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2023 年高考数学模拟考试卷 2
高三数学（理科）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自
己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：高中全部知识点。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有
一个选项是符合题目要求的．
1．已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】解不等式得 ，再根据集合运算求解即可.
【详解】解：因为 等价于 ，解得 或 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 .
故选：C
2．已知复数 满足 ，则 在复平面内所对应的点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据复数的运算求出 ，即可得出 在复平面内所对应的点.
【详解】由 ，得 ，
所以 在复平面内所对应的点是 ．
故选：B.
3．已知等比数列 的前n项和为 ，若 ， ，且 ，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设等比数列 的公比为 ，由 ， ，列方程求出 ，进而可
求出 ，结合指数函数的性质求出 的最大、小值，列不等式组即可求出 的取值范围
【详解】解：设等比数列 的公比为 ，
因为 ， ，
所以 ，解得 ，
所以 ，
当x为正整数且奇数时，函数 单调递减，
当x为正整数且偶数时，函数 单调递增，
所以 时， 取得最大值 ，当 时， 取得最小值 ，
所以 ，解得 .
故选：B.
4．已知函数 的定义域为 ，且 ， 为偶函数，若 ，
，则 的值为（ ）
A．117 B．118 C．122 D．123
【答案】C
【分析】利用函数的奇偶性和周期性求解即可.
【详解】由 解得 ，即 是以4为周期的周期函数，
所以 ，
因为 为偶函数，所以 ，当 时有
，
又因为 ，所以 ，
所以 ， ，
所以 ，所以 即 ，
故选：C
5．某校高二年级学生举行中国象棋比赛，经过初赛，最后确定甲、乙、丙三位同学进入决
赛.决赛规则如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；
每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人
被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，最后的胜者获得冠军，比赛结束.
若经抽签，已知第一场甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为 ，则
（ ）
A．甲获得冠军的概率最大 B．甲比乙获得冠军的概率大
C．丙获得冠军的概率最大 D．甲、乙、丙3人获得冠军的概率相等
【答案】C
【分析】根据比赛进行的场次进行分类讨论，结合相互独立事件概率计算公式，求得甲、
乙、丙三人获得冠军的概率，从而确定正确答案．
【详解】根据决赛规则，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛，
（1）甲获得冠军有两种情况：
①共比赛四场结束，甲四连胜夺冠，概率为
②共比赛五场结束，并且甲获得冠军．则甲的胜、负、轮空结果共有四种情况∶胜胜胜负
胜，
胜胜负空胜，胜负空胜胜，负空胜胜胜，概率分别为 ，即 ，
因此，甲最终获得冠军的概率为 ；
（2）乙获得冠军，与（1）同理，概率也为 ；
（3）丙获得冠军，概率为 ，
由此可知丙获得冠军的概率最大，即A，B，D错误，C正确，
故选∶C．
6．设双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，B为双曲线E上在第
一象限内的点，线段 与双曲线E相交于另一点A，AB的中点为M，且 ，若
，则双曲线E的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【分析】连结连接 、 .设 ，根据双曲线的定义可推得 ，即
．进而在直角三角形中，根据勾股定理可得 .结合已知条件，即可
得出 ，从而得出离心率.
【详解】如图，连接 、 .
因为M为AB的中点， ，所以 ．
设 ，
因为 ，所以 .
又因为 ，所以 ，
则 ．
因为M为AB的中点，所以 ，则 ．
设 ，在 中， ，
在 中， ，
则 ，整理可得 ，所以 ．
当 时， ，则 ，
所以离心率为 ．故选：D．
7．记不等式组 的解集为D，现有下面四个命题：
， ； ， ；
， ； ， ．
其中真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】作出不等式组所表示的区域，再逐项的作出对应直线，观察所作直线与可行域的
关系，再利用存在命题与全称命题的概念进行判断即可求解.
