文档内容
专题 10-2 不等式选讲题型归类
目录
讲高考................................................................................................................................................................................1
题型全归纳.......................................................................................................................................................................6
【题型一】绝对值不等式恒成立求参....................................................................................................................6
【题型二】绝对值三角不等式应用........................................................................................................................9
【题型三】绝对值不等式给解集求参数.............................................................................................................11
【题型四】绝对值不等式与均值不等式.............................................................................................................13
【题型五】柯西不等式型证明...............................................................................................................................15
【题型六】柯西不等式求最值与参数.................................................................................................................18
【题型七】三元不等式证明....................................................................................................................................20
【题型八】利用三元不等式求最值......................................................................................................................23
【题型九】分析法证明不等式...............................................................................................................................25
【题型十】综合法证明不等式...............................................................................................................................27
专题训练.........................................................................................................................................................................30
讲高考
1．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）已知a，b，c都是正数，且 ，
证明：
(1) ；
(2) ；
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【分析】（1）利用三元均值不等式即可证明；
（2）利用基本不等式及不等式的性质证明即可．
【详解】（1）证明：因为 ， ， ，则 ， ， ，
所以 ，
即 ，所以 ，当且仅当 ，即 时取等号．
（2）证明：因为 ， ， ，
所以 ， ， ，
所以 ， ，
当且仅当 时取等号．
2．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）已知a，b，c均为正数，且 ，
证明：
(1) ；
(2)若 ，则 ．【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】（1）方法一：根据 ，利用柯西不等式即可得证；
（2）由（1）结合已知可得 ，即可得到 ，再根据权方和不等式即可
得证.
【详解】（1）[方法一]：【最优解】柯西不等式
由柯西不等式有 ，
所以 ，当且仅当 时，取等号，所以 .
[方法二]：基本不等式
由 ， ， ，
，
当且仅当 时，取等号，所以 .
（2）证明：因为 ， ， ， ，由（1）得 ，
即 ，所以 ，
由权方和不等式知 ，
当且仅当 ，即 ， 时取等号，
所以 .
【点睛】（1）方法一：利用柯西不等式证明，简洁高效，是该题的最优解；
方法二：对于柯西不等式不作为必须掌握内容的地区同学，采用基本不等式累加，也是不
错的方法．
3．已知函数 .
（1）求 的值；
（2）求 ，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】（1）根据分段函数的解析式，代入计算即可；
（2）先判断 的取值范围，再代入分段函数解析式，得到 的具体不等式写
法，解不等式即可.
【详解】解：（1）因为 ，
所以 ，因为 ，
所以 .
（2）因为 ，
则 ，
因为 ，所以 ，
即 ，解得 .
4．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）已知函数 ．（1）画出 和 的图像；
（2）若 ，求a的取值范围．
【答案】（1）图像见解析；（2）
【分析】（1）分段去绝对值即可画出图像；
（2）根据函数图像数形结和可得需将 向左平移可满足同角，求得 过
时 的值可求.
【详解】（1）可得 ，画出图像如下：
，画出函数图像如下：（2） ，
如图，在同一个坐标系里画出 图像，
是 平移了 个单位得到，
则要使 ，需将 向左平移，即 ，
当 过 时， ，解得 或 （舍去），
则数形结合可得需至少将 向左平移 个单位， .
【点睛】关键点睛：本题考查绝对值不等式的恒成立问题，解题的关键是根据函数图像数
形结合求解.
5．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）已知函数 ．
（1）当 时，求不等式 的解集;
（2）若 ，求a的取值范围．
【答案】（1） .（2） .
【分析】（1）利用绝对值的几何意义求得不等式的解集.
（2）利用绝对值不等式化简 ，由此求得 的取值范围.
【详解】（1）[方法一]：绝对值的几何意义法当 时， ， 表示数轴上的点到 和 的距离之和，
则 表示数轴上的点到 和 的距离之和不小于 ，
当 或 时所对应的数轴上的点到 所对应的点距离之和等于6，
∴数轴上到 所对应的点距离之和等于大于等于6得到所对应的坐标的范围是 或
，
所以 的解集为 .
[方法二]【最优解】：零点分段求解法
当 时， ．
当 时， ，解得 ；
当 时， ，无解；
当 时， ，解得 ．
综上， 的解集为 ．
（2）[方法一]：绝对值不等式的性质法求最小值
依题意 ，即 恒成立，
，
当且仅当 时取等号，
,
故 ，
所以 或 ，
解得 .
所以 的取值范围是 .
[方法二]【最优解】：绝对值的几何意义法求最小值
由 是数轴上数x表示的点到数a表示的点的距离，得 ，
故 ，下同解法一.
