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讲义 1： 空 间 几 何 体 一、教学要求：通过实物模型，观察大量的空间图形，认识柱体、 锥体、台体、球体及简单组合体的结构特征，并 能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结 构. 二、教学重点：让学生感受大量空间实物及模型，概括出柱体、 锥体、台体、球体的结构特征. 三、教学难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括. 四、教学过程： （一）、新课导入： 1. 导入：进入高中，在必修②的第一、二章中，将继续深入研 究一些空间几何图形，即学习立体几何，注意学习方法：直观感 知、操作确认、思维辩证、度量计算. （二）、讲授新课： 1. 教学棱柱、棱锥的结构特征： ①、讨论：给一个长方体模型，经过上、下两个底面用刀垂直切， 得到的几何体有哪些公共特征？把这些几何体用水平力 推斜后，仍然有哪些公共特征？ ②、定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且 每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成 的几何体叫棱柱. → 列举生活中的棱柱实例（三棱镜、方砖、 六角螺帽）. 结合图形认识：底面、侧面、侧棱、顶点、高、对角面、对 角线. ③、分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四 棱柱、五棱柱等. 表示：棱柱 ABCDE-A’B’C’D’E’ ④、讨论：埃及金字塔具有什么几何特征？ ⑤、定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点 的三角形，由这些面所围成的几何体叫棱锥. 结合图形认识：底面、侧面、侧棱、顶点、高. → 讨论：棱 锥如何分类及表示？ ⑥、讨论：棱柱、棱锥分别具有一些什么几何性质？有什么共同 的性质？ ★棱柱：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全 等的多边形 ★棱锥：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面 相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方. 2. 教学圆柱、圆锥的结构特征： ① 讨论：圆柱、圆锥如何形成？ ② 定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成 的曲面所围成的几何体叫圆柱；以直角三角形的一条直角边为旋 转轴,其余两边旋转所成的曲面所围成的几何体叫圆锥. →结合图形认识：底面、轴、侧面、母线、高. → 表示方法 ③ 讨论：棱柱与圆柱、棱柱与棱锥的共同特征？ → 柱体、锥 体. ④ 观察书 P2 若干图形，找出相应几何体； 三、巩固练习： 1. 已知圆锥的轴截面等腰三角形的腰长为 5cm,,面积为 12cm,求 圆锥的底面半径. 2.已知圆柱的底面半径为 3cm,,轴截面面积为 24cm,求圆柱的母 线长. 3.正四棱锥的底面积为 46 cm2,侧面等腰三角形面积为 6 cm2,求正 四棱锥侧棱. （四）、 教学棱台与圆台的结构特征： ① 讨论：用一个平行于底面的平面去截柱体和锥体，所得几何 体有何特征？ ② 定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面 之间的部分叫做棱台；用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥， 截面和底面之间的部分叫做圆台. 结合图形认识：上下底面、侧面、侧棱（母线）、顶点、高. 讨论：棱台的分类及表示？ 圆台的表示？圆台可如何旋转而 得？ ③ 讨论：棱台、圆台分别具有一些什么几何性质？ ★ 棱台：两底面所在平面互相平行；两底面是对应边互相平行 的相似多边形；侧面是梯形；侧棱的延长线相交于一点. ★ 圆台：两底面是两个半径不同的圆；轴截面是等腰梯形；任意两条母线的延长线交于一点；母线长都相等. ④ 讨论：棱、圆与柱、锥、台的组合得到 6 个几何体. 棱台与 棱柱、棱锥有什么关系？圆台与圆柱、圆锥有什么关系？ （以 台体的上底面变化为线索） 2．教学球体的结构特征： ① 定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形 成的几何体，叫球体.结合图形认识：球心、半径、直径.→ 球 的表示. ② 讨论：球有一些什么几何性质？ ③ 讨论：球与圆柱、圆锥、圆台有何关系？（旋转体）棱台与 棱柱、棱锥有什么共性？（多面体） 3. 教学简单组合体的结构特征： ① 讨论：矿泉水塑料瓶由哪些几何体构成？灯管呢？ ② 定义：由柱、锥、台、球等几何结构特征组合的几何体叫简 单组合体. 4. 练习：圆锥底面半径为１cm，高为 cm，其中有一个内接 2 正方体，求这个内接正方体的棱长. （补充平行线分线段成比例 定理） （五）、巩固练习： 1. 已知长方体的长、宽、高之比为 4∶3∶12，对角线长为 26cm , 则长、宽、高分别为多少？ 2. 棱台的上、下底面积分别是 25 和 81，高为 4，求截得这棱台 的原棱锥的高 3. 若棱长均相等的三棱锥叫正四面体，求棱长为 a 的正四面体 的高. ★例题：用一个平行于圆锥底面的平面去截这个圆锥，截得的圆 台的上、下底面的半径的比是 1：4，截去的圆锥的母线长为 3 厘米，求此圆台的母线之长。 ●解：考查其截面图，利用平行线的成比例，可得所求为 9 厘米。 ★例题 2：已知三棱台 ABC—A′B′C′ 的上、下两底均为正三角 形，边长分别为 3 和 6，平行于底面的截面将侧棱分为 1：2 两部分，求截面的面积。（4 3） ★圆台的上、下度面半径分别为 6 和 12，平行于底面的截面分高为 2：1 两部分，求截面的面积。（100π） ▲ 解决台体的平行于底面的截面问题，还台为锥是行之有效的 一种方法。 讲义 2、空间几何体的三视图和直视图 一、教学要求：能画出简单几何体的三视图；能识别三视图所表 示的空间几何体. 掌握斜二测画法；能用斜二测 画法画空间几何体的直观图. 二、教学重点：画出三视图、识别三视图. 三、教学难点：识别三视图所表示的空间几何体. 四、教学过程： (一)、新课导入： 1. 讨论：能否熟练画出上节所学习的几何体？工程师如何制作 工程设计图纸？ 2. 引入：从不同角度看庐山，有古诗：“横看成岭侧成峰，远 近高低各不同。不识庐山真面目，只缘身在此山中。” 对于我们所学几何体，常用三视图和直观图来画在纸上. 三视图：观察者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何 体的图形；直观图：观察者站在某一点观察几何体，画出的空间 几何体的图形. 用途：工程建设、机械制造、日常生活. (二)、讲授新课： 1. 教学中心投影与平行投影： ① 投影法的提出：物体在光线的照射下，就会在地面或墙壁上 产生影子。人们将这种自然现象加以的抽象，总结其 中的规律，提出了投影的方法。 ② 中心投影：光由一点向外散射形成的投影。其投影的大小随 物体与投影中心间距离的变化而变化，所以其投影不 能反映物体的实形. ③ 平行投影：在一束平行光线照射下形成的投影. 分正投影、斜投影. → 讨论：点、线、三角形在平行投影后的结果. 2. 教学柱、锥、台、球的三视图： ①定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）； 侧视图（从左向右）、俯视图 ②讨论：三视图与平面图形的关系？ → 画出长方体的三视图， 并讨论所反应的长、宽、高 ③结合球、圆柱、圆锥的模型，从正面（自前而后）、侧面 （自左而右）、上面（自上而下）三个角度，分别观察，画 出观察得出的各种结果. → 正视图、侧视图、俯视图. ③ 试画出：棱柱、棱锥、棱台、圆台的三视图. （ ④ 讨论：三视图，分别反应物体的哪些关系（上下、左右、前 后）？哪些数量（长、宽、高） 正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高 度和长度； 俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长 度和宽度； 侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高 度和宽度。 ⑤ 讨论：根据以上的三视图，如何逆向得到几何体的形状. （试变化以上的三视图，说出相应几 何体的摆放） 3. 教学简单组合体的三视图： ① 画出教材 P16 图（2）、（3）、(4)的 三视图. ② 从教材 P16 思考中三视图，说出几何体. 4. 练习： ① 画出正四棱锥的三视图. ④画出右图所示几何体的三视图. ③ 右图是一个物体的正视图、左视图和俯视图， 试描述该物体的形状. (三)复习巩固、1. 何为三视图？（正视图：自前而后；侧视图：自左而右；俯 视图：自上而下）2.定义直观图（表示空间图形的平面图）. 观 察者站在某一点观察几何体，画出的图形.把空间图形画在平面 内，画得既富有立体感，又能表达出图形各主要部分的位置关系 和度量关系的图形 (四)、讲授新课： 1. 教学水平放置的平面图形的斜二测画法： ① 讨论：水平放置的平面图形的直观感觉？以六边形为例讨论. ② 给出斜二测画法规则： 建立直角坐标系，在已知水平放置的平面图形中取互相垂直 的 OX，OY，建立直角坐标系； 画出斜坐标系，在画直观图的纸上（平面上）画出对应的 O’X’,O’Y’,使 X'O'Y'=450（或 1350），它们确定的平面表示水平 平面； 画对应图形，在已知图形平行于 X 轴的线段，在直观图中画 成平行于 X‘轴，且长度保持不变；在已知图形平行于 Y 轴的 线段，在直观图中画成平行于 Y‘轴，且长度变为原来的一半； 擦去辅助线，图画好后，要擦去 X 轴、Y 轴及为画图添加 的辅助线（虚线）。 ③ 出示例 1 用斜二测画法画水平放置的正六边形. （师生共练，注意取点、变与不变 → 小结：画法步骤） ④ 练习： 用斜二测画法画水平放置的正五边形. ⑤讨论：水平放置的圆如何画？（正等测画法；椭圆模板） 2. 教学空间图形的斜二测画法： ① 讨论：如何用斜二测画法画空间图形？ ② 出示例 2 用斜二测画法画长 4cm、宽 3cm、高 2cm 的长方体 的直观图. （师生共练，建系→取点→连线，注意变与不变； 小结：画 法步骤） ③ 出示例 3 （教材 P20）根据三视图，用斜二测画法画它的直 观图.讨论：几何体的结构特征？ 基本数据如何反应？ 师生共练：用斜二测画法画图，注意正确把握图形尺寸大小 的关系 ④ 讨论：如何由三视图得到直观图？又如何由直观图得到三视 图？ 空间几何体的三视图与直观图有密切联系. 三视图从细节上 刻画了空间几何体的结构，根据三视图可以得到一个精确的空间 几何体，得到广泛应用（零件图纸、建筑图纸）. 直观图是对 空间几何体的整体刻画，根据直观图的结构想象实物的形象. 3. 练习： 探究 P21 奖杯的三视图到直观图. (五)、巩固练习： 1. 练习：P21 1～5 题 正视图 俯视图 左视图 2. 右图是一个几何体的三视图，请作出其直观图. 3. 画出一个正四棱台的直观图.尺寸：上、下底面边长 2cm、4cm; 高 3cm (六)高考题: ●★1．(2007广东·文) 已知某几何体的俯视图是如图5所示的 矩形，正视图(或称主 视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称 左视 图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形． (1)求该几何体的体积V； (2)求该几何体的侧面积S ■解: 由已知可得该几何体是一个底面为矩形,高为4,顶点在底面 1 的射影是矩形中心的四棱锥 V-ABCD ;(1) V  86464 3 (2) 该四棱锥有两个侧面 VAD. VBC 是全等的等腰三角 2 8 形,且 BC 边上的高为 h  42  4 2, 另两个侧面 VAB.   1 22 6 VCD也是全等的等腰三角形,AB边上的高为 h  42  5 ；   2 2 1 1 因此 S 2( 64 2 85)4024 2 2 2 ★(2007 年山东高考)（3）下列几何体各自的三视图中，有且仅 有两个视图相同的是（ D ） ①正方形 ②圆锥 ③三棱台 ④正四棱锥 A．①② B．①③ C．①④ D．②④ 讲义 3:空间几何体的表面积和体积 一、教学要求：了解柱、锥、台的表面积计算公式；能运用柱锥 台的表面积公式进行计算和解决有关实际问题. 二、教学重点：运用公式解决问题. 三、教学难点：理解计算公式的由来. 四、教学过程： (一)、复习准备：1. 讨论：正方体、长方体的侧面展开图？→ 正方体、长方体的 表面积计算公式？ 2. 讨论：圆柱、圆锥的侧面展开图？ → 圆柱的侧面积公式？ 圆锥的侧面积公式？ (二)、1. 教学表面积计算公式的推导： ① 讨论：如何求棱柱、棱锥、棱台等多面体的表面积？（展开 成平面图形，各面面积和） ② 练习：求各面都是边长为 10 的等边三角形的正四面体 S-ABC 的表面积. 一个三棱柱的底面是正三角形，边长为 4，侧棱与底面垂直， 侧棱长 10,求其表面积. ③ 讨论：如何求圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积？（图 →侧→表） 圆柱：侧面展开图是矩形，长是圆柱底面圆周长，宽是圆柱 的高（母线）， S =2 rl ，S =2 r(rl) ，其中为 r 圆柱底面 圆柱侧 圆柱表 半径， 为母线长。 l 圆锥：侧面展开图为一个扇形，半径是圆锥的母线，弧长 等于圆锥底面周长，侧面展开图扇形中心角为  r 3600，S = r l ， l 圆锥侧 S = r(rl) ，其中为 r 圆锥底面半径， l 为母线长。 圆锥表 圆台：侧面展开图是扇环，内弧长等于圆台上底周 长，外弧长等于圆台下底周长，侧面展开图扇环中心角 为  Rr 3600，S = (rR)l ，S = (r2 rlRlR2) . l 圆台侧 圆台表 ④ 练习：一个圆台，上、下底面半径分别为 10、20，母线 与底面的夹角为 60°，求圆台的表面积. （变式：求切割之前的 圆锥的表面积） 2. 教学表面积公式的实际应用： ① 出示例：一圆台形花盆，盘口直径 20cm，盘底直径 15cm， 底部渗水圆孔直径 1.5cm，盘壁长 15cm.. 为美化外表而涂油漆， 若每平方米用 100 毫升油漆，涂 200 个这样的花盘要多少油漆？ 讨论：油漆位置？→ 如何求花盆外壁表面积？ 列式 → 计 算 → 变式训练：内外涂 ② 练习：粉碎机的上料斗是正四棱台性，它的上、下底面边长 分别为 80mm、440mm，高是 200mm, 计算制造这样一个下料 斗所需铁板的面积.(三)、巩固练习： 1. 已知底面为正方形，侧棱长均是边长为 5 的正三角形的四棱 锥 S-ABCD，求其表面积. 2. 圆台的上下两个底面半径为 10、20, 平行于底面的截面把圆 台侧面分成的两部分面积之比为 1：1，求截面的半径. （变式： r、R；比为 p:q） 3. 若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为 ，求这个圆 3 锥的表面积. *4. 圆锥的底面半径为 2cm，高为 4cm，求圆锥的内接圆柱的侧 面积的最大值. 5. 面积为 2 的菱形，绕其一边旋转一周所得几何体的表面积是 多少？ (四)、1. 教学柱锥台的体积计算公式： ① 讨论：等底、等高的棱柱、圆柱的体积关系？（祖暅(gèng， 祖冲之的儿子)原理，教材 P34） ② 根据正方体、长方体、圆柱的体积公式，推测柱体的体积计 算公式？ →给出柱体体积计算公式： （S 为底面面积，h 为柱体 V Sh 柱 的高）→ V Shr2h 圆柱 ③ 讨论：等底、等高的圆柱与圆锥之间的体积关系？ 等底等 高的圆锥、棱锥之间的体积关系？ ④ 根据圆锥的体积公式公式，推测锥体的体积计算公式？ → 给出锥体的体积计算公式： 1 S 为底面面积，h 为高） V  Sh 锥 3 ⑤ 讨论：台体的上底面积 S’，下底面积 S，高 h，由此如何计 算切割前的锥体的高？ → 如何计算台体的体积？ ⑥ 给出台体的体积公式： V  1 (S'  S'S S)h （S， S'分别上、下 台 3 底面积，h 为高） → V  1 (S'  S'S S)h 1 (r2 rRR2)h （r、R 分别为圆台上底、 圆台 3 3 下底半径） ⑦ 比较与发现：柱、锥、台的体积计算公式有何关系？ 从锥、台、柱的形状可以看出，当台体上底缩为一点时，台 成为锥；当台体上底放大为与下底相同时，台成为柱。因此只要 分别令 S’=S 和 S’=0 便可以从台体的体积公式得到柱、锥的相应公式。从而锥、柱的公式可以统一为台体的体积公式 讨论：侧面积公式是否也正确？ 圆柱、圆锥、圆台的侧面积 和体积公式又可如何统一？ (五)1. 教学体积公式计算的运用： ① 出示例：一堆铁制六角螺帽，共重 11.6kg, 底面六边形边长 12mm，内空直径 10mm，高 10mm，估算这堆螺帽多少个？（铁 的密度 7.8g/cm3） 讨论：六角螺帽的几何结构特征？ → 如何求其体积？ → 利用哪些数量关系求个数？ ② 练习：将若干毫升水倒入底面半径为 2cm 的圆柱形容器中， 量得水面高度为 6cm；若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆 锥形容器中，求水面的高度. (六)、巩固练习：1. 把三棱锥的高分成三等分，过这些分点且 平行于三棱锥底面的平面，把三棱锥分成三部分，求这三部分自 上而下的体积之比。 2. 已知圆锥的侧面积是底面积的 2 倍，它的轴截面的面积为 4， 求圆锥的体积. *3. 高为 12cm 的圆台，它的中截面面积为 225πcm2,体积为 2800cm3，求它的侧面积。 4. 仓库一角有谷一堆，呈 1/4 圆锥形，量得底面弧长 2.8m，母 线长 2.2m，这堆谷多重？720kg/m3 (七)、1. 教学球的表面积及体积计算公式： ① 讨论：大小变化的球，其体积、表面积与谁有关？ ② 给出公式： V = 4 R3 ； S =4R2. （R 为球的半径） 球 3 球面 →讨论：公式的特点；球面是否可展开为一个平面图形？ （证明的基本思想是：“分割→求体积和→求极限→求得结果”， 以后的学习中再证明球的公式） ③ 出示例：圆柱的底面直径与高都等于球的直径. 求球的体积 与圆柱体积之比；证明球的表面积等于圆柱的侧面积.讨论：圆 柱与球的位置关系？（相切） → 几何量之间的关系（设球半径 R，则…） → 师生共练 → 小结：公式的运用. → 变式：球的内切圆柱 的体积 ④练习：一个气球的半径扩大 2 倍，那么它的表面积、体积分别 扩大多少倍？2. 体积公式的实际应用： ① 出示例：一种空心钢球的质量是 142g，外径是 5.0cm，求它 的内径. （钢密度 7.9g/cm3） 讨论：如何求空心钢球的体积？ ② 有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器 内放入一个半径为 R 的球，并注入水，使水面与球正好相切， 然后将球取出，求此时容器中水的深度. ③ 探究阿基米德的科学发现：图中所示的圆及其外切正方 形绕图中由虚线表示的对称轴旋转一周生成的几何体称为圆柱 容球。在圆柱容球中，球的体积是圆柱体积的 2 ， 3 球的表面积也是圆柱全面积的2 . A 2 D 3 (八)、巩固练习： 4 1. 一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为 6cm， 求这个球表面积和体积。 C 2. 如果球的体积是 V ，它的外切圆柱的体积是 V B 5 球 圆 ，外切等边圆锥的体积是 V ，求这三个几何体体积之比. 柱 圆锥 3. 如图，求图中阴影部分绕 AB 旋转一周所形成的几何体的表面 积和体积。 *4．一个正方体的内切球的体积为 V，求正方体的棱长。若球与 正方体的各棱相切，则正方体的棱长是多少？ 5. 求正三棱柱的外接圆柱体体积与内切圆柱体积之比. 6. 已知球的一个截面的面积为 9π，且此截面到球心的距离为 4 , 求此球的表面积和体积.讲义 4：空间的点、线、面之间的位置关系 第一课时 2.1.1 平面 一、 教学要求：1、 理解平面的无限延展性；正确地用图形和 符号表示点、直线、平面以及它们之间的关系；2、初步掌握 文字语言、图形语言与符号语言三种语言之间的转化 二、 教学重点：理解三条公理，能用三种语言分别表示. 三、教学难点：理解三条公理. 四、教学过程： （一）、复习准备： 1. 讨论：长方体的 8 个顶点、12 条棱所在直线、6 个面之间有 和位置关系？ （二）、讲授新课： 1. 教学平面的概念及表示： ① 平面的概念：平面是无限伸展的； 一个平面把空间分成两部分。 ② 平面的画法： 画法：通常画平行四边形来表示平面。———水平平面： 通常画成锐角成 45°，横边等于邻边的两倍。 非水平平面： 只要画成平行四边形。 直立的平面：一组对边为铅垂 线。 相交的平面：一定要画出交线；遮住部分的线段画 虚线或不画。 C.练习： 画一个平面、相交平面 ③ 平面的表示：通常用希腊字母α、β、γ表示，如平面α （通常写在一个锐角内）；也可以用两个相对顶点的字母来表 示，如平面 BC。 ④ 点与平面的关系：点 A 在平面  内，记作 A ；点 A 不在平 面  内，记作 A. 2. 教学公理 1： ①揭示公理 1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直 线是所有的点都在这个平面内。（即直线在平面内，或者平面经 过直线） （2）、符号：点 A 的直线 l 上，记作：A∈l； 点 A 在直线 l 外， 记作 Al；直线 l 在平面α内，记作 lα。 ④用符号语言表示公理 1： Al,Bl,A,Bl 3.教学公理 2： ①揭示公理 2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平 面。 记写：平面 ABC。 4 .教学公理 3： ①揭示公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有 且只有一条过该点的公共直线 ③符号：平面α和β相交，交线是 a，记作α∩β＝a。 ④ 符号语言： PAB ABl,Pl 三、巩固练习： 1. 练习：P48 1～4 2. 根据符号语言画出下列图形：① a∩α＝A，B∈a，但 B α；② a∩b＝A，b α，a α 3. 过直线 l 上三点 A、B、C 分别作三条互相平行的直线 a、b、c， 讨论四条直线共面？ 第二课时 2.1.2 空间直线与直线之间 的位置关系 一、教学要求：了解空间两条直线的三种位置关系，理解异面直 线的定义，掌握平行公理，掌握等角定理，掌握两条异面直线所 成角的定义及垂直 二、教学重点：掌握平行公理与等角定理. 三、教学难点：理解异面直线的定义与所成角 四、教学过程： （一）、复习准备： 1. 提问：同一平面上的两条直线位置关系有哪几种？三条公理 的内容？ 2. 按符号画出图形：aα，b∩α＝A，Aa 二、讲授新课： 1. 教学两条直线的位置关系： ① 实例探究 → 定义异面直线：不同在任何一个平面内的两条直线. → 以长方体为例，寻找一些异面直线？ →性质：既不平行， 又不相交。 →画法：以辅助平面衬托：（三种） →讨论：分别在两个平面内的两条直线，是不是异面直线？ ②讨论：空间两条直线的位置关系：（整理如下）  相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 共面直线   平行直线：同一平面内，没有公共点；   异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点. 2. 教学平行公理： ① 提出公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行？ ② 出示例：空间四边形 ABCD，E、H 分别是边 AB、AD 的中点，F、 G 分别是边 CB、CD 上的点，且CF ＝CG ＝1，求证：EFGH 是 CB CD 3 梯形。 注意：什么是空间四边形？ （四个顶点不在同一平面上的四 边形）；以及：平面几何中的性质，如何在立体几何中使用？ 3. 教学等角定理： ① 讨论：平面几何中，两角对边分别平行，且方向相同，则两 角有何关系？到立体几何中呢？ ② 提出定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且 方向相同，那么这两角相等。 →试将题改写成数学符号语言题，并画出立体图形。 ③ 推广：直线 a、b 是异面直线，经过空间任意一点 O，分别引 直线 a’∥a，b’∥b，则把直线 a’和 b’所成的锐角（或直角）叫做 异面直线 a 和 b 所成的角。 → 图形表示 → 讨论：与点 O 的位置是否有关？为什么？最简单的取法如 何取？ → 垂直 4. 小结：空间两直线的位置关系；公理 4；等角定理；异面直线 的定义、垂直、所成角. 三、巩固练习： 1. 教材 P53 1、2 题.2. 已知空间边边形 ABCD 各边长与对角线都相等，求异直线 AB 和 CD 所成的角的大小. 第三课时 2.1.3 空间直线与平面之间的位置关系 & 2.1.4 平面与平面之间的位置关系 一、教学要求：了解直线与平面的三种位置关系，理解直线在平 面外的概念，了解平面与平面的两种位置关系. 二、教学重点：掌握线面、面面位置关系的图形语言与符号语言. 三、教学难点：理解各种位置关系的概念. 四、教学过程： （一）、复习准备： 1. 提问：公理 1～4 的内是什么？空间两条直线有哪几种位置关 系？ 2. 探究：以长方体为例，探求一面对角线与各面的位置关系？ 生活中直线与平面的位置关系？ （二）、讲授新课： 1. 教学直线与平面的位置关系： ① 讨论：直线和平面有哪几种位置关系？ ② 定义：直线和平面平行：直线和平面没有公共点。 →小结：三种位置关系：直线在平面内、相交、平行； →探究：公共点情况； →定义：直线在平面外：相交或平行的情况。 ③三种位置关系的图形画法： ④ 三种位置关系的符号表示：a α a∩α＝A a∥α （后两个统称为 a α） 2. 教学平面与平面的位置关系： ① 以长方体为例，探究相关平面之间的位置关系？ ② 讨论得出：相交、平行。 →定义：平行：没有公共点；相交： 有一条公共直线。 →符号表示：α∥β、 α∩β＝b →举实例：… ③ 画法：相交：…… 平行：使两个平行四边形的对应边互相平行 ④ 练习： 画平行平面；画一条直线和两个平行平面相交；画 一个平面和两个平行平面相交 ⑤ 探究： A. 分别在两平行平面的两条直线有什么位置关系？ B. 三个平面两两相交，可以有交线多少条？ C. 三个平面可以将空间分成多少部分？ 3. 小结：线面位置关系；面面位置关系. 三、巩固练习： 1. 三个平面两两相交于三条直线，交线不平行，求证：三条交 线交于一点. 2. 已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA 上的点，且 EH 与 FG 交于点 O, 求证：B、D、O 三点共线. 3. 求证：空间四边形各边的中点共面. 4. 作业：P58 2、3 题.讲义五：直线、平面平行的判定和性质 第一课时 2.2.1 直线与平面平行的判定 一、教学要求：通过学习掌握直线与平面平行的判定定理；掌握 转化的思想“线线平行 线面平行”. Þ 二、教学重点：掌握直线与平面平行的判定定理. 三、教学难点：理解直线与平面平行的判定定理. 四、教学过程： （一）、复习准备： 1、直线与平面有哪几种位置关系？ （1）直线与平面平行；（2）直线与平面相交；（3）直线 在平面内。 2、判断两条直线平行有几种方法？（结合图形） (1)三角形中位线定理；(2)平行四边形的两边；(3)平行公理； (4)成比例线段。 （二）、讲授新课： 1. 教学线面平行的判定定理： ① 探究:有平面  和平面外一条直线 a,什么条件可以得到 a// ？ 分析:要满足平面内有一条直线和平面外的直线平行。 判定定理:平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该 直线与此平面平行. a  符号语言: ba//  a//b  思 想: 线线平行  线面平行 ② 练习：Ⅰ、判断对错 直线 a 与平面 α 不平行，即 a 与平面 α 相交． （ ） 直线 a∥b，直线 b 平面 α，则直线 a∥平面 α． （ ） 直线 a∥平面 α，直线 b 平面 α，则直线 a∥b． （ ） Ⅱ 在长方体 ABCD- A’B’C’D’中，判断直线与平面的位置关系（解 略）2. 教学例题： ① 出示例 1 求证：:空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过 另外两边所在的平面. →改写：已知：空间四边形 ABCD 中,E,F 分别是 AB,AD 的 中点，求证：EF//平面 BCD. → 分析思路 → 学生试板演 ② 出示例 2 在正方体 ABCD- A’B’C’D’中，E 为 DD’中点，试判断 BD’ 与面 AEC 的位置关系，并说明理由. → 分析思路 →师生共同完成 → 小结方法 → 变式训练：还可证哪些线面平行 ③ 练习：在空间四边形 ABCD 中,E，F，G，分别是 AB，BC，CD 的中点，探索可以证得哪些线面平行. 3. 小结： 线面平行判定定理；转化思想 （三）、巩固练习： 1. 探索：如图,已知 P 为△ABC 外一点，点 M、N 分别为 △PAB、△PBC 的重心．求证：MN∥平面 ABC 2．作业： 教材 P68-3 题。 第二课时 2.2.2 平面与平面平行的判定 一、教学要求：更进一步理解两个平面平行的概念，掌握两个平 面平行的判定定理与应用。 二、教学重点：掌握两个平面平行的判定定理与应用. 三、教学难点：理解面面平行的判定 四、教学过程： （一）、复习准备： 1. 讨论：两个平面有些什么位置关系？ 一个三角板如何与桌 面平行？ 2. 提问：直线和平面平行的判定定理？符合语言？图形语言？ （二）、讲授新课： 1. 教学两个平面平行的判定定理： ① 讨论：两个平面平行，其中一个平面内的直线和另一个平面 有什么位置关系？一个平面内有两条直线平行于一个平面，这两 个平面有什么位置关系？ ② 将讨论的结论用符号语言表示：a β，b β，a∩b＝P，a∥α， b∥α，则β∥α。③ 以长方体模型为例，探究面面平行的情况. ④ 提出判定定理：一个平面内有两条相交直线都平行于另一个 平面，那么这两个平面平行。 ☆图形语言、文字语言、符号语言 a,b,ab A ； // a∥，b∥  ☆思想：线面平行→面面平行. ⑤ 讨论：水准器判断水平平面的方法及其原理。 ⑥ 出示例：平行于同一个平面的两个平面互相平行。 分析结果→以后待证→结论好处 → 变问：垂直于同一条直 线的两个平面呢？ ⑦ 讨论：A. 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一 个平面内的两条相交直线，那么这两个平面是否平行？ B. 平面α上有不在同一直线上的三点到平面β的距离相等， 则α与β的位置关系是怎样的？试证明你的结论。 2. 教学例题： ① 出示例：在长方体 ABCD-A B C D , 求 1 1 1 1 证：平面 AB D ∥平面 C BD. 1 1 1 分析：如何找线线平行→线面平行→面面 平行？ 师生共练，强调证明格式 变式：还可找出一些什么面面平行的例子？并说证明思路. 