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第 3 讲 不等式
[考情分析] 1.不等式的性质与解法常与集合、函数相结合，也可渗透在三角函数、数列、
解析几何、导数等题目中.2.线性规划主要考查利用代数式的几何意义(如斜率、截距、距离
等)求目标函数的最值.3.基本不等式通常与其他知识综合考查求最值、范围等问题.4.此部分
内容多以选择题、填空题形式呈现，中等难度．
考点一 不等式的性质与解法
核心提炼
判断关于不等式命题真假的常用方法
(1)作差法、作商法，作商法要注意除数的正负．
(2)利用不等式的性质推理判断．
(3)利用函数的单调性．
(4)特殊值验证法，特殊值法只能排除错误的命题，不能判断正确的命题．
例1 (1)(2022·黄冈中学模拟)已知a，b，c均为非零实数，且a>b>c，则下列不等式中，一
定成立的是________．(填序号)
①ac>bc；②ac2>bc2；③(a－b)c<(a－c)c；④ln <0.
(2)若关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－1,2)，则关于x的不等式＋c>bx的解集为
________．
易错提醒 解不等式问题的易错点
(1)对参数讨论时分类不完整，易忽视a＝0的情况．
(2)一元二次不等式中，易忽视开口方向，从而错解．
(3)分式不等式易忽视分母不为0.
跟踪演练1 (1)(2022·临川模拟)若实数a，b满足a61 D．ln <0
(2)若关于x的不等式x2－(m＋2)x＋2m<0的解集中恰有4个整数，则实数m的取值范围为(
)
A．(6,7] B．[－3，－2)
C．[－3，－2)∪(6,7] D．[－3,7]
考点二 线性规划
核心提炼
1．截距型：形如z＝ax＋by，求这类目标函数的最值常将函数z＝ax＋by转化为y＝－x＋
(b≠0)，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值．
2．距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2，设动点P(x，y)，定点M(a，b)，则z＝|PM|2.3．斜率型：形如z＝(x≠a)，设动点P(x，y)，定点M(a，b)，则z＝k .
PM
例2 (1)(2022·全国乙卷)若x，y满足约束条件则z＝2x－y的最大值是( )
A．－2 B．4 C．8 D．12
(2)(2022·安徽省十校联盟联考)已知实数x，y满足则目标函数z＝的取值范围为( )
A．(－∞，－1]∪[3，＋∞)
B．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
C．[－1,3]
D．[－3,1]
规律方法 含参数的线性规划问题，参数位置一般有两种形式：一是目标函数中含有参数，
这时可以准确作出可行域，这类问题的一般特征是其最优解是可知的，因此解题时可充分利
用目标函数的斜率特征加以转化；二是在约束条件中含参，可行域的边界线中有一条是动态
的，所以要充分依据目标函数及最值等条件数形结合处理，有时还需分类讨论．
跟踪演练2 (1)(2022·宁波模拟)若实数x，y满足且z＝3x＋y的最大值为8，则实数m的值
为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
(2)(2022·榆林模拟)已知实数x，y满足则目标函数z＝(x＋1)2＋(y＋2)2的最小值为________．
考点三 基本不等式
核心提炼
基本不等式求最值的三种解题技巧
(1)凑项：通过调整项的符号，配凑出符合基本不等式条件的项，使其积或和为定值．
(2)凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，通过凑系数后可得到和或积为定值，从而利
用基本不等式求最值．
(3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开，
即化为y＝m＋＋Bg(x)(AB>0)，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值．
例3 (1)已知x>0，y>0，且2x＋y＝1，则的最小值为( )
A．9 B．12
C．2＋5 D.＋5
(2)(2022·全国甲卷)已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB＝120°，AD＝2，CD＝2BD.当
取得最小值时，BD＝________.
规律方法 利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的条件
(1)一正二定三相等，三者缺一不可．
(2)若连续两次使用基本不等式求最值，必须使两次等号成立的条件一致，否则最值取不到．
跟踪演练3 (1)若a，b∈R，ab>0，则的最小值为( )
A．6 B．4 C．2 D．2
(2)(2022·新高考全国Ⅱ改编)若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则下列结论正确的是________．(填序号)
①x＋y≤1；②x＋y≥－2；③x2＋y2≤2；④x2＋y2≥1.
