文档文本内容
微专题： 利用导数研究不等式恒成立问题
【考点梳理】
【典例分析】
典例1．已知函数 ( 为实数)
（1）若 ，求 在 的最值；
（2）若 恒成立，求 的取值范围.
典例2．已知函数 .
（1）求函数 的极值；
（2）若对任意的 都有 成立，求c的取值范围.
典例3．已知函数 ， ．
(1)当 时，求函数 的最小值；
(2)当 时，若对任意 都有 成立，求实数 的取值范围．
典例4．已知函数 ．
（1）求证：在区间 上，函数 的图象恒在函数 的图象的下方;
（2）若存在 ， ，使 成立，求满足上述条件的最大整数m．
第 1 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司典例5．已知 ， .
（1）讨论 单调性；
（2）当 时，若对于任意 ，总存在 ，使得 ，求 的取值范围.
典例6．设函数 ．
（1）若曲线 在点 处的切线与直线 垂直，求 的单调递减区间和极小值（其中 为自然
对数的底数）；
（2）若对任何 恒成立，求 的取值范围．
【双基达标】
7．已知函数 .
（1）当 时，求曲线在 处的切线方程；
（2）若 ，且 在 上的最小值为0，求 的取值范围.
8．已知函数 （其中 ， 为自然对数的底数）．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)当 时， ，求 的取值范围．
9．已知函数 .
（1）若函数 的图象上任意两个不同点的连线的斜率小于1，求证： .
第 2 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（2）若 ，且函数 的图象上任意一点处的切线的斜率为k，试证明当 时， .
10．已知函数 ， .
(1)讨论 的单调性；
(2)若 时， 恒成立，求 的取值范围.
11．函数
（1）求函数 的单调区间；
（2）若 在 恒成立，求实数m的取值范围.
12．已知函数 ， ．
(1)若 时， 恒成立，求实数a的取值范围；
(2)求 的最小值．
13．已知函数f（x）＝ax﹣1﹣lnx（a∈R）．
(1)讨论函数f（x）的定义域内的极值点的个数；
(2)若函数f（x）在x＝1处取得极值， x∈（0，+∞），f（x）≥bx﹣2恒成立，求实数b的最大值．
∀
14．已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围.
15．已知函数 .
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）讨论 的单调性；
（3）当 时，证明： .
【高分突破】
第 3 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司16．已知函数 ， ，
（1）求函数 的单调区间；
（2）若 ， ，使 成立，求m的取值范围.
（3）当 时，若关于x的方程 有两个实数根 ， ，且 ，求实数k的取值范围，并且证明：
.
17．已知函数 .
（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；
（2）当x≥0时，f（x）≥ x3+1，求a的取值范围.
18．已知 ，其中 .
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)当 时， ，求 的取值范围.
19．已知函数 ， .
（1）（ⅰ）证明： ；
（ⅱ）证明： .
（2）当 时， 恒成立，求实数 的取值范围.
20．已知函数f(x)=ex，g(x)=2ax+1.
（1）若f(x)≥g(x)恒成立，求a的取值集合；
（2）若a>0，且方程f(x)-g(x)=0有两个不同的根x，x，证明： <ln 2a.
1 2
21．已知函数 ， ．
（1）求函数 的极大值；
第 4 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（2）求证： ；
（3）对于函数 与 定义域上的任意实数 ，若存在常数 ， ，使得 和 都成立，
则称直线 为函数 与 的“分界线”．设函数 ，试探究函数 与 是否存在“分界
线”？若存在，请加以证明，并求出 ， 的值；若不存在，请说明理由．
22．已知函数 ．
(1)若函数 的图象在点 处的切线在 轴上的截距为 ，求 ；
(2)当 时，关于 的不等式 恒成立，求满足条件的示数 的最大整数值．
23．已知函数f（x）=2sinx－xcosx－x，f′（x）为f（x）的导数．
（1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；
（2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．
24．已知函数 .
（1）证明：当 时， ；
（2）若 ， ，证明： 有且仅有一个零点.
25．已知函数 (其中 )， 为 的导数.
(1)求函数 在 处的切线方程；
(2)若不等式 恒成立，求 的取值范围.
26．已知函数 .
（Ⅰ）求证：当 时， ；
（Ⅱ）若 ，若 对任意 恒成立，求 的取值范围.
27．函数 .
(1)求函数 在 的值域；
第 5 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(2)设 ，已知 ，求证： .
