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高考押题卷（三）
文科数学
考试时间：120分钟 满分：150分
一、选择题：本大题共12小题，每个小题5分，共60分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要
求的.
1．集合 ， ，则 等于（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据交集运算法则直接计算即可.
【详解】 ， ，则 .
故选：A
2．已知 ，则z的虚部是（ ）．
A．5 B． C． D．
【答案】C
【分析】由复数除法求得 后可得.
【详解】 ,虚部是 .
故选：C.
3．若实数x，y满足约束条件 ，则 的最小值为（ ）．
A．6 B．5 C．3 D．2
【答案】D
【分析】根据题意作出可行域，进而根据z的几何意义求得答案.
【详解】如图，作出不等式组对应的可行域，得三角形ABC，当且仅当动直线 经过点A时，z取得最小值，联立 ，
此时 ．
故选：D.
4．石碾子是我国传统粮食加工工具，如图是石碾子的实物图，石碾子主要由碾盘、碾滚（圆柱形）和碾
架组成．碾盘中心设竖轴（碾柱），连碾架，架中装碾滚，以人推或畜拉的方式，通过碾滚在碾盘上的滚
动达到碾轧加工粮食作物的目的．若推动拉杆绕碾盘转动2周，碾滚的外边缘恰好滚动了5圈，碾滚与碾
柱间的距离忽略不计，则该圆柱形碾滚的高与其底面圆的直径之比约为（ ）
A．3：2 B．5：4 C．5：3 D．4：3
【答案】B
【分析】绕碾盘转动2周的距离等于碾滚滚动5圈的距离，列出方程即可求解.
【详解】由题意知， ；
故选：B.
5．某国有企业响应国家关于进一步深化改革，加强内循环的号召，不断自主创新提升产业技术水平，同
时积极调整企业旗下的甲、乙、丙、丁、戊等5种系列产品的结构比例，近年来取得了显著效果．据悉该企业2021年5种系列产品年总收入是2020年的2倍，其中5种系列产品的年收入构成比例如下图所示．
则以下说法错误的是（ ）
A．2021年甲系列产品收入和2020年的一样多
B．2021年乙和丙系列产品收入之和比2020年的企业年总收入还多
C．2021年丁系列产品收入是2020年丁系列产品收入的
D．2021年戊系列产品收入是2020年戊系列产品收入的2倍还多
【答案】C
【分析】设出2020年5种系列产品年总收入，根据给定的条形图及扇形图，逐项计算判断作答.
【详解】设2020年5种系列产品年总收入为m，则2021年5种系列产品年总收入为2m，
对于A，2020年甲系列产品收入为0.4m，2021年甲系列产品收入为0.4m，A正确；
对于B，2021年乙和丙系列产品收入之和为1.1m，B正确；
对于C，2020年丁系列产品收入为0.15m，2021年丁系列产品收入为0.1m，是2020年丁系列产品收入的
，C不正确；
对于D，2020年戊系列产品收入为0.15m，2021年戊系列产品收入为0.4m，比2020年戊系列产品收入的2
倍还多，D正确.
故选：C
6．已知等差数列 的首项 ，而 ，则 （ ）
A．0 B．2 C．-1 D．
【答案】A
【分析】由 ，代入 即可化简求值.【详解】等差数列 的首项 ， ，则 .
故选：A
7．设 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】作差后利用指数函数性质比较 大小，构造函数 ，由导数确定其单调性，由函数单
调性比较 大小．
【详解】
，∴ ，
， ，
设 ，则 ， 时， ，即 在 上递减，
， ，
，所以 ， ，即 ，
综上， ．
故选：D．
8．函数 （ ， ）的部分图象如图中实线所示，图中圆C与 的图
象交于M，N两点，且M在y轴上，则下列说法中正确的是（ ）
A．函数 的最小正周期是 B．函数 在 单调递减C．函数 的图象关于点 成中心对称 D．将函数 的图象向左平移 后得到关于y轴对称
【答案】B
【分析】根据函数图象的对称性确定点 的坐标，进而可确定函数的周期，从而求解 ，再根据最高点的
坐标满足函数解析式，求出 的大小，进而确定函数的解析式，根据三角函数的性质一一判断求解.
