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第 2 讲 基本初等函数、函数与方程
[考情分析] 1.基本初等函数的图象与性质是高考考查的重点，利用函数性质比较大小、解
不等式是常见题型.2.函数零点的个数判断及参数范围是常考题型，常以压轴题的形式出现.3.
函数模型及应用是近几年高考的热点，通常考查指数函数、对数函数模型．
考点一 基本初等函数的图象与性质
核心提炼
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝log x(a>0，且a≠1)互为反函数，其图象关于y
a
＝x对称，它们的图象和性质分0<a<1，a>1两种情况，着重关注两种函数图象的异同．
例1 (1)(2022·杭州模拟)已知lg a＋lg b＝0(a>0且a≠1，b>0且b≠1)，则函数f(x)＝ax与
g(x)＝ 的图象可能是( )
答案 B
解析 ∵lg a＋lg b＝0(a>0且a≠1，b>0且b≠1)，
∴ab＝1，∴a＝，
∴g(x)＝ ＝log x，
a
∴函数f(x)＝ax与函数g(x)＝ 互为反函数，
∴函数f(x)＝ax与g(x)＝ 的图象关于直线y＝x对称，且具有相同的单调性．
(2)若ea＋πb≥e－b＋π－a，则下列结论一定成立的是( )
A．a＋b≤0 B．a－b>0
C．a－b≤0 D．a＋b≥0
答案 D
解析 ∵ea＋πb≥e－b＋π－a，∴ea－π－a≥e－b－πb，
∴ea－π－a≥e－b－π－(－b)，①
令f(x)＝ex－π－x，显然f(x)为R上的增函数，
①式即为f(a)≥f(－b)，
∴a≥－b，即a＋b≥0.
规律方法 (1)指数函数、对数函数的图象与性质受底数a的影响，解决与指数函数、对数
函数有关的问题时，首先要看底数a的取值范围．
(2)基本初等函数的图象和性质是统一的，在解题中可相互转化．
跟踪演练1 (1)(2022·山东名校大联考)若a＝log 2，b＝log 2，c＝e0.2，则a，b，c的大小关
3 5
系为( )
A．b<a<c B．c<a<b
C．b<c<a D．a<b<c
答案 A
解析 由对数函数的单调性可知
0＝log 1<log 2<log 3＝1，
3 3 3
即0<a<1，且＝log 3，
2
又0＝log 1<log 2<log 5＝1，
5 5 5
即0<b<1且＝log 5，
2
又log 3<log 5，
2 2
即<，所以a>b，
又根据指数函数的单调性可得c＝e0.2>e0＝1，
所以b<a<c.
(2)(2022·邯郸模拟)不等式10x－6x－3x≥1的解集为________．
答案 [1，＋∞)
解析 由10x－6x－3x≥1，
可得x＋x＋x≤1.
令f(x)＝x＋x＋x，
因为y＝x，y＝x，y＝x均在R上单调递减，
则f(x)在R上单调递减，且f(1)＝1，
所以f(x)≤f(1)，即x≥1.
故不等式10x－6x－3x≥1的解集为[1，＋∞)．
考点二 函数的零点
核心提炼
判断函数零点个数的方法(1)利用函数零点存在定理判断．
(2)代数法：求方程f(x)＝0的实数根．
(3)几何法：对于不易求根的方程，将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，利用函数的性质找
出零点或利用两个函数图象的交点求解．在利用函数性质时，可用求导的方法判断函数的单
调性．
考向1 函数零点个数的判断
例2 已知f(x)是定义在R上周期为2的偶函数，且当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1，则函数g(x)
＝f(x)－log |x|的零点个数是( )
5
A．2 B．4 C．6 D．8
答案 D
解析 当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1，函数y＝f(x)的周期为2且为偶函数，其图象关于y轴对称，
可作出函数f(x)的图象．函数y＝log |x|的图象关于y轴对称，函数y＝g(x)的零点，即为两函
5
数图象交点的横坐标，当x>5时，y＝log |x|>1，此时两函数图象无交点，如图，
5
又两函数的图象在x>0上有4个交点，由对称性知两函数的图象在x<0上也有4个交点，且
它们关于y轴对称，可得函数g(x)＝f(x)－log |x|的零点个数为8.