28．已知函数 ．
(1)若 ，求 的值域；
(2)若 ，求实数 的取值集合．
第 6 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案
1．（1）最小值为 ，最大值为 ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）首先求出函数的导函数，即可得到函数的单调性，从而得到函数的最小值，再求出区间端点的函数值，即可
求出函数在区间上的最大值；
（2）首先求出函数的定义域，参变分离，即可得到 恒成立，令 ，利用导数研究函数的
单调性，即可求出函数的最小值，从而得解；
【详解】
（1）当 时， ，
由 得 ，由 得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
且 ， ，
则函数 在区间 上的最小值为 ，最大值为 .
（2）由题得函数的定义域为 ，若 恒成立，则 ，
即 恒成立，
令 ，则 ，
当 时， ；
当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
则 ，所以 ，
故 的取值范围为 .
2．（1）极大值 ，极小值 ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）首先求出函数的导函数 ，令 ，再利用导数与函数单调性的关系即可求解；
（2）根据（1）中的单调性求出 即可得结果.
【详解】
（1）因为 ，所以 ，.
令 ，解得 或 ，
第 7 页当 ，即 或 ；当 ，即 ，.
故 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ，.
所以， 时， 有极大值 ，.
当 时， 有极小值 .
（2）由（1）知 在 上单调递减，在 上单调递增，.
又 ， ，.
所以 时， ，.
因为对任意的 都有 成立，所以 .
3．(1)最小值
(2)
【解析】
【分析】
（1）当 时， ，求出函数的定义域与导函数，即可得到函数的单调区间，从而求出函数的最小值；
（2）令 ，依题意只须 在 上恒成立，求出函数的导函数 ，
根据 、 的取值范围，可得 ，即 在 上单调递增，即可得到 ，即可求出参数的
取值范围；
(1)
解：由函数 ，得 的定义域为 ，
当 时， ， ，
令 ，解得 ；令 ，解得 ，
所以函数 在 单调递减，在 单调递增，
所以当 时， 取得最小值，即 ．
(2)
解：令 ，
因为对于任意 都有 ，只须 在 上恒成立，
第 8 页又由 ，
因为 ，
所以 ， ，即
所以 在 上单调递增，所以 ，解得 ，
所以当 时，对任意 都有 成立．
4．（1）证明见解析；（2）4．
【解析】
【分析】
（1）由题转化为 在区间 上恒成立，即证；
（2）由题知 ，即求.
【详解】
（1）设 ，
则 ，
在区间 上， ， ，
所以当 时， ， 单调递减，
且 ，
故 时， ，
所以 ，
所以在区间 上函数 的图象恒在函数 的图象的下方．
（2）由 ，得 ，
当 时， ，
所以 ，
．
存在 ， ，使 成立等价于 ，
即 ，
，
第 9 页故满足条件的最大整数 为4．
5．（1）答案见解析；（2） .
【解析】
【分析】
（1）求出导函数，对m讨论，得到 单调性；
（2）当 时，先求出 ，由题意，原不等式等价于 ，
，利用导数求出 ，进而求出m的范围.
【详解】
（1） ，所以当 时，有 恒成立， 在 单调递增，当 时，由
解得： ， 在 上单调递增；由 解得： ， 在
上单调递减；
（2）当 时， ，
根据题意，不等式等价于 ， ，
对于 ， ， ，
所以 在 上单增，所以 ，
则有 ，
设 ，则 ，
在定义域内为减函数，
又 ，所以 ，
即 的取值范围是 .
【点睛】
导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主
要从以下几个角度进行：
(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．
(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．
(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．
(4)恒（能）成立问题求参数的范围：
第 10 页①参变分离，转化为不含参数的最值问题；
②不能参变分离，直接对参数讨论，研究 的单调性及最值；
③特别地，个别情况下 恒成立，可转换为 （二者在同一处取得最值）.
6．（1）单调递减区间为 ，极小值为2；（2） .
【解析】
【分析】
（1）求导，利用 求出 ，代入导函数可得单调性和极值；
（2）条件等价于对任意 恒成立，设 ，可得
在 上单调递减，则 在 上恒成立，参变分离，转化为最值问题即可求解.
【详解】
（1）由条件得 ，
∵ 在点 处的切线与 垂直，
∴此切线的斜率为0，即 ，有 ，得 ，
∴ ，由 得 ，由 得 ．
∴ 在 上单调递减，在 上单调递增，
当 时， 取得极小值 ．
故 的单调递减区间为 ，极小值为2
（2）条件等价于对任意 恒成立，
设 ．
则 在 上单调递减，
则 在 上恒成立，得 恒成立，
∴ （对 仅在 时成立），
故 的取值范围是
7．（1） ；（2） .