【详解】由对称性可知 的横坐标等于 ，
所以 ，所以 ，解得 ，故A错误；
图中函数图象的最高点为 即 ，
所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
令 解得 ，
当 时 ，所以函数 在 单调递减，故B正确；
令 解得 ，
所以函数的对称中心为 ，
令 得 ，故C错误；
的图象向左平移 个单位得到 不关于y轴对称，
故D错误；
故选:B.
9．若 ，则 （ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】A
【分析】由三角恒等变换化简结合已知条件求解即可
【详解】因为 ，
所以 ，
所以 ，
又 ，
所以 即 ，
所以 ，
所以 即 ，
又 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 即 ，
又易知 ，所以 ，即 ，
故选：A
10．等比数列 的n前项和为 ，若 ，则 （ ）
A．3 B．6 C．12 D．14
【答案】A
【分析】设等比数列 的公比为 ，首项为 ，对公比分类讨论，然后利用等比数列前 项和公式及通
项公式，结合已知条件联立方程组求解出首项和公比，然后计算即可
【详解】设等比数列 的首项为 ，公比为 ，且 ，
若 ，则 ，与题设矛盾，所以 ，
由 ，
解得 ，
所以 ，
故选：A．
11．已知双曲线 的焦距为 ，它的两条渐近线与直线 的交点分别为A，
B，若O是坐标原点， ，且 的面积为 ，则双曲线C的焦距为（ ）
A．5 B． C． D．
【答案】A【分析】直线 过右焦点 ， ，得 ，求出渐近线的斜率，得到 关系，利
用二倍角正切公式，求出 ，进而将 用 表示，结合 面积求出 ，在 中，
得出 、 关系，求出 即可.
【详解】如图，
设双曲线的右焦点为 ，则直线 ）过右焦点 ，
由 ，得 ，直线 的斜率为 ，
所以 ，
在 中， ，
，
，
在 中，
，
所以 ，
所以 ，
故选：A．12．设 （ ）．若 ， ，且 ，使得 ，则 的最
小值是（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】D
【分析】根据余弦函数的图象性质和最值即可求解.
【详解】∵ （ ），存在 ，使得 ，
则函数 在区间 上，存在包含最大值和最小值的一个增区间．
∵当 时， ，∴ ，解得 ．
此时存在 ， ，满足题意．
∴ 的最小值是 ，
故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．已知向量 ， ，若 ，则实数 __________．
【答案】
【分析】首先求出 的坐标，然后根据向量平行的坐标表示建立方程求解.
【详解】由题意得 ，
因为 ，所以 ，解得 .
故答案为： .
14．某省示范性高中安排 名教师去 三所乡村中学支教，每所中学至少去 人，因工作需要，其中
的教师甲不能去 中学，则分配方案的种数为__________.（用数字作答）
【答案】
【分析】利用部分平均分组的计算方法可求得三所学校分配人数分别为 和 时的安排方法数，在
两种情况下分别求得甲去 中学的安排方法数，利用间接法可求得结果.
【详解】①若三所学校分配人数分别为 时，共有 种安排方法；
其中甲去 中学的安排方法有 种；
则此时分配方案的种数为 种；
②若三所学校分配人数分别为 时，共有 种安排方法；
其中甲去 中学的安排方法有 种；
则此时分配方案的种数为 种；
综上所述：满足题意的分配方案的种数为 种.
故答案为： .
15．已知双曲线 的右焦点 到 的一条渐近线 的距离为 ，则双曲线
的方程为___________________．【答案】
【分析】根据条件求出a，b，c即可.
【详解】∵渐近线的方程为 ， ，又 ，
由点到直线的距离公式知： ，
，∴双曲线C的方程为： ；
故答案为： .
16．椭圆 （焦点在 轴上）的上､下顶点分别为 ，点 在椭圆上，平面四边形 满
足 ，且 ，则该椭圆的离心率为___________.
【答案】
【分析】由题意得 在以 为直径的圆上，求出圆的方程，结合椭圆求出 ，进而求得 ，即可
求得离心率.
