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微重点 3 导数中的函数构造问题
导数中的函数构造问题是高考考查的一个热点内容，经常以客观题出现，同构法构造函
数也常在解答题中出现，通过已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、
解不等式、恒成立等问题．
考点一 导数型构造函数
考向1 利用f(x)与x构造
例1 (2022·苏州质检)已知函数f(x)满足f(x)＝f(－x)，且当x∈(－∞，0]时，f(x)＋xf′(x)<0
成立，若a＝20.6·f(20.6)，b＝ln 2·f(ln 2)，c＝log ·f ，则a，b，c的大小关系是( )
2
A．a>b>c B．c>b>a
C．a>c>b D．c>a>b
规律方法 (1)出现nf(x)＋xf′(x)的形式，构造函数F(x)＝xnf(x)；
(2)出现xf′(x)－nf(x)的形式，构造函数F(x)＝.
跟踪演练1 (2022·深圳检测)已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足xf′(x)－f(x)<0，且f(2)
＝2，则f(ex)－ex≥0的解集是_________________________________________．
考向2 利用f(x)与ex构造
例2 (2022·枣庄质检)已知f(x)为定义在R上的可导函数，f′(x)为其导函数，且f(x)<f′(x)
恒成立，其中e是自然对数的底数，则( )
A．f(2 022)<ef(2 023)
B．ef(2 022)<f(2 023)
C．ef(2 022)＝f(2 023)
D．ef(2 022)>f(2 023)
规律方法 (1)出现f′(x)＋nf(x)的形式，构造函数F(x)＝enxf(x)；
(2)出现f′(x)－nf(x)的形式，构造函数F(x)＝.
跟踪演练2 (2022·成都模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f′(x)>0，且f(3)＝3，则
f(x)>3e3－x的解集为________．
考向3 利用f(x)与sin x，cos x构造
例3 偶函数f(x)的定义域为，其导函数为f′(x)，若对任意的x∈，
有f′(x)cos x<f(x)sin x成立，则关于x的不等式2f(x)<的解集为________．
规律方法 函数f(x)与sin x，cos x相结合构造可导函数的几种常见形式
(1)F(x)＝f(x)sin x，
F′(x)＝f′(x)sin x＋f(x)cos x；
(2)F(x)＝，
F′(x)＝；(3)F(x)＝f(x)cos x，
F′(x)＝f′(x)cos x－f(x)sin x；
(4)F(x)＝，
F′(x)＝.
跟踪演练3 已知奇函数f(x)的导函数为f′(x)，且f(x)在上恒有<成立，则下列不等式成立的
是( )
A.f >f
B．f <f
C.f <f
D.f <f
考点二 同构法构造函数
例4 已知a>0，若在(1，＋∞)上存在x使得不等式ex－x≤xa－aln x成立，则a的最小值为
________．
规律方法 指对同构，经常使用的变换形式有两种，一种是将x变成ln ex，然后构造函数；
另一种是将x变成eln x，然后构造函数．
跟踪演练4 已知a>0，b>0，且(a＋1)b＋1＝(b＋3)a，则( )
A．a>b＋1 B．a<b＋1
C．a<b－1 D．a>b－1