【解析】
（1）求得导数,利用导数的几何意义计算即可得出结果；
第 11 页（2）由 在 上的最小值为0，化简可得 ，构造函数 ，利用导数求得最小
值即可求得结果.
【详解】
解：（1）当 时， ，
∴ ， ，
∴切线方程为 ，
即
（2）∵ ，
∴原条件等价于：在 上， 恒成立.
化为
令 ，
则
令 ，则
在 上， ，
∴在 上，
故在 上， ；在 上，
∴ 的最小值为 ，∴
8．(1)答案见解析；
(2)
【解析】
【分析】
（1）计算 ，分别讨论 、 、 、 时，解不等式 和
可得单调增区间和单调减区间即可求解；
（2）已知不等式可转化为 对 恒成立，分离 可得 ，令
，利用导数求 的最大值即可求解.
(1)
由 可得
，
第 12 页当 时， ，当 时， ；当 时， ，
此时 的单调递增区间为 ，单调递减区间为
当 时，由 得， ， ，
①若 ，即 时， 恒成立，故 在 上单调递增；
②若 ，即 时，
由 可得： 或 ；令 可得：
此时 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ；
③若 ，即 时，
由 可得： 或 ；由 可得：
此时 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ；
综上所述：
当 时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；
当 时， 在 上单调递增；
当 时， 的单调递增区间为 和 ，
单调递减区间为 ；
当 时， 的单调递增区间为 和 ，
单调递减区间为 .
(2)
由 可得 对 恒成立，
即 对任意的 恒成立，
令 ，
则 ，
令 ，则 ，则 在 上单调递减，
第 13 页又 ， ，故 在 上有唯一的实根，
不妨设该实根为 ，
故当 时， ， ， 单调递增；
当 时， ， ， 单调递减，
故 ，
又因为 ，所以 ， ， ，
所以 ，故 的取值范围为 ．
9．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）设函数 图象上任意不同的两点 ， ，且 .由 得 ，
由此可得证.
（2）当 时，求导函数得 ，由题意得 时恒成立.再由函数
的单调性和基本不等式可得证.
【详解】
解：（1）设函数 图象上任意不同的两点 ， ，且 .
.
， ，
配方得 ，于是必有 ，得到 .
（2）当 时， ，
由题意 恒成立，得到 ，
于是 在 时恒成立.
在 上为增函数， ，而 ，
当且仅当 ，即 时取等号， .
10．(1)答案见解析
第 14 页(2)
【解析】
【分析】
（1）对a进行分类讨论，利用导数求出单调区间；
（2）记 ，则有 对a进行分类讨论，求出
a的取值范围.
(1)
的定义域为 ，
当 时， 恒成立，所以 在 上单调递减；
当 时，令 ，解得： ，所以 在 上单调递增；
令 ，解得： ，所以 在 上单调递减；
综上所述：当 时， 在 上单调递减.
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减；
(2)
设 ，
则有
当 时， 在 上单调递增，所以 满足题意；
当 时， ，且 ，
使 时， 单调递减，使得 不合题意.
的取值范围为 .
11．（1）答案见解析；（2） .
【解析】
【分析】
（1）求导，分别讨论 和 两种情况 的正负，即可求得 的单调区间.
（2）所求转化为求 在 恒成立问题，设 ，利用导数判断
其单调性，并求得 的最大值，可得关于m的不等式，即可得答案.
【详解】
（1）
当 时， ，所以 在 为增函数，
第 15 页当 时，令 ，解得 ；
当 时， ， 为增函数，
当 时， ， 为减函数，
综上：当 时， 的单调增区间为 ，
当 时， 的单调增区间为 ，单调减区间为 .
（2）因为 在 恒成立，
所以 在 恒成立，
设 ，则 .
设
所以 在 单调递增，又 ，
因此存在唯一 ，使得 ，
所以当 时， ，
当 时，
当 时， ，当 时，
所以函数 在 递增，在 递减，在 递增
因此 ，
由 得 ，则 .
所以 ，
因为 ，则 ，所以 ，
因为 ，
所以当 时， ，
所以 ，解得
所以 的取值范围是
第 16 页【点睛】
解题的关键是熟练掌握利用导数判断函数单调性，求极（最）值的方法，并灵活应用，在得到 解析式，并且
不能直接判断其正负时，可令 ，再次求导，根据 的单调性，求得 的值域，进而可得 的
正负，即可得 的单调性，属中档题.