[方法三]：分类讨论+分段函数法
当 时，
则 ，此时 ，无解．
当 时，
则 ，此时，由 得， ．综上，a的取值范围为 ．
[方法四]：函数图象法解不等式
由方法一求得 后，构造两个函数 和 ，
即 和 ，
如图，两个函数的图像有且仅有一个交点 ，
由图易知 ，则 ．
【整体点评】（1）解绝对值不等式的方法有几何意义法，零点分段法．
方法一采用几何意义方法，适用于绝对值部分的系数为1的情况，
方法二使用零点分段求解法，适用于更广泛的情况，为最优解；
（2）方法一，利用绝对值不等式的性质求得 ，利用不等式恒成立的意义得
到关于 的不等式，然后利用绝对值的意义转化求解；
方法二与方法一不同的是利用绝对值的几何意义求得 的最小值，最有简洁快速，为最
优解法
方法三利用零点分区间转化为分段函数利用函数单调性求 最小值，要注意函数
中的各绝对值的零点的大小关系，采用分类讨论方法，使用与更广泛的情况；
方法四与方法一的不同在于得到函数 的最小值后，构造关于 的函数，利用数形结合
思想求解关于 的不等式.
题型全归纳
【题型一】绝对值不等式恒成立求参
【讲题型】
例题1.已知函数 , ．
（Ⅰ）当 时,求不等式 的解集；
（Ⅱ）设 ,且当 时，都有 ,求 的取值范围．
【答案】（1） （2）试题解析：（I）当 时， ，故不等式 可化为：
或 或 解得： 所求解集为：
.
（II）当 时，由 有：
不等式 可变形为： 故 对 恒成立，即
，解得
而 ，故 . 的取值范围是：
例题2.已知函数 .（Ⅰ）当 时，求不等式 的解集；
（Ⅱ）设函数 .当 时， 恒成立，求实数 的取值范
围.
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） .
试题解析：（Ⅰ）当 时， .由 ，解得 .
所以，不等式 的解集为 .
（ Ⅱ ）
（ 当 且 仅 当 时 取 等 号 ） （ 当 且 仅 当
时取等号） .
综上，当 时， 有最小值 .故由题意得 ，解得 ，
或 .
所以，实数 的取值范围为 .【讲技巧】
【练题型】
1.已知函数 ．
（1）当 时，解不等式 ；
（2）若对于任意非零实数 以及任意实数 ，不等式 恒成立，求实数
的取值范围．
【答案】（1） .（2） .
试题解析：（1）当 时， 所以
的解集为 .
（ 2 ） 由 ， 知 ， 即
，
而 ， 所以 ，即 ，故实数 的取值
范围为 . 2.
2.已知函数 .（1）求不等式 的解集；
（2）当 时， 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1) (2)
试题解析：（1）当 时， ，∴ ，
故 ；
当 时， ，∴ ，故 ；
当 时， ，∴ ，故 ；综上可知： 的解集为 .
（2）由（1）知： ，
【解法一】如图所示：作出函数 的图象，
由图象知，当 时， ，解得： ，
∴实数 的取值范围为 .
【解法二】
当 时， 恒成立，∴ ，
当 时， 恒成立，∴ ，
当 时， 恒成立，∴ ，
综上，实数 的取值范围为 .
【题型二】绝对值三角不等式应用
【讲题型】
例题1.已知函数 ．
(1)若 ，求 的解集；
(2)若 恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）分 ， 和 三种情况求解即可，
（2）问题转化为 ，令 ，然后利用绝对值三角不等
式求出 的最小值，使 ，从而可求出实数a的取值范围.
（1）
由题知 ，即 ．当 时， ．
当 时， ，解得 ， ；
当 时， ，恒成立， ；
当 时， ，解得 ， ， 的解集为 ．
（2）由 ，即 ．
令 ，
，当且仅当 时等号成立，
， ，∴ ，
解得 或 ， 实数a的取值范围为 ．
例题2.．已知函数 .
(1)求不等式 的解集；
(2)若关于 的不等式 恒成立，求 的取值范围.【答案】(1) (2)
【分析】（1）分 ， ， 不同范围讨论，分别求解即可得到结果；
（2）根据题意转化为求 ，即可得到 ，求解不等式即可得到结果.
【详解】（1）由 ，得 ，
当 时，由 ，得 ；
当 时，由 ，得 ；
当 时，由 ，得 ，
综上所述，不等式 的解集为
（2）不等式 ，即为 ，
而 ，所以 ，解得 或 ，
所以 的取值范围是
【讲技巧】
绝对值三角不等式
||a|-|b||≤|a±b||a±b|≤|a|+|b
【练题型】
1.已知函数 ．
(1)若 ，求 的解集；
(2)若关于 的不等式 有解，求实数 的取值范围．
【答案】(1) (2) .
