文档内容
2023 年高考数学模拟考试卷 2
高三数学（文科）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自
己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：高中全部知识点。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有
一个选项是符合题目要求的．
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据一元一次不等式可解得集合 ，再根据函数值域求法可求得集合 ，由交集
运算即可得出结果.
【详解】由题意可得 ，
由函数值域可得 ，
所以 ．
故选：C
2．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设 ，化简式子，利用复数相等求出复数，然后求复数的模即可
【详解】设 ，则 ，则 ，
故 .
故选：A
3．对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用正负相关与线性相关的强弱进行求解即可
【详解】 都是正线性相关，
所以 ，
并且相关性 最强，
所以 ；
都是负线性相关并，
所以 ，
且 相关性强，
所以 ，
所以 ；
所以 ；
故选：A
4．如图，在 中， ，则 （ ）
A．9 B．18 C．6 D．12
【答案】D
【分析】由 可得 ，则
，代入化简即可得出答案.【详解】由 可得： ，
所以 ，所以 ，
，
因为 ，
所以 .
故选：D.
5．已知 ， ，则“ ”是“ ”成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】先化简 ，然后判断其充分性与必要性即可.
【详解】先化简 ，构造
函数 ，
所以有 ，显然 在 单调递增，所以 ；
又因为 ， ，所以由“ ”不能得出“ ”，由“ ”可得出“
”，故“ ”是“ ”成立的必要不充分条件.
故选：B
6．执行如图的程序框图，输出的 值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】列举出循环的每一步，结合余弦函数的周期性可求得输出结果.
【详解】因为对任意的 ，，
执行第一次循环， ， ， 不成立；
执行第二次循环， ， ， 不成立；
执行第三次循环， ， ， 不成立；
，
以此类推，执行最后一次循环， ，
， 成立，跳出循环体，
因为 ，因此，输出结果为 .
故选：B.
7．若直线 与直线 被圆 截得的
弦长之比为 ，则圆C的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出圆心分别到两条直线的距离，根据勾股定理求出两条直线被圆截得的弦长，
根据弦长之比为 列式求出 ，可得圆的半径，从而可得圆的面积.
【详解】圆C的标准方程为 ，
所以圆心 到直线 的距离为 ，
到直线 的距离分别为 ，
所以直线 被圆 截得的弦长为
，
直线 被圆 截得的弦长为
，
由题意可得 ，解得 ，满足 ，
所以圆C的半径为 ，面积为 .
故选：B．
8．如图，在四棱锥 中，平面 平面 ，四边形 是矩形，
， 分别是棱 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值
是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作辅助线，作出异面直线 与 所成角或补角，解直角三角形，即可求得答案.
【详解】如图，取棱 的中点H，连接 ，则 ，
则 是异面直线 与 所成的角（或补角）．
又因为 ，故 ,
平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
故 平面 ， 平面 ，故 ,
由四边形 是矩形， ，则 ,
平面 ,故 平面 ,
平面 ,故 ,
设 ，则EH＝2， ．
在 中，则 ，故 ,
即异面直线 与 所成角范围为 ，故所求角的余弦值是 ，
故选：B
9．设函数 的定义域为 ，且满足 ， ，当 时，
，则（ ）
A． 是周期为 的函数
B．
C． 的值域是
D．方程 在区间 内恰有 个实数解
【答案】D
【分析】根据抽象函数关系式可推导得到 ，并确定 为 上的奇函数，
由此可确定AB错误；利用导数可求得 在 上的值域，结合对称性和周期性可求得在 上的值域，知C错误；将问题转化为 与 的交点个数问题，采用数
形结合的方式可确定D正确.
【详解】对于A，由 得： ，
， 是周期为 的周期函数，A错误；
对于B， ， ，
又 ， ， 为定义在 上的奇函数，
，又 ， ，
，B错误；
对于C，当 时， ，则 ，
当 时， ；当 时， ；
在 上单调递减，在 上的单调递增， ，
又 ， ， 当 时， ；
为奇函数， 当 时， ，
则当 时， ；
由 得： 关于直线 对称，
当 时， ；
又 的周期为 ， 当 时， ，C错误；
对于D，方程 解的个数等价于 与 的交点个数，
作出 与 的部分图象如下图所示，
的周期为 ，且当 时， 与 有两个交点，
当 时， 与 有 个交点，
， 当 时， 与 有且仅有一个交点，
当 时， 与 有且仅有一个交点；综上所述：当 时， 与 有 个交点，即方程 恰有
个实数解，D正确.
