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第 2 讲 不等式选讲
[考情分析] 本部分主要考查绝对值不等式的解法、含绝对值的函数的最值，以及绝对值不
等式恒成立问题和证明等，难度中等．
考点一 含有绝对值的不等式的解法
核心提炼
(1)|f(x)|>a(a>0)⇔f(x)>a或f(x)<－a.
(2)|f(x)|0)⇔－af(x－1)的解集．
解 (1)当x≥1时，f(x)＝x－1＋3(x＋1)＝4x＋2，
当－1－时，f(x)>f(x－1)，
所以不等式f(x)>f(x－1)的解集是.
规律方法 含绝对值不等式的解法
(1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤
①求零点；
②划区间、去绝对值符号；
③分别解去掉绝对值的不等式；
④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．
(2)用图象法、数形结合法可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易
懂，又简洁直观，是一种较好的方法．
跟踪演练1 (2022·临川模拟)已知f(x)＝|x－1|－a|x＋1|.
(1)若a＝1，解不等式f(x)≤1；
(2)若不等式f(x)≤1无解，求实数a的取值范围．
解 (1)∵a＝1，∴解不等式f(x)≤1就是解不等式|x－1|－|x＋1|≤1.
当x<－1时，原不等式可化为1－x＋x＋1≤1，
∴x∈ ∅.
当－1≤x≤1时，原不等式可化为1－x－x－1≤1，∴－≤x≤1.
当x>1时，原不等式可化为x－1－x－1≤1，
∴x>1.
∴原不等式的解集为.
(2)∵f(x)＝|x－1|－a|x＋1|，
∴f(x)＝
当a≤－1时，f(x) ＝f(－1)＝2>1，
min∴原不等式无解成立．
当－11，
min
即a<－，
∴－1a恒成立⇔f(x) >a；f(x)0，c>0，所以b＋c≥2.
又因为a>0，所以≤，
同理得≤，≤.
利用不等式的性质得
＋＋≤＋＋当且仅当a＝b＝c＝ 时等号成立．
专题强化练
1．(2022·合肥模拟)已知函数f(x)＝|2x＋a|＋|x－1|.
(1)当a＝4时，求不等式f(x)<6的解集：
(2)若f(x)≥a2－|x－1|对任意的x∈R恒成立，求a的取值范围．
解 (1)当a＝4时，不等式f(x)<6可化为|2x＋4|＋|x－1|<6，
当x<－2时，不等式f(x)<6可化为－2x－4－(x－1)<6，解得－31时，不等式f(x)<6可化为2x＋4＋x－1<6，无解，
综上所述，当a＝4时，不等式f(x)<6的解集为(－3,1)．
(2)由f(x)≥a2－|x－1|得a2≤|2x＋a|＋|2x－2|，
因为|2x＋a|＋|2x－2|≥|(2x＋a)－(2x－2)|＝|a＋2|(当且仅当(2x＋a)(2x－2)≤0时，等号成立)，
又因为a2≤|2x＋a|＋|2x－2|对任意的x∈R恒成立，所以a2≤|a＋2|，
当a＋2≤0，即a≤－2时，有a2≤－a－2，即a2＋a＋2≤0，此不等式无解，
当a＋2>0，即a>－2时，有a2≤a＋2，即a2－a－2≤0，解得－1≤a≤2，
综上所述，a的取值范围为－1≤a≤2.
2．(2022·酒泉模拟)已知函数f(x)＝|x－2|＋|x＋t|(t>0)，g(x)＝|x＋3|－|x－1|.
(1)若f(x)的最小值为3，求t的值；
(2)在(1)的前提下，若f(x＋a)≥g(x)，求a的取值范围．
解 (1)f(x)＝|x－2|＋|x＋t|≥|t＋2|＝t＋2＝3，
当且仅当－t≤x≤2时，等号成立，
所以t＝1.
(2)g(x)＝
f(x＋a)＝
画出函数f(x＋a)与g(x)的大致图象，如图所示，
由图可知，当2x＋2a－1≥2x＋2时，即a≥时，f(x＋a)≥g(x)恒成立．
3．(2022·汉中模拟)已知函数f(x)＝|x－4m|＋.
(1)当m＝1时，求不等式f(x)>7的解集；
(2)证明：当m>1时，f(x)＋－≥8.
(1)解 当m＝1时，f(x)＝|x－4|＋|x＋1|＝
当x≤－1时，－2x＋3>7，解得x<－2；
当－17，显然不成立；
当x≥4时，2x－3>7，解得x>5.
综上，当m＝1时，不等式f(x)>7的解集为(－∞，－2)∪(5，＋∞)．
(2)证明 f(x)＝|x－4m|＋≥＝，
当且仅当－≤x≤4m时，等号成立，
∵m>1，∴＝4m＋，
∴f(x)＋－≥4m＋＋－＝4m＋，
4m＋＝4(m－1)＋＋4≥2＋4＝8，
当且仅当4(m－1)＝，
即m＝时，等号成立，
故f(x)＋－≥8.
4．已知函数f(x)＝＋|2x＋1|，f(x)的最小值为M.
(1)求M的值；
(2)若xy＋yz＋zx＝1，求证：＋＋≥M.
(1)解 当x≥－时，f(x)＝＋|2x＋1|＝x＋＋2x＋1＝3x＋，
当x＝－时，取到最小值；
当x<－时，f(x)＝＋|2x＋1|＝－x－－2x－1＝－3x－，
f(x)>；
当－≤x<－时，f(x)＝＋|2x＋1|＝－x－＋2x＋1＝x＋，
当x＝－时，取到最小值；
综上所述，f(x)的最小值为，即M的值为.
(2)证明 由柯西不等式有·
[(x2＋1)＋(y2＋1)＋(z2＋1)]≥(x2＋y2＋z2)2，
令t＝x2＋y2＋z2，由排序不等式有x2＋y2＋z2≥xy＋yz＋xz＝1，
即t≥1，所以≥＝t＋3＋－6，
因为t≥1，所以t＋3≥4，根据对勾函数的性质，得t＋3＋－6≥4＋－6＝，
即＋＋≥M.