【分析】（1）将函数 去绝对值，转为分段函数，即可求解.
（2）不等式 ，即转化为 ，利用绝对值三角不等式化简，求得函数
的最小值即可求解.
(1)
解：当 时， ，
当 时，由 ，解得 ，当 时，由 ，解得 .
故 的解集为 .
(2)
解：当 时， 恒成立，故 ，又
，即 ，故 ，
所以 的取值范围为 .
2.已知 ．
(1)当 时，求 的解集；
(2)若 的解集包含 ，求a的取值范围．
【答案】(1) ．(2) ．
【分析】（1）通过讨论 的范围解不等式.（2）结合 的解集包含 来化简不等式，进而解出不等式，再利用解集包含
求出a的取值范围.
【详解】（1）当 时， 当 时，不等式为 ，
解得 ，故 ；
当 时，不等式为 ，解得 ，无解；
当 时，不等式为 ，解得 ，故 ，
综上所述，不等式的解集为 ．故答案为： .
（2）
的解集包含 ，即 在 上成立，
即 的解集包含 ， 即 ，解得 ，
由已知可得 解得 ，
所以 的取值范围为 ．故答案为： ．
【题型三】绝对值不等式给解集求参数
【讲题型】
例题1.已知函数 .
(1)当 时，求不等式 的解集；
(2)若不等式 对 恒成立，求实数a的范围.
【答案】(1) (2)
【分析】（1）利用零点分区间法去绝对值号，即可解得；（2）利用分离参数法得到
对 恒成立，即可求解.
【详解】（1）由已知 .
当 时， ，此时无解；
当 时， ，此时取 ；
当 时， ，此时取 .
综上可得不等式 的解集为 .
（2）由题意可得 对 恒成立，
即 对 恒成立，
所以当 时， ，故 .
例题2.已知函数 .
(1)当 时，解不等式 ；
(2)若 对任意的 恒成立，求实数 的取值范围.【答案】(1) (2)
【分析】（1）分段讨论x的取值范围，脱掉绝对值符号，解不等式组，求得答案;
（2）将 化为 ，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值
问题，即可求得答案.
（1）当 时，不等式 ，即 ，
所以 或 ,即得 或 ,解得 或
,
所以不等式 的解集是 .
（2）因为 对任意的 恒成立，即 对任意的 恒成立，
即 ，即 ，
故只要 且 对任意的 恒成立即可.因为
， ，
当且仅当 时，即 时等号成立，所以 .
令 ，则 在 上单调递减，所以 ，
所以 ，即实数 的取值范围是 .
【讲技巧】
解绝对值不等式的方法有几何意义法，零点分段法．
方法一采用几何意义方法，适用于绝对值部分的系数为1的情况，
方法二使用零点分段求解法，适用于更广泛的情况，为最优解；
形如 （或 ）型的不等式主要有两种解法：
（1）分段讨论法：利用绝对值号内式子对应的方程的根，将数轴分为 ， ，
（此处设 ）三个部分，在每个部分去掉绝对值号并分别列出对应的不等式
进行求解，然后取各个不等式解集的并集．
（2）图象法：作出函数 和 的图象，结合图象求解．
【练题型】
1. ．
(1) 时，解不等式 ；
(2)若区间 是不等式 的解集的子集，求 的取值范围．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）分类讨论去掉绝对值符号后解不等式；
（2）注意到 上可以脱去一个绝对值符号，此后分离参数转化为恒成立问题来做.
（1）当 时， 当 时，不等式 ，解得：当 时，不等式 ，解得： 当 时，不等式
，解得： 综上：不等式的解集为： .
（ 2 ） 由 题 意 得 ， 不 等 式 在 区 间 上 成 立 等 价 于 ：
， 也 等 价 于 在 区 间 上 恒 成 立 当 时 ，
，解得： 当 时， ，解得： 当
时， ，解得： 综上： 的取值范围为：
2.已知函数 .
(1)若 ，求不等式 的解集；
(2)若 ，使得不等式 成立，求实数a的取值范围.
【答案】(1) (2)
【分析】（1）分 ， 和 三种情况讨论，去绝对值符号，再解不等式即
可；
（2）令 ， ，使得不等式 成立，只需要
即可，分 和 两种情况讨论，从而可得出答案.
【详解】（1）解：若 ， ，当 时， 恒成立，
当 时， 无解，
当 时， ，解得 ，
综上所述不等式 的解集为 ；
（2）解： ，使得不等式 成立，即 ，使得不等式
成立，
令 ，则只要 即可，
当 时， ，则 ，所以 ，解得
，
当 时， ，则 ，
所以 ，解得 ，综上所述实数a的取值范围为 .
【题型四】绝对值不等式与均值不等式
【讲题型】
例题1.已知函数 .
