文档内容
专题 5-1 均值不等式及其应用归类
目录
讲高考............................................................................................................................................................1
题型全归纳...................................................................................................................................................2
【题型一】公式应用及限制条件..........................................................................................................2
【题型二】构造“公式型”...................................................................................................................3
【题型三】“1”的代换..........................................................................................................................4
【题型四】“积”与“和”混合型.....................................................................................................4
【题型五】构造分母代换型...................................................................................................................5
【题型七】分离常数消去型...................................................................................................................5
【题型八】消去型.....................................................................................................................................6
【题型九】多次均值.................................................................................................................................6
【题型十】多元均值.................................................................................................................................7
【题型十一】权方和不等式...................................................................................................................7
【题型十二】万能“k”法.....................................................................................................................8
【题型十三】整体换元............................................................................................................................8
【题型十四】均值应用：恒成立..........................................................................................................9
练题训练........................................................................................................................................................9
讲高考
1．（2022·全国·统考高考真题）已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·全国·统考高考真题）下列函数中最小值为4的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2021·全国·统考高考真题）已知 ， 是椭圆 ： 的两个焦点，点 在
上，则 的最大值为（ ）
A．13 B．12 C．9 D．6
4．（陕西·高考真题）已知不等式 对任意正实数x，y恒成立，则正实数
a的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．85．（·天津·高考真题）已知函数 设 ，若关于x的不等式
在R上恒成立，则a的取值范围是
A． B． C． D．
题型全归纳
综述
1．基本不等式：≤；
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0；
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b.
(3)基本不等式的变形：①a＋b≥2，常用于求和的最小值；②ab≤2，常用于求积的最大值；
2．常用不等式：
(1)重要不等式：a2＋b2≥ 2ab(a，b∈R)；
(2)重要不等式链：≥ ≥≥；
【题型一】公式应用及限制条件
【讲题型】
例题1.下列不等式中，一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
例题2.若 ，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【讲技巧】
利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最
大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号
则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
【练题型】
1.下列不等式的证明过程正确的是（ ）
A．若 ，则B．若 ，则
C．若 则
D．若 ，且 ，则
2.给出下列条件：① ；② ；③ ， ；④ ， .其中能使
成立的条件有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【题型二】构造“公式型”
【讲题型】
例题1.若x>1，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
例题2.）若关于 的不等式 对任意 恒成立，则正实数 的取值集合为
A．（－1，4] B．（0，4） C．（0，4] D．（1，4]
【练题型】
1.设 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．
2.已知 且 ，则 的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【题型三】“1”的代换