5
考向2 求参数的值或范围
例3 (2022·河北联考)函数f(x)＝ex和g(x)＝kx2的图象有三个不同交点，则k的取值范围是
________．
答案
解析 因为函数f(x)＝ex和g(x)＝kx2的图象有三个不同交点，
所以方程ex＝kx2有三个不同的实数根，显然x＝0不是方程的实数根，
所以方程＝k(k>0)有三个不同的非零实数根，
令h(x)＝，则h′(x)＝，
所以当x<0时，h′(x)>0，
当0<x<2时，h′(x)<0，
当x>2时，h′(x)>0，
所以函数h(x)＝在(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递增，在(0,2)上单调递减，
因为当x趋近于－∞时，h(x)趋近于0，当x趋近于＋∞时，h(x)趋近于＋∞，当x趋近于0时，
h(x)趋近于＋∞，
所以函数h(x)的大致图象如图所示，h(2)＝，所以当方程＝k(k>0)有三个不同的实数根时，k的取值范围是.
规律方法 利用函数零点的情况求参数值(或取值范围)的三种方法
跟踪演练2 (1)(2022·合肥模拟)若f(x)为奇函数，且x 是y＝f(x)－2ex的一个零点，则－x 一
0 0
定是下列哪个函数的零点( )
A．y＝f(－x)e－x－2 B．y＝f(x)ex＋2
C．y＝f(x)ex－2 D．y＝f(－x)ex＋2
答案 B
解析 因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，又因为x 是y＝f(x)－2ex的一个零点，
0
所以f(x)＝2 ，把－x 分别代入四个选项，
0 0
对于A，f(x) －2＝2( )2－2，不一定为0，故A不正确；
0
对于B，f(－x) ＋2＝－f(x) ＋2＝－2· ＋2＝0，所以－x 是函数y＝f(x)ex＋2
0 0 0
的零点，故B正确；
对于C，f(－x) －2＝－2 －2＝－4，故C不正确；
0
对于D，f(x) ＋2＝2 ＋2＝4，故D不正确．
0
(2)已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝a(x＋1)有三个不相等的实数根，则实数a的取值范
围是________．
答案
解析 作出函数f(x)的图象，又直线y＝a(x＋1)过定点P(－1,0)，如图，当直线y＝a(x＋1)与
y＝的图象有两个交点时满足题意，需满足a>0，
由得ax－＋a＝0，
令t＝，
则at2－t＋a＝0有两个正根，
所以Δ＝1－4a2>0，解得－<a<，
此时tt＝1>0，t＋t＝>0，
12 1 2所以0<a<.
考点三 函数模型及其应用
核心提炼
解函数应用题的步骤
(1)审题：缜密审题，准确理解题意，分清条件和结论，理清数量关系．
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立
相应的数学模型．
(3)求模：求解数学模型，得出数学结论．
(4)反馈：将得到的数学结论还原为实际问题的意义．
例4 (1)(2022·西安模拟)2022年4月16日，神舟十二号3名航天员告别了工作生活183天
的中国空间站，安全返回地球．中国征服太空的关键是火箭技术，在理想情况下，火箭在发
动机工作期间获得速度增量的公式Δv＝vln ，其中Δv为火箭的速度增量，v 为喷流相对于
e e
火箭的速度，m 和m 分别代表发动机开启和关闭时火箭的质量，在未来，假设人类设计的
0 1
某火箭v 达到5公里/秒，从100提高到600，则速度增量Δv增加的百分比约为( )
e
(参考数据：ln 2≈0.7，ln 3≈1.1，ln 5≈1.6)
A．15% B．30% C．35% D．39%
答案 D
解析 由题意，当＝100时，速度增量为Δv＝5ln 100；
1
则当＝600时，速度增量为Δv＝5ln 600＝5ln 100＋5ln 6，
2
所以＝＝＝≈39%.
