文档内容
微专题：利用导数研究函数零点问题
【考点梳理】
利用导数确定函数零点的常用方法
(1)图象法：根据题目要求画出函数的图象，标明函数极(最)值的位置，借助数形结合的思想分析问题（画草图时
注意有时候需使用极限）．
(2)利用函数零点存在定理：先用该定理判定函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最
值)及区间端点值的符号，进而判断函数在该区间上零点的个数．
【典例分析】
典例1．已知函数 ， .
(1)求函数 的极值；
(2)当 时，判断函数 在 上零点个数.
典例2．已知函数 .
(1)若 ，求曲线 在 处的切线方程；
(2)若函数 在 上无零点，求实数a的取值范围.
典例3．设函数 ，其中 ．
(1)若 ，讨论 的单调性；
(2)若 ．
（ⅰ）证明： 恰有两个零点；
（ⅱ）设 为 的极值点， 为 的零点，且 ，证明： ．
【双基达标】
第 1 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司4．已知 ，函数 .
(1)讨论 的极值点个数；
(2)若函数 有三个极值点 ，设 ，证明： .
5．已知函数 ，其中 .
（1）当 时，求函数 在 上的最值；
（2）（i）讨论函数 的单调性；
（ii）若函数 有两个零点，求 的取值范围.
6．已知函数 ， .
(1)求证： 在 处和 处的切线不平行；
(2)讨论 的零点个数.
7．已知函数 .
（1）当 时，讨论 的单调性；
（2）若 有两个零点，求 的取值范围.
8．函数 .
（1）求证： 有且仅有两个极值点；
（2）设 的两个极值点分别为 ， ，且满足 ，若函数 有三个零点，求实数 的取值范围.
9．设函数 ， .
(1)讨论函数 零点的个数；
(2)若对任意的 ， 恒成立，求m的取值范围.
10．设函数 .
第 2 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（1）讨论 在 上的单调性；
（2）证明： 在 上有三个零点.
【高分突破】
11．已知函数f(x)＝lnx＋ ＋ax(a∈R)，g(x)＝ ＋ ．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)如果函数F(x)＝f(x)－g(x)存在零点，求实数a的最小值．
12．已知函数 ．
(1)若 ，求a的取值范围；
(2)证明：若 有两个零点 ，则 ．
13．已知函数 ．
(1)当 时，求 的最大值；
(2)若 恰有一个零点，求a的取值范围．
14．已知函数 （ ）．
(1)求函数 的单调区间；
(2)若函数 有两个零点 ， ．
（i）求实数a的取值范围；
（ii）求证： ．
15．已知函数 .
(1)求证： ；
(2)若函数 无零点，求a的取值范围.
16．已知函数 ， 为 的导数.
第 3 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(1)证明：当 时， ；
(2)设 ，证明： 有且仅有2个零点.
17．设a，b为实数，且 ，函数
（1）求函数 的单调区间；
（2）若对任意 ，函数 有两个不同的零点，求a的取值范围；
（3）当 时，证明：对任意 ，函数 有两个不同的零点 ，满足 .
(注： 是自然对数的底数)
18．已知函数 ．
(1)讨论 的零点个数．
(2)若 有两个不同的零点 ，证明： ．
19．1.已知函数 （m≥0）.
(1)当m=0时，求曲线 在点（1，f（1））处的切线方程；
(2)若函数 的最小值为 ，求实数m的值.
20．已知函数 ， 为 的导数．证明：
（1） 在区间 存在唯一极大值点；
（2） 有且仅有2个零点．
21．已知函数 .
（Ⅰ）若 ，求 的单调区间；
（Ⅱ）若 ， ，求 零点个数.
22．（1）求证： ；
（2）已知 ，求 的根的个数；
（3）求证：若 ，则 ．
第 4 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司23．已知函数 在 时有极值0.
(1)求函数 的解析式；
(2)记 ，若函数 有三个零点，求实数 的取值范围.
24．已知函数 ．
（1）若 在 上单调递增，求 的取值范围；
（2）设 ，若 有三个不同的零点，求 的取值范围．
25．已知 ， .
（1）讨论 在区间 上的单调性；
（2）若 ，且 在 上有三个零点，求实数 的取值范围.
26．已知函数 .
(1)若 ，讨论 的单调性；
(2)若 ， 是函数 的两个不同的零点，证明： .
27．设函数 ，曲线 在点( ，f( ))处的切线与y轴垂直．
（1）求b．
（2）若 有一个绝对值不大于1的零点，证明： 所有零点的绝对值都不大于1．
28．已知 ，函数 ，其中e=2.71828…为自然对数的底数．
（Ⅰ）证明：函数 在 上有唯一零点；
（Ⅱ）记x 为函数 在 上的零点，证明：
0
（ⅰ） ；
（ⅱ） ．
第 5 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案
1．(1)答案见解析
(2)两个
【解析】
【分析】
（1）求定义域，求导，分 与 ，求解函数的单调性和极值；
（2）求导，分 ， ， 研究导函数的正负，得到 在 上单调递减，在
上单调递增，结合特殊点的函数值的大小，由零点存在性定理得到函数在 的零点个数.
（1）由 知定义域为 ， ①当 时，在 上 ，故 单调递减，所以无
极值.②当 时，由 得: ，当 时， 当 时， .
所以函数 有极小值为 ，无极大值.
（2）当 时， ， ，当 时， ，当 时，
单调递增，且 ， ，故在 上存在 使得 ，而当
时， .所以 在 上单调递减，在 上单调递增，且 ，
，所以 ，又 ，故由零点的存在性定理 在 上存在一个零点，在
上也存在一个零点.所以 在 上有两个零点.
