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第 3 讲 不等式
[考情分析] 1.不等式的性质与解法常与集合、函数相结合，也可渗透在三角函数、数列、
解析几何、导数等题目中.2.线性规划主要考查利用代数式的几何意义(如斜率、截距、距离
等)求目标函数的最值.3.基本不等式通常与其他知识综合考查求最值、范围等问题.4.此部分
内容多以选择题、填空题形式呈现，中等难度．
考点一 不等式的性质与解法
核心提炼
判断关于不等式命题真假的常用方法
(1)作差法、作商法，作商法要注意除数的正负．
(2)利用不等式的性质推理判断．
(3)利用函数的单调性．
(4)特殊值验证法，特殊值法只能排除错误的命题，不能判断正确的命题．
例1 (1)(2022·黄冈中学模拟)已知a，b，c均为非零实数，且a>b>c，则下列不等式中，一
定成立的是________．(填序号)
①ac>bc；②ac2>bc2；③(a－b)c<(a－c)c；
④ln <0.
答案 ②④
解析 对于①，取特殊值a＝2，b＝1，c＝－1，满足a>b>c，但ac<bc，故①不成立；
对于②，因为a，b，c均为非零实数，且a>b>c，所以c2>0，所以ac2>bc2，故②成立；
对于③，取特殊值a＝3，b＝2，c＝－1，满足非零实数a>b>c，此时(a－b)c＝(3－2)－1＝1，
(a－c)c＝(3＋1)－1＝4－1＝，但(a－b)c>(a－c)c，故③不成立；
对于④，因为a，b，c均为非零实数，且a>b>c，所以－b<－c，a－c>0，a－b>0，
所以0<a－b<a－c，0<<1，所以ln <ln 1，即ln <0，故④成立．
(2)若关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－1，2)，则关于x的不等式＋c>bx的解集为
________．
答案 (－∞，0)
解析 由题意，关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－1，2)，
则－1，2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根，
可得
解得b＝－a，c＝－2a，且a<0，
则关于x的不等式＋c>bx可化为－2a>－ax，即－2<－x，
即＝<0，解得x<0，所以不等式＋c>bx的解集为(－∞，0)．
易错提醒 解不等式问题的易错点
(1)对参数讨论时分类不完整，易忽视a＝0的情况．
(2)一元二次不等式中，易忽视开口方向，从而错解．
(3)分式不等式易忽视分母不为0.
跟踪演练1 (1)(2022·临川模拟)若实数a，b满足a6<a5b，则下列选项中一定成立的是( )
A．a<b B．a3<b3
C．ea－b>1 D．ln <0
答案 D
解析 因为a6<a5b，
所以a6－a5b＝a5(a－b)<0，
显然a≠0，所以a(a－b)<0，
所以或
即0<a<b或b<a<0.
若0<a<b，则a3<b3，ea－b<e0＝1，
ln <ln 1＝0；
若b<a<0，则a3>b3，ea－b>e0＝1，
ln <ln 1＝0，
则一定成立的是选项D.
(2)若关于x的不等式x2－(m＋2)x＋2m<0的解集中恰有4个整数，则实数m的取值范围为(
)
A．(6，7] B．[－3，－2)
C．[－3，－2)∪(6，7] D．[－3，7]
答案 C
解析 不等式x2－(m＋2)x＋2m<0，即(x－2)(x－m)<0 ，
当m>2时，不等式的解集为(2，m)，此时要使解集中恰有4个整数，
这4个整数只能是3，4，5，6，故6<m≤7；
当m＝2时，不等式的解集为∅，此时不符合题意；
当m<2 时，不等式的解集为(m，2)，此时要使解集中恰有4个整数，
这4个整数只能是－2，－1，0，1，故－3≤m<－2.
综上所述，实数m的取值范围为[－3，－2)∪(6，7]．
考点二 线性规划
核心提炼
1．截距型：形如z＝ax＋by，求这类目标函数的最值常将函数z＝ax＋by转化为y＝－x＋(b≠0)，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值．
2．距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2，设动点P(x，y)，定点M(a，b)，则z＝|PM|2.
3．斜率型：形如z＝(x≠a)，设动点P(x，y)，定点M(a，b)，则z＝k .
PM
例2 (1)(2022·全国乙卷)若x，y满足约束条件则z＝2x－y的最大值是( )
A．－2 B．4 C．8 D．12
答案 C
解析 方法一 由题意作出可行域，如图阴影部分(含边界)所示，
转化目标函数z＝2x－y为y＝2x－z，
上下平移直线y＝2x－z，可得当直线过点(4，0)时，直线截距最小，z最大，
所以z ＝2×4－0＝8.
max
方法二 由得
此时z＝2×0－2＝－2；
由得
此时z＝2×2－0＝4；
由得
此时z＝2×4－0＝8.
