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第 2 讲 不等式选讲
[考情分析] 本部分主要考查绝对值不等式的解法、含绝对值的函数的最值，以及绝对值不
等式恒成立问题和证明等，难度中等．
考点一 含有绝对值的不等式的解法
核心提炼
(1)|f(x)|>a(a>0)⇔f(x)>a或f(x)<－a.
(2)|f(x)|<a(a>0)⇔－a<f(x)<a.
(3)对形如|x－a|＋|x－b|≤c，|x－a|＋|x－b|≥c的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求
解．
例1 (2022·包头模拟)已知函数f(x)＝|x－1|＋3|x＋1|.
(1)画出y＝f(x)的图象；
(2)求不等式f(x)>f(x－1)的解集．
解 (1)当x≥1时，f(x)＝x－1＋3(x＋1)＝4x＋2，
当－1<x<1时，f(x)＝(1－x)＋3(x＋1)＝2x＋4，
当x≤－1时，f(x)＝(1－x)－3(x＋1)
＝－4x－2，
即f(x)＝
如图，画出函数的图象，(2)将y＝f(x)的图象向右平移一个单位长度就得到函数y＝f(x－1)的图象，如图，画出两个函
数在同一坐标系下的图象，y＝－4x－2向右平移一个单位长度得到函数y＝－4(x－1)－2＝
－4x＋2，
联立解得x＝－，y＝，
如图，当x>－时，f(x)>f(x－1)，
所以不等式f(x)>f(x－1)的解集是.
规律方法 含绝对值不等式的解法
(1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤
①求零点；
②划区间、去绝对值符号；
③分别解去掉绝对值的不等式；
④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．
(2)用图象法、数形结合法可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易
懂，又简洁直观，是一种较好的方法．
跟踪演练1 (2022·临川模拟)已知f(x)＝|x－1|－a|x＋1|.
(1)若a＝1，解不等式f(x)≤1；
(2)若不等式f(x)≤1无解，求实数a的取值范围．
解 (1)∵a＝1，∴解不等式f(x)≤1就是解不等式|x－1|－|x＋1|≤1.
当x<－1时，原不等式可化为1－x＋x＋1≤1，
∴x∈ ∅.
当－1≤x≤1时，原不等式可化为1－x－x－1≤1，∴－≤x≤1.
当x>1时，原不等式可化为x－1－x－1≤1，
∴x>1.
∴原不等式的解集为.
(2)∵f(x)＝|x－1|－a|x＋1|，
∴f(x)＝
当a≤－1时，f(x) ＝f(－1)＝2>1，
min∴原不等式无解成立．
当－1<a<1时，f(x) ＝f(1)＝－2a，要使原不等式无解，则－2a>1，
min
即a<－，
∴－1<a<－.
当a≥1时，f(0)＝1－a≤0，
∴原不等式一定有解．
综上，实数a的取值范围是.
考点二 含绝对值不等式的恒成立(有解)问题
核心提炼
定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．
定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等
号成立．
例2 已知函数f(x)＝|x－1|＋|x＋2|，g(x)＝|x＋1|－|x－a|＋a.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)＋g(x)<6的解集；
(2)若对任意实数x，x，不等式f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围．
1 2 1 2
解 (1)当a＝1时，不等式化为|x＋2|＋|x＋1|<5.
则或或
即－1≤x<1或－2≤x<－1或－4<x<－2，
即－4<x<1，
所以不等式的解集是(－4,1)．
(2)因为f(x)＝|x－1|＋|x＋2|≥|(x－1)－(x＋2)|＝3，
当且仅当(x－1)(x＋2)≤0，即－2≤x≤1时取等号，
所以f(x) ＝3.
min
因为g(x)＝|x＋1|－|x－a|＋a≤|(x＋1)－(x－a)|＋a＝|a＋1|＋a，
当x≥max {a，－1}时取等号，
所以g(x) ＝|a＋1|＋a.
max
根据题意，f(x) ≥g(x) ，则3≥|a＋1|＋a，
min max
即|a＋1|≤3－a，所以
解得a≤1，所以a的取值范围是(－∞，1]．
规律方法 (1)不等式恒成立抓住两点：①分离参数，化为a≥f(x)或a≤f(x)的形式；②转化
最值，f(x)>a恒成立⇔f(x) >a；f(x)<a恒成立⇔f(x) <a.
min max
(2)利用绝对值三角不等式的性质求最小值．
跟踪演练2 (2022·平顶山模拟)已知函数f(x)＝|2x＋a|＋|2x－1|(a∈R)．
(1)当a＝2时，求不等式f(x)≤7的解集；(2)若∃x∈R，使得f(x)≤－2a成立，求实数a的取值范围．
解 (1)当a＝2时，f(x)＝|2x＋2|＋|2x－1|.
