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第 3 讲 不等式
[考情分析] 1.不等式的性质与解法常与集合、函数相结合，也可渗透在三角函数、数列、
解析几何、导数等题目中.2.线性规划主要考查利用代数式的几何意义(如斜率、截距、距离
等)求目标函数的最值.3.基本不等式通常与其他知识综合考查求最值、范围等问题.4.此部分
内容多以选择题、填空题形式呈现，中等难度．
考点一 不等式的性质与解法
核心提炼
判断关于不等式命题真假的常用方法
(1)作差法、作商法，作商法要注意除数的正负．
(2)利用不等式的性质推理判断．
(3)利用函数的单调性．
(4)特殊值验证法，特殊值法只能排除错误的命题，不能判断正确的命题．
例1 (1)(2022·黄冈中学模拟)已知a，b，c均为非零实数，且a>b>c，则下列不等式中，一
定成立的是________．(填序号)
①ac>bc；②ac2>bc2；③(a－b)c<(a－c)c；
④ln <0.
答案 ②④
解析 对于①，取特殊值a＝2，b＝1，c＝－1，满足a>b>c，但acb>c，所以c2>0，所以ac2>bc2，故②成立；
对于③，取特殊值a＝3，b＝2，c＝－1，满足非零实数a>b>c，此时(a－b)c＝(3－2)－1＝1，
(a－c)c＝(3＋1)－1＝4－1＝，但(a－b)c>(a－c)c，故③不成立；
对于④，因为a，b，c均为非零实数，且a>b>c，所以－b<－c，a－c>0，a－b>0，
所以00的解集为(－1，2)，则关于x的不等式＋c>bx的解集为
________．
答案 (－∞，0)
解析 由题意，关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－1，2)，
则－1，2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根，
可得
解得b＝－a，c＝－2a，且a<0，
则关于x的不等式＋c>bx可化为－2a>－ax，即－2<－x，
即＝<0，解得x<0，所以不等式＋c>bx的解集为(－∞，0)．
易错提醒 解不等式问题的易错点
(1)对参数讨论时分类不完整，易忽视a＝0的情况．
(2)一元二次不等式中，易忽视开口方向，从而错解．
(3)分式不等式易忽视分母不为0.
跟踪演练1 (1)(2022·临川模拟)若实数a，b满足a61 D．ln <0
答案 D
解析 因为a6b3，ea－b>e0＝1，
ln 2时，不等式的解集为(2，m)，此时要使解集中恰有4个整数，
这4个整数只能是3，4，5，6，故60)，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值．
例3 (1)已知x>0，y>0，且2x＋y＝1，则的最小值为( )
A．9 B．12
C．2＋5 D.＋5
答案 C
解析 因为x>0，y>0，且2x＋y＝1，
所以＝＝＋
＝(2x＋y)
＝＋＋5
≥2＋5＝2＋5，当且仅当＝，即y＝x时取等号．
(2)(2022·全国甲卷)已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB＝120°，AD＝2，CD＝2BD.当
取得最小值时，BD＝________.
答案 －1
解析 设BD＝k(k>0)，则CD＝2k.
根据题意作出大致图形，如图．
在△ABD中，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB＝22＋k2－2×2k×＝k2＋2k＋4.
在△ACD中，由余弦定理得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CDcos∠ADC＝22＋(2k)2－2×2×2k×＝
4k2－4k＋4，
则＝
＝
＝4－＝4－
＝4－.
∵k＋1＋≥2
，
∴≥4－＝4－2＝(－1)2，
∴当取得最小值－1时，
BD＝k＝－1.
规律方法 利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的条件
(1)一正二定三相等，三者缺一不可．
(2)若连续两次使用基本不等式求最值，必须使两次等号成立的条件一致，否则最值取不到．
跟踪演练3 (1)若a，b∈R，ab>0，则的最小值为( )
A．6 B．4 C．2 D．2
答案 B
解析 ∵ab>0，∴≥＝＝4ab＋≥2＝4.
当且仅当即a2＝2b2＝时取等号．
(2)(2022·新高考全国Ⅱ改编)若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则下列结论正确的是________．(填
序号)
①x＋y≤1；②x＋y≥－2；③x2＋y2≤2；④x2＋y2≥1.
答案 ②③
解析 由x2＋y2－xy＝1可变形为
(x＋y)2－1＝3xy≤32，
解得－2≤x＋y≤2，
当且仅当x＝y＝－1时，x＋y＝－2，
当且仅当x＝y＝1时，x＋y＝2，所以①错误，②正确；
由x2＋y2－xy＝1可变形为
x2＋y2－1＝xy≤，
解得x2＋y2≤2，当且仅当x＝y＝±1时取等号，所以③正确；
x2＋y2－xy＝1可变形为
2＋y2＝1，设x－＝cos θ，y＝sin θ，
所以x＝cos θ＋sin θ，
y＝sin θ，
因此x2＋y2＝cos2θ＋sin2θ＋sin θcos θ＝1＋sin 2θ－cos 2θ＋
＝＋sin∈，
所以当x＝，y＝－时满足等式，
但是x2＋y2≥1不成立，所以④错误．
专题强化练
一、选择题
1．不等式≤x－2的解集是( )
A．(－∞，0]∪(2，4] B．[0，2)∪[4，＋∞)
C．[2，4) D．(－∞，2)∪(4，＋∞)
答案 B
解析 当x－2>0，即x>2时，(x－2)2≥4，即x－2≥2，
解得x≥4；
当x－2<0，即x<2时，(x－2)2≤4，即－2≤x－2<0，解得0≤x<2.