【详解】不等式组的解集D表示的可行域如图中阴影部分所示，依据图（1）知命题 为
真命题，依据图（2）知命题 为真命题，
依据图（3）知命题 为假命题，依据图（4）知命题 为真命题．所以真命题有3个，故选：C．
8．已知随机变量 的分布列如下：
0 1 2
其中 ，2，若 ，则（ ）A． ， B．
，
C． ， D． ，
【答案】B
【分析】由题知 ，进而根据二项分布的期望与方差公式，方差的性质依次讨论
各选项即可得答案.
【详解】解：由表中数据可知 ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ， ，
∴ ， .
故选：B
9．在正方体 中，点P在正方形 内，且不在棱上，则正确的是
（ ）
A．在正方形 内一定存在一点Q，使得
B．在正方形 内一定存在一点Q，使得
C．在正方形 内一定存在一点Q，使得 平面
D．在正方形 内一定存在一点Q，使得平面 ∥平面【答案】A
【分析】对于A，找到特殊点，说明在正方形 内一定存在一点 ，使得
可判断 A；对于B，通过作辅助线，利用平行的性质，推出矛盾，可判断B；利用线面垂
直的性质定理推出矛盾，判断C；利用面面平行的性质推出矛盾，判断D.
【详解】对于A，假设P为正方形 的中心，Q为正方形 的中心，
作 ，垂足分别为H，G，连接H，G，
则 为矩形，
则 ，且H，G为 的中点，连接 ，
则 ，
∵ ，∴ ，即 ，故A正确；
对于B，假设在正方形 内存在一点Q，使得 ，
作 ，垂足分别为E，F，连接 ，
则 为矩形，且 与 相交，
∴ ， ，∴ ，
这与 相交矛盾，故B错误；
对于C，假设在正方形 内一定存在一点Q，使得 平面 ，
平面 ，则 ，
又 平面 ，故 ，
而 平面 平面 ，故 ，
而 平面 ，
故 平面 ，
∵ 平面 ，故C，D重合，与题意不符，故C错误．
对于D，在正方形 内一定存在一点Q，使得平面 ∥平面 ，
由于平面 平面 ，平面 平面 ，
∴ ，而 ，
则Q在 上，这与题意矛盾，故D错误；
故选：A．10．任意写出一个正整数 ，并且按照以下的规律进行变换：如果 是个奇数，则下一步
变成 ，如果 是个偶数，则下一步变成 ，无论 是怎样一个数字，最终必进入
循环圈 ，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”．它可以表示为数列
（ 为正整数）， ，若 ，则 的所有可能取
值之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】列举出 的可能情况，可得出 的所有可能取值，
相加即可得解.
【详解】由题意， 的可能情况有：
① ；② ；
③ ；④ ；
⑤ ；⑥ ；
所以， 的可能取值集合为 ， 的所有可能取值之和为
.
故选：B.
11．函数 的最大值为（ ）.
A． B． C． D．3
【答案】D
【分析】利用三角函数的平方关系将 转化为点 到点 的距离之差，再利用三角形
两边之差小于第三边，结合三角函数的值域即可求得结果.
【详解】因为
，
所以 ，
故 的最大值转化为点 到 与 的距离之差的最大值，
因为 ， ， ，
所以 ，
当且仅当 时，等号成立，则 ，
经检验，此时 ， ，
所以 ，即 的最大值为 .
故选：D.
12．设 ， ， ，则（ ）
A．b＞c＞a B．b＞a＞c
C．c＞b＞a D．a＞b＞c
【答案】A
【分析】构造函数 证明b＞c，构造函数 证明 ，构造函数
证明 ，从而得结论.【详解】令函数 ，则 ，当 时， ，当x＞1时，
，所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，故 ，
当且仅当x＝1时取等号，即 ．所以 ，故
，即b＞c．
令函数 ，x＞0，则 ， 在 上单调递增，所以
，故 ，即 ，故 ．
令函数 ，则 ，故当x＞1时，
，所以 ，即 ，所以c＞a．
综上b＞c＞a．
故选：A．
【点睛】方法点睛：
构造函数比较大小主要方法有：
1.通过找中间值比较大小，要比较的两个或者三个数之间没有明显的联系，这个时候我们
就可以通过引入一个常数作为过渡变量，把要比较的数和中间变量比较大小，从而找到他
们之间的大小关系。
2.通过构造函数比较大小，要比较大小的几个数之间可以看成某个函数对应的函数值，我
们只要构造出函数，然后找到这个函数的单调性就可以通过自变量的大小关系，进而找到
要比较的数的大小关系。有些时候构造的函数还需要通过放缩法进一步缩小范围。
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知向量 满足 ， ， ，则向量 在向量 上的投影为______．
【答案】－1
【分析】由条件根据数量积的性质求 ，再由向量的投影的定义求向量 在向量 上
的投影.