故选：D.
【点睛】方法点睛：本题D选项考查了方程根的个数的求解，解决此类问题的常用方法有：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，从而确定根的个数；
（2）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画
出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
10．记函数 的最小正周期为 ．若 ，且 的图
象的一条对称轴为 ，关于该函数有下列四个说法：
① ；
② ；
③ 在 上单调递增；
④为了得到 的图象，只需将 的图象向右平移 个单位长度．
以上四个说法中，正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】利用周期公式求出 的范围可判断①；由 为一条对称轴得
，结合 的范围可求得 ，从而得出 的解析式，求值 可
判断②；利用正弦函数的单调性可判断③；利用三角函数图象平移的规律可判断④.
【详解】由 且 ，故 ，故①错误；
因为 为一条对称轴，故 ， ．由于 ，故
，则 ，所以 ，故②正确；
当 时， ，则 在 上单调递增，故③正确；
将 的图象向右平移 个单位长度得 的图象，而
，故④错误．
所以，正确的有②③，共2个．
故选：B．
11．如图，在四面体ABCD中， ， ， ，
则四面体ABCD外接球的表面积为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意分析可知 平面ACE，根据外接球的性质以及四面体ABCD的结构
特征确定四面体ABCD的外接球的球心所在位置，进而可求半径和面积.
【详解】如图1，取BD的中点E，由 ， ，可
得 ，
又 ，所以 为等边三角形．
由 ， ，可得 ， ，
， 平面ACE
则 平面ACE，
如图2，延长AE至Q，使得 ，延长CE至P，使得 ，
∵ 的外接圆的直径 ，即 ，
故易知P为 的外心，Q为 的外心，过点P作平面BCD的垂线，过点Q作平
面ABD的垂线，两垂线的交点O就是四面体ABCD外接球的球心．
由 ， ，可得 ，
在 中，
，
故四面体ABCD外接球的表面积为 ．
故选：A.
【点睛】结论点睛：
（1）球的任何截面均为圆面；（2）球心和截面圆心的连线垂直于该截面，故外接球的球心位于过底面的外心的垂线上.
12．如图， 为双曲线的左右焦点，过 的直线交双曲线于 两点，且 ，
为线段 的中点，若对于线段 上的任意点 ，都有 成立，则双曲
线的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】取 中点 ，根据向量数量积的运算律和向量线性运算可将已知数量积不等式
化为 ，由此可确定 ，由三角形中位线性质知 ；设 ，
结合双曲线定义可表示出 ，在 和 中，利用勾股定理可求得离
心率.
【详解】取 中点 ，连接 ，
，
，
，则 ， 恒成立，
，又 ， ，
设 ，由 得： ，
根据双曲线定义可知： ， ，
，即 ， ，
， ，又 ， ，，则离心率 .
故选：D.
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．设实数x，y满足 ，则 的取值范围是
__________．
【答案】
【分析】设 ，有不等式组作出可行域，得出 的范围.化简
，然后根据 的范围，即可求出答案.
【详解】设 ，根据约束条件 作出可行域如图所示，
解 可得， ，所以 .
由图知当目标函数 经过点 或点 时取得最小值 ，当目标函数 经
过点 时取得最大值 ，即 ．
又 ，
又 ，
所以，当 时，该式有最小值为 ；当 时，有最大值为 .
故答案为： ．14．已知函数 有2个零点，且过点 ，则常数t的一个取值为
______．
【答案】 （不唯一）．
【分析】由条件求出 的范围，然后取一个值即可.
【详解】由 可得 或
由 可得
因为函数 有2个零点，且过点 ，所以
故答案为： （不唯一）
15．如图，矩形ABCD中，AC是对角线，设∠BAC＝α，已知正方形S 和正方形S 分别内
1 2
接于Rt△ACD和Rt△ABC，则 的取值范围为______．
【答案】
【分析】设两个正方形边长分别为 ， ，用 ， 表示AC建立方程，将两个三角形的周
长比表示为 的三角函数，求取值范围.
【详解】设两个正方形 ， 边长分别为 ， ，
则在 中，有 ，
在 中，有 ，所以 ，
的周长与 的周长比为 ，
设 ，
因为 ，所以 ，
则 ，
因为 在 上单调递增，所以 ， ，
所以周长比为 .故答案为： .
