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专题 01 指对幂比较大小
一、核心先导
二、考点再现
【考点1】指数函数
y=ax (a>0,a≠1)
1.定义：函数 叫做指数函数，定义域为 .
2.性质：
a>1 0<a<1
图
象
（1）定义域：R
性 （2）值域：（0，+∞）
质 （3）过定点（0，1），即x=0时，y=1
（4）增函数 （4）减函数
（5） ; （5） ;
【考点2】对数函数
y=log x(a>0,a≠1)
1.定义：函数 a 叫做对数函数，定义域是 .2.性质：
a>1 0<a<1
图
象
（1）定义域：（0，+∞）
性 （2）值域：R
质 （3）过定点（1，0），即x=1时，y=0
（4）在 （0，+∞）上是增函数 （4）在（0，+∞）上是减函数
x>1,log x>0 0<x<1,log x<0 x>1,log x<0 0<x<1,log x>0
（5） a ； a （5） a ； a
；
【考点3】幂函数
1、幂函数定义
一般地，形如 的函数称为幂函数，其中 是自变量， 是常数．
2、五种常见幂函数
函数
图象
定义域
值域
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数
性 在 上
在 和
质 在 上单 单调递减； 在 上单调 在 上单
单调性 上单
调递增 在 上 递增 调递增
调递减
单调递增
公共点
3、幂函数性质（高频考点）
幂函数 ，在
①当 时， 在 单调递增；②当 时， 在 单调递减；
三、解法解密
方法一：放缩法
1、对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数
2、指数和幂函数结合来放缩。
3、利用均值不等式等不等关系放缩
4、“数值逼近”是指一些无从下手的数据，如果分析会发现非常接近某些整数（主要是整数多一些），那
么可以以该“整数”为变量，构造四舍五入函数关系，2021年全国卷乙卷第12题即是此思维.
方法二：作差法、作商法
1. 一般情况下，作差或者做商，可处理底数不一样的的对数比大小
2. 作差或者做商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧和方法解
方法三：构造函数，运用函数的单调性比较
学习和积累“构造函数比大小”，要先从此处入手，通过这个函数，学习观察，归纳，总结“同构”规律，
还要进一步总结“异构”规律，为后续积累更复杂的“构造函数”能力做训练.
构造函数，.观察总结“同构”规律，许多时候，三个数比较大小，可能某一个数会被刻意的隐藏了“同构”规
律，所以可以优先从结构最接近的两个数规律.
1.对于抽象函数，可以借助中心对称、轴对称、周期等性质来“去除f（）外衣”比较大小；
2.有解析式函数，可以通过函数性质或者求导等，寻找函数单调性对称性，以用于比较大小.
四、考点解密
题型一:简单放缩比较大小
例1．（1）、（2022·天津·高考真题）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用幂函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出 、 、 的大小关系.
【详解】因为 ，故 .
故答案为：C.
（2）、（2022•天津模拟）设 ，b＝0.50.8，c＝0.8﹣0.5，则a、b、c的大小关系为（ ）
A．c＜b＜a B．b＜a＜c C．a＜b＜c D．c＜a＜b
【分析】利用对数函数的单调性可判断 ＜0.5，再利用指数函数的单调性判断b、c即可．【解答】解：∵ ＜ln ＝0.5，
0.5＝0.51＜0.50.8＜0.50＝1，
即0.5＜b＜1，
c＝0.8﹣0.5＞0.80＝1，
∴a＜b＜c，
故选：C．
【点评】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质
的合理运用
【变式训练1-1】、（2021·天津·高考真题）设 ，则a，b，c的大小关系为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据指数函数和对数函数的性质求出 的范围即可求解.
【详解】 ， ，
， ，
， ，
.
故选：D.