（1）当 时，解不等式 ；
（2）若函数 的最大值为2，求 的最小值.
【答案】（1） ；（2）最小值为 .
【分析】（1） 时不等式即 ，两边平方并化简得到 ，
再解一元二次不等式即可；
（2）先利用绝对值三角不等式求得 的最大值，即得 ，再利用“1”的妙用拼凑，利用基本不等式求解 最小值即可.
【详解】解：（1）当 时， 即 ，
两边平方得
即 ，解得 故不等式的解集为 ；
（2）函数
所以 ，即 ，当且仅当
时等号成立 ，即 时， 最大值为 ，
又因为函数 的最大值为2， ，即 ，
，
当且仅当 即 ， 取等号， 的最小值为 .
例题2.已知函数 .
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）当 时，函数 的最小值为 ， （ ），求 的最小值.
【答案】(1) (2)
【详解】试题分析：（1）当 时，不等式 等价于 ，两边平方即
可求得解集；（2）对 分类讨论，去掉绝对值符号得函数 的解析式，可得函数
的最小值为 ，再结合基本不等式即可求出 的最小值.
试题解析：（1）当 时，不等式为
两边平方得 ，解得 或
∴ 的解集为
（2）当 时， ，可得 ，
∴
∴ ，当且仅当 ，即
， 时取等号.
【讲技巧】
利用基本不等式求最值时，通常有以下思路，需注意取等号条件是否成立.
（1）积定，利用 ，求和的最小值；
（2）和定，利用 ，求积的最大值；
（3）妙用“1”拼凑基本不等式求最值.【练题型】
1.关于 的不等式 的解集为 ，其中 ．
(1)求实数 ， 的值；
(2)若正数 ， 满足 ，求 的最小值．
【答案】(1) ， ；(2)4.
【分析】(1)把不等式化成一元二次不等式，再借助一元二次方程列式计算作答.
(2)利用(1)的结论结合“1”的妙用计算作答.
(1)
依题意，不等式 化为： ，而 ，则 是方程
的二根，且 ，
因此， 且 ，解 得 或 ，
当 时， ，符合题意，当 时， 不符合题意，
所以 ， .
(2)由(1)知， ， ，而 ，
则有 ，当且仅当 时
取“=”，
由 解得： ，所以当 时， 取最小值4.
2.已知函数 ．
(1)求不等式 的解集；
(2)设函数 的最小值为M，若正数a，b，c满足 ，证明 ．
【答案】(1) ；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据 的取值分类讨论，分段求解不等式即可；
（2）利用绝对值三角不等式求得 ，再根据基本不等式即可证明.
【详解】（1）当 时， 即 ，解得 ，不等式解集为 ；
当 时， 即 ，不等式解集为空集；
当 时， 即 ，解得 ，不等式解集为 ；
综上所述， 的解集为 .
（2） ，当且仅当 ，即 时取得等号，
故 ；则 ，又 ，
则 ，
又 ，当且仅当 时取得等号；
，当且仅当 时取得等号；
，当且仅当 时取得等号；
故 ，
当且仅当 ，且 ，即 时取得等号.
故 ， 时取得等号.
【题型五】柯西不等式型证明
【讲题型】
例题1.设 、 、 为正实数，且 .
(1)证明： ；
(2)证明： ．
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【分析】（1）由已知可得出 ，结合基本不等式可证得
；
（2）利用柯西不等式可得出
，即可证得结论成立.
【详解】（1）证明：因为 、 、 为正实数，
由基本不等式可得 ，
所以， ，
当且仅当 时，等号成立，故 .
（2）证明：由柯西不等式可得
，
所以， ，
当且仅当 时，即当 ， ， 时，等号成立，
故 .
例题2.已知正数a，b，c，d满足 ，证明：(1) ；
(2) .
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【分析】（1）由基本不等式证明；（2）由柯西不等式证明.
（1）
因为 ， ，
所以 ，
当且仅当 时，等号成立，
又正数a，b，c，d满足 ，所以 .
（2）
因为正数a，b，c，d满足 ，
所以由柯西不等式，可得
，
当且仅当 ， 时，等号成立，
故 .
【讲技巧】
柯西不等式，可以通过观察凑配法来准确构造：
位置1和2是等价齐次。否则就是需要凑配
具体可以用下边推论来待定系数配凑
【练题型】
1.已知 ，且 .
（1）求 的最大值；
（2）若 ，证明： ．
【答案】（1） .（2）证明见解析
【分析】（1）对 作平方,可得 ,进而利
用均值不等式求解即可；
（2）利用柯西不等式可得 ,由 , 可得
, ,则 ,进而求解即可.
【详解】（1）解:,
当且仅当 ,即 时等号成立,
所以 的最大值为 .
