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第 4 讲 导数的几何意义及函数的单调性
[考情分析] 1.导数的几何意义和计算是导数应用的基础，是高考的热点，多以选择题、填
空题的形式考查，难度较小.2.应用导数研究函数的单调性，是导数应用的重点内容，也是高
考的常见题型，以选择题、填空题的形式考查，或为导数解答题第一问，难度中等偏上，属
综合性问题．
考点一 导数的几何意义与计算
核心提炼
导数的几何意义
(1)函数在某点的导数即曲线在该点处的切线的斜率．
(2)曲线在某点的切线与曲线过某点的切线不同．
(3)切点既在切线上，又在曲线上．
例1 (1)(2022·焦作模拟)函数f(x)＝(2ex－x)·cos x的图象在x＝0处的切线方程为( )
A．x－2y＋1＝0 B．x－y＋2＝0
C．x＋2＝0 D．2x－y＋1＝0
(2)(2022·新高考全国Ⅰ)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则 a的取值范围是
________．
易错提醒 求曲线的切线方程要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过
点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必
以点P为切点．
跟踪演练 1 (1)(2022·新高考全国Ⅱ)曲线 y＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为
__________，____________.
(2)(2022·衡水模拟)动直线l分别与直线y＝2x－1，曲线y＝x2－ln x相交于A，B两点，则|
AB|的最小值为( )
A. B. C．1 D.
考点二 利用导数研究函数的单调性
核心提炼
利用导数研究函数单调性的步骤
(1)求函数y＝f(x)的定义域；
(2)求f(x)的导数f′(x)；
(3)求出f′(x)的零点，划分单调区间；
(4)判断f′(x)在各个单调区间内的符号．
例2 设函数f(x)＝(x－2)ex＋ax2－ax，讨论f(x)的单调性．
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规律方法 (1)讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要忽视了定义域的限制；
(2)在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时，依据根的大小进行分类讨论；
(3)在不能通过因式分解求出根的情况时，根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论．
跟踪演练2 (2022·北京模拟)已知函数f(x)＝.
(1)当t＝2时，求f(x)在x＝1处的切线方程；
(2)求f(x)的单调区间．
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考点三 单调性的简单应用
核心提炼
1．函数f(x)在区间D上单调递增(或递减)，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)在x∈D上恒成
立．
2．函数f(x)在区间D上存在单调递增(或递减)区间，可转化为f′(x)>0(或f′(x)<0)在x∈D
上有解．
例3 (1)若函数f(x)＝ex(cos x－a)在区间上单调递减，则实数a的取值范围是( )
A．(－，＋∞) B．(1，＋∞)
C．[1，＋∞) D．[，＋∞)
(2)(2022·全国甲卷)已知9m＝10，a＝10m－11，b＝8m－9，则( )
A．a＞0＞b B．a＞b＞0
C．b＞a＞0 D．b＞0＞a
规律方法 利用导数比较大小或解不等式的策略
利用导数比较大小或解不等式，常常要构造新函数，把比较大小或求解不等式的问题，转化
为利用导数研究函数单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式．
跟踪演练3 (1)已知a＝e0.02，b＝1.02，c＝ln 2.02，则( )
A．c>a>b B．a>b>c
C．a>c>b D．b>a>c
(2)已知变量x ，x∈(0，m)(m>0)，且x