12．(1)
(2)1
【解析】
【分析】
（1）首先将题意转化为 恒成立，先证明 恒成立，再分类讨论 的范围即可得到答案.
（2）首先求导得到 ，设 ，根据 的正负性得到 的单调性，再利用隐零
点求解函数的最值即可.
（1）因为 时， 恒成立，所以 恒成立，即 恒成立.首先证明
恒成立，即证 恒成立.设 ， ，因为 ， ，
为增函数， ， ， 为减函数，所以 ，即证： 时， 恒成
立.当 时， 恒成立，当 时，若 不满足 ，故舍去.综上： .
（2） ，设 ， ，∴ 在 上单
调递增，因为 ， ，所以存在 ，使得 ，且 时， ，即
单调递减， 时， ，即 单调递增，所以 ，
因为 ，所以 ，则 ，所以 ，设 ，
，因为 时， ， 为增函数，所以 ，则 ，∴
．
13．(1)答案见解析；
(2)1 .
【解析】
【分析】
（1）求导，再对 分 和 两种情况讨论得解；
第 17 页（2）等价于1 ，令g（x）＝1 ，求出函数 的最小值即得解.
（1）解： f（x）的定义域为（0，+∞）． ．当a≤0时， ≤0在 （0，+∞）上恒成立，
函数f（x）在（0，+∞）上单调递减．f（x）在（0，+∞）上没有极值点．当a＞0时，由 ＞0得x ，所以，
f（x）在（0， ）上递减，在（ ，+∞）上递增，即f（x）在x 处有极小值．综上，当a≤0时，f（x）在
（0，+∞）上没有极值点；当a＞0时，f（x）在（0，+∞）上有一个极值点．
（2）解：∵函数f（x）在x＝1处取得极值， ＝a﹣1＝0，则a＝1，从而f（x）＝x﹣1﹣lnx．因此f（x）≥bx
﹣2 ，即1 ，令g（x）＝1 ，则 ，由 ≥0得x≥e2则g（x）在（0，e2）上递
减，在（e2，+∞）上递增， ，故实数b的最大值是1 ．
14．(1)答案见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）求出函数的导函数，分 和 两种情况讨论，分别求出函数的单调区间；
（2）依题意可得 在 上恒成立，令 ，再分 、 、
三种情况讨论，结合函数的单调性计算可得.
（1）解：由 知定义域为 ，且 ① 时，在 上 ，故
在 上单调递增；② 时，当 时 ， 时 ，故 在 上
单调递增，在 上单调递减.
（2）解：由 得 ，令 ①当 时，在 ，
恒成立，所以 不可能； ②当 时
在 上单调递减且 ，当 时， ，故在 上存在 ，使
得 时， ，则在 上 单调递增，所以 与题不符. 当 时，
，所以 在 上单调递减，所以 ，符合题意. 综上所述，
15．（1） ；（2） ， 在 单调递减； ， 在 单调递增，在 单调递减；
（3）证明见解析.
【解析】
【分析】
第 18 页（1）求得导函数，利用导数的几何意义得到切线的斜率，进而得出切线方程；
（2）分类讨论，函数的定义域，在定义域内研究讨论导数的正负，进而得到单调性；
（3）解法1：等价转化为 .先将不等式左边看成以a为自变量的函数，设
，利用导数研究其单调性，进而得到
.由（1）可知，当 时， ，得 ，然后利用 放缩
证得；
解法2：（3）不等式 等价于 .
由（1）可知，当 时， ，得 ，先利用 ，得到 ，从而为证原不
等式，只需证
构造函数 ，利用导数研究其单调性，进而得证.
【详解】
（1） ，则 ，
于是点 处切线方程为： ，即 .
（2）若 ，则 定义域 ， ， 在 单调递减.
若 ，则 定义域为 ， .
由 得 ，由 得 ，所以 在 单调递增，在 单调递减.
解法1：（3）不等式 等价于 .
设 ， .
设 ，则 ，所以 .
而 ，所以 ， 在 单调递减，所以 .
由（1）可知，当 时， ，得 .所以
.
因此当 时， .
解法2：（3）不等式 等价于 .
由（1）可知，当 时， ，得 ，从而 .
设 ， 在 单调递增.
因为 ，所以当 时， ，当 时， .
第 19 页所以 .因此 .
所以当 时， .
【点睛】
利用 ， 进行放缩是解决同时含有指数对数的不等式证明得常用方法，值得注意体会和掌握.
16．（1）f（x）在（0， ）上单调递减，在（ ，+∞）上单调递增；（2）（0， ）；（3）k＞1﹣ln2，证明
见解析.