（2）证明:因为 , ,
所以 , ,
,当且仅当 时等号成立,
则有 ,即 ,
故 .
2.已知 ， ， ， ， ， 都是实数，且 ， .
(1)证明： ；
(2)若 ，证明： .
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【分析】（1）由绝对值的性质有 ，再每个式子用基本不等式
放大可得；
（2）由已知 ，利用柯西不等式可得结论．
（1）
证明：因为 ，
又 ， ，
所以 ，
当且仅当 时取等号，
即 .
（2）
证明：因为 ， ，
所以
，当且仅当 时取等号.
所以 .
【题型六】柯西不等式求最值与参数
【讲题型】
例题1.对 ， 的最小值为 .
（1）若三个正数 、 、 满足 ，证明： ；
（2）若三个实数 、 、 满足 ，且 恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）见解析（2）
【分析】（1）由绝对值不等式的性质可得 ，再由基本不等式和累加法，即可得证；
（2）运用柯西不等式，化简变形，由不等式恒成立思想，并结合绝对值不等式的解法可得
所求范围．
【详解】（1）由 ， ，
当且仅当 时取得等号，可得 ，
又 ， ，同理可得 ， ，
三式相加可得， ，
当且仅当 时，取得等号，
则 ；
（2） 恒成立，等价为 ，
由 ，
当且仅当 可取得等号．
则 ，即 ，解得 或 ，
即 的取值范围是 ．
例题2.．（1）已知x，y为正实数．证明： ．
（2）对任意的正实数x，y，均有 成立，求k的取值范围．
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【分析】（1）由 ，应用基本不等式求范围，即可证结论；
（2）应用柯西不等式有 ，结合 恒成立，即可求范
围.
【详解】（1）由x，y为正实数，
，
当且仅当 ，即 等号成立，
所以 得证.
（2）由柯西不等式有 ，则 ，当且仅当 时等号成立，又x，y为正实数，
所以 ，而 恒成立，所以 .
【练题型】
1.柯西不等式是由数学家柯西在研究数学分析中的“流数”问题时得到的.具体表述如下：
对任意实数 和 ，（ ， ），都
.
（1）证明 时柯西不等式成立，并指出等号成立的条件；
（2）若对任意 ，不等式 恒成立，求实数m的取值范围.
【答案】（1）证明见解析，当且仅当 时等号成立（2）
【分析】（1）构造函数，利用判别式证明即可；
（2）利用柯西不等式求出 ，即可求实数 的取值范围．
【详解】（1）构造函数
．
注意到 ，所以△ ，
即 ．
（其中等号成立当且仅当 ，即 ．
（2）解：由（1）可得 ，
，
对任意 ，不等式 恒成立，
．
2.已知 ，且 ．
（1）求 的最小值；
（2）若 成立，求 的取值范围．
【答案】(1) 最小值为 ．(2)
【分析】（1）利用柯西不等式即可求解；
（2）利用柯西不等式即可求解.
【详解】（1）由柯西不等式，
得：
即： ，
，当且仅当 时等号成立，
故： 的最小值为 ．
（2）由柯西不等式，
得： ．
即： ，
当且仅当 时取等号，只需 ，
解得： ．故： 的取值范围为：
【题型七】三元不等式证明
【讲题型】
例题1.已知a，b，c都是正数，且 1. 证明：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.
【分析】（1）根据给定条件，利用三元均值不等式推理作答.
（2）利用均值不等式，结合不等式的性质推理作答.
【详解】（1）因为a，b，c都是正数，则有 ，当且仅当 时
取等号，
所以 .
（2）因为 c都是正数，于是 ，当且仅当 时取等号，
因此 ，当且仅当 时取等号，
同理 ，当且仅当 时取等号，
，当且仅当 时取等号，
则 ，当且仅当
时取等号，
所以 .
例题2.已知正数 满足 ．
(1)求证：
(2)若正数 满足 ，求证：
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【分析】（1）首先根据题意得到 ， ， ，再利用不等式
的性质即可证明.
（2）首先根据三个正数均值不等式得到 ，
再根据 证明即可.
【详解】（1）因为 为正数，所以
（当且仅当 时，取等号）．
同理可得 （当且仅当 时取等号），（当且仅当 时取等号）． 因为正数 满足 ，
所以 （当且仅当 时取等号）
（2）因为正数 满足 ．
所以
因为正数 满足 ，
所以
=
（当且仅当 时取等号）．
【讲技巧】
三元形式不等式较难，具有明显的“对称特性”特征，可用均值，柯西不等式来证明，
较复杂的，可以因式分解，恒等变形，用分析法综合法，构造均值来证明
【练题型】
1.已知 ，求证：
(1) ；
(2) .
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【分析】（1）利用三元基本不等式即可得证.