【点睛】
导函数求解函数零点个数问题，要利用导函数研究函数的单调性，进而求出函数的极值情况，结合特殊点的函数
值的正负，零点存在性定理进行求解.
2．(1) ;(2) .
【解析】
【分析】
(1)根据导数的几何意义求解即可；
(2)求导，对 分类讨论，根据函数的最值与0的关系即可求解.
【详解】
解：（1）由题得 ，
则 ，
第 6 页， ，
曲线 在 处的切线方程为 ，即 .
（2） ，
①当 时， ， 在 上单调递减，
在 上无零点且 ，
则 ，
；
②当 时，
令 得 ，
若 即 时， ， 在 上单调递增，
由 可知， 符合条件；
若 ，即 时， ， 在 上单调递减，
在 上无零点且 ，则 ， ；
若 ，即 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，
， ， ，
，
综上，a的取值范围为 .
3．(1) 在 上单调递增
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）先求导数，利用导数的符号判定函数的单调性；
（2）（ⅰ）求导数，得出函数 有唯一极值点，判定极值点两侧函数值的符号可证结论；
（ⅱ）根据极值点和零点的含义，把 消去，借助不等式 ，可证结论.
（1） ．∵ 时， ，∴函数 在 上单调递增．
（2）证明：（i）由（1）可知： ．令 ， ∵
第 7 页， ，∴ 在 上单调递减，又 ，且
∴ 存在唯一解 ．且 时， ， 时， ，即函数 在 上单调
递增，在 单调递减．∴ 是函数 的唯一极值点．令 ，可得
，∴ 时， ， ∵
．∴函数 在 上存在唯一零点．又函数 在 上有唯一零点1．因此函数 恰
有两个零点；（ii）由题意可得： ，即 ，∴ ，即
，∵ ，可得 ．又 ，故 ，取对数可得：
，整理可得： ．
【点睛】
关键点点睛：本题主要考查导数的应用，函数单调性的判定可由导数的正负来判定；零点问题一般转化为极值最
值问题进行处理；不等式的证明通常利用放缩法以及常用不等式来处理.
4．(1)当 时， 有3个极值点；当 时， 有1个极值点；
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）对函数求导，因式分解，构造新函数，研究其单调性，求出最大值，利用求出的最大值，对 进行分类讨论，
求出不同情况下的极值点个数；
（2）结合第一问的结果，令 ，原不等式证明问题转化为关于t的不等式证明问题，即
在 上恒成立，二次求导，研究其单调性，最后证明出不等式.
(1)
由题可知， 的定义域为 ，
.
令 ，则 ，
当 时， ，所以 在 上单调递增；
当 时， ，所以 在 上单调递减；所以 .
①当 时，即 ，又 ，则有当 时， ，当 时， ，且当 时，
，所以函数 的图象与 有两个不同的交点在 上，即方程 有两解 ，
在 上.
第 8 页又 ，记 ，则有 ，且 ，
所以当 时， ，则 在 上单调递减；
当 时， ，则 在 上单调递增；
当 时， ，则 在 上单调递减；
当 时， ，则 在 上单调递增，
所以 有3个极值点 ， ， .
②当 时，对任意 都有 ，所以 ；
又 ，所以当 时， ，则 在 上单调递减；
当 时， ，则 在 上单调递增；
所以 有一个极值点 .
综上，当 时， 有3个极值点；当 时， 有1个极值点.
(2)
证明：由（1）可知， ，要证 ，
只需证 .
由 ， ，令 ，则 ，
则有 可得
要证 ，即证 ，又由于 ， ，
即证不等式 在 上恒成立.
令 （ ），
则有 ， ；令 ，得 ；
所以当 时， ，则 在 上单调递减；
当 时， ，则 在 上单调递增.
又 ， ，则有 ，
所以存在唯一 ，使得 ；
所以当 时， ，则 在 上单调递增；
当 时， ，则 在 上单调递减；
所以当 时， ，则 在 上单调递增.
又 ， ，则有 ，所以当 时， ，故原不等式成立.
【点睛】
函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与
第 9 页函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、
化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据
题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去
解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
5．（1）最大值为 ，最小值为 ；（2）（i）见详解；（ii） .
【解析】
（1）由 得 ，对其求导，利用导数的方法判定其在 上单调性，即可求出最值；
（2）（i）先对函数求导，分别讨论 和 两种情况，利用导数的方法，即可判定函数单调性；
（ii）由（i）中函数单调性，先判断 时不满足题意，再由 时函数的单调性，得到 ，由
函数零点个数，必有 ，求出 的范围，再进行验证，即可得出结果.
【详解】
（1）由 得 ，所以 ，
当 时， ，则 单调递减；
当 时， ，则 单调递增；
所以 ；又 ， ，
所以 ；
即 在 上的最大值为 ，最小值为 ；
（2）（i） ，
当 时， 恒成立；即 在定义域 上单调递增；
当 时，若 ，则 ；若 ，则 ，
所以 在 上单调递减；在 上单调递增；
综上，当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 上单调递减；在 上单调递增；
（ii）由（i）知，当 时， 在定义域 上单调递增；不可能有两个零点；
当 时， ；
为使 有两个零点，必有 ，即 ；
又 ，
第 10 页令 ， ，则 在 上恒成立，
即 在 上单调递增，
所以 ，即 ，
所以根据零点存在性定理可得，存在 ，使得 ；
又 ，
根据零点存在性定理可得，存在 ，使得 ，
综上，当 时，函数 有两个零点.
