文档内容
专题 6-1 数列函数性质与不等式放缩
目录
讲高考................................................................................................................................................................................1
题型全归纳.......................................................................................................................................................................2
【题型一】数列单调性与不等式放缩....................................................................................................................2
【题型二】利用导数研究数列“性质”...............................................................................................................3
【题型三】数列函数性质：“周期性”...............................................................................................................3
【题型四】构造等差数列型放缩.............................................................................................................................4
【题型五】构造等比数列型放缩.............................................................................................................................5
【题型六】裂项放缩型................................................................................................................................................6
【题型七】无理根式、对勾等放缩........................................................................................................................6
【题型八】数列中的蛛网不等式.............................................................................................................................7
【题型九】数学归纳法................................................................................................................................................8
专题训练............................................................................................................................................................................8
讲高考
1．（2021·全国·统考高考真题）等比数列 的公比为q，前n项和为 ，设甲： ，
乙： 是递增数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
2．（全国·高考真题）设△AB C 的三边长分别为a,b,c，△AB C 的面积为S，
n n n n n n n n n n
n=1,2,3,…
若b＞c，b＋c＝2a，a ＝a，b ＝ ，c ＝ ，则
1 1 1 1 1 n＋1 n n＋1 n＋1
A．{S }为递减数列
n
B．{S }为递增数列
n
C．{S }为递增数列，{S }为递减数列
2n－1 2n
D．{S }为递减数列，{S }为递增数列
2n－1 2n
3．（浙江·高考真题）已知 成等比数列，且 ．若
，则
A． B． C． D．
4．（2020·全国·统考高考真题）0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列
满足 ，且存在正整数 ，使得 成立，则称其为0-1周期序
列，并称满足 的最小正整数 为这个序列的周期.对于周期为 的0-1序列
， 是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1
序列中，满足 的序列是（ ）
A． B． C． D．
5.（2019·浙江·高考真题）设 ，数列 中， ， ,则A．当 B．当
C．当 D．当
6．（2022·北京·统考高考真题）已知数列 各项均为正数，其前n项和 满足
．给出下列四个结论：
① 的第2项小于3； ② 为等比数列；
③ 为递减数列； ④ 中存在小于 的项．
其中所有正确结论的序号是__________．
7．（全国·高考真题）设等比数列 满足a+a=10，a+a=5，则aa …an的最大值为
1 3 2 4 1 2
___________．
题型全归纳
【题型一】数列单调性与不等式放缩
【讲题型】
例题1.已知数列 满足 ，且 ，若 ，则（ ）
A． B． C． D．
例题2.已知数列 满足 ，若 ，则“数列 为无穷数列”是“数
列 单调”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【讲技巧】
数列作为特殊的函数，其单调性与函数的单调性有相似之处。可以从数列递推公式中提
炼出对应函数式，利用函数或者导数性质求其单调性
【练题型】
1.设数列 的前 项和为 ，且 .若对任意的正整数 ，都有
成立，则满足等式 的所有正
整数 为（ ）
A．1或3 B．2或3 C．1或4 D．2或42.数列 满足 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则数列 单调递减
B．若存在无数个自然数 ，使得 ，则
C．当 时， 的最小值不存在
D．当 时， 恒成立
【题型二】利用导数研究数列“性质”
【讲题型】
例题1..设 ，数列 满足 ， ，则（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
例题2.已知各项均为正数的数列 满足 ， ，则数列
（ ）
A．无最小项，无最大项 B．无最小项，有最大项
C．有最小项，无最大项 D．有最小项，有最大项
【讲技巧】
需引入函数，利用导数研究函数的单调性，从而得出数列的不等关系。
【练题型】
1.已知数列 满足 ，满足 ， ，则下列成立的
是（ ）
A． B．
C． D．以上均有可能
2..对于数列 ，若存在正数 ，使得对一切正整数 ，恒有 ，则称数列 有
界；若这样的正数 不存在，则称数列 无界，已知数列 满足： ，
，记数列 的前 项和为 ，数列 的前 项和为 ，则下列
结论正确的是（ ）
A．当 时，数列 有界 B．当 时，数列 有界
C．当 时，数列 有界 D．当 时，数列 有界
【题型三】数列函数性质：“周期性”
【讲题型】
例题1.已知数列 满足 （ 为常数， ， ， ），给出下
列四个结论：①若数列 是周期数列，则周期必为2：②若 ，则数列 必是常数列：③若 ，则数列 是递增数列：④若 ，则数列 是有穷数列，其中，所
有错误结论的序号是________.