【讲题型】
例题1.已知 ， ， ，则 的最小值是（ ）
A．2 B．8 C．4 D．6
例题2.已知正实数 、 满足 ，则 的取值可能为（ ）
A． B． C． D．【练题型】
1.若 ， ，且 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2.已知 且 ，若 恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． } C． D．
【题型四】“积”与“和”混合型
【讲题型】
例题1.已知 ， ，且满足 ，则 的最小值为（ ）
A．2 B．3 C． D．
例题2.若正实数 满足 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【讲技巧】
1.形如 求
型，
求
2.形如 型，可以对“积pxy”部分用均值，再解不等式，注
意凑配对应的“和”的系数系数，如下：
【练题型】
1.若 ，且 ，则 的取值范围（ ）
A． B． C． D．
2.已知a，b是正实数， ，则 的最小值是 （ ）
A． B． C． D．
【题型五】构造分母代换型
【讲题型】例题1.若正实数 ， 满足 ，且不等式 有解，则实数 的取值
范围是（ ）
A． 或 B．
C． 或 D．
例题2.若正数 ， 满足 ，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【练题型】
1.若 ， ，且 ，则 的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
2.已知实数x，y满足 ，且 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
【题型七】分离常数消去型
【讲题型】
例题1.已知 ，则 的最小值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
例题2.已知 ， ， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【练题型】
1.已知 为正实数且 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．3
2.已知 ，则 的最小值为（ ）
A．3 B．2
C．4 D．1
【题型八】消去型
【讲题型】例题1.已知点 在椭圆 上运动，则 最小值是__________．
例题2.已知 ，且 ，则 的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【练题型】
1.已知 ， ，且 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2.已知正数a和b满足ab+a+2b=7，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3.已知正数 ， 满足 ，则 的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【题型九】多次均值
【讲题型】
例题1.已知 ，则 的最小值是（ ）
A．2 B． C． D．6
例题2.已知 ， ，且 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【练题型】
1.设 ，则 的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2.若a，b，c均为正实数，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【题型十】多元均值
【讲题型】例题1.设正实数 满足 ，则当 取得最小值时， 的最大
值为（ ）
A． B． C． D．
例题2.已知P是面积为1的 ABC内的一点（不含边界），若 PAB， PAC， PBC的面
积分别为x，y，z，则 △ 的最小值是（ ） △ △ △
A． B． C． D．3
【练题型】
1.若a，b，c均为正实数，则三个数 ， ， （ ）
A．都不大于2 B．都不小于2
C．至少有一个不大于2 D．至少有一个不小于2
2.设 为 中的三边长，且 ，则 的取值范围是（
）
A． B． C． D．
【题型十一】权方和不等式
【讲题型】
例题1.若正数 满足 ，则 的最大值为（ ）
A．2/5 B．4/9 C．1/2 D．4/7
例题2.已知 为正数，且 ，则 的最大值为 ．
【讲技巧】
权 方 和 不 等 式 ： 设 证 明 ：
【练题型】
4 1
1.已知实数m,n∈(0,+∞)且m+n=1，则 + 的最小值为__________．
3m+n m+3n2.已知 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【题型十二】万能“k”法
【讲题型】
例题1..已知正数 满足 ，则 的最大值为__________．
例题2.已知 ， ， ，则 的最小值为
A． B． C． D．4
【练题型】
1.已知 ，若 ，则 的最小值是（ ）
A. B. C. D.
1 4
2.已知x+ y= + +8（x,y>0），则x+ y的最小值为（ ）
x y
A．5√3 B．9 C．4+√26 D．10
【题型十三】整体换元
【讲题型】
例题1.若a,b∈R，且a2+2ab−3b2=1，则a2+b2的最小值为_____
例题2.若实数 、 、 ，且 ，则 的最小值为
（ ）
A. B. C. D.
【练题型】
1.已知 ，且 ，则 的取值范围是
A． B． C． D．
2.已知正实数 ， ，若 ， ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【题型十四】均值应用：恒成立【讲题型】
例题1.已知 ， ，且 ，若 恒成立，则实数 的最小值是
（ ）
A． B． C． D．
例题2.正数 ， 满足 ，若不等式 对任意实数 恒成立，则
实数 ______.（填一个满足条件的值即可）
【练题型】
1.数列 中， ， ，若不等式 恒成
立，则实数 的取值范围为__________.
2.设正实数 满足 ，不等式 恒成立，则 的最大值为 （ ）
A． B． C． D．
一、单选题
1．已知 ，则 的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．10
2．若 ，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知x，y为正实数，且 ，则 的最小值是（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
4．若 ， ，且 ，则 的最小值为（ ）
A．9 B．6 C．3 D．12
5．已知 ，且 ，则 的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．
6．设 ，且 ，则 （ ）A．有最小值为 B．有最小值为
C．有最大值为 D．有最大值为
7．若 ， ， ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知 ，且 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
二、多选题
9．在下列函数中，最小值是 的函数有（ ）
A． B．
C． D．
10．若a，b均为正数，且满足 ，则（ ）
A． 的最大值为2 B． 的最小值为4
C． 的最小值是6 D． 的最小值为
11．设正数 满足 ，则有（ ）
A．
B．
C．
D．
12．下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 的最大值为 ；
B．函数 的最小值为2；
C．已知 ，则 的最小值为3；D．若正数 满足 ，则 的最小值是3
三、填空题
13．若三个正数 满足 ，则 的最小值为______.
14．若实数 满足 ， ，则 的最大值为______．
15．已知 ， ， 是正实数，且 ，则 最小值为__________.
16．已知正数 满足 ，则 的最小值是_________．