【点睛】
思路点睛：
利用导数的方法求解由函数零点个数求参数范围问题时，一般需要先对函数求导，利用导数的方法判定函数单调
性，求出极值，进而可求出零点个数.（有时也需要分离参数，构造新的函数，将问题转化为两函数图象交点个数
问题进行求解）
6．(1)证明见解析；
(2)答案见解析.
【解析】
【分析】
（1）求 ，若两切线平行，根据导数的几何意义可得 ，解得 的值与 矛盾即可求证；
（2）利用导数判断 的单调性，计算极大值 ，极小值 ，讨论 ，
， ，结合零点存在性定理以及单调性即可求解.
(1)
由 可得 ，
若 在 处和 处的切线平行，
则有 ，即 ，
解得： ，与 矛盾，
所以 在 处和 处的切线不平行.
(2)
因为 ，
由 可得 或 ；由 可得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 的极大值为 ，
因为 ， ，
第 11 页在 上单调递增，
由零点存在性定理可知在区间 上存在一个零点 ，
的极小值为 .
①当 即 时， ，而 ，
因为 在 和 上没有零点；此时 有且只有 个零点 ，
②当 即 时， ，
由单调性可知， 有且仅有 个零点 ，1；
③当 即 时， ， ， ，
所以存在 ， ；存在 ， ；
由单调性可知，此时 有且仅有 个零点 ， ， ，
综上，当 时， 有且仅有 个零点；
当 时， 有且仅有 个零点；
当 时， 有且仅有 个零点.
7．（1） 的减区间为 ，增区间为 ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）将 代入函数解析式，对函数求导，分别令导数大于零和小于零，求得函数的单调增区间和减区间；
（2）若 有两个零点，即 有两个解，将其转化为 有两个解，令 ，求
导研究函数图象的走向，从而求得结果.
【详解】
（1）当 时， ， ，
令 ，解得 ，令 ，解得 ，
所以 的减区间为 ，增区间为 ；
（2）若 有两个零点，即 有两个解，
从方程可知， 不成立，即 有两个解，
令 ，则有 ，
令 ，解得 ，令 ，解得 或 ，
第 12 页所以函数 在 和 上单调递减，在 上单调递增，
且当 时， ，
而 时， ，当 时， ，
所以当 有两个解时，有 ，
所以满足条件的 的取值范围是： .
【点睛】
本题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性，根据零点个数求参
数的取值范围，在解题的过程中，也可以利用数形结合，将问题转化为曲线 和直线 有两个交点，
利用过点 的曲线 的切线斜率，结合图形求得结果.
8．（1）证明见解析；（2）答案见解析.
【解析】
（1）证明方程 有两个变号的根即可；
（2）利用韦达定理和条件 ，求出 或 ，再进行分类讨论，根据三次函数的图象特征得到不等
式组，进而求得 的取值范围；
【详解】
（1）证明：由题意可得 ，
令 ，得方程 ，
恒成立，所以 有两个根，
不妨假设为 ， ，且 ，
所以当 ， ， 单调递增；
当 ， ， 单调递减；
当 ， ， 单调递增；
故 有两个极值点；
（2）由（1）得 的两个极值点分别为 ， ，
则 ， 是方程 的两根， ， ，
因为 ，
所以 ，
解得： 或 ；
①当 时， ， ， ， ，所以 在 单调递增，
第 13 页在 单调递减，在 单调递增，所以 的极大值为 ，极小值为 ，要使得函数 有三
个零点，只需 即可，解得： ；
②当 时， ， ， ， ，所以 在
单调递增，在 单调递减，在 单调递增，所以 的极大值为 ，极小值为 ，
要使得函数 有三个零点，只需 即可，解得： ；
综上所述：当 时， ；当 时， .
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的极值点、零点问题，求解时要充分利用三次函数的图象特征，通过极大值、极小值
的正负得到参数的取值范围.
9．(1)答案见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用导数研究函数 的图像与性质，进而数形结合即可求出结果；
（2）构造 ，进而可得可得 在 上单调递减，从而有 在 上恒
成立，参变分离即可求出结果.
(1)
函数 ，
令 ，得 ，
设 ，
则 ，
所以当 时， ， 在 上单调递增；
当 时， ， 在 上单调递减；
所以 的最大值为 ，
第 14 页又 ，可知：
①当 时，函数 没有零点，
②当 时，函数 有且仅有1个零点，
③当 时，函数 有2个零点，
④当 时，函数 有且只有1个零点.
综上所述，当 时，函数 没有零点；
当 或 时，函数 有且仅有1个零点；
当 时，函数 有2个零点.
(2)
对任意 ， 恒成立，
等价于 恒成立，
设 ，则 ，
可得 在 上单调递减，
所以 在 上恒成立，
分离m可得 恒成立，
所以 ，所以m的取值范围是 .
【点睛】
（1）利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．关键是分离参数k，把所求问题转化为求函数
的最小值问题．
（2）若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，
从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．
10．（1） 的单调递减区间为 ， ；单调递增区间为 ， .（2）证明见解析
【解析】
（1）利用导数的正负可求函数的单调区间.
（2）结合函数的单调性和零点存在定理可证明 在 上有3个零点，再构建新函数可证明 在
上没有零点.
第 15 页【详解】
（1） ，
由 及 ，得 或 或 .
当 变化时， 和 的变化情况如下表：
0
－ 0 ＋ 0 － 0 ＋
↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
所以 的单调递减区间为 ， ；
的单调递增区间为 ， .