小结：证明思想. ② 练习：已知长方体 ABCD-A B C D 中，E、F 分别是 A 1 1 1 1 A 、CC 的中点。 1 1 求证：平面 BDF//平面 B D E 1 1 3. 小结：面面平行判定定理；证明思想；常见的研究 模型. （三）、巩固练习： 1. 练习：教材 P63 1、3 题. 2. 已知四棱维P-ABCD中, 底面ABCD为平行四边形 点MN、Q、分别在PA、BD、PD上, 且PM：MA=BN：ND=PQ： QD .求证：平面 MNQ∥平面 PBC. 3. 四点 P,A,B,C 不共面， A,B,C分别是 PAB ， PBC ， PAC 的重心，求证：平面 ABC∥平面 ABC ． 4. 作业：P63 2 题； P68 7、8 题.第三课时 2.2.3 直线与平面平行的性质 一、教学要求：掌握直线和平面平行的性质定理，灵活运用线面 平行的判定定理和性质定理，掌握“线线”“线面”平行的转 化. 二、教学重点：掌握线面平行的性质定理. 三、教学难点：掌握平行之间的转化. 四、教学过程： （一）、复习准备： 1．提问：线面平行、面面平行判定定理的符号语言？ 2. 讨论：① 直线与一个平面平行，那么这条直线和平面内的直 线有何位置关系？ ② 直线 a 与一个平面平行，在平面内如何作一条直线与直线 a 平行？ 二、讲授新课：  1. 教学线面平行的性质定理： l ① 讨论：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线 m  的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线的位置关系 如何？ ② 给出线面性质定理及符号语言： ． l//,l,ml//m ③ 讨论性质定理的证明： ∵ l// ，∴ l 和  没有公共点， 又∵ ，∴ 和 没有公共点； m l m 即 和 都在 内，且没有公共点，∴ ． l m  l//m β ④ 讨论：如果过平面内一点的直线平行于与此平面 b 平行的一条直线，那么这条直线是否在此平面内？ aa 如果两条平行直线中的一条平行于一个平面，那么另 cc αα 一条与平面有何位置关系？ 2. 教学例题： ① 出示例 1：已知直线 a∥直线 b，直线 a∥平面α,b α， 求证：b∥平面α 分析：如何作辅助平面？ → 怎样进行平行的转化？ b → 师生共练 → 小结：作辅助平面； c d a 转化思想“线面平行→线线平行→线线平行→线面平行”   ② 练习：一条直线和两个相交平面平行，求证：它和这两  个平面的交线平行。（改写成数学符号语言→试证） 已知直线 a ∥平面  ，直线 a ∥平面  ，平面  平面 =b ， 求证 a// b. ③ 出示例 2：有一块木料如图，已知棱 BC 平行于面 A ′C′．要经过木料表面 A′B′C′D′ 内的一点 P 和 棱 BC 将木料锯开，应怎样画线？所画的线和面 AC 有 什么关系？ 讨论：存在怎样的线线平行或线面平行？ 怎样画 线？ 如何证明所画就是所求？ 变式：如果 AD∥BC，BC∥面 A′C′，那么，AD 和面 BC′、面 BF、面 A′C′都有怎样的位置关 系．为什么？ 3. 小结：线面平行的性质定理；转化思想. 三、巩固练习： 1. 如图，b∥c，求证：a∥b∥c （试用文字语言表示 → 分析思路 → 学生板演） *2. 设平面α、β、γ，α∩β＝a，β∩γ＝b，γ∩α＝c， 且 a//b. 求证：a∥b∥c. 3. 作业：P68 5、6 题. 第四课时 2.2.4 平面与平面平行的性 质 一、教学要求：掌握平面和平面平行的性质定理，灵活运用面面 平行的判定定理和性质定理，掌握“线线、线面、面面”平行 的转化. 二、教学重点：掌握面面平行的性质定理. 三、教学难点：掌握平行之间的转化. 四教学过程： （一）、复习准备： 1．提问：线面平行、面面平行判定定理的符号语言？线面平行 性质定理的符号语言？ 2. 讨论：两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面 内的直线有什么关系？ （二）、讲授新课：1. 教学面面平行性质定理： ① 讨论：两个平面平行，其中一个平面内的直线与另一个平面 有什么位置关系？两个平面内的直线有什么位置关系？当第三 个平面和两个平行平面都相交，两条交线有什么关系？为什么？ ② 提出性质定理：两个平行平面同时和第三个平面相交，那么 它们的交线平行。 ③ 用符号语言表示性质定理：∥   ＝a，＝b D  A ④ 讨论性质定理的证明思路. C  B ⑤ 出示例：求证夹在两个平行平面间的两条平 行线的长相等. →首先要将文字语言转化为符号语言和图形语言： 已知： ， 是夹在两个平行平面 间的平行线段， // AB,CD , 求证： . ABCD → 分析：利用什么定理？（面面平行性质定理） 关键是如 何得到第三个相交平面 2. 教学例题： a ① 出示例：如果一条直线与两个平行平面中的一个相  b 交，那么它与另一个平面也相交. a 讨论：如何将文字语言转化为图形语言和符号语 b  言？ a → 如何作辅助平面？ → 师生共同完成  b ② 练习：若 // ， // ，求证： // ． （试用文字语言表示 → 分析思路 → 学生板演） 在平面 内取两条相交直线 ，  a,b 分别过 作平面 ，使它们分别与平面 交于两相交直线 a,b ,  a,b， ∵ // ，∴ a//a,b//b， 又∵ // ，同理在平面  内存在两相交直线 a,b，使得 a//a,b//b， ∴ a//a,b//b， ∴ // 3. 小结：面面平行的性质定理及其它性质（ //,aa// ）； 转化思想. （三）、巩固练习： 1. 两条直线被三个平行平面所截，得到四条线段. 求证：这四条线段对应成比例. 2. 已知 l,m 是两条异面直线， l// 平面  ， l// 平面  ， m// 面  ， 平面 ，求证： ． m//  // *3. 设 P,Q 是单位正方体 AC 的面 AADD 、面 ABC D 的中心， 1 1 1 1 1 1 1 如图：（1）证明： PQ// 平面 AABB ； （2）求线段 PQ 的长。 1 1 4. 课堂作业：书 P69 B 组 2、3 题。 讲义六：直线、平面的垂直的判定 和性质 第一课时 2.3.1 直线与平面垂直的判定 一、教学要求：掌握直线与平面垂直的定义，理解直线与平面垂 直的判定定理，并会用定义和判定定理证明直线与平面垂直的关 系. 二、教学重点：直线与平面垂直的判定定理. 三、教学难点：判定定理的应用. 四、教学过程： （一）、复习准备： 1. 复习直线与平面平行的判定定理及性质定理. （二）、讲授新课： 1.教学直线与平面垂直的定义： ②定义：如果直线 与平面 内的任意一条直线都垂直，则直 l  线 l 与平面  互相垂直，记作 l . l －平面  的垂线，  －直线 l 的垂面，它们的唯一公共点 P 叫做垂足.（线线垂直  线面垂直） 2.教学直线与平面垂直的判定： ②判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面垂直. 图形语言→符号语言：若 l ⊥ m ， l ⊥ n ， m ∩ n ＝B， m ， n  ，则 l ⊥  →辨析（讨论正确性）： A.若一条直线垂直于平面内的两条直线，则这条直线垂直于 这个平面； B.若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线 垂直于这个平面； C.若一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直 线必定垂直于这条直线； D.若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这条直线的另一直 线必垂直于这个平面. ③练习：如图，在长方体 中， ABCDA'B'C'D' 与平面 垂直的直线有 ； B'C'CB 与直线 垂直的平面有 . AA' ④出示例 1：如图，已知 a//b,a  ，求证： b （分析：线面垂直 线线垂直 线面垂直）   ⑤练习：P73 探究； P74 练习 1（线线垂直  线面垂直  线线垂直） ⑥定义：直线与平面所成角；→ 讨论范围（ 00 900）；→ 辨析（P74 练习 3）. ⑦出示例 2：在正方体 中，求直线 和平面 ABCDA'B'C'D' A'B A'B'C'D' 所成的角. （讨论 老师引导 学生版书）   3. 小结： 直线与平面垂直的定义与判定. （三）、巩固练习： 1. 平行四边形ABCD 所在平面外有一 点P且，PA=PB=PC=PD，求证：点 P 与平行四边形对角线交 点 O 的连线 PO 垂直于 AB、AD 2. 如图，已知 AP: O 所在平面，AB 为 : O 的直径，C 是圆 周上的任意， 过点 A 作 AE  PC 于点 E. 求证： AE  平面 PBC. 3. 作业： 教材 P74 2、3 第二课时 2.3.2 平面与平面垂直的判定一、教学要求：掌握二面角和两个平面垂直的定义，理解平面与 平面垂直的判定定理并会用判定定理证明平面与平面垂直的关 系，会用所学知识求两平面所成的二面角. 二、教学重点：平面与平面垂直的判定定理. 三、教学难点：判定定理的应用及二面角的求法. 四、教学过程： （一）、复习准备： 1.复习直线与平面垂直的判定（定理、图形、符号语言）. 2.探究：已知三棱锥 P-ABC，作 PO⊥底面 ABC，垂足为 O，当 给定什么已知条件时，O 分别是三角形 ABC 的外 心、垂心？ 3.实际需要引出二面角的定义： （二）、讲授新课： 1.教学二面角的定义： ①定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角 （dihedral angle）. 这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫 做二面角的面. 记作二面角 －AB－. （简记 P－AB－Q ） ②二面角的平面角：在二面角 －l － 的棱 l 上任取一点 O ， 以点 为垂足，在半平面 内分别作垂直于棱 的射线 O , l 和 ，则射线 和 构成的 叫做二面角的平面 OA OB OA OB AOB 角. 作用：衡量二面角的大小；范围： 00 1800. 2.教学平面与平面垂直的判定： ①定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就 说这两个平面互相垂直. 记作 . （能用定义来判定两个平 面是否垂直？） ②判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 . （线面垂直 面面垂直）  ③出示例 1：如图， AB 是 : O 的直径， PA 垂直于 : O 所在的平面， C 是圆周上不同于 A,B 的任意一点，求证：平面 PAC 平面PBC. （讨论 师生共析 学生试写证明步骤 归纳：线线垂直 线     面垂直 面面垂直）  ④练习：教材 P77 页探究题 ⑤出示例 2：已知空间四边形 ABCD 的四条边和对角线都相等， 求平面 ACD 和平面 BCD 所在二面角的大小. (分析  学生自练)⑥练习：如图，已知三棱锥 的三个侧面与底面全 DABC 等，且 ，求以 为棱，以面 与面 AB AC  3,BC 2 BC BCD 为面的二面角的大小？ BCA 3. 小结：二面角的定义、二面角的平面角、二面角平面角的 求法、平面与平面垂直的判定. （三）、巩固练习： 1、 如图， ABCD 是正方形， O 是正方形的中 心， PO底面ABCD ， E是PC 的中点， 求 证 ： （ 1） PC//平面BDE ； （ 2） 平面PAC 平面BDE. 2、在正方体 ABCDA'B'C'D' 中，二面角 D－A'C'－B 的余弦值. 3、作业：教材 P81－82 页第 4、7 题. 第三课时 2.3.3 直线与平面垂直的性质 2.3.4 平面 与平面垂直的性质 一、教学要求：掌握两个定理及定理的应用. 二、教学重点：两个定理的应用. 三、教学难点：两个定理的应用. 四、教学过程： （一）、复习准备： 1.直线、平面垂直的判定，二面角的定义、大小及求法. 2.练习：对于直线 m,n 和平面 , ，能得出  的一个条件是（ ） ① ② mn,m//,n// mn,m,n ③ m//n,n,m ④ m//n,m,n. （二）、讲授新课： 1. 教学直线与平面垂直的性质定理： ①定理：垂直于同一个平面的两条直线平行. （线 面垂直 线线平行）  ②练习： 表示直线， 表示平面，则 的充分条件是（ ） a,b,c M a//b A、 ac且bc B、 a//M且b//M C、 aM且bM D、 a,b与c 所在的角相等 ③出示例 1：设直线 a,b 分别在正方体 ABCDA'B'C'D' 中两个不同 的平面内，欲使 ， 应满足什么条件？ a//b a,b （判定两条直线平行的方法有很多：平行公理、同位角相等、内 错角相等、同旁内角互补、中位线定理、平行四边形等等）2.教学平面与平面垂直的性质定理： ①定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一 个平面垂直.（面面垂直  线面垂直） 探究：两个平面垂直，过其中一个平面内一点作另一个平面的垂 线有且仅有一条. ②练习：两个平面互相垂直，下列命题正确的是（ ） A、一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直 线 B、一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线 C、一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面 D、过一个平面内任意点作交线的垂线，则此垂线必垂直于 另一个平面. ③ 出 示 例 2、 如 图 ， 已 知 平 面 ,, ， 直 线 a 满 足 a,a ，试判断直线 a 与平面  的位置关系. ④练习：如图，已知平面 平面 ，平面 平面 ， ，     a 求证： a. 3. 小结：直线、平面垂直的性质定理及其应用. （三）、巩固练习： 1、下列命题中，正确的是（ ） A、过平面外一点，可作无数条直线和这个平面垂直 B、过一点有且仅有一个平面和一条定直线垂直 C、若 a,b 异面，过 a 一定可作一个平面与 b 垂直 D、 a,b 异面，过不在 a,b 上的点 M ，一定可以作一个 平面和 a,b 都垂直. 2、如图， P 是 ABC 所在平面外一点， PA PB,CB平面PAB,M是PC 的中点， N是AB 上的点， 求证： AN 3NB. MN  AB. 3、教材 P81 页 2、3、5 题讲义七：直线方程 第一课时 3.1.1 直线的倾斜角与斜率 一、教学要求：会根据直线上的两点坐标求直线的倾斜角与斜率, 给出一直线上的一点与它的斜率,能够画出它的图象. 二、教学重点：理解倾斜角, 斜率. 三、教学难点：倾斜角, 斜率的理解及计算. 四、教学过程： （一）、复习准备： （二）、、讲授新课： 1. 教学平面倾斜角与斜率的概念： ① 直线倾斜角的概念： x 轴正向与直线向上方向之间所成的角 叫直线的倾斜角 注意:当直线与 x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为 0 度.。 讨论:倾斜角的取值范围是什么呢? ② 直线斜率的概念：直线倾斜角的正切值 叫直线的斜率. 常用 表示, k k tan 讨论:当直线倾斜角为 90度时它的斜率不存 在吗?. 倾斜角的大小与斜率为正或负有何关 系?斜率为正或负时,直线过哪些象限呢? 取值范围是0,. ③ 直线斜率的计算:两点确定一直线,给定两点 与 , p (x ,y ) p (x ,y ) 1 1 1 2 2 2 则过这两点的直线的斜率 y  y k  2 1 x x 2 1 思考 :(1)直线的倾斜角 确定后, 斜率 的值与点 , 的顺序  k p p 1 2 是否有关? (2)当直线平行表于 y 轴或与 y 轴重合时,上述公式 k  y 2  y 1 还适用吗? x x 2 1 2. 