【解析】
【分析】
（1）求导得 ，分析 的正负，进而可得f（x）的单调性，即可得出答案．
（2）求出f（x）min，令h（x）＝ ，求出h（x）min，只需f（x）min＞g（x）min，即可得出答案．
（3）当m＝2时，f（x）＝lnx+ ，分析f（x）的单调性，进而可得f（x）min，若f（x）＝k有两个实数根x，
1
x，且0＜x＜ ＜x，则k＞1﹣ln2，且lnx+ ＝k①，lnx+ ＝k②，推出lnx＝lnx+ ﹣ ，f（x）﹣f
2 1 2 1 2 1 2 1
（1﹣x）＝lnx+ ﹣ln（1﹣x）﹣ ，令F（x）＝lnx+ ﹣ln（1﹣x）﹣ ，x＞ ，求导分析F
2 2 2
（x）的单调性，进而可得f（x）＜f（1﹣x），再结合f（x）在（0， ）上单调递减，即可得出答案．
1 2
【详解】
解：（1） ，
令f′（x）＞0，得x＞ ，
令f′（x）＜0，得0＜x＜ ，
所以f（x）在（0， ）上单调递减，在（ ，+∞）上单调递增．
（2）由（1）知，f（x）min＝f（ ）＝ln ＝1﹣lnm，
令h（x）＝ ＝ ＝ ，x （0，3），
∈
h′（x）＝ ＝ ，
在x （2，3）上，h′（x）＞0，h（x）单调递增，
在x （0，2）上，h′（x）＜0，h（x）单调递减，
∈
∈
第 20 页所以h（x）min＝h（2）＝ ＝ ，
所以1﹣lnm＞ ，
所以0＜m＜ ，
所以m的取值范围是（0， ）．
（3）当m＝2时，f（x）＝lnx+ ，
由（1）可知f（x）在（0， ）上单调递减，在（ ，+∞）上单调递增，
f（x）min＝f（ ）＝ln ＝1﹣ln2＞0，
若f（x）＝k有两个实数根x，x，且0＜x＜ ＜x，
1 2 1 2
则k＞1﹣ln2，
所以lnx+ ＝k①，lnx+ ＝k②，
1 2
得lnx+ ＝lnx+ ，
1 2
所以lnx＝lnx+ ﹣ ，
1 2
f（x）﹣f（1﹣x）＝lnx+ ﹣ln（1﹣x）﹣
1 2 1 2
＝（lnx+ ﹣ ）+ ﹣ln（1﹣x）﹣
2 2
＝lnx+ ﹣ln（1﹣x）﹣
2 2
令F（x）＝lnx+ ﹣ln（1﹣x）﹣ ，x＞ ，
＝ ，
因为x＞ ，
所以﹣4x2+4x﹣1＜0，即F′（x）＜0，
第 21 页所以F（x）在（ ，+∞）单调递减，
所以F（x）＜F（ ）＝
所以f（x）＜f（1﹣x），
1 2
因为0＜x＜ ＜x，
1 2
所以﹣ ＞﹣x，即1﹣ ＞1﹣x，
2 2
所以0＜1﹣x＜ ，
2
因为f（x）在（0， ）上单调递减，
所以x＞1﹣x，
1 2
所以x+x＞1，得证．
1 2
【点睛】
关键点点睛：
1.对于若 ， ，使 成立，转化为 是关键；
2.对于双变量问题，我们要想办法找到两变量之间的关系，进而利用关系消元，达到转化为单变量问题；
3.对于不等式的证明，可构造函数，利用用导数求函数最值来研究证明.
17．（1）当 时， 单调递减，当 时， 单调递增.（2）
【解析】
【分析】
(1)由题意首先对函数二次求导，然后确定导函数的符号，最后确定原函数的单调性即可.
(2)方法一：首先讨论x=0的情况，然后分离参数，构造新函数，结合导函数研究构造所得的函数的最大值即可确
定实数a的取值范围.
【详解】
(1)当 时， ， ，
由于 ，故 单调递增，注意到 ，故：
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增.
(2) [方法一]【最优解】：分离参数
由 得， ，其中 ，
①.当x=0时，不等式为： ，显然成立，符合题意；
第 22 页②.当 时，分离参数a得， ，
记 ， ，
令 ，
则 ， ，
故 单调递增， ，
故函数 单调递增， ，
由 可得： 恒成立，
故当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
因此， ,
综上可得，实数a的取值范围是 .