综上，不等式的解集为[0，2)∪[4，＋∞)．
2．(2022·衡水中学模拟)已知<<0，则下列结论一定正确的是( )
A．a2>b2 B.＋<2
C．|a|a<|a|b D．lg a20，ab>0，
A中，由a2－b2＝(a＋b)(a－b)<0，得a20，>0，且≠，得＋>2＝2，所以B不正确；
C中，当|a|＝1时，＝|a|a－b＝1，此时|a|a＝|a|b，所以C不正确；
D中，由lg a2－lg ab＝lg ＝lg ，且b4，所以选项B不符合题意(或设|sin x|
＝t，则t∈(0，1]，根据函数y＝t＋在(0，1]上单调递减可得y ＝1＋＝5，所以选项B不符
min
合题意)；
选项C，因为y＝2x＋22－x≥2＝4，当且仅当2x＝22－x，即x＝2－x，即x＝1时取等号，所以
y ＝4，所以选项C符合题意；
min
选项D，当00恒成立，则x的取值范
围为( )
A．(－∞，2)∪(3，＋∞)
B．(－∞，1)∪(2，＋∞)
C．(－∞，1)∪(3，＋∞)
D．(1，3)
答案 C
解析 令f(a)＝(x－2)a＋x2－4x＋4，
则不等式x2＋(a－4)x＋4－2a>0恒成立转化为f(a)>0在[－1，1]上恒成立．
则
即整理得
解得x<1或x>3.
故x的取值范围为(－∞，1)∪(3，＋∞)．
6．(2022·开封模拟)已知(2，1)是椭圆C：＋＝1(a>b>0)上一点，则连接椭圆C的四个顶点构
成的四边形的面积( )
A．有最小值4 B．有最小值8
C．有最大值8 D．有最大值16
答案 B
解析 因为(2，1)是椭圆C：＋＝1(a>b>0)上一点，
所以＋＝1，即a2b2＝4b2＋a2，所以a2b2＝4b2＋a2≥2＝4ab，所以ab≥4.
连接椭圆C的四个顶点构成的四边形的面积为S＝×2a×2b＝2ab≥2×4＝8.
即面积有最小值8.
7．已知关于x的不等式mx2－6x＋3m<0在(0，2]上有解，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，) B.
C．(，＋∞) D.
答案 A
解析 由题意得，mx2－6x＋3m<0，x∈(0，2]，即m<，
故问题转化为m<在(0，2]上有解，
设g(x)＝，
则g(x)＝＝，x∈(0，2]，
因为x＋≥2，当且仅当x＝∈(0，2]时取等号，
所以g(x) ＝＝，
max
故m<.
8．已知x<，f(x)＝x＋，则下列说法正确的是( )
A．f(x)有最大值－ B．f(x)有最大值－
C．f(x)有最小值 D．f(x)有最小值
答案 B
解析 ∵x<，∴x－<0，
∴f(x)＝x＋＝x－＋＋
＝－＋
≤－2＋
＝－，当且仅当x＝－时取等号．
9．(2022·嘉兴质检)已知实数x，y满足约束条件则z＝|x－2y＋6|的最大值是( )
A．10 B．7 C．5 D．2答案 B
解析 画出不等式组所表示的平面区域，如图阴影部分(含边界)所示，
设m＝x－2y＋6，则y＝x＋3－，
当直线y＝x＋3－经过点A时，目标函数m＝x－2y＋6取得最小值，
当直线y＝x＋3－经过点B时，目标函数m＝x－2y＋6取得最大值，
由解得A(0，2)，
又由解得B(－1，－1)，
所以目标函数的最小值为2，最大值为7，
所以z＝|x－2y＋6|的最大值是7.
10．(2022·石家庄模拟)设正实数m，n满足m＋n＝2，则下列说法正确的是( )
A.＋的最小值为4
B．mn的最小值为1
C.＋的最大值为2
D．m2＋n2的最小值为
答案 C
解析 ∵m>0，n>0，m＋n＝2，
∴＋＝(m＋n)
＝≥＝2，
当且仅当＝，即m＝n＝1时，等号成立，故A不正确；
∵m＋n＝2≥2，∴mn≤1，当且仅当m＝n＝1时，等号成立，故B不正确；
∵(＋)2≤2[()2＋()2]＝4，∴＋≤＝2，当且仅当m＝n＝1时，等号成立，故C正确；
m2＋n2≥＝2，当且仅当m＝n＝1时，等号成立，故D不正确．
11．(2022·滁州质检)若实数a，b满足2a＋b＝3，则＋的最小值为( )
A．6 B．4 C．3 D．2
答案 A
解析 令2a－1＝m，b－1＝n，则m>0，n>0，
∴m＋n＝2a＋b－2＝1，
∵＋＝＋＝2＋＋
＝2＋(m＋n)＝4＋＋
≥4＋2＝6，
当且仅当m＝n＝，即a＝，b＝时取等号．
12．(2022·广东联考)已知正数x，y，z满足x2＋y2＋z2＝1，则S＝的最小值为( )
A．3 B.
C．4 D．2(＋1)
答案 C
解析 由题意得，00，∴≥，
∴≥≥4
，
则S＝的最小值为4.
二、填空题
13．(2022·安庆检测)能够说明“设a，b，c是任意实数，若a2＋b2>c2，则a＋b>c”是假命
题的一组整数a，b，c的值依次为________．
答案 －3，－1，1(答案不唯一)
解析 令a＝－3，b＝－1，c＝1，则a2＋b2＝10>1＝c2，此时a＋b＝－4<1，所以该命题是
假命题．
14．已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0(a，b，c∈R)的解集为{x|3