【详解】∵向量 满足 ， ， ，
∴ ， ∴ ， ，
∴向量 在向量 上的投影为 ，
故答案为：-1.
14． 的展开式中不含 的各项系数之和______.
【答案】128
【分析】对每一个括号利用二项展开式的通项公式进行展开，展开后对每一项进行合并，
合并后使得 项幂次为0，确定项数后即可得到答案.
【详解】 利用二项展开式的通项公式进行展开，设 项为
， 项为 ， 项为 .
展开后得 对每一项进行合并得，因为展开式中不含 ，所以 ，又 得取值
为 ， 得取值为 ，故得 .
代入展开式得 ，又 得取值为 ，分别
带入后各项系数之和为
.
故答案为：128
15．如图，在四面体ABCD中， ， ， ，
则四面体ABCD外接球的表面积为______．
【答案】 ##
【分析】通过做图，做出 ， 的外心，则外接球球心为过外心的两平面垂线的
交点，后利用正余弦定理可得外接球半径.
【详解】如图1，取BD的中点E，由 ，
可得 ，
又 ，
可得 ，又 ，所以 为等边三角形．
因为 ， ， 平面AEC， 平面AEC， ，则 平
面ACE．
如图2，延长AE至Q，使得 ，延长CE至P，使得 ，
由正弦定理，可得 ， 外接圆半径为 ，
又 ， ， ，则P为 的外心，Q为 的外心，过点
P作平面BCD的垂线，过点Q作平面ABD的垂线，
两垂线的交点O就是四面体ABCD外接球的球心．
连接OE，因 ，则 ，
由 ， ，可得 ，
则在 中， ，
由余弦定理 ，
故四面体ABCD外接球的表面积为 ．故答案为： ..
【点睛】方法点睛：本题涉及求几何体的外接球的表面积，解决外接球问题有以下常见手
段：
（1）侧棱与底面垂直的三棱锥，可将三棱锥补形为长方体或正方体；
（2）正棱锥外接球常用 解决问题，其中R为外接球半径，h为正棱锥高，
r为底面外接圆半径；
（3）侧面和底面呈一定角度的几何体，常利用过外心做平面垂线确定球心位置，后结合图
像及正余弦定理解决问题.
16．已知点F是椭圆 的右焦点，点 到椭圆上的动点Q的距离的最
大值不超过 ，当椭圆的离心率取到最大值时，则 的最大值等于__________．
【答案】 ##
【分析】设 ，求得 的表达式，对 进行分类讨论，结合二次函数的性质、椭
圆的定义来求得 的最大值.
【详解】设 ，则 ，即 且 ．
因为 ，
而 ，即 ，
所以，当 ，即 时，
当 时， 取得最大值， ．
又因为椭圆的离心率 ，因此当 时，e最大．
设椭圆的左焦点为 ，则 ，因此 ，
所以当Q在 的延长线上时， 取得最大值，
，
因此 的最大值为 ．当 ，即 时，
当 时， 取得最大值， ，
由 解得 ，即 ．
又因为椭圆的离心率 ，因此当 时，e最大．
设椭圆的左焦点为 ，则 ，因此 ，
所以当Q在 的延长线上时， 取得最大值，
，
因此 的最大值为 ．综上所述， 的最大值为 ．
故答案为：
【点睛】在椭圆有关线段和差的最值问题求解的过程中，可考虑利用椭圆的定义进行转换，
从而求得最值.