(2)(2022·福州模拟)深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为
出发点的．在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为L＝ ，其中L表示每一轮优
化时使用的学习率，L 表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，G 表示衰
0 0
减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为 0.5，衰减速度为22，且当训练迭
代轮数为22时，学习率衰减为0.45，则学习率衰减到0.05以下(不含0.05)所需的训练迭代
轮数至少为(参考数据：lg 3≈0.477 1)( )
A．11 B．22 C．227 D．481
答案 D
解析 由于L＝ ，所以L＝0.5× ，依题意0.45＝0.5× ⇒D＝，
则L＝0.5× ，
由L＝0.5× <0.05得 <，
<lg ，lg <－1，
G·(lg 9－lg 10)<－22，G·(lg 10－lg 9)>22，
所以G>，
G>≈＝≈480.35，
所以所需的训练迭代轮数至少为481轮．
易错提醒 构建函数模型解决实际问题的失分点
(1)不能选择相应变量得到函数模型．
(2)构建的函数模型有误．
(3)忽视函数模型中变量的实际意义．
跟踪演练3 (1)(2022·荆州联考)“绿水青山就是金山银山”，党的十九大以来，城乡深化河
道生态环境治理，科学治污．某乡村一条污染河道的蓄水量为v立方米，每天的进出水量为
k立方米．已知污染源以每天r个单位污染河水，某一时段t(单位：天)河水污染质量指数为
m(t)(每立方米河水所含的污染物)满足m(t)＝＋ (m 为初始质量指数)，经测算，河道蓄水
0
量是每天进出水量的80倍．若从现在开始关闭污染源，要使河水的污染水平下降到初始时
的10%，需要的时间大约是(参考数据：ln 10≈2.30)( )
A．1个月 B．3个月
C．半年 D．1年
答案 C
解析 由题可知，m(t)＝ ＝0.1m，
0
∴ ＝0.1，
∴－t＝ln 0.1≈－2.30，∴t≈184(天)，
∴要使河水的污染水平下降到初始时的10%，结合选项知需要的时间大约是半年．
(2)(2022·广东大联考)水果采摘后，如果不进行保鲜处理，其新鲜度会逐渐流失，某水果产
地的技术人员采用一种新的保鲜技术后发现水果在采摘后的时间 t(单位：小时)与失去的新鲜度y满足函数关系式：y＝ 为了保障水果在销售时的新鲜度不
低于85%，从水果采摘到上市销售的时间间隔不能超过(参考数据：log 3≈1.6)( )
2
A．20小时 B．25小时
C．28小时 D．35小时
答案 C
解析 由题意可知当t<10时，失去的新鲜度小于10%，没有超过15%，
当t≥10时，则有 ≤15%，即 ≤3，
∴≤log3≈1.6，
2
∴t≤48－20＝28.
专题强化练
一、选择题
1．幂函数f(x)满足f(4)＝3f(2)，则f 等于( )
A. B. 3 C. － D. －3
答案 A
解析 设幂函数f(x)＝xα，则4α＝3×2α，
解得α＝log 3，所以f(x)＝ ，
2
所以f ＝ ＝.
2．(2022·泸州模拟)若log b>1，其中a>0且a≠1，b>1, 则( )
a
A．0<a<1<b B．1<a<b
C．1<b<a D．1<b<a2
答案 B
解析 当0<a<1时，y＝log x单调递减，
a
由b>1，则log b<0，与log b>1矛盾，故a>1，
a a
由log b>1得log b>log a，
a a a
则b>a，故b>a>1.
3．函数f(x)＝的零点有( )
A．2个 B．3个
C．5个 D．无数个答案 B
解析 f(x)的定义域为(－5,5)，
令f(x)＝0，得sin x＝0，
∴x＝kπ，k∈Z，
又x∈(－5,5)，
∴x＝0或x＝±π，
故f(x)有3个零点．
4．朗伯比尔定律(Lambert－Beer law)是分光光度法的基本定律，是描述物质对某一波长光
吸收的强弱与吸光物质的浓度及其液层厚度间的关系，其数学表达式为A＝lg ＝Kbc，其中
A为吸光度，T为透光度，K为摩尔吸光系数，c为吸光物质的浓度，单位为mol/L，b为吸
收层厚度，单位为cm.保持K，b不变，当吸光物质的浓度增加为原来的两倍时，透光度由
原来的T变为( )
A．2T B．T2
C.T D．10T
答案 B
解析 由A＝lg ＝Kbc，得＝10A，
所以T＝A，
保持K，b不变，当吸光物质的浓度增加为原来的两倍时，透光度变为T′，则Kb·2c＝2A
＝lg ，
所以＝102A，
所以T′＝2A＝2＝T2，
所以透光度由原来的T变为T2.