（2）当 时，由（1）得，
的极小值分别为 ， ；
极大值 .又 ，
所以 在 上仅有一个零点0；
在 ， 上各有一个零点.
当 时， ，
令 ，则 ，
显然 时， 单调递增， ；
当 时， ，
从而 时， ， 单调递减，
因此 ，即 ，
所以 在 上没有零点.
第 16 页当 时， ，
令 ，则 ，
显然 时， ， ；
当 时， ，
从而 时， ， 单调递增，
因此 ，即 ，
所以 在 上没有零点.
故 在 上仅有三个零点.
【点睛】
本题考查函数的单调性以及函数的零点个数判断，注意函数零点个数的判断，需利用函数的单调性和零点存在定
理来判断，选择怎样的点来计算其函数值且函数值异号是关键，可根据解析的特点选择合适的点.另外证明函数在
给定的范围上无零点，可利用放缩法把不易处理的函数转化为容易讨论的新函数来处理.
11．(1)答案见解析；
(2) .
【解析】
【分析】
(1)求f(x)定义域，求f(x)导数 ，讨论 在x＞0时的值域即可判断f(x)的单调性；
(2)令F(x)＝0，参变分离得 有解，令 ，求h(x)导数，利用导数判断h(x)单
调性求出其最小值即可.
(1)
的定义域为 ，
对于函数 ，
当 时，即 时， 在 恒成立．
∴ 在 恒成立，∴ 在 为增函数；
当 ，即 或 时，
当 时，由 ，得 或 ， ，
∴ 在 上为增函数，在 上为减函数，
第 17 页在 上为增函数．
当 时，由 在 恒成立，∴ 在 上为增函数．
综上，当 时， 在 上为增函数，在 上为减函数，在
上为增函数；
当 时， 在 上为增函数；
(2)
．
存在零点，即 有解，
令 ， ，
令 ，得 ，
当 时， 单调递减；
当 时， 单调递增，
∴ ，
当 时， 有零点，从而有 ．
【点睛】
本题主要考查利用导数判断函数的单调性，利用导数处理与零点有关的问题，关键在于参变分离构造不含参数的
函数，利用导数研究新函数的单调性和最小值．
12．(1)
(2)证明见的解析
【解析】
【分析】
（1）由导数确定函数单调性及最值，即可得解；
（2）利用分析法，转化要证明条件为 ，再利用导数即可得证.
（1） 的定义域为 ， 令 ,得 当
单调递减当 单调递增 ，若 ,则
,即 所以 的取值范围为
（2）由题知, 一个零点小于1,一个零点大于1不妨设 要证 ,即证 因为 ,即证
第 18 页因为 ,即证 即证 即证
下面证明 时， 设 ，则
设
所以 ,而 所以 ,所以 所以
在 单调递增即 ,所以 令
所以 在 单调递减即 ,所以 ；
综上, ,所以 .
【点睛】
关键点点睛 ：本题是极值点偏移问题，关键点是通过分析法，构造函数证明不等式
这个函数经常出现，需要掌握
13．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由导数确定函数的单调性，即可得解；
（2）求导得 ，按照 、 及 结合导数讨论函数的单调性，求得函数的极值，即
可得解.
（1）当 时， ，则 ，当 时， ， 单调递增；当
时， ， 单调递减；所以 ；
（2） ，则 ，当 时， ，所以当
时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减；所以
，此时函数无零点，不合题意；当 时， ，在 上， ，
单调递增；在 上， ， 单调递减；又 ，由（1）得 ，即 ，
所以 ，当 时， ，则
第 19 页存在 ，使得 ，所以 仅在 有唯一零点，符合题意；当 时，
，所以 单调递增，又 ，所以 有唯一零点，符合题意；当 时， ，
在 上， ， 单调递增；在 上， ， 单调递减；此时 ，
由（1）得当 时， ， ，所以 ，此时
存在 ，使得 ，所以
在 有一个零点，在 无零点，所以 有唯一零点，符合题意；综上，a的取值范围为 .
【点睛】
关键点点睛：解决本题的关键是利用导数研究函数的极值与单调性，把函数零点问题转化为函数的单调性与极值
的问题.
14．(1)当 时，函数 的单调增区间为 ；当 时，函数 的单调增区间 ，单调减
区间是
(2)（i） （ii）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）先求定义域，求导，对 进行分类讨论，求对应的单调区间；
（2）（i）结合第一问中函数的单调性及极值，最值，找到不等式，解不等式，求出实数a的取值范围；（ii）构
造差函数，证明极值点偏移问题.
(1)
定义域为 ， ，
①当 时，有 恒成立， 是函数 的单调增区间，无递减区间；
②当 时，由 ，解得 ，由 ，解得 ，故函数 的增区间
，减区间是 ．
综上：当 时，函数 的单调增区间为 ；当 时，函数 的单调增区间 ，单调减区
间是
(2)
第 20 页（i）由（1）知：当 时， 在 上单调递增，
函数 不可能有两个零点；
当 时，因为 在 上递增，在 上递减，
因为 ，故 ，
设 ， ，
则 ，当 时， ，当 时， ，故 在 处取得极大值，也是最大
值， ，所以 ，
故 ，即 取
，
则
因此，要使函数 且两个零点，只需 ，
即 ，化简，得 ，
令 ，因为 ，
所以函数 在 上是单调递增函数，
又 ，故不等式 的解为 ，
因此，使求实数a的取值范围是： .
