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第 2 讲 数形结合思想
思想概述 数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解
决数学问题的思想．数形结合思想的应用包括以下两个方面：(1)“以形助数”，把某些抽
象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，揭示数学问题的本质；
(2)“以数定形”，把直观图形数量化，使形更加精确．
方法一 利用数形结合求解函数与方程、不等式问题
利用函数图象可直观研究函数的性质，求解与函数有关的方程、不等式问题．
例1 (1)已知函数f(x)＝若函数F(x)＝a－f(x)有四个零点，分别为x ，x ，x ，x ，则xxxx
1 2 3 4 1 2 3 4
的取值范围是( )
A. B.
C. D.
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(2)已知函数f(x)＝若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是( )
A．(－∞，0] B．(－∞，1]
C．[－2,1] D．[－2,0]
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规律方法 方程的根可通过构造函数，转化为两函数的交点横坐标；不等式 f(x)<g(x)可转化
为函数y＝f(x)与y＝g(x)图象的位置关系．
方法二 利用数学概念、表达式的几何意义求解最值、范围问题
向量、复数、圆锥曲线等数学概念具有明显的几何意义，可利用图形观察求解有关问题；灵
活应用一些几何结构的代数形式，如斜率、距离公式等．
例2 (2022·朔州模拟)若|a|＝|b|＝|c|＝2，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的取值范
围是( )
A．[0,2＋2] B．[0,2]
C．[2－2,2＋2] D．[2－2,2]
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规律方法 应用几何意义法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有：①比值
——可考虑直线的斜率；②二元一次式—可考虑直线的截距；③根式分式——可考虑点到
直线的距离；④根式——可考虑两点间的距离．方法三 几何动态问题中的数形结合
对一些几何动态中的代数求解问题，可以结合各个变量的形成过程，找出其中的相互关
系求解．
例3 过双曲线x2－＝1的右支上一点P，分别向圆C ：(x＋7)2＋y2＝4和圆C ：(x－7)2＋y2
1 2
＝1作切线，切点分别为M，N，则|PM|2－|PN|2的最小值为________．
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规律方法 几何图形有关的最值问题，通常是利用函数的观点，建立函数表达式求解，但一
味地强调函数观点，有时使思维陷入僵局，此时若能合理利用圆锥曲线的定义，以形助数，
会使问题变得特别简单．