综上所述，z＝2x－y的最大值为8.
(2)(2022·运城模拟)已知实数x，y满足约束条件则z＝的取值范围是( )
A.∪[2，＋∞)
B.
C.
D.∪[2，＋∞)
答案 D
解析 画出约束条件所表示的可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，z＝表示可行域内点
N(x，y)与定点M(－2,3)连线的斜率，
由图可得A(1,4)，B(－4，－1)，则k ＝＝，k ＝＝2，
MA MB
由数形结合，得k ≤或k ≥2，
MN MN
所以z＝的取值范围是∪[2，＋∞)．
规律方法 含参数的线性规划问题，参数位置一般有两种形式：一是目标函数中含有参数，
这时可以准确作出可行域，这类问题的一般特征是其最优解是可知的，因此解题时可充分利
用目标函数的斜率特征加以转化；二是在约束条件中含参，可行域的边界线中有一条是动态
的，所以要充分依据目标函数及最值等条件数形结合处理，有时还需分类讨论．
跟踪演练2 (1)(2022·宁波模拟)若实数x，y满足且z＝3x＋y的最大值为8，则实数m的值
为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 C
解析 画出不等式组所表示的可行域(含边界)如图所示，O(0，0)，A(m，m)，B，
由图中直线斜率关系知，
当直线y＝－3x＋z向上平移时，依次经过点O，B，A.
故经过点A时，z有最大值4m，
由4m＝8，得m＝2.
(2)(2022·榆林模拟)已知实数x，y满足则目标函数z＝(x＋1)2＋(y＋2)2的最小值为________．
答案
解析 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分(包括边界)所示，函数z＝(x＋1)2＋(y＋2)2表示可行域内的点与点(－1，－2)的距离的平方．
由图知，＝的最小值为点(－1，－2)到直线x＋2y＋2＝0的距离，
即＝，所以z的最小值为.
考点三 基本不等式
核心提炼
基本不等式求最值的三种解题技巧
(1)凑项：通过调整项的符号，配凑出符合基本不等式条件的项，使其积或和为定值．
(2)凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，通过凑系数后可得到和或积为定值，从而利
用基本不等式求最值．
(3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开，
即化为y＝m＋＋Bg(x)(AB>0)，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值．
例3 (1)已知x>0，y>0，且2x＋y＝1，则的最小值为( )
A．9 B．12
C．2＋5 D.＋5
答案 C
解析 因为x>0，y>0，且2x＋y＝1，
所以＝＝＋
＝(2x＋y)
＝＋＋5
≥2＋5＝2＋5，当且仅当＝，即y＝x时取等号．
(2)(2022·全国甲卷)已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB＝120°，AD＝2，CD＝2BD.当
取得最小值时，BD＝________.
答案 －1
解析 设BD＝k(k>0)，则CD＝2k.
根据题意作出大致图形，如图．
在△ABD中，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB＝22＋k2－2×2k×＝k2＋2k＋4.
在△ACD中，由余弦定理得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CDcos∠ADC＝22＋(2k)2－2×2×2k×＝
4k2－4k＋4，
则＝
＝
＝4－＝4－
＝4－.
∵k＋1＋≥2
，
∴≥4－＝4－2＝(－1)2，
∴当取得最小值－1时，
BD＝k＝－1.
规律方法 利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的条件
(1)一正二定三相等，三者缺一不可．
(2)若连续两次使用基本不等式求最值，必须使两次等号成立的条件一致，否则最值取不到．
跟踪演练3 (1)若a，b∈R，ab>0，则的最小值为( )
A．6 B．4 C．2 D．2
答案 B
解析 ∵ab>0，∴≥＝＝4ab＋≥2＝4.
当且仅当即a2＝2b2＝时取等号．
(2)(2022·新高考全国Ⅱ改编)若 x，y 满足 x2＋y2－xy＝1，则 x＋y 的取值范围是
_____________，x2＋y2的最大值为________．
答案 [－2,2] 2
解析 由x2＋y2－xy＝1可变形为
(x＋y)2－1＝3xy≤32，
解得－2≤x＋y≤2，
当且仅当x＝y＝－1时，x＋y＝－2，
当且仅当x＝y＝1时，x＋y＝2，
所以x＋y的取值范围为[－2,2]．
由x2＋y2－xy＝1可变形为
x2＋y2－1＝xy≤，
解得x2＋y2≤2，当且仅当x＝y＝±1时取等号，
所以x2＋y2的最大值为2.专题强化练
一、选择题
1．不等式≤x－2的解集是( )
A．(－∞，0]∪(2，4] B．[0，2)∪[4，＋∞)
C．[2，4) D．(－∞，2)∪(4，＋∞)
答案 B
解析 当x－2>0，即x>2时，(x－2)2≥4，即x－2≥2，
解得x≥4；
当x－2<0，即x<2时，(x－2)2≤4，即－2≤x－2<0，解得0≤x<2.