（2）利用基本不等式推得 ， ， ，再相加即
可得证．
【详解】（1）因为 ，
所以 ，即 ，
当且仅当 且 ，即 时，等号成立，
所以 ，即 ，故 .
（2）因为 ，
因为 ，当且仅当 ，即 取得等号，
同理可得 ，当且仅当 取得等号，
同理可得 ，当且仅当 取得等号，
上面三式相加可得 ，即 ，
当且仅当 ， ， 且 ，即 时，等号成
立，
因为 ，所以 ，所以 .
2.设 、 、 为正数，且 .证明：
(1) ；
(2) .
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【分析】（1）由不等式的基本性质可得出 ，利用反比例函数在 上的单调
性可证得结论成立；
（2）利用基本不等式可得出 ， ， ，利用不等式的
基本性质可证得结论成立.
【详解】（1）证明：因为 、 、 为正数，由 可得
，
所以， ，
因为函数 在 上为增函数，故 .
（2）证明：由基本不等式可得 ， ，
，
由不等式的基本性质可得
，
当且仅当 时，等号成立，故 .
【题型八】利用三元不等式求最值
【讲题型】
例题1.已知 的最小值为 .
(1)求 的值；
(2)正实数 ， ， 满足 ，求 的最大值.
【答案】(1) ；(2) .
【分析】（1）将绝对值函数写成分段函数性质，结合各分段上的函数单调性及定义域求最
小值，即可确定m值.
（2）由（1）有 ，又 ，结合三元基本
不等式可得 ，即可求目标式最值，注意等号成立条件.
(1)由题设， ，则 ，即 .
(2)由（1）知： ，
所以 ，
而 ，则 ，
∴ ，当且仅当 时取等号，
所以 .
例题2.已知函数 的定义域为 ；
（1）求实数 的取值范围；
（2）设实数 为 的最大值，若实数 满足关系式 ，求
的最小值.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】（1）由题意可得 恒成立，令 ，去绝对值得出分
段函数解析式，求出 即可求解.
（2）由题意可得 ，等式化为
，再利用基本不等式
即可求解.
【详解】（1）由题意可知 恒成立，令 ，
去绝对值可得： ，
由解析式可知 在 上单调递减；在 上单调递减；
在 上单调递增，所以 ，
所以实数 的取值范围为 ；
（2）由（1）可知 ，所以 ，
，
当且仅当 ，即 等号成立，所以 的最小值为 .
【练题型】
1.已知a，b，c为正数．
（1）证明 ；
（2）求 的最小值．
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【分析】（1）利用基本不等式可证得命题成立；
（2）三次使用不等式且等号同时成立，可求得最小值．
【详解】（1）证明 a，b，c均为正数，
以上三式相加，得
即 ．（当且仅当 时等号成立）
（2）因为 ， ， ，
，
当且仅当 ，即时等号成立．
所以原式的最小值为 ．
2.已知 都是正数，且 ，用 表示 的最大值，
.
（1）证明 ；
（2）求M的最小值.
【答案】(1)见解析；（2） .
【分析】 1 由已知 ，利用“1的代换”结合基本不等式证明
；
2 由题意， ， ， ，把三个式子平方作和，再由均值不等式
求最值．
【详解】 1 证明： ，，
当且仅当 时等号成立，故 ；
2 解：由题意， ， ， ，
，
当且仅当 时上式等号成立．
，即M的最小值为 ．
【题型九】分析法证明不等式
【讲题型】
例题1.已知a，b，c为正数，且满足 ．
(1)证明： ；
(2)证明：
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；
【分析】（1）运用分析法，结合基本不等式进行证明即可；
（2）运用分析法，结合柯西不等式进行证明即可.
【详解】（1）∵a，b，c为正数，要证 ，∵
只需证 ，即证 ，即证
，
∵a，b，c为正数，∴ ，∴ ，
∴ ∴ ，
∴ 当且仅当 时取等；
（2）要证 ，只需证 ，即证 ，
根据柯西不等式可 ，
当且仅当 取等号．从而 .
例题2.已知 ， ， .
(1)求 的范围；
(2)证明： .
【答案】(1) ；(2)证明见解析.
【分析】（1）利用基本不等式可求得 的取值范围；
（2）由已知可得出 ，令 ，将所证不等式等价转化为 ，
通分、因式分解后判断符号，即可证得结论成立.
（1）解：因为 ， ，则 ，由基本不等式可得 ，可得 ，
当且仅当 时，等号成立，故 .
（2）
证明：因为 ，所以， ，
要证 ，即证 ，
即证 ，
令 ，即证 ，
因为
，
故原不等式得证.