教学例题: 例 1,求经过两点 的直线的斜率和倾斜角,并判断这条直 A(2,3),B(4,7) 线的倾斜角是锐角还是钝角. 例 2:在平面直角坐标系中画出经过原点且斜率分别为 的 1,2,3 直线 . l,l ,l 1 2 3（三）. 巩固与提高练习: 1. 已知下列直线的直线倾斜角,求直线的斜率 k. ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ a300 a450 a1200 1350 2:已知直线 l 过点 、 ,求直线 l 的斜率和倾斜角 A(1,2) B(m,3) 3,已知 是现两两不等的实数,求经过下列两点直线的倾斜角. a,b,c (1) A(a,b),B(b,c) (2) P(b,bc),Q(a,ca) 4.画出经过点 且斜率分别为 3 和-2 的直线. (0,3) （四）.小结: 倾斜角、斜率的概念, 斜率的计算公式. （五）:作业, 2 题. P 95 第二课时 3.1.2 两条直线平行与垂直 的判定 一、教学要求：明白两直线平行与垂直时倾斜角之间的关系,能 够通过代数的方法,运用斜率来判定两直线平行 与垂直关系. 二、教学重点：用斜率来判定两直线平行与垂直. 三、教学难点：用斜率来判定两直线平行与垂直. 四、教学过程： （一）、复习准备： 1. 提问：直线的倾斜角的取值范围是什么?如果计算直线的斜率? 2. 在同一直角坐标系中画出过原点斜率分别是-3,3,1的直线的图 象. 3. 探究：两直线平行(垂直)时它们的倾斜角之间有何关系? （二）、讲授新课： 1. 两条直线平行的判定： ①由上述探究 →两条直线平行：两直线倾斜角都相等.即: ,   1 2 提问: 两直线平行,它们的斜率相等吗? l :l k k 1 2 1 2 ② 两条直线平行的判定: 两条不重合的直线,斜率都存 在. 它们的斜率相等.即: ,   l :l k k 1 2 1 2 1 2 注意: 上述结论的前提是两条直线不重合并且斜率都存 在. 2. 两条直线垂直的判定：探究两直线 垂直时,它们的斜率 的关系. l,l k ,k 1 2 1 2 ① l,l 的倾斜角  900,  00 时, 斜率 k ,k 不存在; 1 2 1 2 1 2 ② 当斜率 k ,k 都存在时.设 l ,l 的倾斜角分别为 1 2 1 2 , , 其中 > ，则有  900  1 2 1 2 1 2 1 1 k tan tan(900 )  ，即： k k 1 1 1 2 tan k 1 2 2 2 两条直线垂直的判定：两直线的斜率都存在时， 两直线垂直，则它们的斜率 的乘积 。 k ,k k k 1 1 2 1 2 即： l l  k k 1 1 2 1 2 3. 教学例题： 例 1：已知四边形的四个顶点分别为 A(0,1),B(2,0),C(4,3),D(2,4) ，试 证明四边形 为平行四形。 ABCD 例 2：已知 A(5,1),B(4,5),P(1,2),Q(7,5) ，试判断直线 AB 与 PQ 位置的 关系。 4． 练习与提高： 1， 试判断分别经过下列两点的各对直线是平行还是垂直？ ⑴ (3,4),(2,1) 与 (3,1),(2,2) ⑵ (m,4),(m1,3) 与 (2,1)(3,0) 2, l 经过点 A(m,1),B(3,4) ， l 经过点 C(1,m),D(1,m1) ，当直线 l 与 1 2 1 l 平行或垂直时，求 m 的值。 2 （四）.小结: 倾斜角、斜率的概念, 斜率的计算公式. （五）:作业, 6 .7 题. P 94 第三课时 3.2.1 直线的点斜式方程 一、教学要求：明白直线可以由直线线上的一点坐标与斜率确定， 会由直线的一点坐标与斜率求直线的方程，会根据直线 的点斜式方程求直线的截距。 二、教学重点：直线点斜式方程的理解与求解，由点斜式方程求 直线的截距。 三、教学难点：直线点斜式方程的理解与求解。 四、教学过程： （一）、复习准备： 1. 直线的倾斜角与斜率有何关系?什么样的直线没有斜率? 2. 提问：两条不重合的直线,斜率都存在. 它们的斜率有何关系.如何用直线的斜率判定两直线垂直? （二）、讲授新课： 直线点斜式方程的教学: ① 已知直线 上一点 与这条直线的斜率 ，设 为直 l p (x ,y ) k p(x,y) 0 0 0 线上的任意一点，则有： k  y y 0  y y k(xx ) ⑴ xx 0 0 0 探究: 两点可以确定一直线,那么知道直线上一点的坐标与直线 的斜率能不能确定一直线呢? 满足方程⑴的所有点是否都在直线 l 上? 点斜式方程 ：方程 ⑴:y y k(xx ) 称为直线的点斜 0 0 式方程.简称点斜式. ②讨论:直线的点斜式方程能否表示平面上的所有直 线?(引导学生从斜率的角度去考虑) 结论:不能表示垂直于 x 轴的直线. ③斜截式方程: 由点斜式方程可知,若直线过点 B(0,b) 且斜率为 k,则直线的方 程为: y kxb 方程 y kxb 称为直线的斜截式方程.简称斜截式.其中 b 为直线在 y 轴上的截距. ④能否用斜截式表示平面内的所有直线? 斜截式与我们学过的 一次函数表达式比较你会得出什么结论.( 截距 b 就是函数图 象与 y 轴交点的纵坐标) ⑤教学例题: ⒈直线 l 经过点 p (2,5),且倾斜角为 600,求直线 l 的点斜式方程 0 并画出直线图象. ⒉求下列直线的斜截式方程:⑴斜率为 3,在 轴上的截距为 1:⑵斜 y 率为 ,在 轴上的截距为 5; 2 y ⒊把直线 l 的方程 x2y60 化成，求出直线 l 的斜率和在 y 轴上 的截距，并画图． （三）.:练习与提高: 1.已知直线经过点 ,斜率为 4 ,求直线的点斜式和斜截式. (6,4)  3 2.方程  表示过点 、斜率是 、倾斜角是 y1 3 x 3 ______ ______ ______ 、在 y 轴上的截距是 的直线。 ______3.已知直线 l 的方程为 y 1 x1 ,求过点 (2,3) 且垂直于 l 的直线方 2 程. （四）小结: 点斜式. 斜截式. 截距 （五）:作业, 3. 5 题. P 110 第四课时 3.2.2 直线的两点式方程 一、教学要求：会由两点求直线的方程,明白直线的点斜式、斜 截式、两点式和截距式表示直线有一定的局限性，只有直 线的一般式能表示所有的直线，清楚直线与二元一次方程 的对应关系．能由直线的一般式转化为所需要的其他直线 形式. 二、教学重点：直线两点式及一般式理解与求解.及各种形式互化. 三、教学难点：直线两点式及一般式理解与求解.及各种形式互化. 四、教学过程： （一）、复习准备： 1． 写出下列直线的点斜式、斜截式方程,并求直线在 轴上的 y 截距. ①经过点 A(-2,3),斜率是-1；②经过点 B(-3,0),斜率是 0；③经过点 C   2,2  ,倾斜角是 60 ； （二）、讲授新课： 1.直线两点式方程的教学: ① 探讨:已知直线 l 经过 p (x ,y ),p (x ,y ) (其中 x  x ,y  y )两点,如 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 何求直线的点斜式方程? y y  y 2  y 1(xx ) 1 x x 1 2 1 两点式方程:由上述知, 经过 (其中 )两点 p (x ,y ),p (x ,y ) x  x ,y  y 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 的直线方程为 y y 1  xx 1 ⑴, 我们称⑴为直线 y  y x x 2 1 2 1 的两点式方程,简称两点式. 例 1:求过 两点的直线的两点式方程,并转化成点斜式. A(2,1),B(3,3) ② 当直线 l 不经过原点时,其方程可以化为 x  y 1 ⑵, 方程⑵称 a b 为直线的截距式方程,其中 直线 l 与 x 轴交于点 (a,0) ,与 y 轴交于点 (0,b) ,即 l 与 x 轴、 y 轴 的截距分别为 . a,b④ 中点:线段 AB 的两端点坐标为 ,则 AB 的中点 A(x ,y ),B(x ,y ) 1 1 2 2  x x x 2 1  ,其中 2 M(x,y)  y  y  y 2 1  2 例 2:已知直线经过 两点,则 中点坐标为 ,此直线 A(2,0),B(0,3) AB ______ 截距式方程为 、与 轴 轴的截距分别为多少？ ______ x y 2. 巩固与提高: ① 已知 ABC 的三个顶点是 A(0,7) B(5,3) C(5,-3)，求（1）  三边所在直线的方程； （2）中 线 AD 所在直线的方程。 ② 一直线经过点（-3，4）且在两坐标轴上的截距之和为 12， 求直线的方程 ③ 经过点（１，２），且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的 直线共有（ ） A 1 条 B 2 条 C 3 条 D 4 条 ④ 上题若把点坐标改为(1,0) (2,2)呢? 3. 小结:两点式.截距式.中点坐标. 4.:作业 题. P 4. 110 第五课时 3.2.3 直线的一般式方程 一、教学要求：引导学生体会直线的点斜式、斜截式、两点式和 截距式表示直线有一定的局限性，只有直线的一般式能表示所有 的直线，清楚直线与二元一次方程的对应关系．能由直线的一般 式转化为所需要的其他直线形式. 二、教学重点：直线一般式理解与求解.及一般式与点斜式、斜 截式、两点式和截距式互化. 三、教学难点：直线一般式理解与求解.及其它形式互化. 四、教学过程： （一）、复习准备：1.写出下列直线的两点式方程. ①经过点 A(-2,3)与 B(-3,0)；②经过点 B(-3,0)与  ； C  2,2 2. 探讨:点斜式、斜截式、两点式和截距式能否表示垂直于坐标 轴的直线? (我们需要直线的一般表示法) （二）、讲授新课： 1 问：直线的方程都可以写成关于 的二元一次方程吗？反过 x,y 来，二元一次方程都表示直线 关于 的二元一次方程: ,(叫直线的一般方程,简 x,y AxByC 0 (1) 称一般式. ①当 , 式可化为 A C ,这是直线的斜截式. B0 (1) y x B B ②当 , 时, 式可化为 C .这也是直线方程. B0 A0 (1) x A 定义一般式: 关于 的二元一次方程: ( 不全为0)叫 x,y AxByC 0 A,B 直线的一般式方程,简称一般式. 2.引导学生思考:直线与二元一次方程的对应是什么样的对应? (直线与二元一次方程是一对多的对应,同一条直线对应的多个二 元一次方程是同解方程.) 出示例题:已知直线经过点 ,斜率为 4 ,求直线的 (6,4)  3 点斜式和一般式方程. 3.探讨直线 ,当 为何值时,直线①平 AxByC 0 A,B,C 行于 x 轴;②平行于 y 轴③与 x 轴重合④与 y 轴重合. 4.出示例题:把直线 l 的一般方程 3y2x50 化成斜 截式方程,并求出直线 l 与 x 轴、 y 轴的 截距,画出图形. （三）.练习与提高: 1.设直线 l 的方程为 (m2)x3y m,根据下列条件分别求的值. ① l 在 x 轴上的截距为 2. ② 斜率为 1 2．若直线 AxByC0 通过第二、三、四象限，则系数 A、B、C 满足条件 （ ）(A)A、B、C (B)AC<0,BC>0 (C)C=0,AB<0 (D)A=0,BC<0 3.已知直线 l 经过点（－２，２）且与两坐标轴围成单位面积的三 角形，求该直线的方程． （四）.小结:一般式.. （五）.:作业 题. P 10. 110 讲义八：两条直线的交点坐标 第一课时 3.3.1 两条直线的交点坐标 一、教学要求：进一步掌握两条直线的位置关系，能够根据方程 判断两直线的位置关系，理解两直线的交点与方程的 解之间的关系，会求两条相交直线的交点坐标. 二、教学重点：理解两直线的交点与方程组的解之间的关系. 三、教学难点：理解两直线的交点与方程组的解之间的关系. 四、教学过程： （一）、复习准备： 1. 讨论：如何用代数方法求方程组的解? 2. 讨论：两直线交点与方程组的解之间有什么关系？ （二）、讲授新课： 1. 教学直线上的点与直线方程的解的关系： ① 讨论：直线上的点与其方程 AX+BY+C=0 的解有什么样的关 系？ ② 练习：完成书上 P109 的填表. ③ 直线 L 上每一个点的坐标都满足直线方程，也就是说直线上 的点的坐标是其方程的解。反之直线 L 的方程的每一组解都表示 直线上的点的坐标。2. 教学两直线的交点坐标与方程组的解之间的关系及求两直线 的交点坐标 ①讨论：点 A（-2,2）是否在直线 L1：3X+4Y-2=0 上？ 点 A（-2,2）是否在直线 L2：2X+Y+2=0 上？ ②A 在 L1 上，所以 A 点的坐标是方程 3X+4Y-2=0 的解，又因 为 A 在 L2 上，所以 A 点的坐标也是方程 2X+Y+2=0 的解。 即 A 的坐标（-2,2）是这两个方程的公共解，因此（-2,2）是 方程组 3X+4Y-2=0 2X+Y+2=0 的解. ③讨论：点 A 和直线 L1 与 L2 有什么关系？为什么？ ④出示例 1：求下列两条直线的交点坐标 L1：3X+4Y-2=0 L2：2X+Y+2=0 3．教学如何利用方程判断两直线的位置关系？ ① 如何利用方程判断两直线的位置关系？ ② 两直线是否有公共点，要看它们的方程是否有公共解。因此， 只 要 将 两 条 直 线 L1 和 L2 的 方 程 联 立 ， 得 方 程 组 A X+BY+C =0 1 1 1 A X+B Y+C =0 2 2 2 1．若方程组无解，则 L1//L2 2.若方程组有且只有一个解，则 L1 与 L2 相交 3.若方程组有无数解，则 L1 与 L2 重合 ③ 出示例 2：判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出 交点坐标。 （ 1） L1： x-y=0 L2: 3x+3y-10=0（ 2） L1： 3x-y+4=0 L2: 6x- 2y=0 （3）L1：3x+4y-5=0 L2: 6x+8y-10=0 4. 小结：两条直线交点与它们方程组的解之间的关系. 求两条 相交直线的交点及利用方程组判断两直线的位置关系. （三）、巩固练习： 1、 求经过点 （2，3） 且经过以下两条直线的交点的直线的方程： l :x3y40, 1 l :5x2y60 2 2、 k 为何值时直线 l :ykx3k2与直线l :x4y40 的交点在第 1 2 一象限 3、 作业：P120 1、2第二课时 3.3.2 两点间的距离 一、教学要求：使学生理解并掌握平面上任意两点间的距离公式， 使学生初步了解解析法证明，教学中渗透由特殊到一般， 再由一般到特殊的思想与“数”和“形”结合转化思想. 二、教学重点：猜测两点间的距离公式. 三、教学难点：理解公式证明分成两种情况. 四、教学过程： （一）、复习准备： 1. 提问：我们学习了有向线段，现在有问题是：如果 A、B 是 x 轴上两点，C、D 是 y 轴上两点，它们坐标分别是 x 、x 、y 、y ， A B C D 那么|AB|、|CD|又怎样求？(|AB|=|x -X |，|CD|=|y -y |) B A C D 2. 讨论：如果 A、B 是坐标系上任意的两点，那么 A、B 的距离 应该怎样求呢？ （二）、讲授新课： 1. 教学两点间的距离公式： ① 讨论：(1)求 B(3，4)到原点的距离是多少?根据是什么?( 通 过观察图形，发现一个 Rt△，应用勾股定理得到的) ② 讨论：(2)那么 B( )到 A( )又是怎样求呢?根据是什么? x y x y 2, 2 1, 1 根据(1)的方法猜想,(2)也构造成 Rt△ →给出两点间的距离公式：设 A(x ,y )，B（x ,y） 是平面直角坐标 1 1 2 2 系中的两个点，则 |AB| (x x )2 (y  y )2 2 1 2 1 ③ 出示例 1：已知点 A(1,2),B(2, 7), （1）：求 的值 |AB| （2）：在 轴上求一点 ，使 ，并求 的值 X P |PA||PB| |PA| （讨论：点 应该怎么设？