（ii）因为 ，所以 ， ，
下面先证明 ，
根据（1）的结果，不妨设 ，则只需证明 ，
因为 在 时单调递增，且 ， ，
于是只需证明 ，
因为 ，所以即证 ，
第 21 页记 ， ，
，
所以 在 单调递增，则 ，
即证得 ，原命题得证.
【点睛】
极值点偏移问题，可以通过构造差函数进行解决，也可以变多元为多元求解，利用对数平均不等式也能解决，选
择哪种方案，需要结合函数特点进行选择.
15．(1)证明见解析；
(2) .
【解析】
【分析】
（1）求出 ，讨论其符号后可得函数的单调性，结合原函数的最值可得不等式成立.
（2）分 三种情况讨论，当 时求出 ，利用导数可得函数最大值，根据无零点建立不等式
求解，当 时，可得 满足无零点.
(1)
，
则当 时， ，当 时， ，
故 在 上为增函数，在 上减函数，
故 即 .
(2)
，故 ，
当 时， 在定义域上无零点;
当 时， ，故 ，
所以当 时， ，当 时， ，
故 在 上为增函数，在 上减函数，
第 22 页因为函数 无零点，故 ，即 ；
当 时，因为 ，所以 ，
即 ，
所以 在定义域上无零点.
综上， 的取值范围是 .
16．(1)证明过程见解析
(2)证明过程见解析
【解析】
【分析】
（1）令 ，利用导数判断 的单调性，并求出其最小值即可证明；
（2）由（1）可知， 在 上单调递增，利用零点存在性定理可证明在这个区间上有一个零点，通过构造
函数即可证明 在 上单调递减，同理利用零点存在性定理可证明在这个区间上有一个零点，即可得证.
(1)
由 ，
设 ，则 ，
当 时，设 ， ，
∵ ， ，
∴ 和 在 上单调递增，
∴ ， ，
∴当 时， ， ，
则 ，
∴函数 在 上单调递增，
∴ ，
即当 时， ;
(2)
由已知得 ，
①当 时，
∵ ，
∴ 在 上单调递增，
又∵ ， ，
∴由零点存在性定理可知 在 上仅有一个零点，
第 23 页②当 时，
设 ，则 ，
∴ 在 上单调递减，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 在 上单调递减，
又∵ ， ，
∴由零点存在性定理可知 在 上仅有一个零点，
综上所述， 有且仅有2个零点.
17．(1) 时， 在 上单调递增； 时，函数的单调减区间为 ，单调增区间为
；
(2) ；
(3)证明见解析.
【解析】
【分析】
(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论即可确定函数的单调性；
(2)将原问题进行等价转化，然后构造新函数，利用导函数研究函数的性质并进行放缩即可确定实数a的取值范围；
(3)方法一：结合(2)的结论将原问题进行等价变形，然后利用分析法即可证得题中的结论成立.
【详解】
(1) ，
①若 ，则 ，所以 在 上单调递增；
②若 ，
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增.
综上可得， 时， 在 上单调递增；
时，函数的单调减区间为 ，单调增区间为 .
(2) 有2个不同零点 有2个不同解 有2个不同的解，
令 ，则 ，
第 24 页记 ，
记 ，
又 ，所以 时， 时， ，
则 在 单调递减， 单调递增， ，
.
即实数 的取值范围是 .
(3)[方法一]【最优解】：
有2个不同零点，则 ，故函数的零点一定为正数.
由(2)可知有2个不同零点，记较大者为 ，较小者为 ，
，
注意到函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
故 ，又由 知 ，
，
要证 ，只需 ，
且关于 的函数 在 上单调递增，
所以只需证 ，
只需证 ，
只需证 ，
，只需证 在 时为正，
由于 ，故函数 单调递增，
又 ，故 在 时为正，
从而题中的不等式得证.
[方法二]：分析+放缩法
第 25 页有2个不同零点 ，不妨设 ，由 得 （其中 ）．
且 ．
要证 ，只需证 ，即证 ，只需证 ．
又 ，所以 ，即 ．
所以只需证 ．而 ，所以 ，
又 ，所以只需证 ．
所以 ，原命题得证．
[方法三]：
若 且 ，则满足 且 ，由（Ⅱ）知 有两个零点 且 ．
又 ，故进一步有 ．
由 可得 且 ，从而
．．
因为 ，
所以 ，
故只需证 ．
又因为 在区间 内单调递增，故只需证 ，即 ，注意 时有
，故不等式成立．
【整体点评】
本题第二、三问均涉及利用导数研究函数零点问题，其中第三问难度更大，涉及到三种不同的处理方法，
方法一：直接分析零点 ，将要证明的不等式消元，代换为关于 的函数，再利用零点反代法，换为关于
的不等式，移项作差构造函数，利用导数分析范围.
方法二：通过分析放缩，找到使得结论成立的充分条件，方法比较冒险！
方法三：利用两次零点反代法，将不等式化简，再利用函数的单调性，转化为 与0比较大小，代入函
数放缩得到结论.
18．(1)答案见解析
(2)证明见解析
【解析】
第 26 页【分析】
（1）先通过求导得到函数的单调区间，再运用数形结合思想分类讨论即可求解；
（2）将问题转化为研究函数的单调性后再求解即可.