【练题型】
1.已知正数 ， ， 满足 ．
(1)求 的最大值；
(2)证明： ．
【答案】(1)1(2)证明见解析
【分析】（1）由三个正数的基本不等式进行求解；（2）凑项后利用基本不等式进行证明.
【详解】（1）由 ，当且仅当 时，取得等号．
又 ，所以 ．
故当且仅当 时， 取得最大值1．
（2）证明：要证 ，需证 ．
因为
，
即 ，当且仅当 时取得等号．故 ．
2.设不等式||x+1|-|x-1||<2的解集为A.
(1)求集合A；
(2)若a，b，c∈A，求证： .
【答案】(1) ；(2)证明见解析.
【分析】(1)令 ，去绝对值符号化函数 为分段函数，解不等式
即可作答.
(2)根据给定条件利用分析法即可证得不等式成立.(1)
由已知，令 ，
则原不等式等价于 ，即 ，
当 时， ，不等式无解，
当 时， ，解得 ，则 ，
当 时， ，不等式无解，
综上得： .
(2)
要证 >1，只需证 ，
只需证 ，只需证 ，
只需证 ，由a，b，c∈A，得 ， ，
于是得 恒成立，而上述推理过程可逆，
所以 .
【题型十】综合法证明不等式
【讲题型】
例题1.已知 ，函数 的最小值为3．
(1)求 的值；
(2)求证： ．
【答案】(1)2(2)证明见解析
【分析】（1）利用绝对值不等式即可求出 ；
（2）利用乘“1”法求出 ，则 ，则 ，移
项即可.
【详解】（1）因为 ,
当且仅当 时,等号成立,
又 ,所以 .
（2）由（1）知 ,又 ,
所以 ,
当且仅当 ，联立 ，即 时等号成立,
所以 ,则
即
例题2.已知函数 .(1)若 ，求实数 的取值范围；
(2)证明： .
【答案】(1) (2)证明见解析
【分析】（1）由已知可得出 ，然后分 、 、 三种情况
解不等式 ，即可得出实数 的取值范围；
（2）由 可得出 ，分别证明出
， ，即可证得结论成立.
【详解】（1）解：因为 ，则 ，
由 可得 .
①当 时，则有 ，解得 ，此时 ；
②当 时，则有 ，解得 ，此时 ；
③当 时，则有 ，解得 ，此时 .
综上所述，当 时，实数 的取值范围是 .
（2）证明：要证 ，即证 .
当 时， ；
当 时， ；
当 时， .
综上所述， ， ，
因为 ，其中 为锐角，且 ，
所以， ，
所以， 恒成立，
故 .
【练题型】
1.已知实数 ， ， 满足 ， ．
(1)证明： ．
(2)用 表示 ， ， 的最小值，证明： ．
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【分析】（1）利用综合法去证明 ；
（2）利用均值定理构造不等式去证明
(1)
由 ，可知 ， ， 都不为 ，因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，即 ．
(2)
不妨设 ，则 ，
因为 ， ，所以 ， ，所以 ， ，
因为 ，所以 ，所以 ， ，
即 ．
2.设函数 ．
（1）求函数 的最小值；
（2）若函数 的最小值为m，且正实数a，b，c满足 ，证明：
．
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【分析】（1）去绝对值写出分段函数 ，作出函数图象即可求解.
（2）由（1）知 ，利用基本不等式即可证明.
【详解】解：（1）
作出 的图象，如图：
∴当 时， 取最小值 ；
（2）由（1）知 ，且a，b，c为正实数，
∴ ，即 ，
当且仅当 时等号成立．1．已知函数 ．
(1)当 时，求不等式 的解集；
(2)求 的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）当 时， ，分 、 、 三种情况讨论
求解即可；
（2）直接用绝对值的三角不等式可得答案.
【详解】（1）当 时， ，
所以当 时， ，由 可得 ， ，所以此时 ，
当 时， ，由 可得 ， ，所以此时 ，
当 时， ，由 可得 ， ，所以此时无解，
综上：
所以不等式 的解集为 ，
（2） ，
当 时等号成立，
所以 的最小值为 .
2．设 均不为零，且 ．
(1)证明： ；
(2)求 的最小值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)3.
【分析】（1）根据给定条件，利用三数和的完全平方公式变形，再结合放缩法证明作答.
（2）利用柯西不等式求解最小值作答.
【详解】（1）依题意， ，且 均不为零，
则 ，
所以 .
（2）因为
，
当且仅当 ，即 时取等号，因此
，所以 的最小值为3.
3．已知函数 .
(1)求不等式 的解集；
(2)当 时，求证： .
【答案】(1) 或
(2)证明见解析
【分析】（1）分 ， 三种情况解不等式即可求出答案；
（2）（方法一）当 时，要证 即证 ，由均
值不等式即可证明；（方法二）当 时，要证 即证
，由二次函数的性质即可证明.