【变式训练1-2】、（2022•东湖区校级三模）已知a＝log 9，b＝e0.6，c＝20.55，则a，b，c的大小关系为（
2
）
A．b＞a＞c B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．a＞c＞b
【分析】通过临界值即与函数的单调性即可比较大小．
【解答】解：因为a＝log 9＞log 8＝3，b＝e0.6＜e1≈2.7，所以a＞b．
2 2
又因为e ＞e0.55＞20.55，所以b＞c，所以选项C正确．
故选：C．
【点评】本题主要考查指数对数运算，属于简单题．
题型二:作差法或作商法比较大小
例2．（1）、（2022·全国·高三专题练习）已知 则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先用作差法及基本不等式判断 、 ，再由幂函数的性质得到 ，再令，利用导数说明函数的单调性，即可判断 、 .
【详解】解：
因为 ，即 ，
所以 ，即 ，
又 ，
令 ，则 ，所以当 时 ，当 时 ，所以
，
即 ，当且仅当 时取等号，所以 ，
令 ，则 ，所以当 时 ，
所以 在 上单调递增，显然 ，又 ，所以 ，
即 ，
所以 ，即 ；
故选：C
（2）、（2022·四川省南充高级中学模拟预测（文））已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用作差法，结合基本不等式判断 大小，再构造函数判断 与 的大小关系即可.
【详解】对 ，
因为 ，即 ，
所以 ，即 ；
对 ，又 ，令 ，则 ，所以当 时， ，当 时，
，所以 ，即 ，当且仅当 时取等号，
所以 ，令 ，则 ，所以当 时 ，所以 在 上单调递增，显然 ，又 ，即
，即 ，所以 ，即 .
故选：C
【变式训练2-1】、（2022·吉林·长春吉大附中实验学校模拟预测）已知 ， ， ，
则 、 、 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】构造函数 ，其中 ，利用导数分析函数 的单调性，可判断 、 的大小关系，
利用作差法结合基本不等式可判断 、 的大小关系.
【详解】构造函数 ，其中 ，则 ，
所以，函数 在 上为减函数，
所以， ，即 ，则 ，
，
因此， .
故选：D.
【变式训练2-2】、（2018•新课标Ⅲ）设a＝log 0.3，b＝log 0.3，则（ ）
0.2 2
A．a+b＜ab＜0 B．ab＜a+b＜0 C．a+b＜0＜ab D．ab＜0＜a+b
【分析】法二、利用作商法，结合对数的运算性质分析得答案．
法一、直接利用对数的运算性质化简即可得答案．
【解答】解：法一、∵ ＝log 2+log 0.2
0.3 0.3
＝log （2×0.2）＝log 0.4∈（0，1），
0.3 0.3
且a＝log 0.3∈（0，1），b＝log 0.3＜0，
0.2 2
∴ab＜0，可得a+b＜0，结合 ，可得ab＜a+b＜0．
故选：B．
法二、∵a＝log 0.3＝ ，b＝log 0.3＝ ，
0.2 2
∴ ＝ ，
，
∵ ， ，
∴ab＜a+b＜0．
故选：B．
【点评】本题考查了对数值大小的比较，考查了对数的运算性质，是中档题．
题型三:利用函数的单调性比较大小
例3．（1）、（2022·四川巴中·模拟预测（理））已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据式子的结构两边取对数后构造函数 及 ，再利用单调
性可求解
【详解】由 ， ，可得 ，则 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递减，又 ，
所以当 时， ，
所以 ，所以 在 上单调递减，从而 ，
所以 ，即 ，从而可知 .
由 ， ,可得 ，则 ，令 ，则 ，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递减，又 ，
所以当 时， ，
所以 ，所以 在 上单调递减，从而 ，
所以 ，即 ，从而可知 .
综上可得 .