(1)
因为 ，所以1不是 的零点．
当 ，可变形为 ，
令 ，则 的零点个数即直线 与 图象的交点个数．
因为 ， ，得 ，又 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增．
因为 ，且当 时， ，
所以当 时， 没有零点；
当 时， 有一个零点；
当 时， 有两个零点．
(2)
证明：由（1）知，当 时， 有两个零点．
设 ，则 ，
由 得 ，
所以 ，即 ．
令 ，则 ，
易得 在 上单调递减，在 上单调递增．
要证 ，即证 ．
因为 ，且 在 上单调递增，所以只需证 ．
因为 ，所以即证 ．
令 ，
则 ，
所以 在 上单调递减．
因为 ，所以 ．
因为 ，所以 ，故 ．
19．(1)
(2)
第 27 页【解析】
【分析】
（1）求导，利用导函数的几何意义求解切线方程的斜率，进而求出切线方程；（2）对导函数再次求导，判断其
单调性，结合隐零点求出其最小值，列出方程，求出实数m的值.
(1)
当 时，因为 ，所以切线的斜率为 ，
所以切线方程为 ，即 .
(2)
因为 ，令 ，
因为 ，所以 在 上单调递增，
当实数 时， ， ；
当实数 时， ， ；
当实数 时， ，
所以总存在一个 ，使得 ，
且当 时， ；当 时， ，
所以 ，
令 ，因为 ，所以 单调递减，
又 ，所以 时，
所以 ，即 .
20．（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）求得导函数后，可判断出导函数在 上单调递减，根据零点存在定理可判断出 ，使得
，进而得到导函数在 上的单调性，从而可证得结论；（2）由（1）的结论可知 为 在
上的唯一零点；当 时，首先可判断出在 上无零点，再利用零点存在定理得到 在
上的单调性，可知 ，不存在零点；当 时，利用零点存在定理和 单调性可判断出存
第 28 页在唯一一个零点；当 ，可证得 ；综合上述情况可证得结论.
【详解】
（1）由题意知： 定义域为： 且
令 ，
，
在 上单调递减， 在 上单调递减
在 上单调递减
又 ，
，使得
当 时， ； 时，
即 在 上单调递增；在 上单调递减
则 为 唯一的极大值点
即： 在区间 上存在唯一的极大值点 .
（2）由（1）知： ，
①当 时，由（1）可知 在 上单调递增
在 上单调递减
又
为 在 上的唯一零点
②当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减
又
在 上单调递增，此时 ，不存在零点
又
，使得
第 29 页在 上单调递增，在 上单调递减
又 ，
在 上恒成立，此时不存在零点
③当 时， 单调递减， 单调递减
在 上单调递减
又 ，
即 ，又 在 上单调递减
在 上存在唯一零点
④当 时， ，
即 在 上不存在零点
综上所述： 有且仅有 个零点
【点睛】
本题考查导数与函数极值之间的关系、利用导数解决函数零点个数的问题.解决零点问题的关键一方面是利用零点
存在定理或最值点来说明存在零点，另一方面是利用函数的单调性说明在区间内零点的唯一性，二者缺一不可.
21．（Ⅰ）单调减区间 ，单调增区间 ， ；（Ⅱ）有且只有一个零点.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）求得导函数，进而求得导函数的零点，得到导函数的正负区间，从而得到原函数的增减区间；（Ⅱ）利用
导数研究函数的单调性，并结合零点存在定理得到零点个数.
【详解】
（Ⅰ）当 时， ，所以 .
令 ，解得 ，和 ，
当 或 ， ，所以 ， 是单调增区间；
当 ， ，所以 是单调减区间；
（Ⅱ） ， ，∵ ， 成立，
第 30 页∴令 ,解得 ，
∵ ， ，
∴函数 在 上上的单调性是：
在 内单调递减，在 内单调递增.
易知 .
当 时 ，∴当 时，只要 ,即 且 时，即
时必有 ，
∴当 时，函数 在 上只有一个零点.
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性，零点问题，属基础题，其中利用导数研究函数的单调性是关键；利用放缩
法判定当 足够大时函数值大于零，是利用零点存在定理证明有一个零点的必要步骤.
22．（1）证明见解析；（2）当 时，函数 没有零点；当 时， 有一个零点；当 时，函数
有两个零点；（3）证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）用分析法分析“要证 ，只需证 ，只需证 ”，用综合法写出证明过
程.
（2）由指数函数 ，结合符号法则先分段讨论，易知当 时，无零点；当 时，将分式型函
数零点转化为整式型函数的零点问题，构造研究新函数的单调性与极值；再分类讨论极值与 的大小，最后利用零
点存在性定理确定零点个数；
（3）借助(1)中已证不等式，将根式形式转化为一次形式，再构造新函数，求证新函数最小值大于零即可.其中最
小值在求解时，要注意导函数隐零点问题的处理，利用零点满足的等量关系将指数运算降阶回代，从而达到化简
求值的目的.
【详解】
（1）证明：当 时， ，且 ，
(当且仅当 时，等号成立).
即 .
（2） ， ，
第 31 页当 时， ， ，则 恒成立，
函数 没有零点；
当 时， ．
令 ， 的零点即为函数 的零点.
则 ，
令 ，解得 ，
当 时， ， 是减函数；
当 时， ， 是增函数，
函数 在 上的最小值为 ．
当 时， ，又 ，即0是函数 的唯一的零点；
当 时， ，
函数 没有零点；
当 时， ，又 ，
且 在 是增函数，
由零点存在性定理知， 在 有且仅有一个零点；
又 ，令 ，
则 ， 在 是增函数，则 ，
即 ，又 ，且 在 是减函数，
由零点存在性定理知， 在 有且仅有一个零点；
故当 时，函数 有两个零点．
综上所述，当 时，函数 没有零点；当 时， 有一个零点；当 时，函数 有两个零点．
（3）证明：由(1)知当 时， ，
只需证当 时， ．
设 ，
则 ．
令 ，
则 ，由 ，解得 ，
当 ， ， 在 上单调递减，
第 32 页且 ， 无零点，
当 ， ， 在 上单调递增．
又 ，且 ，
在 上只有一个零点 ， ，且 满足 ，即 ，
在 上单调递减，在 上单调递增，
，即 .