怎样利用两点间的距离公式？） P ④ 练习：1.已知两点 ,求 的值,并在 轴上求一点 , A(2,5),B(3,7) |AB| y p 使 PA||PB| ⑤ 示例 2:证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平 方和. (分析:首先建立适当的坐标系,用坐标表示有关量,然后进行代 数运算,最后把代数运算”翻译”成几何关系) ⑥ 出示例 3：已知 点A(1,2)，B（3，4），C（5，0），求证：ABC是等腰三角形 (分析:通过利用两点的距离公式,找出两边相等,并有两边的斜率关系说明 A、B、C、三点不共线，从而证明是等腰三角形) ⑦ 练习：已知 ABC 的顶点坐标是 A(2,1)，B（-2，3），C（0，-1）,求 ABC 三条中线的长度 2．小结：两点间的距离公式，两点间的距离公式的应用 （三）、巩固练习： 1、 求两点 A(0,4)与B(0,1)间 的距离 2、 已知点 A(a,5)与B(0,10)间的距离是17,则a值为多少? 3、 已知点 P(a,2),Q(2,3),M(1,1),且|PQ||PM | ，求 a 的值 4、 求在 轴上与点 的距离为 13 的点的坐标 x A(5,12) 5、 已知 A(1,2)，B（5，2）， 若 PA|= 10，|PB| 2 ，求点 P 的坐标 6、 求函数 y x2 8x20 x2 1 的最小值 7、 作业：教材 P120 7、8 第三课时 3.3.3 点到直线的距离 3.34. 两条平行直线间的距离 一、教学要求：使学生掌握点到直线的距离公式及其结构特点， 并能运用这一公式，学习并领会寻找点到直线距离公式的思维过 程以及推导方法，教学中体现数形结合、转化的数学思想，培养 学生研究探索的能力． 二、教学重点：点到直线的距离公式的研究探索过程. 三、教学难点：点到直线的距离公式的推导. 四、教学过程： （一）、复习准备： 1、 提问：两点间的距离公式 2、 讨论：什么是平面上点到直线的距离？怎样才能求出这一 段的距离？ 3、 讨论：两条平行直线间的距离怎样求？ （二）、讲授新课： 1. 教学点到直线的距离： ①探讨：如何求平面上一点到一直线的距离？ 已知点 P(-1，2) 和直线 ：2x+y-10=0，求 P 点到直线 的距离．（分析：先求 l l 出过 P 点与 垂直的直线 ：x-2y+5=0，再求出 与 的交点 l l l l p 1 1 1 （4，3） ，则 | pp | = 2 5 即为所求） 1 ②若已知点 P(m，n)，直线 l：y=kx+b，求点 P 到 l 的距离d．则运算非常复杂． ③通过构造三角形，由三角形面积公式可得：点 到直线 p (x ,y ) 0 0 0 距离 l:AxByC 0 |Ax By C| d  0 0 A2 B2 ④出示例 1：求点 p（0，5） 到直线 y2x 的距离 0 ⑤出示例 2：已知点 A(1,3)，B（3,1），C（-1，0） ，求 ABC 的面积 ⑥练习：已知 A(2,1)， 直线 BC 的方程是 x y1 ，求 ABC 的 BC 边上 的高 2．教学两条平行直线间的距离： ① 讨论：两条平行直线间的距离怎么求？（是指夹在两条平行 直线间公垂线段的长） ② 可以将平行直线间的距离转化为点到直线的距离 ③ 出示例 1：已知直线 ， 与 是否平 l :2x7y80,l :6x21y10 l l 1 2 1 2 行？若平行，求 与 间的距离 l l 1 2 ④ 练习 1：若直线 与直线 平行，则 的值 ax2y20 3x y20 a ⑤ 练习 2：求两条平行直线的距离， l :2x3y80,l :2x3y180 1 2 3．小结：点到直线的距离，两条平行直线间的距离 （三）、巩固练习： 1、求点 到下列直线的距离： p(3,2) （1） 3 1 ；（2） ；（3） y x y6 x4 4 4 2、求过点 ，且与 距离相等的直线方程 M(2,1) A(1,2),B(3,0) 3、 做直线，使之与点 的距离等于 2，求此直线方程 B(3,4) A(1,1) 4、 求两条直线 的夹角平分线方程 l :3x4y10,l :5x12y10 1 2 5、 求与直线 平行且到 的距离为 2 的直线的方程 l:5x12y60 l 6、作业 p120 9、10 讲义九：圆的方程第一课时 4.1.1 圆的标准方程 一、教学要求：使学生掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有 关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程，能运 用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单 的实际问题，并会推导圆的标准方程 二、教学重点：圆的标准方程的推导步骤；根据具体条件正确写 出圆的标准方程． 三、教学难点：运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题 四、教学过程： （一）、复习准备： 1.提问：两点间的距离公式？ 2.讨论：具有什么性质的点的轨迹称为圆？圆的定义？ （二）、讲授新课： 1. 圆的标准方程： ①建系设点： A. C 是定点，可设 C(a，b)、半径 r，且设圆上 任一点 M 坐标为(x，y)． ②写点集:根据定义，圆就是集合 P={M||MC|=r} ③列方程：由两点间的距离公式得 (xa)2 (yb)2 =r ④化简方程: 将上式两边平方得 (xa)2 (yb)2 r (建系设点  写点集  列方程  化简方程  圆的标准方程 (standard equation of circle)) ⑤思考：圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时，圆的方程 是什么？ ⑥师指出：只要 a，b，r 三个量确定了且 r＞0，圆的方程就给定 了．这就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件．注意， 确定 a、b、r，可以根据条件，利用待定系数法来解决． 2. 圆的标准方程的应用 ①.写出下列各圆的方程： (1)圆心在原点，半径是 3；(2)经过点 P(5，1)，圆心在点 C(8，-3)； (指出：要求能够用圆心坐标、半径长熟练地写出圆的标准方 程．) ②.已知两点 P (4，9)和 P (6，3)，求以 P P 为直径的圆的方程， 1 2 1 2 试判断点 M(6，9)、N(3，3)、Q(5，3)是在圆上，在圆内，还是 在圆外？ (从确定圆的条件考虑，需要求圆心和半径，可用待定系数解决)③ :ABC 的三个定点的坐标分别是 A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求它的 外接圆的方程 （ 用待定系数法解） ④ .已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),却圆心C在直线L: x y10 上，求圆心为 C 的圆的标准方程。 3. 小结： ①．圆的方程的推导步骤：建系设点→写条件→列方 程→化简→说明 ②．圆的方程的特点：点(a，b)、r 分别表示圆心坐标和圆的半 径； ③．求圆的方程的两种方法：（1）待定系数法；确定 a，b，r； (2)轨迹法：求曲线方程的一般方法． （三）、巩固练习： 1. 练习：P131 1: 4 2. 求下列条件所决定的圆的方程： (1) 圆心为 C(3，-5)，并且与直线 x-7y+2=0 相切； (2) 过点 A(3，2)，圆心在直线 y=2x 上，且与直线 y=2x+5 相切． 3. 已知：一个圆的直径端点是 A(x ，y )、B(x ，y )． 1 1 2 2 证明：圆的方程是(x-x )(x-x )+(y-y )(y-y )=0． 1 2 1 2 4. 作业 P134 习题 4 1、2 题. 第二课时 4.1.2 圆的一般方程 一、教学要求：使学生掌握圆的一般方程的特点；能将圆的一般 方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半 径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程． 二、教学重点：(1)能用配方法，由圆的一般方程求出圆心坐标 和半径；(2)能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程． 三、教学难点：圆的一般方程的特点 四、教学过程： （一）、复习准备： 1. 提问：圆的标准方程？ 2.对方程 x2  y2 2x4y10 配方，化为圆标准方程形式. 则圆心、 半径？ （二）、讲授新课： 1．圆的一般方程的定义（1）分析方程 x2  y2 DxEyF 0 表示的轨迹 1)当 D2 E2 4F 0 时，方程(1)与标准方程比较，可以看出方程  D E 1 表示以  , 为圆心， D2 E2 4F 为半径的圆。    2 2  2 D E 2)当 D2 E2 4F 0 时，方程只有实数解 x ,y  。它表示 2 2 D E 一个点 ( , ) 2 2 3)当 D2 E2 4F 0 时，方程没有实数解，因而它不表示任何图 形． （2）给出圆的一般方程的定义 当 D2 E2 4F 0 时，方程 x2  y2 DxEyF 0 叫做圆的一般方程。 （3）思考：圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点？ 2．圆的一般方程的运用 1） 求过三点 O(0,0),M (1,1),M (4,2) 的圆的方程，并求这个圆的 1 2 半径长和圆心坐标。 （小结：1．用待定系数法求圆的方程的步骤：1.根据题意设所 求圆的方程为标准式或一般式；2.根据条件列出关于 a、b、r 或 D、E、F 的方程；3.解方程组，求出 a、b、r 或 D、E、F 的值，代入所设方程，就得要求的方程．） 2） 求圆心在直线 l： x y 0 上，且过两圆 C ∶x2+y2-2x+10y- 1 24=0 和 C ： x2  y2 2x10y240 的交点的圆的方程． 2 3. 小结：一般方程；化标准方程；配方法；待定系数法. （三）.巩固练习： 1． P 练习 1: 3 134 2. 求下列各圆的一般方程： (1)过点 A(5，1)，圆心在点 C(8，-3)； (2)过三点 A(-1，5)、B(5，5)、C(6，-2)． 1 2．已知一曲线是与两定点 O(0,0),A(3,0) 的距离的比为 的点的轨 2 迹，求这个曲线的方程，并画出曲线 3．作业： p 习题 4.1 第 4 题 134讲义十：直线与圆的位置关系 第一课时 4.2.1 直线与圆的位置关系 （1 课时） 一、教学要求：理解和掌握直线与圆的位置关系，利用直线与圆 的位置关系解决一些实际问题。 二、教学重点：直线与圆的位置关系 三、教学难点：直线与圆的位置关系的几何判定. 四、教学过程： （一）、复习准备： 1. 在初中我们知道直线现圆有三种位置关系：（1）相交，有一 两个公共点；（2）相切，只有一个公共点；（3）相离，没 有公共点。 2. 在初中我们知道怎样判断直线与圆的位置关系？现在如何用 直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？ （二）、讲授新课： 设直线 l:AxByC 0 ,圆 C:xa2 yb2 r2圆心到直线的距离 AaBbC d  A2 B2 1. 利用直线与圆的位置直观特征导出几何判定：比较圆心到直 线的距离 d 与圆的半径 r ① d r 直线与圆相交 ② d r 直线与圆相切 ③ d r 直线与圆相离 2.看直线与圆组成的方程组有无实数解: 有解,直线与圆 有公共点.有一组则相切:有两组,则相交:b 无解,则相离 3.例题讲解: 例1 直线 yx 与圆 x2 y12 r2相切,求 r 的值 ͼ1 例 2 如 图 1,已 知 直 线 和 圆 心 为 C 的 圆 l:3x y60 x2  y2 2y40 判. 断直线 l 与圆的位置关系;如果相交,求出他 们交点的坐标. 例3 如图 2,已知直线 l 过点 M5,5且和圆 C:x2  y2 25 相交,截得弦 长为 ,求 的方程 4 5 l 练习.已知超直线 l: 3x y2 30 ,圆 C:x2  y2 4 求直线 l 被 ͼ2圆 C 截得的弦长 4.小结： 判断直线与圆的位置关系有两种方法 (1)判断直线与圆的方程组是否有解 a 有解,直线与圆有公共点.有一组则相切;有两组,则相交 b 无解,则直线与圆相离 (2)圆心到直线的距离与半径的关系: AaBbC d  A2 B2 如果 直线与圆相交; d r 如果 直线与圆相切; d r 如果 直线与圆相离. d r （三）、巩固练习： 1.圆 x2  y2 2x4y30 上到直线 l:x y10 的距离为 2 的点的坐标 2.求圆心在直线 上,且与两坐标轴相切的圆的方程. 2x y3 3.若直线 4x3ya0 与圆 x2  y2 100 (1)相交(2)相切(3)相离分别求 实数 a 的取值范围 （四）.作业:p140 4 题 第二课时 4.2.2 圆与圆的位置关系 一、教学要求：能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系； 二、教学重点：能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系 三、教学难点：用坐标法判断两圆的位置关系 四、教学过程： （一）、复习准备 1. 两圆的位置关系有哪几种？ 2. 设圆两圆的圆心距设为 d. 当 时，两圆 d Rr 当 时，两圆 d Rr C2 A 当 时，两圆 |Rr|d Rr O B 当 时，两圆 d |Rr| C1 当 时，两圆 ͼ1 d Rr| ３．如何根据圆的方程，判断它们之间的位置关系？(探讨) （二）、讲授新课： 1.两圆的位置关系利用半径与圆心距之间的关系来判断例1.已知圆 C :x2  y2 2x8y80 ，圆 C :x2  y2 4x4y20 ，试判断 1 2 圆 与圆 的关系？ C C 1 2 （配方→圆心与半径→探究圆心距与两半径的关系） 2． 两圆的位置关系利用圆的方程来判断 方法：通常是通过解方程或不等式和方法加以解决 例 2 圆 C 的 方 程 是 : x2  y2 2mx4ym2 50 圆 C 的 方 程 是 : 1 2 x2  y2 2x2mym2 30 , m为何值时,两圆(1)相切.(2)相交(3)相离(4) 内含 思路：联立方程组→讨论方程的解的情况（消元法、判别式 法）→交点个数→位置关系） 练习：已知两圆 x2  y2 6x0 与 x2  y2 4y m ，问 m 取何值时，两 圆相切。 3.小结：判断两圆的位置关系的方法: (1)由两圆的方程组成的方程组有几组实数解确定. (2)依据连心线的长与两半径长的和 或两半径的差的绝对值 r r 1 2 的大小关系. （三）、巩固练习： 1.求经过点 M(2,-2),且与圆x2  y2 6x0与x2  y2 4交点有圆的方程 2.已知圆 C 与圆 x2  y2 2x0 相外切,并且与直线 x 3y0 相切于点 ,求圆 C 的方程. Q(3,- 3) 3. 求两圆x2  y2 1和 x32  y2 4的外公切线方程 4. 求过两圆 C :x2  y2 4x2y0 和圆 C :x2  y2 2y40 的交点,且圆 1 2 心在直线 上的圆的方程. l:2x4y10 （四）、作业：P 练习题；p 9 题 141 144 第三课时 ４.２.３直线与圆的方程的 应用 一、教学要求：利用直线与圆的位置关系解决一些实际问题 二、教学重点：直线的知识以及圆的知识 三、教学难点：用坐标法解决平面几何. 四、教学过程： （一）、复习准备： (1)直线方程有几种形式? 