【详解】
根据题意可得 ，设 ，由 ，可得点 在以
为直径的圆上，又原点 为圆上的弦 的中点，所以圆心在 的垂直平分线上，可得圆心在 轴上，所以 ，
又 ，可得 ，故圆心坐标为 ，半径为 ，
所以圆的方程为 ，将 代入结合 ，可得 ，所以 ，则
，
所以该椭圆的离心率为 .
故答案为： .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．各项均不相等的等差数列 的前 项和为 ，已知 ，且 成等比数列.
（1）求数列 的通项公式；
（2）令 ，求数列 的前 项和 .
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）利用等差数列的通项公式和等比数列的性质，可得 ，则可得通项公式.
（2）根据（1）的结论可得 ，然后利用裂项相消求和，可得结果.
【详解】（1）因为 各项均不相等，所以公差
由等差数列通项公式
且 ，
所以 ，
又 成等比数列，所以 ，
则 ，化简得 ，
所以
即
可得
即
（2）由（1）可得
化简可得由
所以
【点睛】本题主要考查利用裂项相消法求和，属基础题.
18．某中药企业计划种植 两种药材，通过大量考察研究得到如下统计数据.药材A的亩产量约为300公
斤，其收购价格处于上涨趋势，最近五年的价格如下表：
年份 2018 2019 2010 2021 2022
年份编号 1 2 3 4 5
单价 （元/公斤） 18 20 23 25 29
药材 的收购价格始终为20元/公斤，其亩产量的频率分布直方图如下：
(1)若药材A的单价 （单位：元/公斤）与年份编号 间具有线性相关关系；请求出 关于 的回归直线方
程，并估计2024年药材A的单价；
(2)利用上述频率分布直方图估计药材B的平均亩产量（同一组数据用中点值为代表）；
(3)若不考虑其他因素影响，为使收益最大，试判断2024年该药企应当种植药材A还是药材B？并说明理由.
参考公式：回归直线方程 ，其中 .
【答案】(1) ， 元/公斤
(2) 公斤(3)应该种植药材A，理由见解析
【分析】（1）根据题中数据结合公式求得回归直线方程为 ，再令 代入运算即可得结果；
（2）根据频率分布直方图中平均数公式计算可得；
（3）比较A、B两种药材的均值，即可判断.
【详解】（1）由题意可得： ，
，
则 ， ，
故回归直线方程为 ，
当 时， ，
即2024年药材A的单价预计为 元/公斤.
（2）由频率分布直方图可得：组距为20，自左向右各组的频率依次为 ，
故B药材的平均亩产量为 公斤.
（3）预计2024年药材A每亩产值为 元，
药材B每亩产值为 元 元，
所以药材A的每亩产值更高，应该种植药材A.
19．如图，在三棱柱 中，平面 平面 ，四边形 是
菱形， 是 的中点.(1)证明： 平面 ；
(2)若点 到平面 的距离为 ，求 .
【答案】(1)证明见解析
(2)2
【分析】（1）连接 ，先根据面面垂直的性质可得 平面 ，再根据线面垂直的性质与判定证
明即可；
（2）设 ，根据等体积法 求解即可.
【详解】（1）证明：连接 ，因为四边形 是菱形，所以 ，
因为 ，所以 为等边三角形，所以 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 平面 ，
所以 平面 ，
平面 ，所以 ，
因为 ，即 ，所以 ，
又 ， 平面 ，所以 平面 ；（2）设 ，可得 ，
由 为正三角形，可得 ，
在 中， ，
在Rt 中， ，可得Rt 的面积为 ，
又由 ，有 ，解得 ，
故 .
20．已知双曲线 的右焦点为F，双曲线C上一点 关于原点的对称点为 ，
满足 .
(1)求 的方程；
(2)直线 与坐标轴不垂直，且不过点 及点 ，设 与 交于 、 两点，点 关于原点的对称点为 ，若
，证明：直线 的斜率为定值.【答案】(1) ；
(2)证明见解析.
【分析】（1）由已知得到 的坐标，根据 求出 ，进而根据双曲线的方程，联立
方程组即可求出结果；
（2）方法一：联立直线与双曲线的方程，根据韦达定理得出坐标关系.然后根据 ，化简得到
.由 ，即可求出 ；方法二：由已知可推出 .
将定点 平移至原点，然后平移双曲线，得到 .设直线 ，代入双曲线构造齐
次式 .得到关于 的二次形式，根据斜率关系得出 ，即可求出斜率.