故选：C
（2）、（2022·云南民族大学附属中学模拟预测（理））已知 ，则下列
结论正确的是（ ）
A．b＞c＞a B．a＞b＞c
C．b＞a＞c D．c＞b＞a
【答案】D
【分析】由对数函数的性质可比较出 的大小，再构造函数 ，利用导数求出其单调区间，从
而可比较出 的大小和 的大小，从而可得结果
【详解】 ， ，由于 ，所以 ，
设 ，则 ，当 时， ，当 时， ，
所以f（x）在 单调递增，在 上单调递减，所以 ，
即 ，即 ，所以 ，
得： ，即 ，
又 ，所以 ，得： ，即 ，
综上： ，
故选：D
【变式训练3-1】、（2022·江西师大附中三模（理））设 ．则a，b，c大小关系是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据自然常数的定义和指数幂的运算性质可知 、 ，构造函数 ，利用导数研究函数的单调性可得 ，进而可得 ，即可得出结果.
【详解】由 ，故 ；
，故 ；
假设 ，有 ，
令 ，则 ，所以 在 上单调递增，
而 ，则 ，所以 成立， ；
故 ．
故选：A．
【变式训练3-2】、（2022·河南·三模（理））已知 ， ， ，则下列结论正确的
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】构造函数 ，研究其单调性，进行比较大小.
【详解】 ， ，由于 ，所以 ，
设 ，则 ，当 时， ，当 时， ，
所以 在 单调递增，在 上单调递减，
所以 ，即 ，
所以 ，两边同乘以3得： ，即 ，
又 ，
所以 ，两边同乘以2得： ，即 ，
综上： .
故选：A
题型四:高考压轴题目
例4．（2020·全国·高考真题（理））已知55<84，134<85．设a=log 3，b=log 5，c=log 8，则（ ）
5 8 13
A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b
【答案】A【分析】由题意可得 、 、 ，利用作商法以及基本不等式可得出 、 的大小关系，由 ，
得 ，结合 可得出 ，由 ，得 ，结合 ，可得出 ，综合可得出 、
、 的大小关系.
【详解】由题意可知 、 、 ，
， ；
由 ，得 ，由 ，得 ， ，可得 ；
由 ，得 ，由 ，得 ， ，可得 .
综上所述， .
故选：A.
【点睛】本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应
用，考查推理能力，属于中等题.
【变式训练4-1】、（2022·云南民族大学附属中学模拟预测（理））设 ， ， ，
则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】用作商法比较 的大小，通过比较b与0.8,c与0.8的大小比较b,c的大小，从而得a,b,c的大小.
【详解】解： ，
；
， ， ， ；
， ， ， ，
综上， ．
故选： ．五、分层训练
A组 基础巩固
1．（2022·辽宁·高三期中）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分别判断出 的范围即可.
【详解】因为 ， ， ，所以 ．
故选：D
2．（2022·吉林·扶余市第一中学高一期中）若 ， ， ，则a，b，c的大小关系为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据对数函数的单调性以及指数幂的性质即可求解.
【详解】由于对数函数 单调递增，且 ，故 ，∴ ，∵ ，
，∴ ．
故选：D
3．（2022·江苏淮安·高三期中）已知 ， ，则 （ ）
A．25 B．5 C． D．
【答案】D
【分析】将 转化为指数式，然后代入目标式，利用指数的运算性质计算即可.
【详解】由 得 ，即 ，
故选：D.
4．（2022·山东青岛·高一期中）设 ，则a，b，c的大小关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由题意利用指数函数､幂函数的单调性，得出结论．【详解】解：∵ ，
函数 是增函数， ，∴ ，∴ ，且
又 ，即 ，
综上可得， ，
故选：C.
5．（2022·山东·青岛二中分校高一期中）已知 ， ， ，则a，b，c的大小关系为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据指数函数的单调性比较大小．
【详解】∵ 是减函数， ，
所以 ，
又 ，
∴ ．
故选：C．
6．（2022·江苏·星海实验中学高一期中）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先由三个实数的初值比较大小排除一些答案，在进一步比较，从而得出结果.
【详解】因为 ， ，
所以 的值最小，C,D错误，
又
所以
所以
故选：A.