．
又 ，且 ，
．
【点睛】
这是一类借助导函数隐零点求解函数最值的问题.通常的思维过程分为观察、判断、虚设、回代几个阶段，首先观
察有无特殊零点，其次判断是否存在零点，如果存在，则设出零点，分析原函数的单调性，判定隐零点处取到函
数最值，最后找出零点满足的等量关系回代求值，回代过程中注意运算在降阶角度的分析，如本题中指数运算简
化为二次运算求值.
23．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）求出函数 的导函数，由 在 时有极值0,则 ，两式联立可
求常数a，b的值，从而得解析式；
（2）利用导数研究函数的单调性、极值，根据函数图象的大致形状可求出参数 的取值范围.
(1)
由 可得 ，
因为 在 时有极值0，
所以 ，即 ，解得 或 ，
当 时， ，
函数 在R上单调递增，不满足在 时有极值，故舍去.
所以常数a，b的值分别为 .
所以 .
(2)
由（1）可知 ，
第 33 页，
令 ，解得 ，
当 或 时 ，当 时， ，
的递增区间是 和 ，单调递减区间为 ，
当 有极大值 ，
当 有极小值 ，
要使函数 有三个零点，则须满足 ，解得 .
24．（1） ；（2） ．
【解析】
【分析】
（1）又条件可知 ，参变分离后 ，转化为求函数的最小值，求参数的取值范围；（2）首先求
函数的导数， ，再分 和 两种情况讨论函数的极值点和单调性，再
根据函数有三个不同的零点，列式求参数的取值范围.
【详解】
，
若 在 上单调递增，则 ，即 ．
设 ，则 ，
令 得 ，当 时， ，当 时， ，
所以 ，
因此 的取值范围为 ．
（2）由题意 ，则 ．
若 ， ， 随 变化的情况如下表：
0
极小值
此时 不可能有三个零点．
若 ，令 ，得 或 ．
第 34 页①若 ，即 ， ， 随 变化的情况如下表：
0 0
极大值 极小值
要使 有三个不同的零点，需 得 且 ．
②若 ，即 ，此时 ， 单调递增，不可能有三个零点．
③若 ，即 ， ， 随 变化的情况如下表：
0 0
极大值 极小值
要使 有三个不同的零点，
需 无解．
综上所述： 的取值范围是 ．
【点睛】
关键点点睛：本题考查根据不等式恒成立和零点问题求参数的取值范围，本题第二问的关键是求导后讨论的思想
的应用，分 和 两种情况讨论极值点的个数，当 时，还需讨论极值点的大小关系.
25．（1） ， 单调递增； ， 单调递减， 单调递增； ， 单调递减；
（2） .
【解析】
【分析】
（1）由题设得 ，讨论 、 、 判断 在 上的符号，即可得 的单调性；
（2）由题设可得 ，易知 且 ，要使 在
第 35 页上有三个零点，即 在 上有两个不相等的实根，讨论参数a，当 时构造
，利用导数研究极值，进而求 的取值范围.
【详解】
（1）由题设， ，而 上 ，
∴当 时， 上 恒成立， 单调递增；
当 时， 上 ， 单调递减； 上 ， 单调递增；
当 时， 上 恒成立， 单调递减；
（2）由题意， ，又 ，
∴ ，得 ，
∴ ，而 ，
∴要使 在 上有三个零点，即 上 只有一个零点即可，故 在 上有两个极值点，
∵ ，则 在 上有两个不相等的实根，而 ，
∴由（1）知：当 时， 递增，不合题意；当 时， 递减，不合题意；
当 时， 在 递减， 递增；而 ，
令 且 ，则 ，
∴当 时， 有 递减；当 时， 有 递增；
∴ ，即 ，
∴只需 ，即 ，此时 在 上有三个零点.
∴ 的取值范围为 .
【点睛】
关键点点睛：第二问，将问题转化为 在 上有两个不相等的实根，讨论参数，并构造中间函数并利用
导数研究最值的符号、单调性，进而求出参数范围.
26．(1) 在 上递减，在 上递增，
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）对函数求导后，由导函数的正负可求出函数的单调区间，
第 36 页（2）由题意可得 ， ，两式相减化简可得 ，若令
，设 ，则 ，从而转化为证 ，构造函数可证得 ，
而要证 。转化为证 ，构造函数利用导数证明即可
(1)
的定义域为 ， ，
当 时， ，
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上递减，在 上递增，
(2)
因为 ， 是函数 的两个不同的零点，
所以 ， ，
显然 ，则有
， ，
所以 ，
不妨令 ，设 ，
所以 ，
所以要证 ，
只要证 ，即 ，
令 （ ），则 ，
所以 在 上递增，
所以 ，所以 ，
因为 ， ，
所以
要证 ，只要证 ，即 ，
第 37 页因为 ，所以只要证 ，
即 ，即 ，
令 ，则 ，
所以 在 上递减，
所以 ，所以 ，
综上，
【点睛】
关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数证明不等式，解题的关
键是由已知可得 ， ，设 ，再转化 ，然后
相加化简后，构造函数利用导数证明即可，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题
27．（1） ；（2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）利用导数的几何意义得到 ，解方程即可；
（2）方法一：由（1）可得 ，易知 在 上单调递减，在 ，
上单调递增，且 ，采用反证法，推出矛盾即可.
