文档内容
专题 01 指对幂比较大小
一、核心先导
二、考点再现
【考点1】指数函数
y=ax (a>0,a≠1)
1.定义：函数 叫做指数函数，定义域为 .
2.性质：
a>1 00,a≠1)
1.定义：函数 a 叫做对数函数，定义域是 .2.性质：
a>1 01,log x>0 01,log x<0 00
（5） a ； a （5） a ； a
；
【考点3】幂函数
1、幂函数定义
一般地，形如 的函数称为幂函数，其中 是自变量， 是常数．
2、五种常见幂函数
函数
图象
定义域
值域
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数
性 在 上
在 和
质 在 上单 单调递减； 在 上单调 在 上单
单调性 上单
调递增 在 上 递增 调递增
调递减
单调递增
公共点
3、幂函数性质（高频考点）
幂函数 ，在
①当 时， 在 单调递增；②当 时， 在 单调递减；
三、解法解密
方法一：放缩法
1、对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数
2、指数和幂函数结合来放缩。
3、利用均值不等式等不等关系放缩
4、“数值逼近”是指一些无从下手的数据，如果分析会发现非常接近某些整数（主要是整数多一些），那
么可以以该“整数”为变量，构造四舍五入函数关系，2021年全国卷乙卷第12题即是此思维.
方法二：作差法、作商法
1. 一般情况下，作差或者做商，可处理底数不一样的的对数比大小
2. 作差或者做商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧和方法解
方法三：构造函数，运用函数的单调性比较
学习和积累“构造函数比大小”，要先从此处入手，通过这个函数，学习观察，归纳，总结“同构”规律，
还要进一步总结“异构”规律，为后续积累更复杂的“构造函数”能力做训练.
构造函数，.观察总结“同构”规律，许多时候，三个数比较大小，可能某一个数会被刻意的隐藏了“同构”规
律，所以可以优先从结构最接近的两个数规律.
1.对于抽象函数，可以借助中心对称、轴对称、周期等性质来“去除f（）外衣”比较大小；
2.有解析式函数，可以通过函数性质或者求导等，寻找函数单调性对称性，以用于比较大小.
四、考点解密
题型一:简单放缩比较大小
例1．（1）、（2022·天津·高考真题）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用幂函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出 、 、 的大小关系.
【详解】因为 ，故 .
故答案为：C.
（2）、（2022•天津模拟）设 ，b＝0.50.8，c＝0.8﹣0.5，则a、b、c的大小关系为（ ）
A．c＜b＜a B．b＜a＜c C．a＜b＜c D．c＜a＜b
【分析】利用对数函数的单调性可判断 ＜0.5，再利用指数函数的单调性判断b、c即可．【解答】解：∵ ＜ln ＝0.5，
0.5＝0.51＜0.50.8＜0.50＝1，
即0.5＜b＜1，
c＝0.8﹣0.5＞0.80＝1，
∴a＜b＜c，
故选：C．
【点评】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质
的合理运用
【变式训练1-1】、（2021·天津·高考真题）设 ，则a，b，c的大小关系为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据指数函数和对数函数的性质求出 的范围即可求解.
【详解】 ， ，
， ，
， ，
.
故选：D.
【变式训练1-2】、（2022•东湖区校级三模）已知a＝log 9，b＝e0.6，c＝20.55，则a，b，c的大小关系为（
2
）
A．b＞a＞c B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．a＞c＞b
【分析】通过临界值即与函数的单调性即可比较大小．
【解答】解：因为a＝log 9＞log 8＝3，b＝e0.6＜e1≈2.7，所以a＞b．
2 2
又因为e ＞e0.55＞20.55，所以b＞c，所以选项C正确．
故选：C．
【点评】本题主要考查指数对数运算，属于简单题．
题型二:作差法或作商法比较大小
例2．（1）、（2022·全国·高三专题练习）已知 则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先用作差法及基本不等式判断 、 ，再由幂函数的性质得到 ，再令，利用导数说明函数的单调性，即可判断 、 .
【详解】解：
因为 ，即 ，
所以 ，即 ，
又 ，
令 ，则 ，所以当 时 ，当 时 ，所以
，
即 ，当且仅当 时取等号，所以 ，
令 ，则 ，所以当 时 ，
所以 在 上单调递增，显然 ，又 ，所以 ，
即 ，
所以 ，即 ；
故选：C
（2）、（2022·四川省南充高级中学模拟预测（文））已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用作差法，结合基本不等式判断 大小，再构造函数判断 与 的大小关系即可.