例题2.．若数列 满足：存在正整数T，对于任意正整数n都有 成立，则称数
列 为周期数列，周期为T.已知数列 满足 ， ，则
下列结论中错误的是（ ）
A．若 ，则m可以取3个不同的值；
B．若 ，则数列 是周期为3的数列；
C．对于任意的 且T≥2，存在 ，使得 是周期为 的数列
D．存在 且 ，使得数列 是周期数列
【讲技巧】
函数常见周期性：
①若f(x＋a)＝f(x－b) ⇔f(x)周期为T＝a＋b.
②若 ，则 是 的一个周期
常见的周期函数有：
f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝或f(x＋a)＝－，那么函数f(x)是周期函数，其中一个周期均为
T＝2a.
【练题型】
1.已知函数 的定义域均为R，且满足
则 （ ）
A． 3180 B．795 C．1590 D． 1590
2.已知数列 满足：当 时， ；当 时， ；对于任意实数 ，
则集合 的元素个数为（ ）
A．0个 B．有限个 C．无数个 D．不能确定，与 的
取值有关
【题型四】构造等差数列型放缩
【讲题型】
例题1..设 是数列 的前 项和， ，若不等式 对任意恒成立，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
例题2.已知数列 是各项均不为0的等差数列， 为其前 项和，且满足
.若不等式 对任意的 恒成立，则实
数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【讲技巧】
数列不等式恒成立问题，可以利用等差数列的性质求得通项公式，然后再进行放缩或者
分参等求参
【练题型】
1.已知首项为 的数列 的前 项和为 ，若 ，且数列 ， ，
…， 成各项均不相等的等差数列，则 的最大值为__________．
2.设等差数列 的公差为 前 项和为 且 则 的取值范
围是_________.
【题型五】构造等比数列型放缩
【讲题型】
例题1..已知数列 为正项等比数列，且 ，则“ ”是“
”的（ ）
A．必要而不充分条件B．充分而不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要
条件
例题2.已知数列 中， ， ， ，则以下成立的是（ ）
A． B． C． D．
【练题型】
1.已知数列 满足： ， ， ，则下列说法正确的是（ ）
A． 一定为无穷数列 B． 不可能为常数列
C．若 ，则 可能小于1 D．若 ，则
2.若数列 满足 ，且对任意
都有 ，则 的最小值为________.【题型六】裂项放缩型
【讲题型】
例题1.．已知数列 满足 ， ， 为数列
的前n项和，则（ ）
A． B． C． D．
例题2.数列 满足 ， ， ，则 的整数部分是
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【讲技巧】
常用的数列放缩式还有：
，
等，解题过程中，注意观察数列特征选择合
适的放缩方法.