【详解】
（1）因为 ，由题意， ，即： ，则 ．
（2）［方法一］：通性通法
由（1）可得 ， ，
令 ，得 或 ；令 ，得 ，
所以 在 上单调递减，在 ， 上单调递增，
且 ，
若 所有零点中存在一个绝对值大于1的零点 ，则 或 ，
即 或 .
第 38 页当 时， ，
又 ，
由零点存在性定理知 在 上存在唯一一个零点 ，
即 在 上存在唯一一个零点，在 上不存在零点，
此时 不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；
当 时， ，
又 ，
由零点存在性定理知 在 上存在唯一一个零点 ，
即 在 上存在唯一一个零点，在 上不存在零点，
此时 不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；
综上， 所有零点的绝对值都不大于1.
［方法二］【最优解】：
设 是 的一个零点，且 ，则 ．
从而 ．
令 ，由判别式 ，可知 在R上有解， 的对称轴是
，所以 在区间 上有一根为 ，在区间
上有一根为 ，进而有 ，所以 的所有零点的绝对值均不大于1．
［方法三］：
设 是函数 的一个绝对值不大于1的零点，且 ．设 ，则 ，
显然 在区间 内单调递减，在区间 内单调递增，在区间 内单调递减．又
，于是 的值域为 ．
设 为函数 的零点，则必有 ，于是 ，所以
解得 ，即 ．
综上， 的所有零点的绝对值都不大于1．
第 39 页［方法四］：
由（1）知， ，令 ，得 或 ．则 在区间 内递增，
在区间 内递减，在区间 内递增，所以 的极大值为 的极小值为
．
（ⅰ）若 ，即 或 ， 有唯一一个零点 ，显然有 ，不满足题意；
（ⅱ）若 ，即 或 ， 有两个零点，不妨设一个零点为 ，显然有 ，此
时， ，则 ，另一个零点为1，满足题意；同理，若一个零点为 ，则另一个零点为
．
（ⅲ）若 ，即 ， 有三个零点，易知在区间 内有一个零点，不妨设为 ，
显然有 ，又 ， ，所以在 内有一个零点m，显然 ，同理， 在 内
有一个零点n，有 ．
综上， 所有零点的绝对值都不大于1．
［方法五］：
设 是 的一个零点且 ，则 是 的另一个零点．
．
则 ，设 ，由判别式 ，所以方程有解．
假设实数 满足 ．
由 ，得 ．与 矛
盾，假设不成立．
所以， 所有零点的绝对值都不大于1．
【整体点评】
（2）方法一：先通过研究函数的单调性，得出零点可能所在区间，再根据反证法思想即可推出矛盾，是通性通法；
方法二：利用零点的定义以及零点存在性定理即可求出，是本题的最优解；方法三：利用零点的定义结合题意求
出 的范围，然后再由零点定义以及 的范围即可求出所有零点的范围，从而证出；方法四：由函数的单调性讨论
极大值极小值的符号，得出 的范围，再结合零点存在性定理即可证出；方法五：设函数的一个零点为 ，满足
，再设另一个零点为 ，通过零点定义找到 的关系，再根据一元二次方程存在解的条件以及反证法即
第 40 页可推出矛盾，从而证出．
28．（I）证明见解析，（II）（i）证明见解析，（ii）证明见解析.
【解析】
【分析】
（I）方法一：先利用导数研究函数单调性，再结合零点存在定理证明结论；
（II）（i）先根据零点化简不等式，转化求两个不等式恒成立，构造差函数，利用导数求其单调性，根据单调性
确定最值，即可证得不等式；
（ii）方法一：先根据零点条件转化： ，再根据 放缩，转化为证明不等式
，最后构造差函数，利用导数进行证明.
【详解】
（I）[方法一]：单调性+零点存在定理法
在 上单调递增，
，
所以由零点存在定理得 在 上有唯一零点．
[方法二]【最优解】：分离常数法
函数 在 内有唯一零点等价于方程 在 内有唯一实根，又等价于直线 与
只有1个交点．
记 ，由于 在 内恒成立，所以 在 内单调递增，故
．
因此，当 时，直线 与 只有1个交点．
（II）（i） ，
，
令
一方面： ，
在 单调递增， ，
，
另一方面： ，
所以当 时， 成立，
因此只需证明当 时， ，
因为
当 时， ，当 时， ，
所以 ，
第 41 页在 单调递减， ， ，
综上， .
（ii）[方法一]：分析+构造函数法
，
， ，
，因为 ，所以
，
，
只需证明 ，
即只需证明 ，
令 ，
则 ，
，即 成立，
因此 .
[方法二]【最优解】：放缩转化法
．
设 ，则由 得
．
从而只要证 ．
上式左边 ．
使用不等式 可得
【整体点评】
（Ⅰ）方法一：直接研究函数的单调性，并根据零点存在定理证得结论，为通性通法；方法二：先分离常数，转
化为证明水平直线 与函数 的图象交点个数问题，为最优解；
（Ⅱ）（ⅰ）通过分析，转化，然后构造函数证得；
（ⅱ）方法一：构造函数 ，利用导数研究单调性，求得最小值，然后根据条件放缩转
化为证明不等式 ．利用作差法构造关于实数 的函数，利用导数证得此不等式，
为该题的通性通法；方法二：利用 放缩判定 的导函数大于零，确定单调性，得
到其最小值，转化为 ，然后利用不等式 放缩证明，运算相对简洁，
为最优解.
第 42 页第 43 页
