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微重点 1 函数的新定义问题
函数的“新定义”问题，是近几年高考试题或模拟试题中出现的一种函数创新试题，一
般是以“新定义型”函数的定义或性质为载体，考查函数的定义、性质、运算等，考查学生
的创新能力和运用数学知识综合解决问题的能力．
考点一 特征函数
考向1 高斯函数
例1 (2022·长治模拟)已知函数f(x)＝x－[x]([x]表示不超过x的最大整数，例如[1.5]＝1，
[－0.5]＝－1)，则以下关于f(x)的性质说法错误的是( )
A．f(x)是R上的增函数
B．f(x)是周期函数
C．f(x)是非奇非偶函数
D．f(x)的值域是[0,1)
考向2 狄利克雷函数
例2 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，他是解析数论的创始人之一，以其名
字命名的函数f(x)＝称为狄利克雷函数，则关于函数f(x)，下列说法正确的是( )
A．f(x)的定义域为{0,1}
B．f(x)的值域为[0,1]
C．∃x∈R，f(f(x))＝0
D．任意一个非零有理数T，f(x＋T)＝f(x)对任意x∈R恒成立
考向3 黎曼函数
例3 (2022·新乡模拟)黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家波恩哈德·黎曼发现并提
出，在高等数学中有着广泛的应用．黎曼函数定义在[0,1]上，其解析式如下：R(x)＝
若函数f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意x都有f(2＋x)＋f(2－x)＝0，当x∈[0,1]时，f(x)
＝R(x)，则f(2 022)＋f ＝________.
考向4 欧拉函数
例4 (2022·重庆八中调研)若正整数m，n的公约数只有1，则称m，n互质．对于正整数
n，φ(n)是小于或等于n的正整数中与n互质的数的个数，例如：φ(3)＝2，φ(7)＝6，φ(9)＝
6，函数φ(n)以其首位研究者欧拉命名，称为欧拉函数，则下列说法正确的是( )
A．φ(5)＝φ(10)
B．φ(2n－1)＝1
C．φ(32)＝15
D．φ(2n＋2)>φ(2n)，n∈N*
规律方法 以某些特殊函数为背景考查函数的基本概念及应用时，关键是理解函数的实质，与熟悉的函数类比，通过赋特殊值或数形结合解决．
跟踪演练1 (1)(2022·东北师大附中模拟)已知符号函数sgn x＝偶函数f(x)满足f(x＋2)＝
f(x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则( )
A．sgn[f(x)]>0
B．f ＝1
C．sgn[f(2k＋1)]＝1(k∈Z)
D．sgn[f(k)]＝|sgn k|(k∈Z)
(2)(2022·滁州模拟)双曲函数是一类与三角函数类似的函数，在物理学众多领域中有着广泛
的实际应用．最基本的双曲函数是双曲正弦函数sin hx＝和双曲余弦函数cos hx＝.令f(x)＝
sin hxcos hx，得到下面的结论：
①f(x)为偶函数；
②f(x)为奇函数；
③f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
④f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
其中正确的是( )
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
考点二 “新定义”函数的性质、运算法则等
例5 (1)(2022·德州质检)定义在区间(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f(x)，如果对于任意给定
的等比数列{a}，{f(a)}仍是等比数列，则称f(x)为“保等比数列函数”．现有定义在(－∞，
n n
0)∪(0，＋∞)上的如下函数：
①f(x)＝x3；②f(x)＝2x；③f(x)＝|x|；④f(x)＝ln|x|.则其中是“保等比数列函数”的为( )
A．①② B．③④
C．①③ D．②④
(2)函数y＝g(x)在区间[a，b]上连续，对[a，b]上任意两点x 与x ，有g<时，我们称函数g(x)
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在[a，b]上“严格上凹”，称函数g(x)在[a，b]上为“凹函数”，若用导数的知识可以简单
地解释为原函数的导函数的导函数(二阶导函数)在给定区间内恒为正，即g″(x)>0.则下列函
数中在所给定义域上“严格上凹”的是( )
A．f(x)＝log x(x>0)
2
B．f(x)＝＋x
C．f(x)＝－x3＋2x
D．f(x)＝sin x－x2(0