当x≤－1时，不等式f(x)≤7可化为－(2x＋2)－(2x－1)≤7，解得x≥－2，
所以－2≤x≤－1；
当－1<x<时，不等式f(x)≤7可化为2x＋2－(2x－1)＝3≤7，所以－1<x<；
当x≥时，不等式f(x)≤7可化为2x＋2＋(2x－1)≤7，解得x≤，所以≤x≤.
综上，不等式f(x)≤7的解集是.
(2)∃x∈R，使得f(x)≤－2a，即∃x∈R，使得|2x＋a|＋|2x－1|＋2a≤0，
等价于(|2x＋a|＋|2x－1|＋2a) ≤0.
min
令g(x)＝|2x＋a|＋|2x－1|＋2a，
则g(x) ＝|(2x＋a)－(2x－1)|＋2a＝|a＋1|＋2a.
min
所以|a＋1|＋2a≤0.
当a≥－1时，a＋1＋2a≤0，解得a≤－，解得－1≤a≤－；
当a<－1时，－a－1＋2a≤0，解得a≤1，解得a<－1.
综上，实数a的取值范围是.
考点三 不等式的证明
核心提炼
算术—几何平均不等式
定理1：设a，b∈R，则a2＋b2≥2ab.当且仅当a＝b时，等号成立．
定理2：如果a，b为正数，则≥，当且仅当a＝b时，等号成立．
定理3：如果a，b，c为正数，则≥，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a ，a ，…，a 为n个正数，则≥，当且仅
1 2 n
当a＝a＝…＝a 时，等号成立．
1 2 n
例3 (2022·全国甲卷)已知a，b，c均为正数，且a2＋b2＋4c2＝3，证明：
(1)a＋b＋2c≤3；
(2)若b＝2c，则＋≥3.
证明 (1)方法一 (平方转化基本不等式证明)
因为a2＋b2＋4c2＝3，
所以(a＋b＋2c)2＝a2＋b2＋4c2＋2(ab＋2bc＋2ac)≤3＋(a2＋b2)＋[b2＋(2c)2]＋[a2＋(2c)2]＝3＋
2[a2＋b2＋(2c)2]＝9，
当且仅当a＝b＝2c＝1时取等号，
又a，b，c均为正数，所以a＋b＋2c≤3.
方法二 (柯西不等式证明)
因为a2＋b2＋4c2＝3，所以根据柯西不等式有3×3＝(a2＋b2＋4c2)·(12＋12＋12)≥(a＋b＋2c)2，
当且仅当a＝b＝2c＝1时取等号．
又a，b，c均为正数，所以a＋b＋2c≤3.
(2)因为b＝2c，
所以根据(1)有a＋4c≤3，
所以＋＝
≥
＝≥
＝3，
当且仅当a＝b＝2c＝1时取得等号．
规律方法 (1)证明不等式的基本方法有综合法、分析法等，也常用到基本不等式进行证明．
(2)对于含有绝对值的不等式，在证明时常用到绝对值三角不等式．
(3)对于含有根号的不等式，在证明时可用平方法(前提是不等式两边均为正数)．
(4)如果所证明命题是否定性命题或唯一性命题，或以“至少”“至多”等方式给出，可以
考虑反证法．
跟踪演练3 (2022·全国乙卷)已知a，b，c都是正数，且 ，证明：
(1)abc≤；
(2)＋＋≤.
证明 (1)因为a，b，c都是正数，1＝ a≥3 ＝3，
所以abc≤，
当且仅当a＝b＝c＝ 时等号成立．
(2)因为b>0，c>0，所以b＋c≥2.
又因为a>0，所以≤，
同理得≤，≤.
利用不等式的性质得
＋＋≤＋＋当且仅当a＝b＝c＝ 时等号成立．
专题强化练
1．(2022·合肥模拟)已知函数f(x)＝|2x＋a|＋|x－1|.