7．（2022·安徽·高二开学考试）已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．【答案】C
【分析】通过指数函数和对数函数的单调性，得到 ， ， ，即得到答案.
【详解】根据对数函数单调性知 ， ，即 ，根据指数函数
单调性知 ，
即 ， ．
故选：C．
8．（2022·贵州·模拟预测（文））已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用指数函数 与对数函数 的性质即可比较a，b，c的大小．
【详解】∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
故选：D.
9．（2022·黑龙江·密山市第四中学高三阶段练习）已知 ，则下列关系正
确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据指数函数的单调性、对数函数的知识求得正确答案.
【详解】 ，
由于 在 上递增，所以 ，即 ，
，
所以 ，即 .
故选：A
10．（2022·浙江·高一期中）设 ， ， ，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．【答案】C
【分析】根据指数幂的运算，幂函数及对数函数的性质即得.
【详解】 ， ， ，
，
，又 ，
故选：C.B组 能力提升
11．（2022·河南河南·一模（文））已知 ，则这三个数的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】构造函数 ，利用导数法研究单调性，并利用单调性可比较 ，在同一坐标系
中作出 与 的图象，结合图象与幂函数的性质可比较 ，即可求解
【详解】令 ，则 ，
由 ，解得 ，由 ，解得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减；
因为 ，
所以 ，即 ，
所以 ，所以 ，
又 递增，
所以 ，即 ；
，
在同一坐标系中作出 与 的图象，如图：
由图象可知在 中恒有 ，
又 ，所以 ，又 在 上单调递增，且
所以 ，即 ；
综上可知： ，
故选：A
12．（2022·四川雅安·模拟预测（理））设 ， ， ，则a，b，c的大小关系正
确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，构造函数 ，利用导数探讨单调性判断b，c大小，
构造函数 ，利用导数探讨单调性判断c，a大小作答.
【详解】令 ，求导得 ，显然 ，而
，
则有 ，即函数 在 上单调递增， ，即当 时， ，
取 ，于是得 ，因此 ，
令 ，求导得 ，
显然 在 上单调递减， ，
即 ，函数 在 上单调递增， ，即当 时， ，
取 ，于是得 ，即 ，
所以a，b，c的大小关系是 .
故选：C
【点睛】思路点睛：某些数或式大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓
住其本质，构造函数，分析并运用函数的单调性解题，它能起到化难为易、化繁为简的作用.13．（2022·湖南·模拟预测）若 ，（ ）试比较 的大小关系
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先估算出 ，进而求出 的范围，再由 求出 的范围，最后构造函数估算出 即可求解.
【详解】由 得 ，故 ，又 ，故
，
由常用数据得 ，下面说明 ，令 ，
，
当 时， ， 单增，当 时， ， 单减，则 ，
则 ，则 ，
，
令 ，则 ， ，
，则 ，综上， .
故选：D.
【点睛】本题主要考查指数对数的大小比较，关键点在于通过构造函数求出 的范围，放缩得到
，再由 和 结合
即可求解.
14．（2022·河南·三模（理））已知 ， ， ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】构造函数 ，研究其单调性，进行比较大小.
【详解】 ， ，由于 ，所以 ，
设 ，则 ，当 时， ，当 时， ，
所以 在 单调递增，在 上单调递减，
所以 ，即 ，
所以 ，两边同乘以3得： ，即 ，
又 ，
所以 ，两边同乘以2得： ，即 ，
综上： .
故选：A
15．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（文））若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由对数函数的性质可知 ， ，又 ， ，所以构造函数
，再利用函数 的单调性比较 ， 的大小即可．
【详解】 ， ， ，
， ，
， ，
构造函数 ，
显然函数 在 上单调递增，
又 ，
，即 ，
，
故选： ．
16．（2021·安徽·合肥市第六中学模拟预测（理））已知 ， ， ，则 ， ，
的大小关系为（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用比较法，结合基本不等式、对数换底公式比较出 的大小关系，再通过构造函数
，利用导数的性质比较出 的大小关系即可.
