与乙的工人工作效率 ，工作年限 ，劳累程度 ，劳动动机 ，
对于①， ， ， ， ，
∴ ， ，
则 ，
∴ ，即甲比乙工作效率高，故①正确；
对于②， ， ， ，
∴ ， ，
则 ，
∴ ，即甲比乙工作效率高，故②正确；
对于③， ， ， ， ，
∴ ， ，
，
所以 ，即甲比乙劳累程度弱，故③错误；
对于④， ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
所以 ，即甲比乙劳累程度弱，故④正确.
故答案为：①②④.
第 25 页43．
【解析】
【分析】
由函数 在每一段上都递增，列出不等式，且有 ，再联立求解即得.
【详解】
因函数 在 上单调递增，则有 在 上递增，于是得 ，
在 上也递增，于是得 ，即 ，并且有 ，即 ，解得 ，
综上得： ，
所以 的取值范围是 .
故答案为：
44． ( 内的任意一个数均可)
【解析】
【分析】
根据f(x)是 上偶函数，把 转化为 ，再根据f(x)在x≥0时的解析式把“f”去掉，
再根据指数函数的单调性转化为 即可求解计算.
【详解】
由题意， 是定义在 上的偶函数，
∵对任意的 ，不等式 恒成立，
则对任意的 ，不等式 恒成立，
当 时， ，
则 对任意的 恒成立，
函数 在 上单调递增，
∴ 对任意的 恒成立，
则x＋b≥2x或x＋b≤－2x对任意的 恒成立，
①x＋b≥2x变形为b≥x，则b≥b＋2，无解；
②x＋b≤－2x变形为b≤－3x，则b≤－3(b＋2)，解得b≤ ；
又∵b＋2＞0，∴b＞－2，故实数 的取值范围为 .
第 26 页故答案为： ( 内的任意一个数均可).
45．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）设 ，（ 且 ），将点 代入计算可得；
（2）根据函数单调性即可求出不等式的解集．
(1)
解： 指数函数的图象经过点 ，设 ，（ 且 ），
，
解得 ，
；
(2)
解：由于函数 为 上增函数，且 ，
，
解得 ，
则不等式的解集为 ．
46．（1） ， 是 上的增函数；（2） .
【解析】
【分析】
（1）根据 求出 ，再由奇函数的定义验证，根据指数函数的单调性即可求解.
（2）由（1）可得 的解集非空，转化为 在 上有解，只需 ，解
不等式即可求解.
【详解】
（1）因为 定义在 上的奇函数，可得 ，都有 ，
令 ，可得 ，解得 ，
所以 ，此时满足 ，
所以函数 是奇函数，所以 . 是 上的增函数.
（2）因为 为奇函数，且 的解集非空，
可得 的解集非空，-
又因为 在 上单调递增，所以 的解集非空，
第 27 页即 在 上有解，
则满足 ，解得 ，
所以实数 的取值范围 .
47．（1） ， ；（2）从 年开始，每年投入的研发资金数将超过600万元.
【解析】
【分析】
（1）由题设，应用指数函数模型，写出前2年的研发资金，进而确定函数解析式及定义域；
（2）由（1）得 ，利用指数的性质、对数运算求解集，进而判断从哪年开始研发资金数将
超过600万元即可.
【详解】
（1）由题设，第1年研发资金为： 万元；第2年研发资金为： 万元；
∴第 年研发资金： 且定义域为 ；
（2）由（1）知： ，即 ，
∴ ，故从第8年即 年开始，每年投入的研发资金数将超过600万元.
48．(1) ，不等式解集为 ；
(2) .
【解析】
【分析】
（1）由奇函数定义可得 ，由此可得 ，由此可将不等式化为 ，解不等式得 ，
由指数函数单调性可得 的范围；
（2）令 ，将恒成立的不等式转化为 ，由 的范围和二次函数性质可求得 的最小值，
由此可得 的范围.
(1)
为奇函数， 对 恒成立，
即 对 恒成立， .
此时 ，即 ，
或 （舍），解得： ， 不等式的解集为 .
(2)
由 得： ，即 ，
第 28 页当 时，令 ，原问题等价 对 恒成立，
即 对 恒成立，
令 ， ，
在 上单调递增，在 上单调递减， ， ，
即 的取值范围为 .
49．（1） ；（2） ， .
【解析】
【分析】
（1）结合指数函数性质首先求 的值，再解指数不等式；
（2）通过换元，设 ，并且求变量的取值范围，转化为二次函数在定义域内的最大值和最小值.
【详解】
（1）由题意知定点A的坐标为 ，
∴ 解得 .
∴ .
∴由 得， .
∴ .
∴ .
∴ .
∴不等式 的解集为 .
（2）由 得 令 ，则 ，
.
∴当 ，即 ， 时， ，
当 ，即 ， 时， .
【点睛】
本题考查指数函数与对数函数的图象与性质，考查求对数型函数的值域，求值域的方法是用换元法把函数转化为
二次函数，然后求解．
第 29 页第 30 页