【点睛】注意到 的关系，换元用 表示
，注意换元后新未知数的取值范围.
16．已知F是抛物线 的焦点，C的准线与x轴交于点T，P，Q是C上的
两点，直线TP与C相切， ，则 ___________.
【答案】 ##
【分析】根据题意求得 的坐标，根据导数的几何意义，求得点 的坐标，再设出点
的坐标，根据向量关系，即可求得参数.
【详解】由题意得 ， ，对于 ，
不妨设 ，则 ，求导得 ，
设 ，且 ，则直线TP的方程为 ，
因为点 在直线TP上，所以 ，得 ，
则 ，所以 ， .
设 ，则 ，因为 ，
所以 ，所以 ， ，
代入 ，得 ，得 （舍）或 .
故答案为： .
【点睛】本题考查抛物线中坐标的求解，解决问题的关键是利用导数的几何意义，以及点
在曲线上，则点的坐标满足曲线方程，属综合困难题.
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，
每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
17．（12分）在数列 中， ， ．
(1)设 ，求数列 的通项公式；
(2)设 ，且数列 的前 项和为 ．若 ，求正整数 的值．
【答案】(1)
(2)【分析】（1）依题意可得 ，利用累加法求出数列 的通项公式；
（2）由（1）可得 ，即可得到 ，利用裂项相消法求出 ，
即可得到方程，解得即可.
【详解】（1）解：因为 ， ，且 ，
所以 ，
当 时 ，
当 时
，
又 时也符合上式，
所以 .
（2）解：由（1）可知 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
则 ，解得 .
18．（12分）随着互联网的迅速发展，越来越多的消费者开始选择网络购物，某营销部门
统计了 年某月某地区的部分特产的网络销售情况，得到网民对不同特产的满意度
和对应的销售额 （万元）的数据如下表：
特产种类 甲 乙 丙 丁 戊
满意度 /% 22 34 25 20 19
销售额 /万元 78 90 86 76 75
(1)求销售额 关于满意度 的相关系数 ；
(2)约定：销量额 关于满意度 的相关系数 的绝对值在 及以上表示线性相关性较强；
否则，线性相关性较弱．如果没有达到较强线性相关，则采取“末位淘汰”制（即销售额
最少的特产退出销售），求剔除“末位淘汰”的特产后的销量额 关于满意度 的线性回
归方程．（结果精确到 ）
参考数据：记 ， 的5组样本数据分别为 ，…， ， ， ，
， ， ， ， ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用公式直接计算即可；
（2）剔除“末位淘汰”的特产的数据，重新计算出平均数以及各个数据，代入公式，求出
线性回归直线方程．
（1）
由题意，可得 ．（2）
因为 ，所以线性相关性较弱，淘汰销售额为 万元的特产．
剔除“末位淘汰”的特产的数据后， ， ．
， ，
， ，
所以 ， ，所以所求线性回归方程
为 ．
19．（12分）如图①，在梯形 中， ，E为
中点，现沿 将 折起，如图②，其中F，G分别是 的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)若 ，求点B到平面 的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接 ，证明 ，可得 平面 ，再根据
线面垂直的性质可得 ，在证明 ，再根据线面垂直的判定定理即可得证；
（2）先利用勾股定理可得 ，从而可得 面 ，再根据线面垂直的性质可
得 ，设H是 中点，连接 ，证明 ，再在三棱锥 中，
利用等体积法即可得解.
【详解】（1）连接 ，
在图①中，因为 ，E为 中点，
所以 且 ，
所以四边形 为正方形，
则 和 都是等腰直角三角形，
在图②中，由 且F是 的中点，
则 ，
又 平面 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
因为 ，且G是 的中点，所以 ，
又因为 平面 ，
所以 平面 ；（2）在图②中，因为 ，所以 ，
又因为 ，
所以 ，所以 ，
又由（1）知 面 ，
所以 面 ，
又 面 ，所以 ，
设H是 中点，连接 ，
因为 ，
所以 ，又 平面 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
由题易得 ，
，
所以 的面积为 ，
的面积为 ，
设点B到平面 的距离为d，
由 有 ，
即 ，所以 ，
所以点B到平面 的距离为 .
20．（12分）已知函数 ，且 .
(1)求实数 的值；
(2)证明：存在 ， 且 时， .