[方法二]：特值探路
当 时， 恒成立 ．
只需证当 时， 恒成立．
当 时， ．
只需证明 ⑤式成立．
⑤式 ，
令 ，
则 ，
所以当 时， 单调递减；
当 单调递增；
第 23 页当 单调递减．
从而 ，即 ，⑤式成立．
所以当 时， 恒成立．
综上 ．
[方法三]：指数集中
当 时， 恒成立 ，
记 ，
，
①.当 即 时， ，则当 时， ， 单调递增，又 ，所以当
时， ，不合题意；
②.若 即 时，则当 时， ， 单调递减，当 时，
， 单调递增，又 ，
所以若满足 ，只需 ，即 ，所以当 时， 成
立；
③当 即 时， ，又由②可知 时， 成立，
所以 时， 恒成立，
所以 时，满足题意.
综上， .
【整体点评】
导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，本题主要考查利用导数
解决恒成立问题，常用方法技巧有：
方法一，分离参数，优势在于分离后的函数是具体函数，容易研究；
方法二，特值探路属于小题方法，可以快速缩小范围甚至得到结果，但是解答题需要证明，具有风险性；
方法三，利用指数集中，可以在求导后省去研究指数函数，有利于进行分类讨论，具有一定的技巧性！
18．(1)单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
(2)
【解析】
【分析】
第 24 页（1）当 时，求得 ，设 ，求得 ，进而得到 的符号，即
可求解；
（2）由 ，得到 恒成立，设 ，利用导数求得函数 的单调性和最值，
转化为 恒成立，集合 ，即可求解.
(1)
解：当 时， 的定义域为 ，
可得 ，
设 ，可得 ，故 在 上单调递增，
所以 ，
由 ，解得 ；由 ，解得 ，
所以函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
(2)
解：若要使得 ，只需 恒成立，
设 ，可得 ，
由 ，可得 ；由 ，可得 ，
所以 在 为单调递减，在 上单调递增，所以 ，
于是需要 恒成立，即 恒成立，
由（1）可得：当 时， ，从而 ，即 ，
用 替换上式中的 ，可得 ，
结合 时， ，所以 恒成立，
要使得 恒成立，则 ，即实数 的取值范围 .
19．（1）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析；（2） .
【解析】
【分析】
（1）通过研究导函数 和 的正负情况判断 和 的单调性，进而得到最值，即证结论；
（2）先代入化简为 时， 恒成立，构造函数 ，
第 25 页通过两次求导判断其导函数的的单调性，再对a进行分类讨论，结合（1）中结论判断 能否成立，即得结
果.
【详解】
解：（1）（ⅰ）证明：由 可知 ．
当 时， ，函数 单调递减，当 时， ，函数 单调递增，当 时，
函数 有最小值 ，又 ，故 ；
（ⅱ）证明：由 可知， ．
当 时， ，函数 单调递减，当 时， ，函数 单调递增，当
时，函数 有最小值 ，又 ，故 ．
（2）当 时， 恒成立，而 ，
故不等式等价于当 时， 恒成立．
设函数 ．
则 ，设 ，
则 ．
当 时， ， ， ，
结合（1）（ⅰ）问结论 知， ，
故函数 在 上单调递增．
若 ，则当 时， ， ，函数 在在 上单调递增，又 ，故
，满足题意；
若 ，因为 ， ，
结合（1）（ⅱ）问结论 可知， ，
又 ，函数 在 上单调递增，故存在 ，使得 ，当 时， ，
，函数 在 上单调递减，此时 ，又 ，即当 时， ，不符
题意．
故实数 的取值范围是 ．
【点睛】
关键点点睛：
第一问中证明不等式的关键在于利用函数导数研究最值，第二问的解题关键在于分类讨论后巧妙利用（1）中结论
进行判断，突破难点.
20．（1） ；（2）见解析
【解析】
第 26 页【分析】
（1）构造函数 ，求导，分类讨论得函数最值即可求解；（2）由题意得
等价证明 ，令 ，构造函数 求导证
， ，
明即可
【详解】
（1）令 ，
当 恒成立， 在R上单调递增， ，当 不合题意，故舍去
当 则 ，故当 ， 单调递减；当 ； 单调
递增，故
令 ，故 在 递增，在 递减，故 即
即 ，故 即
故a的取值集合为
（2）方程f(x)-g(x)=0有两个不同的根x，x
1 2
不妨令x<x
1 2, ,
若证 <ln 2a.即证
令 ，即证 ，令
因为 ，故 ，故 单调递增， 得证
【点睛】
本题关键是利用 等价证明 ，构造函数证明
， ，
21．（1） （2）证明见解析 （3）存在
【解析】
【分析】
（1）求出函数 得到函数大单调性，从而得到函数的极大值.