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，
每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
17．（12分）已知函数 ．
(1)求函数 的最小正周期；
(2)在 中，若 ，求 的最大值．
【答案】(1) ；(2) .
【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数 ，再利用正弦函数性质求出周期作答.
（2）由（1）中函数式求出A，再利用差角的正弦公式、辅助角公式结合正弦函数性质求
解作答.
【详解】（1）依题意，
，
所以函数 的周期为 .
（2）由（1）知， ，
在 中， ，有 ，于是 ，解得 ，则 ，
，
显然 ， ，因此当 ，即 时， ，
所以 的最大值为 .
18．（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔 从该生产线
上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位： ）做好记录．下表是检验员在一天内依次
抽取的 个零件的尺寸：
抽取次序
零件尺寸（ ）
抽取次序 9 10 11 12 13 14 15 16零件尺寸（ ）
经计算得 ， ，
， ，其中 为抽取的第 个零件的尺寸（
）．
(1)求 的相关系数 ，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生
产过程的进行而系统地变大或变小（若 ，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的
进行而系统地变大或变小）；
(2)一天内抽检的零件中，如果出现了尺寸在 之外的零件，就认为这条生产线
在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
①从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？
②在 之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零
件尺寸的均值与标准差．（精确到 ）
【答案】(1) ；可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大
或变小
(2)①需对当天的生产过程进行检查；②均值的估计值为 ，标准差的估计值为
．
【分析】（1）将样本数据代入相关系数公式可求得 ，根据 可得结论；
（2）①计算出 对应数据，对比样本数据即可得到结论；
②剔除出数据后，重新计算出平均数和方差，由方差和标准差关系可得标准差.
【详解】（1）由样本数据得相关系数：
．
， 可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小．
（2）① ， ， ， ，
抽取的第13个零件的尺寸在 以外，
需对当天的生产过程进行检查．
②剔除离群值，即第 个数据，剩下数据的平均数为 ，
即这条生产线当天生产的零件尺寸的均值的估计值为 ；
由 得： ，
剔除第 个数据，剩下数据的样本方差为 ，
样本标准差为 ，
即这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差的估计值为 ．
19．（12分）如图，已知四棱锥 ，底面ABCD为菱形， 平面ABCD，
，E是BC的中点．(1)证明： ；
(2)H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为 ，求异面直线PB与AC所
成的角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析；(2) ．
【分析】（1）由已知条件推导出 为正三角形，从而得到 ， ，再由
平面 ，得到 ，由此能证明 平面 ，进而证得结论；
（2）连接 ， ，则 为 与平面 所成的角，当 最短时，即当
时， 最大．建立空间直角坐标系，求出 的坐标，利用空间向量夹
角公式求解．
【详解】（1）由四边形ABCD为菱形， ，可得 为正三角形，
因为E为BC的中点，所以 ，
又 ，因此 ，
因为 平面ABCD， 平面ABCD，所以 ，
而 平面PAD， 平面PAD， ，
则 平面 ，又 平面PAD，
所以 ．
（2）设 ，连接AH，EH，
由（1）知 平面PAD，则 为EH与平面PAD所成的角，
因为 平面PAD，所以 ．
所以在 中， ，
所以当AH最短时，即当 时， 最大，此时 ，
因此 ．又 ，所以 ，所以 ．
故以A为原点，AE所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立空间
直角坐标系，
则 ，
则 ，，
∴异面直线PB与AC所成的角的余弦值 ．
20．（12分）已知直线 过抛物线 的焦点．
(1)求抛物线C的方程；
(2)动点A在抛物线C的准线上，过点A作抛物线C的两条切线分别交x轴于M，N两点，
当 的面积是 时，求点A的坐标．
【答案】(1) (2) 或
【分析】（1）求出焦点坐标为 ，从而得到 ，求出抛物线方程；
（2）设出 ，过点A的抛物线的切线方程设为 ，与抛物线方程联
立，根据 得到 ，设过点A的抛物线的两条切线方程的斜率分别为
，求出 ，表达出 ， ，列出
方程 ，求出 ，得到点A的坐标.