【详解】 ，
因为 ，所以有：
，
所以 ，
，设 ， ，
当 时， ，所以 在 上单凋递减，
因此 ，即 ， ， ， ， ，所以 ，综
上可知 .
故选：C.
【点睛】关键点睛：通过构造函数的方法确定 的大小是解题的关键.C组 真题实战练
17．（2021·广西师范大学附属外国语学校模拟预测（理））已知 ， ， ， ，
则 、 、 、 的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】利用对数函数的单调性比较 、 、 与 的大小关系，利用中间值法判断出 、 的大小关系，
综合可得出 、 、 、 的大小关系.
【详解】 ， ， ，
， ，则 ，
， ，则 ，
因此， .
故选：D.
【点睛】思路点睛：解答比较函数值大小问题，常见的思路有两个：
（1）判断各个数值所在的区间；
（2）利用函数的单调性直接解答.
18．（2022·全国·高考真题（文））已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知 ，再利用基本不等式，换底公式
可得 ， ，然后由指数函数的单调性即可解出．
【详解】［方法一］：（指对数函数性质）
由 可得 ，而 ，所以 ，
即 ，所以 .
又 ，所以 ，即 ，
所以 .综上， .
［方法二］：【最优解】（构造函数）
由 ，可得 ．根据 的形式构造函数 ，则 ，
令 ，解得 ，由 知 .
在 上单调递增，所以 ，即 ，
又因为 ，所以 .
故选：A.
【整体点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通
法；
法二：利用 的形式构造函数 ，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该
题的最优解．
19．（2020·全国·高考真题（文））设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分别将 , 改写为 ， ，再利用单调性比较即可.
【详解】因为 ， ，
所以 .
故选：A.
【点晴】本题考查对数式大小的比较，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题.
20．（2018·天津·高考真题（文））已知 ，则 的大小关系为
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】分析：由题意结合对数的性质，对数函数的单调性和指数的性质整理计算即可确定a,b,c的大小关
系.
详解：由题意可知： ，即 ， ，即 ，
，即 ，综上可得： .本题选择D选项.
点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数
不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，
若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指
数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．
21．（2020·全国·高考真题（理））已知55<84，134<85．设a=log 3，b=log 5，c=log 8，则（ ）
5 8 13A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b
【答案】A
【分析】由题意可得 、 、 ，利用作商法以及基本不等式可得出 、 的大小关系，由 ，
得 ，结合 可得出 ，由 ，得 ，结合 ，可得出 ，综合可得出 、
、 的大小关系.
【详解】由题意可知 、 、 ，
， ；
由 ，得 ，由 ，得 ， ，可得 ；
由 ，得 ，由 ，得 ， ，可得 .
综上所述， .
故选：A.
【点睛】本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应
用，考查推理能力，属于中等题.
22．（2021·全国·高考真题（理））设 ， ， ．则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b的大小作出判定，对于a与c，b与c的大小关系，
将0.01换成x,分别构造函数 , ，利用导数分析其在
0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合f(0)=0,g(0)=0即可得出a与c，b与c的大小关系.
【详解】[方法一]：
，
所以 ；
下面比较 与 的大小关系.
记 ，则 ， ，
由于
所以当0<x<2时， ，即 ， ，
所以 在 上单调递增，所以 ，即 ，即 ；
令 ，则 ， ，
由于 ，在x>0时， ，
所以 ，即函数 在[0，+∞)上单调递减，所以 ，即 ，即
b<c；
综上， ，
故选：B.
[方法二]：
令
，即函数 在（1，+∞)上单调递减
令
，即函数 在（1，3)上单调递增
综上， ，
故选：B.
【点睛】本题考查比较大小问题，难度较大，关键难点是将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，
利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小，这样的问题，凭借近似估计计算往往是无法解决的.