分别为什么? (2)圆的方程有几种形式?分别是哪些?(3)求圆的方程时,什么条件下,用标准方程?什么条件下用一般方 程? (4)直线与圆的方程在生产.生活实践中有广泛的应用.想想身边有 哪些呢? （二）、讲授新课： 出示例 1.图 1 所示是某圆拱形桥.这个圆拱跨 度 AB20m,拱高OP4m,建造时每间隔 4m 需要 用一根支柱支撑,求支柱 A B 的高度(精确 2 2 0.01m) 出示例 2.已知内接于圆的四边形的对角线互 相垂直,求证圆心到一边距离等于这条边所对 这条边长的一半.(提示建立平面直角坐标系) ͼ2 小结:用坐标法解题的步骤: 1 建立平面直角坐标系,将平南几何问题转化为代数问题; 2 利用公式对点的坐标及对应方程进行运算,解决代数问题: 3 根据我们计算的结果,作出相应的几何判断. （三）、巩固练习： 1.赵州桥的跨度是 37.4m.圆拱高约为 7.2m.求这座圆拱桥的拱圆 的方程 2.用坐标法证明:三角形的三条高线交于一点 3.求出以曲线 x2  y2 25 与 yx2 13 的交点为顶点的多边形的面积. 4.机械加工后的产品是否合格,要经过测量检验某车间的质量检 测员利用三个同样的量球以及两块不同的长方体形状的块规检 测一个圆弧形零件的半径.已知量球的直径为 2 厘米,并测出三个 不同高度和三个相应的水平距离,求圆弧零件的半径. （四）、作业： P144 练习 4 题； 第四课时 直线、圆的方程练习课 一、复习准备： (1)直线方程有几种形式? 分别为什么? (2)圆的方程有几种形式?分别是哪些?(3)如何用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？ (4)如何根据圆的方程，判断它们之间的位置关系? 二、讲授新课 1 推导标准方程 例1. 推导以点 A(a,b)为圆心,r 为半径的圆的方程 ★练习:一个圆经过点 A(5,0)与 B(-2,1)圆心在直线x3y100上, 求此圆的方程 例2. 求圆 x22 y32 4上的点到x y20的最远、最近的距离 2.轨迹问题 充分利用几何图形的性质,熟练掌握两点间的距离公式、点到直 线的距离公式。 例 3.求过点 A(4,0)作直线l交圆O:x2  y2 4于 B,C 两点,求线段 BC 的中点 P 的轨迹方程 ★练习： 由圆外一点引圆的割线交圆于 A,B 两点,求弦 AB 的中 点的轨迹. 3.弦问题 主要是求弦心距（圆心到直线的距离），弦长，圆心角等问题。 一般是构成直角三角形来计算 例 4.直线 l 经过点5,5，且和圆 x2  y2 25 相交，截得的弦长为 4 5 ， 求 的方程。 l 4.对称问题 圆关于点对称，圆关于圆对称 例 5.求圆x12 y12 4 关于点2,2对称的圆的方程 ★练习：求圆 x12 y12 4 关于直线l:x2y20对称的圆 的方程 三、巩固练习1. 从圆外一点 P(1,1)向圆 x2+y2=1 引割线,交该圆于 A,B 两点,求 弦 AB 的中点的轨迹方程 2. 等腰三角形的顶点是 A(4.2)底边一个端点是 B(3,5)求另一个 端点的轨迹是什么? 3.已知圆的半径为 10 ，圆心在直线 y  2x 上，圆被直线 x y 0 截得的弦长为 ，求圆的方程 4 2 四、典型题摘抄： ★例 1、已知圆 C 的圆心坐标是(-1,3),且圆 C 与直线 x+y-3=0 相 交于 P,Q 两点,又 OP⊥OQ,O 是坐标原点,求圆 C 的方程. 解：（1）设而不求思想的应用，（2）OP⊥OQ 转化为 x x +y y =0， 1 2 1 2 从而可求得 r2=13 （3）、所求的圆的方程为x12 y32 13 ★例 2、已知⊙C 满足：（1）、截 y 轴所得的弦长为 2；（2） 被x轴分成两段圆弧，其弧长之比为3：1；（3）、圆心到直线L:x- 2y=0 的距离为 ，求此圆的方程。 5 解：x12 y12 2 或x12 y12 2 讲义十一：空间直角坐标系 第一课时 4.3.1 空间直角坐标系 教 一、 教学要求： 使学生能通过用类比的数学思想方法得出 空间直角坐标系的定义、建立方法、以及空 间的点的坐标确定方法。 二、教学重点：在空间直角坐标系中，确定点的坐标 三、教学难点：通过建立适当的直角坐标系，确定空间点的坐标 教学过程：（一）.复习准备： 1.提问：平面直角坐标系的建立方法，点的坐标的确定过程、表 示方法？ 2.讨论：一个点在平面怎么表示？在空间呢？ （二）、讲授新课： 1.空间直角坐标系： 如图， OBCDD,A,B,C,是单位正方体.以 A 为 原 点 ， 分 别 以 OD,O A,,OB 的方向为正方向，建立三条数轴 x轴.y轴.z轴 。这时建立了一个空间直角坐标系 Oxyz. 1）叫做坐标原点 2）x 轴，y 轴，z 轴叫做坐标轴. 3）过每 两个坐标轴的平面叫做坐标面。 2. 右手表示法： 令右手大拇指、食指和中指相互垂直时，可能 形成的位置。大拇指指向为 x 轴正方向，食指指向为 y 轴正向， 中指指向则为 z 轴正向，这样也可以决定三轴间的相位置。3.有 序实数组 1）.间一点 M 的坐标可以用有序实数组 来表示，有序实数 (x,y,z) 组 叫做点 M 在此空间直角坐标系中的坐标，记作 (x,y,z) M(x,y,z) （x 叫做点 M 的横坐标，y 叫做点 M 的纵坐标，z 叫做点 M 的 竖坐标 思考：原点 O 的坐标是什么？ 讨论:空间直角坐标系内点的坐标的确定过程。 3）.例题 1：在长方体 OBCDD,A,B,C,中， OA 3,oC 4,OD, 2. 写出 D,,C,A,,B,四点坐标.（建立空间坐标系  写出原点坐标  各点坐 标） 讨论：若以C点为原点，以射线BC、CD、CC 方向分别为ox、oy、oz 1 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，那么，各顶点的坐标又是怎 样的呢？（得出结论：不同的坐标系的建立方法，所得的同一点 的坐标也不同。） 4.练习：V-ABCD 为正四棱锥，O 为底面中心，若 AB=2，VO=3， 试建立空间直角坐标系，并确定各顶点的坐标。 （三）、巩固练习： 1．练习：P148 1, 2 2. 已知 M (2, -3, 4)，画出它在空间的位置。 3.思考题：建立适当的直角坐标系，确定棱长为 3 的正四面体 各顶点的坐标。（四）．小结： 1．空间直角坐标系内点的坐标的确定过程. 2．有序实数组； 五．作业 1.课本 P148 3 第二课时 4.3.2 空间两点的距离公 式 一、教学要求：使学生掌握空间两点的距离公式由来，及应用。 二、教学重点：空间两点的距离公式的推导。 三、教学难点：空间两点的距离公式的熟练应用。 四、教学过程： （一）、复习准备： 1. 提问：平面两点的距离公式？ 2. 建立空间直角坐标系时，为方便求点的坐标通常怎样选择坐 标轴和坐标原点？ （二）、讲授新课： 1. 空间两点的距离公式 （1）已知两点 M(x, y, z), M(x, y, z)，求此两点间的 1 1 1 1 2 2 2 2 距离 d。 如图 7-5 所示，ΔM PQ 和 ΔMQM 都是直角三角形，根据勾股定 1 2 理, d  M M  (M Q)2 (QM )2 和 (M Q)2 (M P)2 (PQ)2 1 2 1 2 1 1 。 把(M Q)2 代入d, 得 d  (M P)2 (PQ)2 (QM )2 1 1 2 , ， 又因 M P  y  y , PQ  x  x QM  z z 1 2 1 2 1 2 2 1 从而得两点的距离公式: 。 d  (x  x )2 (y  y )2 (z z )2 2 1 2 1 2 1 思考：1）点 M（x，y，z）于坐标原点 O（0，0，0）的距离？ 2) M ，M 两点之间的距离等于 0 M =M ，两点重合， 1 2  1 2 也即 x =x ，y =y ，z =z 1 2 1 2 1 2。 讨论：如果 OP 是定长 r,那么 x2  y2 z2 r2表示什么图形？ （2）例题 1：求点 P(1, 0, -1)与 P(4, 3, -1)之间的距离。 1 2练习：求点 之间的距离 A(0,0,0)到B(5,2,2) （3）思考：1.在 z 轴上求与两点 A(-4, 1, 7)和 B(3, 5, -2)等距离 的点。 2. 试在 xoy 平面上求一点，使它到 A(1,-1,5)、B(3,4,4) 和 C(4,6,1)各点的距离相等。 （三）.巩固练习： 1． P 练习 1: 3 150 2．已知三角形的顶点为 A（1，2，3），B（7，10，3）和 C（-1，3， 1）。试证明 A 角为钝角。 2. 在 z 轴上，求与 A(-4,1,7)和 B(3,5,-2)两点等距离的点。 （四）．小结 1． 空间两点的距离公式的推导。 2． 公式的应用 （五）．作业 1．课本 p 练习 第 4 题 150 讲义十二 向量法处理立体几何 (一)、复习空间直角坐标系： 1、空间向量的坐标运算：设a=(x ,y ,z ), b=(x ,y ,z ),则①a+b 1 1 1 2 2 2 =(x +x ,y +y ,z +z )； 1 2 1 2 1 2 ②a-b=(x -x ,y -y ,z -z )；③向量a,b的数量积为a·b 1 2 1 2 1 2 =x x +y y +z z , ④向量a,b的模 |a|= x12 + y12 + z12； ⑤两向量 1 2 1 2 1 2 垂直a⊥b⇔x x +y y +z z =0； ⑥两向量的夹角 cos= 1 2 1 2 1 2 x1x2 + y1y2 + z1z2 ·2、平面的法向量：平面内的两条相交直线a,b,如果直线m满足m· a=0,且m·b=0，则直线m称为平面的法向量 (二)、典例剖析： ★例1、已知向量a=(4,-2,-4),b=(6,-3,2),求(2a+3b)·(a-2b)之值。（答 案：-244） ★例 2、若 A、B 两点的坐标分别为 A （3cos,3sin,1),B(2cos,2sin,1)，求出|AB|的取值范围.(答 案:1≤|AB|≤5) E H G F ★例 3、在棱长为 1 的正方体 ABCD-A′B′C′D′中，E、F 分别是 1 D′D、BD 的中点，G 点在棱 CD 上，且 CG= CD，①建立适 4 当的空间直角坐标系，然后写出点 A、B、C、D、A′、B′、 C′、D′、E、F、G、H 的坐标；②证明：EF⊥B′C；③求异面 直线 EF 与 C′G 所成的角的余弦值；④设 H 为 C′G 的中点， 求出 FH 的长；⑤求出平面 EFH 的法向量。 ★例4、已知直三棱柱ABC-A′B′C′的侧棱AA′=4， 底面△ABC中A，C=BC=2，∠BCA=90°，E 为 AB 的中点，①求证；CE⊥AB′；②求二面角 A′-AB′- C 的余弦值。（答案：cos= ) 5 ★例 5、在长方体 ABCD-A′B′C′D′中，已知 AB=4，AD=6， AA′=4，M 是 A′C′的中点，点 P 在线段 BC 上，且|CP|=2，点 Q 是 DD 的中点，求：①异面直线 AM 与 PQ 所成的角的大小；②点 M 到平面 ABP 的距离。 5 解、①cos= ； ② 58 3 ★例 6、在四棱锥 S-ABCD 中，∠DAB=∠ ABC=90°，侧棱 SA⊥底面 ABCD，且 SA=AB=BC=1,AD=2， ①求证：平面 SAC⊥平面 SCD； ②求二面角 A-SD-C 的大小； ③求异面直线 SD 与 AC 所成的角的大小； ④设 E 为 BD 的中点，求 SE 与平面 SAC 所成的角的大小。 解、②cos= ; ③cos= ; ④sin= 6 5 6 ★例 7、如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是正方形， 侧棱 PD⊥底面 ABCD，PD=DC，E 是 PC 的中点，作 EF⊥PB 交 PB 于点 F， ①证明：PA∥平面 EDB； ②证明：PB⊥平面 EFD；  ③二面角 C-PB-D 的大小。（答案：③ ） 3 ★例 8、在正三棱柱 ABC-ABC 中，底面边长为 1， 侧棱长为 2 ， ①建立适当的空间直角坐标系，并写出点 A、B、A、C 的坐标  ②求出 AC 与侧面 ABBA 所成的角的大小。（答案：② ） 6 ★例9、已知ABCD是上、下底边长分别为2和 6，高为 3的等腰梯形，将它沿对称轴 OO′折成直二面角，① 证明：AC⊥BO′；②求二面角 O-AC-O′的大小。 解：②cos= 4 (三)、巩固练习： π ●★1．(2007 北京·文) 如图，在 Rt△AOB 中， OAB ， 6 斜边 AB4 ． Rt△AOC 可以通过 Rt△AOB 以直线 AO 为轴旋 转得到，且二面角 的直二面角． 是 的中 BAOC D AB 点． （I）求证：平面 COD 平面 AOB ； （II）求异面直线 AO 与 CD 所成角的大小．●★19．(2007 福建·文) 如图，正三棱柱 ABCABC 的 1 1 1 所有棱长都为 ， 为 中点． 2 D CC 1 （Ⅰ）求证： AB ⊥平面 ABD ； 1 1 （Ⅱ）求二面角 的大小． AADB 1 ●★20．(2007安徽·文) 如图，在三棱锥 V ABC 中， VC⊥底面ABC ， AC⊥BC ， D 是 AB 的 中 点 ， 且  π AC  BC a ，∠VDC  0 ．（I）求证：平面    2 VAB⊥平面 VCD ； π （II）试确定角  的值，使得直线 BC 与平面 VAB 所成的角为 ． 6 ●★25．(2007全国Ⅱ·文) 如图，在四棱锥 SABCD 中，底 面 ABCD 为正方形，侧棱 SD⊥底面 ABCD，E，F 分别为 AB，SC 的中点． （1）证明 EF∥平面 SAD ； （2）设 SD2DC ，求二面角 AEF D 的大小．●★26．(2007 安徽·文) 如图,在底面为直角梯形的四棱锥 P ABCD中,AD//BC, ABC 90, PA平面v PA3,AD  2,AB  2 3,BC=6.(Ⅰ)求证:BDBD 平面PAC;(Ⅱ)求 二面角 PBD A 的大小. ●★27．(2007 四川·文) 如图，平面 PCBM⊥平面 ABC,∠PCB=90°,PM∥BC,直线 AM 与直线 PC 所成的角 为 60°，又 AC=1,BC=2PM=2,∠ACB=90° (Ⅰ)求证： AC⊥BM;(Ⅱ)求二面角M-AB-C的大小；（Ⅲ）求多面体 PMABC 的体积. 讲义十三、二面角和距离的求解 （一）、定义法求二面角的平面角：★例题 1、在正四面体 ABCD 中；（1）求 AD 与平面 BCD 所成 的角；（2）、求相邻两个面所成的二面角的平面角的 大小。 ●解；（1）、arccos 3/3;(2)、arccos1/3 ▲基础训练:P30:题 11；学法大视野:P46:题 11; （二）、三垂线法求二面角的平面角： ★例题 2、如图，在正方体 ABCD-A′B′C′D′中，M、N、P 分别为 相应的棱 之中点，（1）、求证：面 PAB⊥面 MNB′；（2）、 求二面角 M-B′N-B 的正切值 解：（1）、由三垂线定理有 PB⊥MN，PB⊥B′N…… （2）、由 MB⊥面 B′NB，则用三垂线法有 tan∠MQB= 2 ▲学法大视野:P46:10题,基础训练:P30:题13\14;P34：题11； 题 13 ★例 3、在四棱锥 S-ABCD 中，∠DAB=∠ABC=90°，侧棱 SA⊥ 底面 ABCD，且 SA=AB=BC=1,AD=2， ①、求证：平面 SAC⊥平面 SCD；②、求二面角 A-SD-C 的大小；③、求异面直线 SD 与 AC 所成的角的大小；④、设 E 为 BD 的中点，求 SE 与平面 SAC 所成的角的大小。 解、②cos= ; ③cos= ; ④sin= 6 5 6 ★例题 4、在直三棱柱 ABC-A′B′C′中，底面三角形 ABC 中 AC=BC=1，∠ACB=90°，棱 A′A= 2，求二面角 A-A′B-C 的大 小。 ★例题5、如图，在四棱锥P-ABCD中，PB⊥底面ABCD，CD⊥ PD，底面 ABCD 为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC， AB=AD=PB=3，点 E 在棱 PA 上，且 PE=2EA，（1）求 异面直线 PA 与 CD 所成的角的大小；（2）、求证；PC∥ 面 EBD，（3）、求二面角 A-BE-D 的大小。 解：（1）、60°， （2）、设 BD 与 AC 相交于点 G，则 EG∥PC； （3）、arccos 6/6；或 arctan 5. ★【※题 6】已知斜三棱柱 ABC-A B C 的侧面 1 1 1 A ACC 与底面 ABC 垂直, 1 1 ∠ABC=90°,BC=2,AC=2 3,且 AA ⊥A C,AA =A C, 1 1 1 1①求侧棱 A A 与底面 ABC 所成的角的大小; 1 ②求侧面 A ABB 与底面 ABC 所成的二面角的大小; 1 1 ③求顶点 C 到侧面 A ABB 的距离. (解: ①45°; 1 1 ② 60°; ③ 3) ★【题 7】如图，已知四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 为等腰梯形， AB∥DC,AC⊥BD,AC 与 BD 相交于点 O，且顶点 P 在底面上的 射影恰为 O 点，又 BO=2,PO= 2 ,PB⊥PD. (Ⅰ)求异面直接 PD 与 BC 所成角的余弦值； (Ⅱ)求二面角 P－AB－C 的大小；(Ⅲ)设点 M 在棱 PC 上，且 PM ,问 为何值时，PC⊥平面 BMD. MC 2 15 解：①异面直线 PD 与 BC 所成的角的余弦值为 15 （Ⅱ）连结 ，由（Ⅰ）及三垂线定理知， 为二面角 OE PEO PABC PO 2 的平面角； sinPEO  ， PEO450；  二面角 PABC PE 2 的大小为 450 （ Ⅲ ） 连 结 ， 平 面 平 面 ， MD,MB,MO PC  BMD,OM  BMD ； 又 在 中 ， ， PC OM RtPOC PC  PD 3,OC 1,PO 2 2 3 3 PM ， 故 时， 平面 PM  ,MC   2 2 PC  BMD 3 3 MC （三）、巩固练习题： ★【题 1】、如图,四棱锥 PABCD 的底面为菱形,且 ABC 1200,PA底面ABCD,AB 1,PA 3,E为PC 的中点. (1)求 直线 DE 与平 面 PAC 所成 角的 大 小 ; (2)求 二面 角 E  ADC 的平面角的正切值; (3)在线段 PC 上是否存在一点 M ,使 PC 平面MBD 成立?如果存在,求出 MC 的长;如果不存在,请说 明理由. 6 解：(1) 30°；② 2 ；(3) MC  4 ★【题2】、如图：在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PD ⊥底面 ABCD， 且 PD=AD=1，则 （1）直线 BC 到平面 PAD 的距离为___________（找）1 （2）点 D 到平面 PAC 的距离为__________（做） 3 （3）点C到平面PAB的距离为__________（先转化→再做） 2 题 3：填空：（1）平面α∥平面β， 平面β⊥平面γ，则平面α 与平面γ的位置关系为_____⊥γ (2) 平面α⊥平面β, 平面β⊥平面γ，则平面α与平面γ的位 置关系为_________.∥γ或与γ相交（注意：不一定是垂 直） (3)直线 a⊥平面α， 直线 a⊥平面β，则平面α与平面β的位置 关系为_________.∥ （4）直线 a⊥平面α， 直线 b⊥平面β，直线 a⊥直线 b,则平面α 与平面β的位置关系___.⊥题 4：已知 m、n、l 为不同的直线，α、β、γ为不同的平面， 则真命题序号有_________①②④ ①α⊥γ β∥γ 则α⊥β ②l∥α l⊥β则α⊥β ③m⊥ α n β m⊥n 则α⊥β；④α∥β；m⊥α n∥β 则 m⊥n ⑤α⊥β α∩β=m n⊥m 则 n⊥β ⑥β∩γ=l l∥α m α m⊥γ 则 l⊥m m∥β 题 5：三角形 ABC 中 AB=BC=1， ∠ABC=120o, 将三角形 ABC 所在平面沿 BC 边所在的直线旋转 90 o之 后，得到平面 A′BC ，（1）求 AA′与平面 A′ BC 所成角的大小？（2）求二面角 A-BA′-C 的 平面角的大小？（3）求点 B 到平面 AA′C 的 距离？ 题 6、 斜 三 棱 柱 ABC-A′ B′ C′ 中 ∠ BAC=90 o， 且 B C′⊥AC，过 C′做 C′H⊥平面 ABC，垂足 为 H，则（B） A、点 H 落于直线 AC 上 B、点 H 落于直线 AB 上C、点 H 落于直线 BC 上 D、点 H 落于三角形 ABC 之 内 解：∵∠BAC=90 o， 且B C′⊥AC，则AC⊥面BAC′面BAC⊥ 面 BAC′，交线为 AB点 H 落于直线 AB 上 题 7：（湖南 05 年文科 4 题）正方体 ABCD-A′B′C′D′中 棱长为 1，E 为 A′B′中点，则 E 到平面 ABC′D′ 的距离 1 为（ B ）A B C D 2 2 2 3 题 8：（湖南 05 年文科 15 题）平面α、β和 直线 m，给出条件①m∥α ②m⊥α ③m α ④α⊥β ⑤α∥β 则 (1)当满足条件_________时有 m∥β ③⑤ (2)当满足条件_________时有 m⊥β ②⑤ 题 9：（06 年全国文 7 题）平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB 与两平面α、β所成的角为 45 o,30 o,过 A、B 分别做两平面交线 的垂线，垂足为 A′、B′，设 AB=12，则 A′B′=（ B ） A、4 B、6 C、8 D、9 讲义十四：柱、锥、台体的表面积和体积 一、 柱、锥、台体的表面积、全面积和体积公式及其应用： ★例 1、圆台的上、下底面的半径分别是 10 和 20，它的侧 C 面展开图（圆环）的圆心角是 180 度，求此圆台的表面积（高效读 A B P 教材 P47 例 5） A1 C1 B1 二、几何体表面两点的最短距离和其侧面展开图的问题： ★例 2、（江西卷）如图，在直三棱柱 ABC－A B C 中，底面 1 1 1 为直角三角形，ACB＝90，AC＝6，BC＝CC ＝ 2 ，P 是 BC 1 1 上一动点，则 CP＋PA 的最小值是__________ 1 解：连 A B，沿 BC 将△CBC 展开与△A BC 在同一个平 1 1 1 1 1 面内，如图所示，连 A C，则 A C 的长度就是所求的最小值。 1 1 通过计算可得 A C C＝90又 BC C＝45，A C C＝135 1 1 1 1 1 由余弦定理可求得 A C＝ 5 2 1 ★例 3.（江西卷）如图，已知正三棱柱 ABCABC 的底面边长为 1， 1 1 1 高为 8，一质点自 A 点出发，沿着三 棱柱的侧面绕行两周到达 点的最 A 1 短路线的长为 .10 解：将正三棱柱 ABCABC 沿侧棱 CC 展开，其侧面展开图 1 1 1 1如图所示，由图中路线可得结论。 ★例 4、在长方体 ABCD-A′B′C′D′中，AB=a,BC=b,BB′=c， 并且 a>b>c，求沿着长方体的表面自 A 到 C′的最短路线的长度。 （教材全解：P44：例 1） 2 ★例 5、有两个相同的直三棱柱，高为 ，底 a 面三角形的三边长分别为 。用它 3a,4a,5a(a 0) 们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，表面积 最小的是一个四棱柱，则 a 的取值范围是__________。 ▲解答：两个相同的直三棱柱并排放拼成一个三棱柱或四棱 柱，有三种情况 四棱柱有一种，就是边长为 5a 的边重合在一起，表面积为 24 a2+28 三棱柱有两种，边长为 4a 的边重合在一起，表面积为 24a2 +32，边长为 3a 的边重合在一起，表面积为 24a2+36 ；两个 相同的直三棱柱竖直放在一起，有一种情况表面积为 12a2 +48； 最 小 的 是 一 个 四 棱 柱 ， 这 说 明 15 24a2 2812a2 4812a2  20 0 a  3★例 6、在直三棱柱 ABCABC 中， ABC 90,AB BC 1. （1）求异面直线 BC 与 AC 所成的角的大小； 1 1 （2）若 AC 与平面 ABCS 所成角为 45，求三棱锥 A ABC 1 1 的体积。 ▲解：(1) ∵BC∥B C , ∴∠ACB 为异面直线 B C 与 AC 所成角(或 1 1 1 1 它的补角) ∵∠ABC=90°, AB=BC=1, ∴∠ACB=45°, ∴异面直线 B C 与 AC 所 1 1 成角为 45°. (2) ∵AA ⊥平面 ABC,∠ACA 是 A C 与平面 ABC 所成的角, 1 1 1 ∠ACA =45°. ∵∠ABC=90°, AB=BC=1, AC= 2 ,∴AA = 2 .∴三棱锥 A -ABC 的 1 1 1 6 体积 V= S ×AA = . △ABC 1 3 2 ★例题 7、已知三棱台 ABC-A′B′C′中，AB： A′B′=1：2，则三棱锥 A′-ABC、B-A′B′C、C- A′B′C′的体积之比为__________ (高效读教材 P52:例题 3) 1:2:4 ★例题 8、用上口直径为 34 厘米，底面直径为 24 厘米，深 35 厘米的水桶盛得雨水正好为桶深的 1/5，问此次的降雨量为 多少（精确到 0。1 毫米，且降雨量是指单位面积的水平地面上降下雨水的深度）（高效读教材 P54：例题 5） 三、球的表面积和体积问题： 32 ★题 1．（福建卷）已知正方体外接球的体积是 ，那么正方  3 体的棱长等于 2 3 4 2 A.2 2 B. C. 3 3 4 3 D. 3 32 解：正方体外接球的体积是  ，则外接球的半径 R=2，正 3 4 3 方体的对角线的长为 4，棱长等于 ， 3 ★题 2．（湖南卷）过半径为 2 的球 O 表面上一点 A 作球 O 的 截面，若 OA 与该截面所成的角是 60°则该截面的面积是 A．π B. 2π C. 3π D. 2 3 解：过半径为 2 的球 O 表面上一点 A 作球 O 的截面， 1 若 OA 与该截面所成的角是 60°，则截面圆的半径是 2 R=1，该截面的面积是 π，选 A. ★题 3．（江西卷）如图，在四面体 ABCD 中，截面 AEF 经过 四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心 O，且与 BC，DC 分别截于 E、F，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设 四棱锥 A－BEFD 与三棱锥 A－EFC 的表面积分别是 S ，S ，则 1 2必有（ ） A．S S B. S S C. S =S D. S ，S 的 1 2 1 2 1 2 1 2 大小关系不能确定 解：连 OA、OB、OC、OD，则 V ＝V ＋V ＋V A－BEFD O－ABD O－ABE O－ V ＝V ＋V ＋V 又 V ＝V BEFD， A－EFC O－ADC O－AEC O－EFC A－BEFD A－EFC 而每个三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径，故 S ＋S ABD ABE ＋S ＝S ＋S ＋S 又面 AEF 公共，故选 C BEFD ADC AEC EFC ★题4.（全国卷I）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4， 体积为 16，则这个球的表面积是 A． 16 B． 20 C． 24 D． 32 【解析】正四棱柱高为 4，体积为 16，底面积为 4，正方形边长 为 2，正四棱柱的对角线长即球的直径为 2 6 ，∴ 球的半径为 6 ，球的表面积是 24 ，选 C. ★题 5.（全国 II）过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平 3 面 ， 则 所 得 截 面 的 面 积 与 球 的 表 面 积 的 比 为 （ A） 16 9 3 9 (B) (C) (D) 16 8 32 【解析】设球的半径为 R, 过球的一条半径的中点，作垂直于该 3 半 径 的 平 面 ,由 勾 股 定 理 可 得 一 个 半 径 为 R 的 圆 ,所 以 23 ( R)2 S 3 1  2  ,故选 A S 4R2 16 2 ★题 6．（山东卷）如图，在等腰梯形 ABCD 中，AB=2DC=2,∠ DAB=60°,E 为 AB 的中点，将△ADE 与△BEC 分别沿 ED、EC 向 上折起，使 A、B 重合于点 P，则 P－DCE 三棱锥的外接球的体 积为 4 3 6 6 6 (A) (B) (C) (D) 27 2 8 24 解：易证所得三棱锥为正四面体，它的棱长为 1，故外接球半 6 4 6 6 径为 ，外接球的体积为 ( )3   ，选 C 4 3 4 8 ★题 7．（山东卷）正方体的内切球与其外接球的体积之比为 (A)1∶ 3 (B)1∶3 (C)1∶3 3 (D)1∶9 1 解：设正方体的棱长为 a，则它的内切球的半径为 a ，它的外 2 3 接球的半径为 a ，故所求的比为 1∶3 3 ，选 C 2 ★题 8.（四川卷）如图，正四棱锥 PABCD 底面的四 个顶点 在球 的同一个大圆上，点 在球面上， A,B,C,D O P 16 如果 ，则球 的表面积是 V  O PABCD 3 （ A） 4 （ B） 8 （ C） 12 （D） 16 解析：如图，正四棱锥 底面的四个顶点 在球 PABCD A,B,C,D O 的同一个大圆上，点 P 在球面上，PO⊥底面 ABCD，PO=R，16 1 16 S 2R2， V  ，所以 2R2R ，R=2，球 O 的表面积是 ABCD PABCD 3 3 3 16 ，选 D. ★题 9.（辽宁卷）如图，半径为 2 的半球内有一内接正六棱锥 PABCDEF ，则此正六棱锥的侧面积是________． 解：显然正六棱锥 的底面的外接圆是球的一个大圆， PABCDEF 于是可求得底面边长为 2，又正六棱锥 PABCDEF 的高依题意可 得为 2，依此可求得 6 7 ★题 10.（全国卷 I）已知正四棱锥的体积为 12，底面对角线的 长为 2 6 ，则侧面与底面所成的二面角等于_____________ 【解析】正四棱锥的体积为 12，底面对角线的长为 2 6 ，底面边 长为 2 3 ，底面积为 12，所以正四棱锥的高为 3，则侧面与底面  所成的二面角的正切 tanα= 3, ∴ 二面角等于 。 3 ★题 11.(陕西卷)水平桌面α上放有 4 个半径均为 2R 的球,且相邻 的球都相切(球心的连线构成正方形).在这 4 个球的上面放 1 个半 径为 R 的小球,它和下面 4 个球恰好都相切,则小球的球心到水平 桌面α的距离是 解：水平桌面 α 上放有 4 个半径均为 2R 的球，且相邻的球都相 切(球心的连线构成正方形)．在这 4 个球的上面放 1 个半径为 R 的小球，它和下面 4 个球恰好都相切，5 个球心组成一个正四棱 锥，这个正四棱锥的底面边长为 4R，侧棱长为 3R，求得它的高 为 R，所以小球的球心到水平桌面 α 的距离是 3R． 13．(2007 天津·文)一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为 ， ， ，则此球的表面积 1 2 3 为 ． ★题 12．(2007 全国Ⅰ·文)正四棱锥 SABCD 的底面边长和各侧 棱长都为 2 ，点 S，A，B，C，D 都在同一个球面上，则该球的 体积为_________ ． ★题 13．(2007 全国Ⅱ·文)一个正四棱柱的各个顶点在一 个直径为 2cm 的球面上．如果正四棱柱的底面边长为 1cm，那么该棱柱的表面积为 cm2． 四、综合应用： π ★题 1．