5．(2022·十堰统考)已知a＝ln 3，b＝30.5，c＝lg 9，则( )
A．a>b>c B．c>a>b
C．b>a>c D．b>c>a
答案 C
解析 因为0＝lg 1<c＝lg 9<lg 10＝1，
a＝ln 3>ln e＝1，所以a>c，
又e3>2.53>32，所以 >3，则>ln 3，
则b＝30.5>>ln 3＝a.
故b>a>c.
6．方程f(x)＝f′(x)的实数根叫做函数f(x)的“新驻点”．如果函数g(x)＝ln x＋2的“新驻
点”为a，那么a的取值范围是( )
A. B.C. D.
答案 B
解析 由题意得，g′(x)＝(x>0)，则ln x＋2＝的根为g(x)的“新驻点”，
设h(x)＝ln x－＋2(x>0)，即h(x)的零点为g(x)的“新驻点”，
∴h′(x)＝＋>0，即h(x)在(0，＋∞)上单调递增，
h＝ln<0，h(1)＝1>0，根据零点存在定理知，h(x)的零点在内，
∴g(x)的“新驻点”的取值范围是，即a的取值范围为.
7．(2022·聊城模拟)“环境就是民生，青山就是美丽，蓝天也是幸福”，随着经济的发展和
社会的进步，人们的环保意识日益增强．某化工厂产生的废气中污染物的含量为 1.2
mg/cm3，排放前每过滤一次，该污染物的含量都会减少20%，当地环保部门要求废气中该
污染物的含量不能超过0.2 mg/cm3，若要使该工厂的废气达标排放，那么该污染物排放前需
要过滤的次数至少为(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)( )
A．6 B．7 C．8 D．9
答案 C
解析 设该污染物排放前过滤的次数为n(n∈N*)，
由题意得1.2×0.8n≤0.2，即n≥6，
两边取以10为底的对数可得lgn≥lg 6，
即nlg≥lg 2＋lg 3，
所以n≥，
因为lg 2≈0.30，lg 3≈0.48，
所以≈＝7.8，
所以n≥7.8，又n∈N*，
所以n ＝8，即该污染物排放前需要过滤的次数至少为8次．
min
8．(2022·茂名模拟)已知x，y，z均为大于0的实数，且2x＝3y＝log z，则x，y，z大小关系
5
正确的是( )
A．x>y>z B．x>z>y
C．z>x>y D．z>y>x
答案 C
解析 因为x，y，z均为大于0的实数，
所以令2x＝3y＝log z＝t，则t>1，
5
进而将问题转化为函数y＝2x，y＝3x，y＝log x与直线y＝t(t>1)的交点的横坐标之间的关系，
5
作出函数图象，如图，由图可知z>x>y.
9．(2022·湛江模拟)已知当x∈(0，＋∞)时，函数f(x)＝kex的图象与函数g(x)＝的图象有且只
有两个交点，则实数k的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 由题设，当x∈(0，＋∞)时，k＝，令h(x)＝，
则h′(x)＝－，所以当0<x<时，h′(x)>0，则h(x)单调递增；
当x>时，h′(x)<0，则h(x)单调递减．又h(x)>0，h(x)≤h＝，
所以当0<k<时，直线y＝k与y＝h(x)的图象有两个交点，即函数f(x)＝kex的图象与函数g(x)
＝的图象有且只有两个交点．
10．(2022·湖南联考)已如函数f(x)＝2x－＋lg ，则( )
A．f(1)＋f(－1)<0
B．f(－2)＋f(2)>0
C．f(1)－f(－2)<0
D．f(－1)＋f(2)>0
答案 D
解析 因为f(－x)＝2－x－＋lg
＝－＝－f(x)，
所以f(x)是奇函数，所以f(x)＋f(－x)＝0，故A，B错误；
又因为f(x)＝2x－＋lg ＝2x－＋
lg，且>0，
即(x＋3)(3－x)>0，解得－3<x<3，
根据单调性的结论可知f(x)在(－3,3)上单调递增，所以当x∈(0,3)时，f(x)>0，当x∈(－3,0)
时，f(x)<0，
所以f(1)－f(－2)＝f(1)＋f(2)>0，C错误；
f(－1)＋f(2)＝f(2)－f(1)>0，D正确．
11．(2022·昆明模拟)已知55<94，134<95，设a＝log 2，b＝log 5，c＝log 9，则( )
5 9 13
A．a<b<c B．b<a<c
C．b<c<a D．c<a<b答案 A
解析 由已知得a，b，c∈(0,1)，
∵＝＝log 2·log 9<2＝2<2＝1，
5 5
∴a<b，
∵55<94，∴5<4log 9，即b＝log 5＝<，
5 9
∵134<95，∴4<5log 9，即c＝log 9>，∴b<c，综上，a<b<c.