(1)当a＝4时，求不等式f(x)<6的解集：
(2)若f(x)≥a2－|x－1|对任意的x∈R恒成立，求a的取值范围．
解 (1)当a＝4时，不等式f(x)<6可化为|2x＋4|＋|x－1|<6，
当x<－2时，不等式f(x)<6可化为－2x－4－(x－1)<6，解得－3<x<－2；
当－2≤x≤1时，不等式f(x)<6可化为2x＋4－(x－1)<6，解得－2≤x<1；
当x>1时，不等式f(x)<6可化为2x＋4＋x－1<6，无解，
综上所述，当a＝4时，不等式f(x)<6的解集为(－3,1)．
(2)由f(x)≥a2－|x－1|得a2≤|2x＋a|＋|2x－2|，
因为|2x＋a|＋|2x－2|≥|(2x＋a)－(2x－2)|＝|a＋2|(当且仅当(2x＋a)(2x－2)≤0时，等号成立)，
又因为a2≤|2x＋a|＋|2x－2|对任意的x∈R恒成立，所以a2≤|a＋2|，
当a＋2≤0，即a≤－2时，有a2≤－a－2，即a2＋a＋2≤0，此不等式无解，
当a＋2>0，即a>－2时，有a2≤a＋2，即a2－a－2≤0，解得－1≤a≤2，
综上所述，a的取值范围为－1≤a≤2.
2．(2022·酒泉模拟)已知函数f(x)＝|x－2|＋|x＋t|(t>0)，g(x)＝|x＋3|－|x－1|.
(1)若f(x)的最小值为3，求t的值；
(2)在(1)的前提下，若f(x＋a)≥g(x)，求a的取值范围．
解 (1)f(x)＝|x－2|＋|x＋t|≥|t＋2|＝t＋2＝3，
当且仅当－t≤x≤2时，等号成立，
所以t＝1.
(2)g(x)＝
f(x＋a)＝
画出函数f(x＋a)与g(x)的大致图象，如图所示，
由图可知，当2x＋2a－1≥2x＋2时，即a≥时，f(x＋a)≥g(x)恒成立．
3．(2022·汉中模拟)已知函数f(x)＝|x－4m|＋.
(1)当m＝1时，求不等式f(x)>7的解集；
(2)证明：当m>1时，f(x)＋－≥8.
(1)解 当m＝1时，f(x)＝|x－4|＋|x＋1|＝
当x≤－1时，－2x＋3>7，解得x<－2；
当－1<x<4时，5>7，显然不成立；
当x≥4时，2x－3>7，解得x>5.
综上，当m＝1时，不等式f(x)>7的解集为(－∞，－2)∪(5，＋∞)．
(2)证明 f(x)＝|x－4m|＋≥＝，
当且仅当－≤x≤4m时，等号成立，
∵m>1，∴＝4m＋，
∴f(x)＋－≥4m＋＋－＝4m＋，
4m＋＝4(m－1)＋＋4≥2＋4＝8，
当且仅当4(m－1)＝，
即m＝时，等号成立，
故f(x)＋－≥8.
4．已知函数f(x)＝＋|2x＋1|，f(x)的最小值为M.
(1)求M的值；
(2)若xy＋yz＋zx＝1，求证：＋＋≥M.
(1)解 当x≥－时，f(x)＝＋|2x＋1|＝x＋＋2x＋1＝3x＋，
当x＝－时，取到最小值；
当x<－时，f(x)＝＋|2x＋1|＝－x－－2x－1＝－3x－，
f(x)>；
当－≤x<－时，f(x)＝＋|2x＋1|＝－x－＋2x＋1＝x＋，
当x＝－时，取到最小值；
综上所述，f(x)的最小值为，即M的值为.
(2)证明 由柯西不等式有·
[(x2＋1)＋(y2＋1)＋(z2＋1)]≥(x2＋y2＋z2)2，
令t＝x2＋y2＋z2，由排序不等式有x2＋y2＋z2≥xy＋yz＋xz＝1，
即t≥1，所以≥＝t＋3＋－6，
因为t≥1，所以t＋3≥4，根据对勾函数的性质，得t＋3＋－6≥4＋－6＝，
即＋＋≥M.