【详解】（1）解：∵
∴ 等价于下列不等式组
① ；或② ；或③ .
①的解为 ；②无解；③的解为 .
∴不等式 的解集为 或 .
（2）证明：（方法一）当 时， .
∴要证 即证 ，即证 .
∵ .
∴ .
当且仅当 即 时取等号.
∴当 时， .
（方法二）当 时， .
∴要证 即证 ，即证 .
∵ 恒成立.且 时取等号.
∴当 时， .
4．已知函数 ．
(1)求不等式 的解集；(2)函数 最小值为 ，求 的最小值．
【答案】(1)
(2)12
【分析】（1）对x的值分类讨论开绝对值可得 ，作出函数 的
图形，结合图形即可求解；
（2）由图可知 ，进而 ，根据柯西不等式计算即可求解.
【详解】（1）
时， ，
当 时， ，
当 时， ，
，
由图可知：当 时， 或 ，
所以 的解集为 ；
（2）由图可知 ，∴ ，
由柯西不等式得
，
∴ ，当且仅当 时取等号，
∴ 的最小值为12.
5．已知函数 ．
(1)求不等式 的解集；
(2)若 ，使得不等式 成立，求实数 的取值范围．
【答案】(1)
(2)【分析】（1）原不等式即为 ，分 、 、 三种情况解原
不等式，综合可得出原不等式的解集；
（2）当 时，原不等式可变形得出 或 ，利用参
变量分离法可求得实数 的取值范围.
【详解】（1）解：因为 ， ，即 ，
当 时， ，无解；
当 时， ，解得 ，所以 ；
当 时， ，化简得 ，所以 ．
所以不等式 的解集为 ．
（2）解：因为 ， ，可得 ，
当 时， ，可化为 ，
所以 ，或 ，
即存在 ，使得 或 ．
若存在 ，使 成立，因为 ，
当且仅当 时，等号成立，所以 ；
若存在 ，使 成立，
因为 ，当且仅当 时，等号成立，所以 ．
综上，实数 的取值范围为 ．
6．已知函数 ．
(1)若 的最小值为1，求a的值；
(2)若 恒成立，求a的取值范围．
【答案】(1) 或
(2)
【分析】（1）根据 结合取等条件即可得解；
（2）把 恒成立，转化为 恒成立，分情况讨
论去绝对值符号，从而可得出答案.
【详解】（1）因为 ，当且仅当 时取等
号，
，当且仅当 时取等号，
所以 ，解得 或 ，
故a的值为 或 ；
（2）令 ，由题意知 恒成立，
当 且 时, ,要使得 恒
成立,则 可得
当 时,
因为 恒成立, 则 ,由图像可知
所以 ,所以
综上可知，实数a的取值范围为 ．
7．已知函数 ．
(1)求不等式 的解集；
(2)记 的最小值为M，若实数a，b满足 ，证明： ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）将 写为分段函数，分类讨论求不等式解集即可；
（2）先求出分段函数 的最小值M，再利用基本不等式的调和型求得原式的最小值即
可得证.
【详解】（1） ，
当 时， ，解得 ，所以 ；
当 时， 显然成立，所以 ；
当 时， ，解得 ，所以 .
综上，不等式 的解集为 .
（2）证明：当 时， ，
当 时， ，
故 的最小值为 ，则有 ，
于是
，当且仅当 ，即 时取等号，所以 .
8．已知函数 .
(1)当 时，求不等式 的解集；
(2)若不等式 的解集非空，求 的取值范围.
【答案】(1)
(2) .
【分析】（1）把 代入，分段讨论解不等式可得到结果；
（2）利用绝对值三角不等式可得 ，再由 转化为 ，
解出即可．
【详解】（1）因为 ，所以 ，
当 时，原不等式转化为 ，无解.
当 时，原不等式转化为 ，解得 .
当 时，原不等式转化为 ，解得 .
综上所述，原不等式的解集为 ；
（2）由已知可得 ，
由不等式 的解集非空，可得 ，
则 ，
解得 ，故 的取值范围为 .
9．已知函数 ．
(1)当 时，求不等式 的解集；
(2)若 ， ，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2) ．
【分析】（1）根据绝对值的性质，分类讨论进行求解即可；
（2）根据绝对值的性质，结合一元二次不等式的解法进行求解即可,
【详解】（1）因为 ，所以 ．
当 时，原不等式转化为 ，不等式无解．
当 时，原不等式转化为 ，解得 ．当 时，原不等式转化为 ，解得 ．
综上所述，不等式 的解集为 ；
（2）因为 ，所以 恒成立等价于
．
当 时，则 ，解得 ．
当 时，则 ，解得 ．
综上所述，a的取值范围为 ．