【详解】对 ，
因为 ，即 ，
所以 ，即 ；
对 ，又 ，令 ，则 ，所以当 时， ，当 时，
，所以 ，即 ，当且仅当 时取等号，
所以 ，令 ，则 ，所以当 时 ，所以 在 上单调递增，显然 ，又 ，即
，即 ，所以 ，即 .
故选：C
【变式训练2-1】、（2022·吉林·长春吉大附中实验学校模拟预测）已知 ， ， ，
则 、 、 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】构造函数 ，其中 ，利用导数分析函数 的单调性，可判断 、 的大小关系，
利用作差法结合基本不等式可判断 、 的大小关系.
【详解】构造函数 ，其中 ，则 ，
所以，函数 在 上为减函数，
所以， ，即 ，则 ，
，
因此， .
故选：D.
【变式训练2-2】、（2018•新课标Ⅲ）设a＝log 0.3，b＝log 0.3，则（ ）
0.2 2
A．a+b＜ab＜0 B．ab＜a+b＜0 C．a+b＜0＜ab D．ab＜0＜a+b
【分析】法二、利用作商法，结合对数的运算性质分析得答案．
法一、直接利用对数的运算性质化简即可得答案．
【解答】解：法一、∵ ＝log 2+log 0.2
0.3 0.3
＝log （2×0.2）＝log 0.4∈（0，1），
0.3 0.3
且a＝log 0.3∈（0，1），b＝log 0.3＜0，
0.2 2
∴ab＜0，可得a+b＜0，结合 ，可得ab＜a+b＜0．
故选：B．
法二、∵a＝log 0.3＝ ，b＝log 0.3＝ ，
0.2 2
∴ ＝ ，
，
∵ ， ，
∴ab＜a+b＜0．
故选：B．
【点评】本题考查了对数值大小的比较，考查了对数的运算性质，是中档题．
题型三:利用函数的单调性比较大小
例3．（1）、（2022·四川巴中·模拟预测（理））已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据式子的结构两边取对数后构造函数 及 ，再利用单调
性可求解
【详解】由 ， ，可得 ，则 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递减，又 ，
所以当 时， ，
所以 ，所以 在 上单调递减，从而 ，
所以 ，即 ，从而可知 .
由 ， ,可得 ，则 ，令 ，则 ，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递减，又 ，
所以当 时， ，
所以 ，所以 在 上单调递减，从而 ，
所以 ，即 ，从而可知 .
综上可得 .
故选：C
（2）、（2022·云南民族大学附属中学模拟预测（理））已知 ，则下列
结论正确的是（ ）
A．b＞c＞a B．a＞b＞c
C．b＞a＞c D．c＞b＞a
【答案】D
【分析】由对数函数的性质可比较出 的大小，再构造函数 ，利用导数求出其单调区间，从
而可比较出 的大小和 的大小，从而可得结果
【详解】 ， ，由于 ，所以 ，
设 ，则 ，当 时， ，当 时， ，
所以f（x）在 单调递增，在 上单调递减，所以 ，
即 ，即 ，所以 ，
得： ，即 ，
又 ，所以 ，得： ，即 ，
综上： ，
故选：D
【变式训练3-1】、（2022·江西师大附中三模（理））设 ．则a，b，c大小关系是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据自然常数的定义和指数幂的运算性质可知 、 ，构造函数 ，利用导数研究函数的单调性可得 ，进而可得 ，即可得出结果.
【详解】由 ，故 ；
，故 ；
假设 ，有 ，
令 ，则 ，所以 在 上单调递增，
而 ，则 ，所以 成立， ；
故 ．
故选：A．
【变式训练3-2】、（2022·河南·三模（理））已知 ， ， ，则下列结论正确的
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】构造函数 ，研究其单调性，进行比较大小.
【详解】 ， ，由于 ，所以 ，
设 ，则 ，当 时， ，当 时， ，
所以 在 单调递增，在 上单调递减，
所以 ，即 ，
所以 ，两边同乘以3得： ，即 ，
又 ，
所以 ，两边同乘以2得： ，即 ，
综上： .
故选：A
题型四:高考压轴题目
例4．（2020·全国·高考真题（理））已知55<84，134<85．设a=log 3，b=log 5，c=log 8，则（ ）
5 8 13
A．a0时， ，
所以 ，即函数 在[0，+∞)上单调递减，所以 ，即 ，即
b