（2）由（1）可得 ，即 ，然后可得 ， ， ，相加可
证明.
(3) 与 的图象在 处有公共点 ,设函数 与 存在“分界线” ,由令
第 27 页，由 求出参数 的值，再证明 成立即可.
【详解】
（1） ，则
由 ，可得 ， ，可得
所以 在 上单调递增，在 上单调递减.
所以当 时， 有极大值
（2）由（1）可知， 为 的最大值，即
所以 ，即 （当且仅当 时等号成立）
令 ，则 ，取 ，则 ，即
则 ， ，
由上面不等式相加得
即
即
（3）设 ，则
当 时， ，当 时，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
所以
即 与 的图象在 处有公共点
设函数 与 存在“分界线”
令
由 ，即 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，
成立，而 ，
所以 ，则
第 28 页再证明 ，即 恒成立.
设 ，则
当 时， ，当 时，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减.
所以当 时， 有最大值，即
所以 恒成立.
综上所述，可得 且
故函数 与 存在 “分界线” ，此时
【点睛】
本题考查利用导数求函数的极值，利用导数证明不等式，考查恒成立求参数，考查转化思想的应用，属于难题.
22．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）求 ，利用导数的几何意义求得在点 处切线方程，由在 轴上的截距为 列方程即可得 的
值；
（2）由所给的不等式分离 可得 ，令 ，利用导数判断 的单调性和最小值，
由 即可求解.
(1)
函数 的定义域为 ， ，
则在点 处切线的斜率为 ，又 ，
所以函数 的图象在点 处的切线方程为： ，
即 ，所以 ，
因为其在 轴上的截距为 ，所以 ，解得 ．
(2)
即 ，
又 ，所以 ，可得 对于 恒成立，
当 时，令 ，则 ．
第 29 页再令 ，则 ，
所以 在 上单调递增；
又 ， ，
所以 使 ，即 ，使 ，
当 时， ， ；当 时， ， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
所以 ，又因为 ，所以实数 的最大整数值是 ．
【点睛】
方法点睛： 若不等式 （ 是实参数）恒成立，将 转化为 或
恒成立，进而转化为 或 ，求 的最值即可.
23．（1）见解析；
（2） .
【解析】
【分析】
（1）求导得到导函数后，设为 进行再次求导，可判断出当 时， ，当 时，
，从而得到 单调性，由零点存在定理可判断出唯一零点所处的位置，证得结论；（2）构造函数
，通过二次求导可判断出 ， ；分别在 ，
， 和 的情况下根据导函数的符号判断 单调性，从而确定 恒成立时
的取值范围.
【详解】
（1）
令 ，则
当 时，令 ，解得：
当 时， ；当 时，
在 上单调递增；在 上单调递减
又 ， ，
第 30 页即当 时， ，此时 无零点，即 无零点
，使得
又 在 上单调递减 为 ，即 在 上的唯一零点
综上所述： 在区间 存在唯一零点
（2）若 时， ，即 恒成立
令
则 ，
由（1）可知， 在 上单调递增；在 上单调递减
且 ， ，
，
①当 时， ，即 在 上恒成立
在 上单调递增
，即 ，此时 恒成立
②当 时， ， ，
，使得
在 上单调递增，在 上单调递减
又 ，
在 上恒成立，即 恒成立
③当 时， ，
，使得
在 上单调递减，在 上单调递增
时， ，可知 不恒成立
④当 时，
第 31 页在 上单调递减
可知 不恒成立
综上所述：
【点睛】
本题考查利用导数讨论函数零点个数、根据恒成立的不等式求解参数范围的问题.对于此类端点值恰为恒成立不等
式取等的值的问题，通常采用构造函数的方式，将问题转变成函数最值与零之间的比较，进而通过导函数的正负
来确定所构造函数的单调性，从而得到最值.
24．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）由题可知 等价于 ，构造函数利用导数可证；
（2）利用导数判断函数单调性，可求函数的极值，再结合零点存在性定理可证.
【详解】
（1）当 时， 等价于 .
设 ，当 时， ， 单调递增，
故 ， ，即 .
于是当 时， .
（2） 定义域为 ， .
若 ，当 或 时， ，当 时， ，故 在 单调递增，在
单调递减，在 单调递增.