综上，不等式的解集为[0，2)∪[4，＋∞)．
2．(2022·衡水中学模拟)已知<<0，则下列结论一定正确的是( )
A．a2>b2 B.＋<2
C．|a|a<|a|b D．lg a2<lg ab
答案 D
解析 由<<0，可得b<a<0，则a＋b<0，a－b>0，ab>0，
A中，由a2－b2＝(a＋b)(a－b)<0，得a2<b2，所以A不正确；
B中，由>0，>0，且≠，得＋>2＝2，所以B不正确；
C中，当|a|＝1时，＝|a|a－b＝1，此时|a|a＝|a|b，所以C不正确；
D中，由lg a2－lg ab＝lg ＝lg ，且b<a<0，得0<<1，
所以lg <0，可得lg a2<lg ab，所以D正确．
3．(2021·全国乙卷)下列函数中最小值为4的是( )
A．y＝x2＋2x＋4 B．y＝|sin x|＋
C．y＝2x＋22－x D．y＝ln x＋
答案 C
解析 选项A，因为y＝x2＋2x＋4＝(x＋1)2＋3，所以当x＝－1时，y取得最小值，且y ＝
min
3，所以选项A不符合题意；
选项B，因为y＝|sin x|＋≥2＝4，当且仅当|sin x|＝，即|sin x|＝2时取等号，但是根据正弦
函数的有界性可知|sin x|＝2不可能成立，因此可知y>4，所以选项B不符合题意(或设|sin x|
＝t，则t∈(0，1]，根据函数y＝t＋在(0，1]上单调递减可得y ＝1＋＝5，所以选项B不符
min
合题意)；
选项C，因为y＝2x＋22－x≥2＝4，当且仅当2x＝22－x，即x＝2－x，即x＝1时取等号，所以
y ＝4，所以选项C符合题意；
min
选项D，当0<x<1时，ln x<0，y＝ln x＋<0，所以选项D不符合题意．4．(2022·河南省名校联盟联考)若x，y满足约束条件则z＝取得最大值的最优解为( )
A．(1，3) B．(1，1) C．4 D．0
答案 A
解析 由约束条件可得如图中阴影部分(含边界)所示的可行域，又z＝表示可行域中任意一
点与A(0，1)所在直线斜率的2倍，
所以取最大值相当于取最大值，即可行域中任意一点与A(0，1)连线的斜率取最大值，
由图可知，可行域中只有的交点(1，3)与A(0，1)所在直线的斜率最大，且最大值为＝2.
所以z＝的最大值为4，取得最大值的最优解为(1，3)．
5．(2022·宜宾质检)已知a∈[－1，1]，不等式x2＋(a－4)x＋4－2a>0恒成立，则x的取值范
围为( )
A．(－∞，2)∪(3，＋∞)
B．(－∞，1)∪(2，＋∞)
C．(－∞，1)∪(3，＋∞)
D．(1，3)
答案 C
解析 令f(a)＝(x－2)a＋x2－4x＋4，
则不等式x2＋(a－4)x＋4－2a>0恒成立转化为f(a)>0在[－1，1]上恒成立．
则
即
整理得
解得x<1或x>3.
故x的取值范围为(－∞，1)∪(3，＋∞)．
6．(2022·开封模拟)已知(2，1)是椭圆C：＋＝1(a>b>0)上一点，则连接椭圆C的四个顶点构
成的四边形的面积( )
A．有最小值4 B．有最小值8
C．有最大值8 D．有最大值16
答案 B
解析 因为(2，1)是椭圆C：＋＝1(a>b>0)上一点，
所以＋＝1，即a2b2＝4b2＋a2，所以a2b2＝4b2＋a2≥2＝4ab，所以ab≥4.连接椭圆C的四个顶点构成的四边形的面积为S＝×2a×2b＝2ab≥2×4＝8.
即面积有最小值8.
7．已知关于x的不等式mx2－6x＋3m<0在(0，2]上有解，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，) B.
C．(，＋∞) D.
答案 A
解析 由题意得，mx2－6x＋3m<0，x∈(0，2]，即m<，
故问题转化为m<在(0，2]上有解，
设g(x)＝，
则g(x)＝＝，x∈(0，2]，
因为x＋≥2，当且仅当x＝∈(0，2]时取等号，
所以g(x) ＝＝，
max
故m<.