(2007 北京·文) 如图，在 Rt△AOB 中， OAB ，斜边 6 AB4 ． Rt△AOC 可以通过 Rt△AOB 以直线 AO 为轴旋转得到，且二 面角 的直二面角． 是 的中点． BAOC D AB （I）求证：平面 COD 平面 AOB ； （II）求异面直线 AO 与 CD 所成角的大小． 解（ I）由 题 意 ， CO AO ， BO AO ， BOC 是 二 面 角 是直二面角， ，又 ， BAOC CO BO AOBOO CO 平面 ，又 平面 ． 平面 平面 ． AOB CO COD  COD AOB （II）作 DE OB ，垂足为 E ，连结 CE （如图），则 DE∥AO ， CDE 是异面直线 AO 与 CD 所成的角．在 Rt△COE 中， CO BO2 ，1 1 OE  BO1 ， CE  CO2 OE2  5 ． 又 DE  AO 3 ．  在 2 2 CE 5 15 Rt△CDE 中， tanCDE    ． DE 3 3 ★题 2．(2007安 徽·文) 如 图 ，在 三 棱 锥 V ABC 中 ， VC⊥底面ABC ， AC⊥BC ， D 是 AB 的中点，且 AC  BC a ，  π ∠VDC  0 ．    2 （I）求证：平面 VAB⊥平面 VCD ； π （II）试确定角  的值，使得直线 BC 与平面 VAB 所成的角为 ． 6 解：（Ⅰ）∵AC  BC a ，∴△ACB 是等腰三角形，又 D 是 AB 的中 点，∴CD AB ，又 VC  底面 ABC ．∴VC  AB ．于是 AB 平面 VCD ．又 AB 平面 VAB ，∴平面 VAB 平面 VCD ． （Ⅱ） 过点 C 在平面 VCD 内作 CH VD 于 H ，则由（Ⅰ）知 CD 平面 ．连接 ，于是 就是直线 与平面 所成的 VAB BH CBH BC VAB π 2 角．依题意 CBH  ，所以在 Rt△CHD 中， CH  asin ； 6 2 π a 2 π π 在 Rt△BHC 中 ， CH asin  ， ∴sin ． ∵0 ，∴ 6 2 2 2 4 π π ．故当 时，直线 与平面 所成的角为 ．  BC VAB 4 6 ★题3．(2007湖南·文) 如图3，已知直二面角 PQ ， APQ ， B ， C ， CACB ， BAP45，直线 CA 和平面  所成的角为 30．（I）证明 BC⊥PQ ；（II）求二面角 BACP 的大小． 解：（I）在平面  内过点 C 作 CO⊥PQ 于点 O ，连结 OB ．因为 ⊥ ，  PQ ，所以 CO⊥ ， 又因为 CACB ，所以 OAOB ．而 BAO45，所以 ABO45， AOB90，从而 BO⊥PQ ，又 CO⊥PQ ，所以 PQ⊥平面 OBC ．因为 BC  平面 OBC ，故 PQ⊥BC ． （II）：由（I）知， BO⊥PQ ，又 ⊥ ，  PQ ， BO ，所以 BO⊥ ．过点 O 作 OH⊥AC 于点 H ，连结 BH ，由三垂线定理知， BH⊥AC ．故 BHO 是二面角 BACP 的平面角． 由（I）知， CO⊥ ，所以 CAO 是 CA 和平面  所成的角，则 3 CAO30，不妨设 AC 2 ，则 AO 3 ， OH  AOsin30  ．在 2 Rt△OAB 中， ABOBAO45，所以 BO AO 3 ， BO 3 于是在 Rt△BOH 中， tanBHO  2 ．故二面角 BACP 的 OH 3 2 大小为 ． arctan2 ★题 4．(2007 江西·文) 如图是一个直三棱柱（以 为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为 ABC 1 1 1 ABC ． 已 知 AB  BC 1 ， ABC 90， AA 4 ， 1 1 1 1 1 1 1 1 BB 2 ， CC 3 ．（1）设点 O 是 AB 的中点，证明： OC∥ 1 1 平面 ； ABC 1 1 1（2）求 AB 与平面 AACC 所成的角的大小；（3）求此几何 1 1 体的体积． （ 1） 证 明 ： 作 OD∥AA 交 AB 于 D ， 连 C D ． 则 1 1 1 1 OD∥BB ∥CC ， 因 为 O 是 AB 的 中 点 ， 所 以 1 1 1 ．则 是平行四边形，因此有 OD (AA BB )3CC ODCC 2 1 1 1 1 OC∥C D ， C D 平 面 C B A ，且 OC  平 面 C B A 则 OC∥面 1 1 1 1 1 1 1 1 ABC ．（2）解：如图，过 B 作截面 BAC ∥面 ABC ，分别交 AA ， CC 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 于 A ， C ，作 BH⊥AC 于 H ，因为平面 A BC ⊥平面 AACC ，则 BH⊥ 2 2 2 2 2 2 1 1 面 AACC ．连结 AH ，则∠BAH 就是 AB 与面 AACC 所成的角．因为 1 1 1 1 2 BH 10 BH  ， AB 5 ，所以 sin∠BAH   ． AB 与面 AACC 所成 2 AB 10 1 1 10 的角为∠BAH arcsin ． 10 2 1 1 1 2 1 （3）因为 BH  ，所以 V  S :BH ．  : (12) 2:  ． 2 BAA 2 C 2 C 3 AA 2 C 2 C 3 2 2 2 1 ． 所 求 几 何 体 的 体 积 为 V S :BB  :21 A 1 B 1 C 1 A 2 BC 2 △A 1 B 1 C 1 1 2 3 ． V V V  BAA 2 C 2 C A 1 B 1 C 1 A 2 BC 2 2 ★题 5．(2007 四川·文) 如图，平面 PCBM⊥平面 ABC,∠PCB=90°,PM∥BC,直线AM与直线PC所成的角 为 60°，又 AC=1,BC=2PM=2,∠ACB=90° (Ⅰ)求证：AC⊥BM;(Ⅱ)求二面角 M-AB-C 的大小；（Ⅲ）求多面 体 PMABC 的体积.解：（Ⅰ）∵平面 平面 ， ， 平面 ． PCBM  ABC AC  BC AC  ABC ∴ 平面 又∵ 平面 ∴ AC  PCBM BM  PCBM AC  BM （Ⅱ）取 的中点 ，则 ．连接 、 ．∵平面 BC N CN 1 AN MN PCBM  平面 ，平面 平面 ， ．∴ 平面 ABC PCBM  ABC  BC PC  BC PC  ABC ．∵ ，∴ ，从而 平面 ． PM //CN MN //PC MN  ABC   作 于 ，连结 ，则由三垂线定理知 NH  AB H MH ．从而 为二面角 的平面角．∵直 ABMH MHN M ABC 线 AM 与直线 PC 所成的角为 60°，∴ AMN 60 ．在 中 ， 由 勾 股 定 理 得 ．在 中 ， ACN AN  2 RtAMN 3 6 ． 在 中 ， MN  ANcotAMN  2  RtBNH 3 3 AC 1 5 ． 在 中 ， NH  BNsinABC  BN 1  RtMNH AB 5 5 6 MN 3 30 故二面角 的大小为 30 tanMHN    M ABC arctan NH 5 3 3 5 ★题 6．(陕西卷)如图,α⊥β,α∩β=l , A∈α, B∈β,点 A 在直 线 l 上 的射影为 A , 点 B 在 l 的射影为 B ,已知 AB=2,AA =1, BB = 2, 1 1 1 1 求: (Ⅰ) 直线AB分别与平面α,β所成角的大小; (Ⅱ)二面角A － 1 AB－B 的大小. 1 解: (Ⅰ)如图， 连接 A B，AB ， ∵α⊥β， α∩β=l ,AA ⊥l， 1 1 1BB ⊥l， ∴AA ⊥β， BB ⊥α． 则∠BAB ，∠ABA 分别是 AB 1 1 1 1 1 与 α 和 β 所成的角．Rt△BB A 中， BB = 2 ， AB=2， ∴sin∠ 1 1 BB1 2 BAB = = ． ∴∠BAB =45°．Rt△AA B 中， AA =1， 1 1 1 1 AB 2 AA1 1 AB=2， sin∠ABA = = ， ∴∠ABA = 30°．故 AB 与平面 1 1 AB 2 α，β 所成的角分别是 45°，30°．(Ⅱ) ∵BB ⊥α， ∴平面 ABB ⊥ 1 1 α．在平面 α 内过 A 作 A E⊥AB 交 AB 于 E，则 A E⊥平面 1 1 1 1 1 AB B．过 E 作 EF⊥AB 交 AB 于 F，连接 A1F，则由三垂线定理 1 得A F⊥AB， ∴∠A FE就是所求二面角的平面角．在Rt△ABB 1 1 1 中 ， ∠ BAB =45°， ∴ AB =B B= 2． ∴ Rt△ AA B 中 ， A B= 1 1 1 1 1 AB2－AA12= 4－1 = 3． 由 AA ·A B=A F·AB 得 A F= 1 1 1 1 AA1·A1B 1 × 3 3 A1E 6 = = ，∴在Rt△A1EF中，sin∠A FE = = 1 AB 2 2 A1F 3 6 ， ∴二面角 A －AB－B 的大小为 arcsin ． 1 1 3 ★题 7．(上海卷)在四棱锥 P－ABCD 中，底面是边长为 2 的菱形， ∠DAB＝60，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB 与平面 ABCD 所成的角为 60．（1）求四棱锥 P－ABCD 的体积； （2）若 E 是 PB 的中点，求异面直线 DE 与 PA 所成角的大小（结 果用反三角函数值表示）． [解]（1）在四棱锥P-ABCD中,由PO⊥平面ABCD,得∠PBO是PB 与平面 ABCD 所成的角, ∠PBO=60°. 在Rt△AOB中BO=ABsin30°=1, 由PO⊥BO,于是,PO=BOtg60°= 3,而底面菱形的面积为 2 3.1 ∴四棱锥 P-ABCD 的体积 V= ×2 3× 3=2.（2）：取 AB 的中 3 点 F,连接 EF、DF. 由 E 是 PB 的中点,得 EF∥PA，∴∠FED 是异面直线 DE 与 PA 所成角(或它的补角)，在 Rt△AOB 中 AO=ABcos30°= 3=OP， 于是, 在等腰 Rt△POA 中，PA= 6 ，则1E E F F = 66.在正△ABD 和 正△PBD 中,DE=DF= 3 ， cos∠FED= 2  24 = 2 ∴异面直 2 DE 3 4 线 DE 与 PA 所成角的大小是 arccos . 4 题 8．(上海卷)在直三棱柱 ABCABC 中， ABC 90,AB BC 1. （1）求异面直线 BC 与 AC 所成的角的大小； 1 1 （2）若 AC 与平面 ABCS 所成角为 45，求三棱锥 A ABC 的体积。 1 1 解：(1) ∵BC∥B C , ∴∠ACB 为异面直线 B C 与 AC 所成角 1 1 1 1 (或它的补角) ∵∠ABC=90°, AB=BC=1, ∴∠ACB=45°, ∴异面直线 B C 与 AC 所成角为 45°. 1 1 (2) ∵AA ⊥平面 ABC,∠ACA 是 A C 与平面 ABC 所成的 1 1 1 角, ∠ACA =45°.∵∠ABC=90°, AB=BC=1, AC= 2 ,∴AA = 2 ∴. 1 1 6 三棱锥 A -ABC 的体积 V= S ×AA = . 1 △ABC 1 3 2 题 9、（四川卷）如图，在长方体 ABCDABC D 中， E,P 分别是 1 1 1 1 的中点， 分别是 的中点， BC,AD M,N AE,CD AD AA a,AB2a 1 1 1 1 （Ⅰ）求证： 面 ； MN // ADD A 1 1 （Ⅱ）求二面角 的大小；（Ⅲ）求三棱锥 PAED PDEN 的体积。解：（Ⅰ）证明：取 CD 的中点 K ，连结 MK,NK ∵ M,N,K 分别为 AK,CD,CD 的中点 ∵ MK // AD,NK //DD ∴ 1 1 MK // 面 ADD A ， NK // 面 ADD A ∴面 MNK // 面 ADD A ∴ 1 1 1 1 1 1 MN // 面 ADD A （Ⅱ）设 F 为 AD 的中点 ∵ P 为 AD 的中点 ∴ 1 1 1 1 PF//DD ∴ PF  面 ABCD 作 FH  AE ，交 AE 于 H ，连结 PH ，则 1 由三垂线定理得 ，从而 为二面角 的平面 AE  PH PHF PAED a 角。在 中， a 17 ，从而 2a RtAEF AF  ,EF 2a,AE  a AFEF 2 2a FH    2 2 AE 17 17 a 2 在 中， PF DD 17 故：二面角 的大小 RtPFH tanPFH   1  PAED FH FH 2 为 17 arctan 2 1 1 1 5 （Ⅲ） S  S  BCCD  a a2 4a2  a2；作 DQCD ， NEP 2 矩形ECD 1 P 4 1 4 4 1 交 于 ，由 面 得 ∴ 面 ∴在 CD Q AD  CDDC AC  DQ DQ BCD A 1 1 1 1 1 1 1 1 1 CDDD 2aa 2 1 中， ；∴ RtCDD DQ 1   a V V  S DQ 1 CD 5a 5 PDEN DENP 3 NEP 1 1 5 2 1  a2 a  a3 3 4 5 6 讲义十五、立体几何提 高练习 题 1、斜三棱柱 ABC-A′B′C′中∠BAC=90 o， 且 B C′⊥ AC，过 C′做 C′H⊥平面 ABC，垂足为 H，则（ ）A、点 H 落于直线 AC 上 B、点 H 落于直线 AB 上 C、点 H 落于直线 BC 上 D、点 H 落于三角形 ABC 之 内 ★题 2、如图,四棱锥 PABCD 的底面为菱形,且 ABC 1200,PA底面ABCD,AB 1,PA 3,E为PC 的 中 点.(1)求直线 DE 与平面 PAC 所成角的大小; (2)求二面角 E  ADC 的平面角的正切值; (3)在线段 PC 上是否存在一点 M ,使 PC 平面MBD 成立?如果 存在求, 出 MC 的长;如果不存在,请说明理由. ★题 3、如图：在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为正方形，PD⊥ 底面 ABCD， 且 PD=AD=1，则 （1）直线 BC 到平面 PAD 的 距离为___________（找） （2）点 D 到平面 PAC 的距离为__________（做） （3）点C到平面PAB的距离为__________（先转化→再做） 题4：（湖南05年文科4题）正方体ABCD-A′B′C′D′ 中棱长为 1，E 为 A′B′中点，则 E 到平面 ABC′D′ 的距离为（ ） 1 B C D 2 2 2 3 π ★题 5．(2007 北京·文) 如图，在 Rt△AOB 中， OAB ，斜边 6 AB4 ． Rt△AOC 可以通过 Rt△AOB 以直线 AO 为轴旋转得到，且二 面角 的直二面角． 是 的中点． BAOC D AB（I）求证：平面 COD 平面 AOB ；（II）求异面直线 AO 与 所成角的大小． CD ★题 6．(2007安徽·文) 如图，在三棱锥 V ABC 中， VC⊥底面ABC ， AC⊥BC ， D 是 AB 的 中 点 ， 且 AC  BC a ，  π ∠VDC  0 ．    2 （I）求证：平面 VAB⊥平面 VCD ； π （II）试确定角  的值，使得直线 BC 与平面 VAB 所成的角为 ． 6 ★题 7．(2007 四川·文) 如图，平面 PCBM⊥ 平面 ABC,∠PCB=90°,PM∥BC,直线 AM 与直线 PC 所成的角为 60°，又 AC=1,BC=2PM=2,∠ACB=90° (Ⅰ)求证：AC⊥BM;(Ⅱ)求二面角 M- AB- C 的 大小；（Ⅲ）求多面体 PMABC 的体 积. ★题 8．(陕西卷)如图,α⊥β,α∩β=L , A∈α, B∈β,点 A 在直 线 L 上的射影为 A , 点 B 在 L 的射影为 B ,已知 AB=2,AA =1, 1 1 1 BB = 2, 求: 1 (Ⅰ) 直线 AB 分别与平面α,β所成角的大小; (Ⅱ)二面角 A －AB－B 的大小. 1 1