【答案】(1)1
(2)证明见解析
【分析】（1）要使 ，即 ，对 求导，得到 的单调性和最值，
即可求出实数a的值；
（2）对 求导，则 ，设 ，再对 求导，利用导
数性质推导出 是 在 的唯一极大值点，即可证明.【详解】（1）显然 的定义域为 ，且 .
因为 ，且 ，故只需 .
又 ，则 ，∴ .
若 ，则 .显然当 时， ，此时 在 上单调递减；
当 ， ，此时 在（1，+∞）上单调递增.
所以 是 的唯一极小值点，
故 .综上，所求 的值为1.
（2）由（1）知 .
设 ，则
当 时， ；
当 时， ，
所以 在 上单调递减，
在 上单调递增.
所以 在 有唯一零点 ，在 上有唯一零点1，
且当 时， ；当 时 ；
因为 ，所以 是 的唯一极大值点.
即 是 在 的最大值点，所以 成立.
21．（12分）已知椭圆 ，A、F分别为 的左顶点和右焦点，O为
坐标原点，以OA为直径的圆与 交于M点（第二象限）， ．
(1)求椭圆 的离心率e；
(2)若 ，直线 ，l交 于P、Q两点，直线OP，OQ的斜率分别为 ， ．
（ⅰ）若l过F，求 的值；
（ⅱ）若l不过原点，求 的最大值．【答案】(1)
(2)（ⅰ） ；（ⅱ）
【分析】（1）根据所给条件求得点M坐标，带入椭圆方程结合离心率的定义，进行求解
即可；
（2）设 ， ，坐标分别为 ， ，
（ⅰ）根据题意求得直线l的方程为 ，联立椭圆方程利用韦达定理直接求
即可；
（ⅱ）设直线l的方程为 ，（ ）与椭圆方程联立得 ，
利用韦达定理得 ， ，由 即可得解.
【详解】（1）由已知点M是以AO为直径的圆上的点，
∴ ，又∵ ， ，∴ ， ，
∴ ，又∵点M在椭圆 上，∴ ，整理得 ，
∴
（2）设 ， ，
（ⅰ）由 ， ，∴椭圆 的方程为： ，
在 中 ，∴直线l的斜率为 ，
∴直线l的方程为 ，与椭圆方程联立得 ，
整理得： ，∴ ， ，
∴ ，
（ⅱ）设直线l的方程为 ， 与椭圆方程联立得 ，
消去x整理得： ，当 得 ，∴ ， ，
∴
∴当且仅当 时， 有最大值，此时最大值是
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为 ；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于 （或 ）的一元二次方程，必要时计算 ；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为 、 （或 、 ）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的
第一题计分．
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系 中，点 ，曲线C的参数方程为 （ 为参数），以
坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为
．
(1)写出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
(2)设点M为C上的动点，点P满足 ，写出P的轨迹 的参数方程，并判断l与
是否有公共点．
【答案】(1) ， ：
(2) ，（ 为参数），直线l与圆 没有公共点。
【分析】（1）根据消参法可得曲线C的普通方程，利用极坐标与直角坐标之间的转化公
式可得直线的直角坐标方程.
（2）设 ，设 ，根据 ，即可求得P的轨迹 的参数方
程，表示圆，计算圆心到直线的距离，即可判断断l与 是否有公共点．
【详解】（1）因为曲线C的参数方程为 ( 为参数)，
所以 ，
即曲线C的普通方程为： ，
因为 ，由 ，
可得l的方程为： .
（2）设 ，设 ，
因为 ，
所以 ，
则 ，（ 为参数），故P的轨迹 的参数方程为 ，（ 为参数），
所以曲线 为以 为圆心，半径为4的圆，
而圆心 到直线l的距离为 ，
因为 ，所以直线l与圆 相离，
故直线l与圆 没有公共点.
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数 ，且 的解集为 .
(1)求实数m的值；
(2)若a，b，c均为正实数，且 ，求证： .
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）考虑 ， 和 三种情况，分别计算不等式得到答案.
（2）变换 ，展开利用均值不等式计算得到答案.
【详解】（1）函数 ，且 的解集为
，
所以 ，
当 时， ，解得： ；
当 时， ，且 ；
当 时，，则 ，解得： .
的解集为 ， 且 ，则 ；
（2）证明：
，
当 时等号成立.