【详解】（1）由已知可得 ， .
则 ， ，
由 可得， ，所以 .，
又点 在双曲线上，所以 .
联立 ，可得 ，
所以，C的方程为 .
（2）法一：设 ， ，则 ，所以 ， ，
由 可得， ，所以 ，
整理可得， .
由已知可设直线 的方程为 （ 且 ）.
联立直线 与双曲线的方程 可得， .
，所以 .
由韦达定理可得 ，又 ， ，
.
所以，由 可得，
，
整理可得， ，
因为 ， 不恒为0，所以应有 ，解得 .
所以直线l的斜率为定值 .
法二：
设 ，则 ， .
所以 ， ，所以 .
又由题意知 ，所以 .
将双曲线平移至 ，即 .
则P平移至 ， A，B分别平移至 ， .
设直线 的方程为 ，
代入双曲线可得， ，
所以， .
两边同除以 ，可得 ，
所以 ，
所以 .
所以，直线 的方程为 ，
所以 ，所以直线l的斜率为定值 .
【点睛】关键点点睛：圆锥曲线中，题干中出现垂直关系，常用坐标法，化为数量积为0.然后根据韦达定
理，得出等量关系，进而求出参数.
21．已知函数 ．
(1)当 时，求不等式 的解集；
(2)若 ，求实数 的取值范围．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据定义域可化简函数，构造新函数 ，即求 的解集即可，而
，所以解集为 ．
（2）对a分情况讨论，当 时， 恒成立，当 时，引入隐零点x ， 在 上单调
0
递减，在 上单调递增，得时
【详解】（1）∵f(x)的定义域为
∴当 时， ，
令 ， ．
当 时， ， 在 上单调递减，当 时， ， 在 上单调递增，
所以 ，
则不等式 的解集为 ．
（2）①当 时， ，此时 ，
令 ， ．
当 时， ， 在 上单调递减；
当 时， ， 在 上单调递增，所以 ，又 ，则 ，又 ，所以 ，
， ，此时 符合题意．
②当 时， ，
令 ， 恒成立，
则 在 上单调递增，又 ，
，存在唯一的 使 ，且 ，
所以
当 时， ，由 ，
则 在 上单调递减，
当 时， ，由 ，（分开考虑导函数符号）
当 时， 在 上单调递增，则 ，
所以当 时， ，所以 在 上单调递增，
所以 ，
由题意则 ，
设 ，则 在 上恒成立，所以 在 上单调递增，此时 ，即 ，
综上所述，实数 的取值范围为 ．
【点睛】导数题目中，构造新的函数，隐零点的合理使用都非常重要.
请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。注意所做
题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题。如果多做，则按所做的第一题
计分。
22．在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （t为参数）．以坐标原点O为极点，x
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ．
(1)求曲线 的极坐标方程和曲线 的直角坐标方程；
(2)设曲线 与曲线 交于P、Q两点，求 的值．
【答案】(1)曲线 的极坐标方程为 ；
即曲线 的直角坐标方程为
(2)2
【分析】（1）通过消参求得曲线 的普通方程，再将普通方程转化为极坐标方程，将曲线 的极坐标方
程转化为直角坐标方程；
(2)利用极径的几何意义求解.
【详解】（1）∵ ,则 ，∵ ，
曲线 的极坐标方程为 ；
由 ，得 ，
即曲线 的直角坐标方程为 .
（2）由 得 ， ①
由 得 ，②
可得 ，
即
设P，Q两点所对应的极径分别为 ，
则 ，
∴ .
23．已知函数 .
(1)求 的最大值 ;
(2)若正数 满足 ，证明:
【答案】(1)
(2)证明见解析.
【分析】（1）由题知 ，再求解最大值即可；（2）根据基本不等式证明即可.
【详解】（1）解：当 时， ；
当 时， ；
当 时， ，
所以
因为当 时，函数 单调递减， 或 时，函数为常函数，
所以，函数 的最大值为 ，即
（2）解：因为 ， ， ，
所以 ，
因为，由（1）知 ，即 ，
所以 ，
所以， ，当且仅当 时等号成立，
所以 ，证毕.