13 13
12．设x，x 分别是函数f(x)＝x－a－x和g(x)＝xlog x－1的零点(其中a>1)，则x＋4x 的取值
1 2 a 1 2
范围为( )
A．(4，＋∞) B．[4，＋∞)
C．(5，＋∞) D．[5，＋∞)
答案 C
解析 令f(x)＝0，得x＝ ，即＝ ，
1
所以x 是y＝与y＝ax(a>1)图象的交点的横坐标，且显然0<x<1.
1 1
令g(x)＝0，得xlog x－1＝0，
2 a 2
即log x＝，
a 2
所以x 是y＝与y＝log x(a>1)图象的交点的横坐标，因为y＝ax与y＝log x关于y＝x对称，
2 a a
所以交点也关于y＝x对称，所以有x＝，
1
所以x＋4x＝x＋，令y＝x＋，易知y＝x＋在(0,1)上单调递减，所以x＋4x>1＋＝5.
1 2 1 1 2
二、填空题
13．(2022·成都模拟)已知两个条件：①a，b∈R，f(a＋b)＝f(a)·f(b)；②f(x)在(0，＋∞)上单
调递减．请写出一个同时满足以上两个条件的函数____________．
答案 f(x)＝x(答案不唯一)
解析 由题意知，是指数函数里的减函数，故可以是f(x)＝x.
14．(2022·广州模拟)据报道，某地遭遇了70年一遇的沙漠蝗虫灾害．在所有的农业害虫中，
沙漠蝗虫对人类粮食作物危害最大．沙漠蝗虫繁殖速度很快，迁徙能力很强，给农业生产和
粮食安全构成重大威胁．已知某蝗虫群在适宜的环境条件下，每经过15天，数量就会增长
为原来的10倍．该蝗虫群当前有1亿只蝗虫，则经过________天，蝗虫数量会达到4 000亿
只．(参考数据：lg 2≈0.30)
答案 54
解析 由每经过15天，蝗虫的数量就会增长为原来的10倍，
设每天的增长率为a，则有(1＋a)15＝10，
解得a＝－1，
设经过x天后，蝗虫数量会达到4 000亿只，
则有1×(1＋a)x＝4 000，所以 ＝4 000，即 ＝lg 4 000，
故＝3＋lg 4＝3＋2lg 2≈3＋2×0.3＝3.6，
所以x≈54，
故经过54天，蝗虫数量会达到4 000亿只．
15．(2022·东北师大附中模拟)已知函数f(x)＝|ln x|，若0<a<b，且f(a)＝f(b)，则a＋2b的取
值范围是________．
答案 (3，＋∞)
解析 f(x)＝|ln x|的图象如图所示，
因为f(a)＝f(b)，
所以|ln a|＝|ln b|，
因为0<a<b，
所以ln a<0，ln b>0，
所以0<a<1，b>1，
所以|ln a|＝－ln a，|ln b|＝ln b，
所以－ln a＝ln b，所以ln a＋ln b＝ln(ab)＝0，
所以ab＝1，即b＝，
所以a＋2b＝a＋，
令g(x)＝x＋(0<x<1)，
则g′(x)＝1－＝，
当0<x<1时，g′(x)<0，
所以g(x)在(0,1)上单调递减，
所以g(x)>g(1)＝1＋2＝3，
所以a＋2b>3，
所以a＋2b的取值范围为(3，＋∞)．
16．函数f(x)＝若关于x的方程2f2(x)－af(x)＋1＝0有6个不相等的实数根，则a的取值范围
是__________．
答案 (2，3)
解析 函数f(x)的图象如图所示，令t＝f(x)，则关于x的方程2f2(x)－af(x)＋1＝0有6个不相等的实数根，
等价于关于t的方程2t2－at＋1＝0在[0,1)上有2个不相等的实数根，
则
解得2<a<3.