【详解】（1） 中令 得： ，
故焦点坐标为 ，故 ，解得： ，故抛物线方程为 ；
（2）抛物线准线方程为： ，
设 ，过点A的抛物线的切线方程设为 ，
联立 得： ，
由 ，设过点A的抛物线的两条切线方程的斜率分别为 ，
故 ，
令 中，令 得： ，
不妨设 ，故 ，
则 ，
解得： ，故点A的坐标为 或 .
【点睛】已知抛物线方程 ，点 为抛物线上一点，则过点 的抛物
线切线方程为 ，
若点 在抛物线外一点，过点 作抛物线的两条切线，切点弦方程为
.
21．（12分）已知函数 和 有相同的最小值.
(1)求 的值；
(2)设 ，方程 有两个不相等的实根 ， ，求证:【答案】(1) (2)证明见解析
【分析】(1)由二次函数的性质可得 ，利用导数可得 ，
再根据两函数的最小值相同，求解即可；
(2) 令 ，利用导数确定 即 在 上单调递增，由零点存在定理可
得 ，使 ，由题意可设 ，
，利用导数可得 是减函数，即可得
，再由 在 上的单调性即可得证.
【详解】（1）解： ，
所以 ；
函数 的定义域为 ， ，
令 ，解得 ， 解得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
所以
因为函数 和 有相同的最小值，
所以
即 ；
（2）证明： ，
，
令 ，则 ，
所以 即 在 上单调递增，
因为 ，
所以 ，使 ，
于是 在 上单调递减，在 上单调递增.
又 ，当 趋于0时， 趋于0，
则当 时，
方程 有两个不相等的实根根 ， ，
不妨设 .
设 ，则 ，
，
由 即 ，
得 ，
并代入上式，得
所以 是减函数，
，
即 ，
又由题意 ，得 ，
而 ，且 在 上单调递增，
所以 ，
即 ，
又 ，
故 .
【点睛】方法点睛：有关函数的单调性的问题，借助于导数进行确定；关于不等式恒成立
问题，转化为函数的最值问题进行解答.
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的
第一题计分．
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系 中，点 ，曲线C的参数方程为 （ 为参数），以
坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为
．
(1)写出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
(2)设点M为C上的动点，点P满足 ，写出P的轨迹 的参数方程，并判断l与
是否有公共点．【答案】(1) ， ：
(2) ，（ 为参数），直线l与圆 没有公共点。
【分析】（1）根据消参法可得曲线C的普通方程，利用极坐标与直角坐标之间的转化公
式可得直线的直角坐标方程.
（2）设 ，设 ，根据 ，即可求得P的轨迹 的参数方
程，表示圆，计算圆心到直线的距离，即可判断断l与 是否有公共点．
【详解】（1）因为曲线C的参数方程为 ( 为参数)，
所以 ，
即曲线C的普通方程为： ，
因为 ，由 ，
可得l的方程为： .
（2）设 ，设 ，
因为 ，
所以 ，
则 ，（ 为参数），
故P的轨迹 的参数方程为 ，（ 为参数），
所以曲线 为以 为圆心，半径为4的圆，
而圆心 到直线l的距离为 ，
因为 ，所以直线l与圆 相离，
故直线l与圆 没有公共点.
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数 ，且 的解集为 .
(1)求实数m的值；
(2)若a，b，c均为正实数，且 ，求证： .
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）考虑 ， 和 三种情况，分别计算不等式得到答案.
（2）变换 ，展开利用均值不等式计算得到答案.【详解】（1）函数 ，且 的解集为
，
所以 ，
当 时， ，解得： ；
当 时， ，且 ；
当 时，，则 ，解得： .
的解集为 ， 且 ，则 ；
（2）证明：
，
当 时等号成立.