8．已知x<，f(x)＝x＋，则下列说法正确的是( )
A．f(x)有最大值－ B．f(x)有最大值－
C．f(x)有最小值 D．f(x)有最小值
答案 B
解析 ∵x<，∴x－<0，
∴f(x)＝x＋＝x－＋＋
＝－＋
≤－2＋
＝－，当且仅当x＝－时取等号．
9．(2022·嘉兴质检)已知实数x，y满足约束条件则z＝|x－2y＋6|的最大值是( )
A．10 B．7 C．5 D．2
答案 B
解析 画出不等式组所表示的平面区域，如图阴影部分(含边界)所示，
设m＝x－2y＋6，则y＝x＋3－，
当直线y＝x＋3－经过点A时，目标函数m＝x－2y＋6取得最小值，
当直线y＝x＋3－经过点B时，目标函数m＝x－2y＋6取得最大值，由解得A(0，2)，
又由解得B(－1，－1)，
所以目标函数的最小值为2，最大值为7，
所以z＝|x－2y＋6|的最大值是7.
10．(2022·石家庄模拟)设正实数m，n满足m＋n＝2，则下列说法正确的是( )
A.＋的最小值为4
B．mn的最小值为1
C.＋的最大值为2
D．m2＋n2的最小值为
答案 C
解析 ∵m>0，n>0，m＋n＝2，
∴＋＝(m＋n)
＝≥＝2，
当且仅当＝，即m＝n＝1时，等号成立，故A不正确；
∵m＋n＝2≥2，∴mn≤1，当且仅当m＝n＝1时，等号成立，故B不正确；
∵(＋)2≤2[()2＋()2]＝4，∴＋≤＝2，当且仅当m＝n＝1时，等号成立，故C正确；
m2＋n2≥＝2，当且仅当m＝n＝1时，等号成立，故D不正确．
11．(2022·滁州质检)若实数a，b满足2a＋b＝3，则＋的最小值为( )
A．6 B．4 C．3 D．2
答案 A
解析 令2a－1＝m，b－1＝n，则m>0，n>0，
∴m＋n＝2a＋b－2＝1，
∵＋＝＋＝2＋＋
＝2＋(m＋n)
＝4＋＋
≥4＋2＝6，
当且仅当m＝n＝，即a＝，b＝时取等号．
12．(2022·杭州模拟)已知a，b，c∈R且a＋b＋c＝0，a>b>c，则的取值范围是( )
A．[2，＋∞) B．(－∞，－2]
C. D.
答案 C
解析 由a＋b＋c＝0，a>b>c，可得a>0，c<0，b＝－a－c，
则a>－a－c>c，则－2<<－，
令t＝，则－2<t<－，＝＋＝t＋，又f(t)＝t＋在(－2，－1)上单调递增，在上单调递减，
f(－2)＝－2＋＝－，f(－1)＝－1＋＝－2，f ＝－＋＝－，
则－<f(t)≤－2，即－<≤－2.
二、填空题
13．(2022·安庆检测)能够说明“设a，b，c是任意实数，若a2＋b2>c2，则a＋b>c”是假命
题的一组整数a，b，c的值依次为________．
答案 －3，－1，1(答案不唯一)
解析 令a＝－3，b＝－1，c＝1，则a2＋b2＝10>1＝c2，此时a＋b＝－4<1，所以该命题是
假命题．
14．已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0(a，b，c∈R)的解集为{x|3<x<4}，则的取值范围为
________.
答案 [4，＋∞)
解析 由不等式的解集知a<0，由根与系数的关系知
∴b＝－7a，c＝12a，则＝＝－24a＋≥2＝4，
当且仅当－24a＝，即a＝－时取等号．
15．(2022·洛阳模拟)若实数x，y满足约束条件则目标函数z＝3x＋y的取值范围是________．
答案
解析 作出不等式组所表示的可行域(含边界)如图所示，
联立解得即点A(－1，－1)，
联立解得即点B，
转化z＝3x＋y为y＝－3x＋z，
平移直线y＝－3x＋z，当该直线经过可行域的顶点A时，z ＝3×(－1)＋(－1)＝－4；
min
平移直线y＝－3x＋z，当该直线经过可行域的顶点B时，z ＝3×＋＝，
max
所以目标函数z＝3x＋y的取值范围是.
16．已知a＞b，关于x的不等式ax2＋2x＋b≥0对于一切实数x恒成立，又存在实数x ，使
0
得ax＋2x＋b＝0成立，则的最小值为________．
0
答案 2
解析 因为ax2＋2x＋b≥0对于一切实数x恒成立，
所以a>0，且Δ＝4－4ab≤0，所以ab≥1；
再由∃x∈R，使ax＋2x＋b＝0成立，
0 0可得Δ＝4－4ab≥0，所以ab≤1，
所以ab＝1,
因为a>b，即a－b>0，所以＝＝a－b＋≥2，
当且仅当a－b＝，即a－b＝时，等号成立，
所以的最小值为2.
