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第 2 讲 不等式选讲
[考情分析] 本部分主要考查绝对值不等式的解法、含绝对值的函数的最值，以及绝对值不
等式恒成立问题和证明等，难度中等．
考点一 含有绝对值的不等式的解法
核心提炼
(1)|f(x)|>a(a>0)⇔f(x)>a或f(x)<－a.
(2)|f(x)|0)⇔－af(x－1)的解集．
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规律方法 含绝对值不等式的解法
(1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤
①求零点；
②划区间、去绝对值符号；
③分别解去掉绝对值的不等式；
④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．
(2)用图象法、数形结合法可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易
懂，又简洁直观，是一种较好的方法．
跟踪演练1 (2022·临川模拟)已知f(x)＝|x－1|－a|x＋1|.
(1)若a＝1，解不等式f(x)≤1；(2)若不等式f(x)≤1无解，求实数a的取值范围．
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考点二 含绝对值不等式的恒成立(有解)问题
核心提炼
定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．
定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等
号成立．
例2 已知函数f(x)＝|x－1|＋|x＋2|，g(x)＝|x＋1|－|x－a|＋a.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)＋g(x)<6的解集；
(2)若对任意实数x，x，不等式f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围．
1 2 1 2
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跟踪演练2 (2022·平顶山模拟)已知函数f(x)＝|2x＋a|＋|2x－1|(a∈R)．
(1)当a＝2时，求不等式f(x)≤7的解集；
(2)若∃x∈R，使得f(x)≤－2a成立，求实数a的取值范围．
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考点三 不等式的证明
核心提炼
算术—几何平均不等式
定理1：设a，b∈R，则a2＋b2≥2ab.当且仅当a＝b时，等号成立．
定理2：如果a，b为正数，则≥，当且仅当a＝b时，等号成立．
定理3：如果a，b，c为正数，则≥，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a ，a ，…，a 为n个正数，则≥，当且仅
1 2 n
当a＝a＝…＝a 时，等号成立．
1 2 n
例3 (2022·全国甲卷)已知a，b，c均为正数，且a2＋b2＋4c2＝3，证明：
(1)a＋b＋2c≤3；(2)若b＝2c，则＋≥3.
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规律方法 (1)证明不等式的基本方法有综合法、分析法等，也常用到基本不等式进行证明．
(2)对于含有绝对值的不等式，在证明时常用到绝对值三角不等式．
(3)对于含有根号的不等式，在证明时可用平方法(前提是不等式两边均为正数)．
(4)如果所证明命题是否定性命题或唯一性命题，或以“至少”“至多”等方式给出，可以
考虑反证法．
跟踪演练3 (2022·全国乙卷)已知a，b，c都是正数，且 ，证明：
(1)abc≤；
(2)＋＋≤.
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