【练题型】
1.数列 满足 ， ， ，则 的整数部分是
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2..已知数列 中， ， ，记 ，
，则下列结正确的是（ ）
A． B． C． D．
【题型七】无理根式、对勾等放缩
【讲题型】
例题1.． 的整数部分是（ ）A．3 B．4 C．5 D．6
例题2.已知数列 满足 ， ，数列 前n项和为 ，则下列
叙述不正确的有（ ）
A． B． C． D．
【练题型】
1.对于数列 ： ， ，有以下结论：①若 ，则 ；
②若 ，则 ；③对 ，均有 ；④对于任意正整数 ，均有
.则
A．仅①②正确 B．仅②③正确
C．仅①③④正确 D．①②③④均正确
2..已知数列 满足 ， ，如果 ，那
么（ ）
A． B．
C． D．
【题型八】数列中的蛛网不等式
【讲题型】
例题1.已知数列 满足 ， ，记数列 的前n项和为 ，设集
合 ， 对 恒成立 ，则集合N的元素个数是
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
例题2.已知数列 ， ，下列说法正确的是（ ）
A．对任意的 ，存在 ，使数列 是递增数列；
B．对任意的 ，存在 ，使数列 不单调；
C．对任意的 ，存在 ，使数列 具有周期性；
D．对任意的 ，当 时，存在 .
【练题型】
1.已知数列 满足： ，且 ，下列说法正确的是（ ）A．若 ，则 B．若 ，则
C． D．
2.已知 为非常数数列且 ， ， ，下列
命题正确的是（ ）
A．对任意的 ， ，数列 为单调递增数列
B．对任意的正数 ，存在 ， ， ，当 时，
C．存在 ， ，使得数列 的周期为2
D．存在 ， ，使得
【题型九】数学归纳法
【讲题型】
例题1.已知数列 满足 ，记 表示数列 的前n项乘积.则
（ ）
A． B． C． D．
例题2.已知各项均为正数的数列 满足 ， ，其前n项和为 ，
则下列关于数列 的叙述错误的是( )
A． B．
C． D．
【讲技巧】
数学归纳法可以用来证明与自然数n有关的问题
【练题型】
1.在数列 中， ，若存在常数c，对任意的 ，都有
成立，则正数k的最大值为（ ）
A． B． C． D．
2.数列 满足： .若数列 单调递减，则c的取值范围是
________；若数列 单调递增，则c的取值范围是__________.一、单选题
1．已知 是公差不为0的等差数列， 是其前 项和，则“对于任意 ，都有
”是“ 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
2．等比数列 的公比为 ，“ ”是“数列 单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知数列 满足 ， ，设 的前 项和为 ，若 ，不等式
恒成立，则 的最小值为（ ）
A． B．2 C．5 D．6
4．已知等差数列 满足 ，公差 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
5．在等比数列 中 ．则能使不等式
成立的正整数 的最大值为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
6．已知数列 的各项均为实数， 为其前n项和，若对任意 ，都有 ，
则下列说法正确的是（ ）
A． 为等差数列， 为等比数列
B． 为等比数列， 为等差数列
C． 为等差数列， 为等比数列
D． 为等比数列， 为等差数列
7．已知数列 ， 满足 ， ， ， ，则下列选项错误的
是（ ）A． B．
C． D．
8．已知数列 中， ，若 ，则下列结论中错误的是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知函数 ，数列 满足 ，且 ， .若
是等差数列，则 可能取的整数是（ ）
A． B． C． D．
10．数列 各项均为正数，其前n项和 ，且满足 ，下列四个结论中
正确的是（ ）
A． 为等比数列 B． 为递减数列
C． 中存在大于3的项 D． 中存在小于 的项
11．已知数列 满足 ，且 ， 是数列 的前 项和，则（ ）
A． B．
C． D．
12．已知数列 满足 ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．在由正整数构成的无穷数列 中，对任意的正整数，都有 且对任意的正整
数 ，数列 中恰有 个 ，则 ______.
14．高斯是德国著名的数学家，有“数学王子”之称，以其名字命名的成果有110个.设 ，
用 表示不超过 的最大整数，则 称为高斯函数，若用 表示 的非负纯
小数，如 ，已知数列 满足 ，则 __________.15．已知数列 满足 ，其首项 ，若数列 是单调递增数列，则
实数 的取值范围是______.
16．已知数列 ､ ､ 的通项公式分别为 ､ ､ ，其中
， ， ，令 （ 表示 ､ ､
三者中的最大值），则对于任意 ， 的最小值为___________