，
所以函数 在 上没有零点；
因为 ， ，所以 ，
∴ ，
当 满足 且 时，由（1）可知 ，
∴函数 在 上有一个零点；
综上所述， 有且仅有一个零点.
25．(1) ；(2) .
【解析】
【分析】
(1)对f(x)求导，再求出导函数在0处的导数值，利用点斜式写出方程而得；
第 32 页(2)不等式恒成立，等价转化为 ，构建新函数，分类讨论求其最小值不小于0而得解.
【详解】
(1) ，∴ ，
又∵ ，∴函数 在 处的切线方程为 .
(2)令 ， ，
∵ ( )，
∴ 在 上单调递增，
①当 时， ，
所以 为增函数，故 恒成立，即 .
②当 时，∵ 在 上为增函数，且 ，
，
故存在唯一 ，使得 .
则当 时， ， 为减函数， ，此时与 恒成立矛盾.
综上所述， .
【点睛】
利用导数解决含参函数问题，求导后不能准确判断导数值的正负，还需二次求导判断一阶导数的单调性，再分类
讨论解决.
26．（Ⅰ）见解析（Ⅱ）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）利用导数可判断函数 在 上单调递增，即可证得：当 时， ，问题得证．
（Ⅱ）求得： ，对 的范围分类讨论，当 时， 在 上单调递减，即可得到
恒成立；当 时，利用（Ⅰ）中结论可判断：当 时， ，即 不符合题
意，问题得解
【详解】
解：（Ⅰ）证明： ，
当 时， ，函数 在 上单调递增，
∴ ，
∴当 时， .
（Ⅱ） ，
第 33 页当 时， ， ，∴ ，
∴ 在 上单调递减，
∴ 恒成立；
当 时，∵ 对任意 恒成立，
∴ ，
∴当 时， ，不符合题意.
综上， 的取值范围是 .
【点睛】
本题主要考查了利用导数证明不等式成立，还考查了分类思想、转化能力及计算能力，属于难题．
27．(1) ；
(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
(1)对函数 求导，利用导数探讨函数 在 上的单调性即可计算作答.
(2)利用(1)中信息求出 并探讨其单调性，借助单调性构造函数，结合不等式性质即可推理作答.
(1)
依题意， ，求导得 ，令 ，
则 ，由 得 或 ，而 ，
当 或 时， ，当 时， ，
于是得 在 ， 上都是单调递增的，在 上单调递减， ， ，
于是得 ， 成立，即 ，因此， 在 上单调递增，
， ，
所以函数 在 的值域是 .
(2)
由(1)知， ，求导得 ，令 ，则
显然 在R上单调递增，当 时， ，当 时， ，即 在 上 单调递减，在
上单调递增，
则 ，即 ，于是得 在R上单调递增，
第 34 页令 ，求导得 ，令 ，
则 ，当且仅当 时取“=”，即有 在R上单调递增，
而 ，即当 时， ，当 时， ，
因此， 在 单调递减，在 上单调递增， ，于是得 ，
由 得 ，于是得 ，
所以当 时， 成立.
【点睛】
关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，再探讨函数的性质是解决问题的关键.
28．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）求出函数的导数，判断函数单调性，求出函数在 时的极值，可得答案;
（2）将 ，并由此构造函数
，根据题意可判断 为其最小值，由此判断1为 的极值点，
因此可求得得 或 ，再分别证明在 或 时满足题意，则可得答案.
(1)
，
时， 的单调性和极值情况如下表：
x 0 1 2
- 0 + 19
增函
0 减函数 极小值 6
数
所以， 的值域为 ．
(2)
， ，
即 ，
设 ，
则 ，
∵在 内 ，且 ，
∴ ，则1为 的极值点，
∴ ，即 ，解得 或 ．
第 35 页当 时， ，
设 ，
则 ，
∴在 内 为减函数；在 内 为增函数，
∴ ，则 ，故 成立．
当 时， ，
设 ，
则
，
设 ，则 ．
当 时， 为减函数；当 时， 为增函数．
∴ （当且仅当 时等于0）．
设 ，则 ，
故 在 内为增函数，且 ．
所以，当 时， ；当 时， ，
于是，当 时， 为减函数； 时， 为增函数，
∴ ，故 成立．
综上所述，a的取值集合为 ．
【点睛】
本题考查了导数的应用，利用导数判断函数的单调性以及求极值最值问题，考查了利用导数解决不等式成立时求
参数的值的问题，综合性较强，计算量很大；解答的关键是合理的变形，从而构造新函数，利用导数解决问题.
第 36 页第 37 页
