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第 5 讲 函数的极值、最值
[考情分析] 利用导数研究函数的极值、最值是重点考查内容，多以选择题、填空题压轴考
查，或以解答题的形式出现，难度中等偏上，属综合性问题．
考点一 利用导数研究函数的极值
核心提炼
判断函数的极值点，主要有两点
(1)导函数f′(x)的变号零点，即为函数f(x)的极值点．
(2)利用函数f′(x)的单调性可得函数的极值点．
例1 (2022·百师联盟联考)已知函数f(x)＝x2－(2a2－a＋1)x＋(2a－1)ln x＋2，其中a≠0.
(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间；
(2)当a>0且a≠1时，f(x)存在一个极小值点x，若x>3.求实数a的取值范围．
0 0
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易错提醒 (1)不能忽略函数的定义域．
(2)f′(x)＝0是可导函数f(x)在x＝x 处取得极值的必要不充分条件，即f′(x)的变号零点才
0 0
是f(x)的极值点，所以判断f(x)的极值点时，除了找f′(x)＝0的实数根x 外，还需判断f(x)
0
在x 左侧和右侧的单调性．
0
(3)函数的极小值不一定比极大值小．
跟踪演练1 (1)(2021·全国乙卷)设a≠0，若x＝a为函数f(x)＝a(x－a)2(x－b)的极大值点，则
( )
A．a<b B．a>b
C．ab<a2 D．ab>a2
(2)(2022·安康模拟)若函数f(x)＝ex－ax2－2ax有两个极值点，则实数a的取值范围为( )
A. B.
C. D.
考点二 利用导数研究函数的最值
核心提炼
1．求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤
(1)求函数在(a，b)内的极值．
(2)求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)．(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
2．若函数含有参数或区间含有参数，则需对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到
函数的最值．
例2 (1)(2022·全国甲卷)当x＝1时，函数f(x)＝aln x＋取得最大值－2，则f′(2)等于( )
A．－1 B．－ C. D．1
(2)已知函数f(x)＝若f(x)＝f(x)且x<x，则x－x 的最小值为( )
1 2 1 2 2 1
A．2－ln 2 B．e
C．2 D.
易错提醒 (1)求函数最值时，不可想当然地认为极值就是最值，要通过比较大小才能下结
论．
(2)求函数无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值，还需研究单调性，结合单调性
和极值情况，画出函数图象，借助图象得到函数的最值．
跟踪演练2 (1)(2022·全国乙卷)函数f(x)＝cos x＋(x＋1)sin x＋1在区间[0,2π]的最小值、最
大值分别为( )
A．－， B．－，
C．－，＋2 D．－，＋2
(2)(2022·芜湖模拟)已知关于x的不等式x3－ax2≥ln x恒成立，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，1] B．(0,1]
C. D．(－∞，0]
考点三 极值、最值的简单应用
例3 (2022·杭州模拟)已知函数f(x)＝ax2－2x＋ln x有两个不同的极值点x ，x ，若不等式
1 2
f(x)＋f(x)≤t恒成立，则实数t的最小值为________．
1 2
易错提醒 方程、不等式恒成立，有解问题都可用分离参数法．分离参数时，等式或不等式
两边符号变化以及除数不能等于0，易忽视．
跟踪演练3 若函数f(x)＝x2＋a2＋bln x(a，b∈R)有极小值，且极小值为0，则a2－b的最小
值为( )
A．e B．2e
C. D．－
