文档内容
专题 04 函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性的应用
目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接）
题型01 函数的单调性及其应用...............................................................................................................................1
题型02 奇偶性及其应用...........................................................................................................................................2
题型03 周期性及其应用...........................................................................................................................................5
题型04 对称性及其应用...........................................................................................................................................7
题型05 原函数与导函数的双函数型.......................................................................................................................9
题型06 函数性质的综合应用.................................................................................................................................11
题型 01 函数的单调性及其应用
【解题规律·提分快招】
解决含参数的函数的单调性问题应注意两点
(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．
(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点．
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·广东肇庆·阶段练习）已知 ，比较a，b，c的大小为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·四川德阳·一模）函数 单调递增，且 ，则实数 的取值
范围为（ ）
A． B． C． D．(0,1)
3．（24-25高三上·河南许昌·期中）已知函数 在 上单调递增，则a的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高三·全国·专题练习）已知偶函数 在区间 上单调递减.若 ，则 的取值
范围是（ ）A． B． C． D．
二、多选题
5．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）下列函数既是奇函数，又是增函数的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（24-25高三上·四川眉山·期中）若函数 ，则满足 的 的取值
范围可能为（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
7．（24-25高三上·上海宝山·阶段练习）已知 ， 函数 若该函数存在最
小值，则实数 的取值范围是
8．（2024高三·全国·专题练习）设函数 的最大值为M，最小值为N，
则 ．
9．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 ， ，若 ，
使得 成立，则实数 的取值范围为 .
10．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知 ，若对 ，都有 ，
则 的取值范围是 .
题型 02 奇偶性及其应用
【解题规律·提分快招】
奇偶函数的性质
（1）偶函数⇔f(－x)＝f(x) ⇔关于y轴对称⇔对称区间的单调性相反；
（2）奇函数⇔f(－x)＝－f(x) ⇔关于原点对称⇔对称区间的单调性相同；
奇偶性技巧（1）若奇函数 在 处有意义，则有 ；
（2）对于运算函数有如下结论：奇 奇=奇；偶 偶=偶；奇 偶=非奇非偶；
奇 奇=偶；奇 偶=奇；偶 偶=偶.
(3)常见奇偶性函数模型
奇函数：** 错误的表达式 **函数 或函数 ．** 错误的表达式 **函
数 ．
** 错误的表达式 **函数 或函数
** 错误的表达式 **函数 或函数 ．
注意：关于** 错误的表达式 **式，可以写成函数 或函数 ．
偶函数：** 错误的表达式 **函数 ．** 错误的表达式 **函数 ．
** 错误的表达式 **函数 类型的一切函数．
【典例训练】
一、单选题
1．（2025高三·全国·专题练习）已知函数 的部分图象如下所示，则 的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高三上·甘肃兰州·阶段练习）已知定义在 上的函数 在 内为减函数，且 为
偶函数，则 的大小为（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高三上·山东泰安·阶段练习）已知函数 的定义域为 ， ， 是偶函数，且对于任意的 ， ，都有 成立，则（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高三上·宁夏·期中）奇函数 在 上单调递减，且 ，则满足 的 的
取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．（24-25高三上·江西宜春·期末）函数 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024高三·全国·专题练习）已知 是定义在 上的偶函数， 是定义在 上的奇函数，且
，则 的值为（ ）
A． B．1 C．0 D．2
二、多选题
7．（2024高三·全国·专题练习）（多选）函数 ，若存在 ，使得 为奇函
数，则实数 的值可以是（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25高三上·江苏南通·期中）设 为 上的增函数，满足： ，
，则（ ）
A． B． 为奇函数
C． ， D． ，
9．（24-25高三上·山东济南·阶段练习）已知函数 的定义域为 的图象关于 对称，且
为奇函数，则（ ）A． B．
C． D．
三、填空题
10．（2024高三·全国·专题练习）若 为偶函数，则
11．（24-25高三上·北京·开学考试）写出一个同时具有下列性质的函数 .
①函数 是偶函数；
②当 时， 单调递减.
12．（2024高三·全国·专题练习）函数 在 上的最大值和最小值分别为
，则 ．
题型 03 周期性及其应用
【解题规律·提分快招】
周期性技巧【典例训练】
一、单选题
1．（2024高三·全国·专题练习）若函数 满足 ，且当 时， ，
则 （ ）
A． B．10 C．4 D．2
2．（2024·宁夏银川·一模）若函数 是定义在 上的奇函数， ，则
（ ）
A．2 B．0 C．60 D．62
3．（24-25高三上·黑龙江·期中）已知函数 是 上的奇函数，对任意 ，都有
成立，则 （ ）
A．4 B．2 C． D．0
4．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数 为偶函数，且满足 ，当
x∈(0,1)， ，则 的值为( ).
A． B． C． D．
5．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知函数 的图象关于原点对称，且满足
，且当 时， ，若 ，则 等于
（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高三·全国·专题练习）已知 是定义在 上的偶函数， 是定义在 上的奇函数，且
，则 的值为（ ）
A． B．1 C．0 D．2
7．（2024·吉林·三模）已知 是定义在 上的奇函数，且 是偶函数，当 时，
，则 （ ）
A． B． C．0 D．1
8．（2024高三·全国·专题练习）已知 是定义在 上的奇函数，若 为偶函数且 ，则
（ ）
A． B．4 C． D．6二、多选题
9．（23-24高三上·江苏南通·开学考试）已知函数 为R上的奇函数， 为偶函数，则（ ）
A． B．
C． D．
10．（24-25高三上·吉林·期中）已知定义在 上的函数 满足 ，且 是
奇函数，则（ ）
A． 的图象关于点 对称
B．
C．
D．若 ，则
11．（2025高三·全国·专题练习）已知 是定义在 上的奇函数， 是奇函数，且当 时，
，则下列结论正确的是（ ）
A． B． 在 上单调递减
C． D．当 时，
12．（24-25高三上·山东·阶段练习）已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 是偶函数 B． 是周期函数
C． 关于直线 对称 D．当 时，
题型 04 对称性及其应用
【解题规律·提分快招】
1.中心对称结论：
（1）若函数 满足 ，则 的一个对称中心为
（2）若函数 满足 ，则 的一个对称中心为
（3）若函数 满足 ，则 的一个对称中心为 .
2.轴对称性的常用结论如下：（1）若函数 满足 ,则 的一条对称轴为
（2）若函数 满足 ,则 的一条对称轴为
（3）若函数 满足 ,则 的一条对称轴为
（4）f(a－x)= f(b＋x)⇔f(x)的图象关于直线x=对称；
3.函数的的对称性与周期性的关系
（1）若函数 有两条对称轴 ， ，则函数 是周期函数，且 ；
（2）若函数 的图象有两个对称中心 ，则函数 是周期函数，且
；
（3）若函数 有一条对称轴 和一个对称中心 ，则函数 是周期函数，且
.
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·北京·开学考试）函数 的图象的对称中心为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·宁夏银川·一模）若函数 是定义在 上的奇函数， ，则
（ ）
A．2 B．0 C．60 D．62
3．（2024·浙江·模拟预测）已知函数 ，则 （ ）
A． B． C．0 D．8100
4．（24-25高三上·安徽六安·期中）函数 在 上单调递减，且 是偶函数，若
，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）若定义在 上的函数 满足 是奇
函数， ，则 （ ）
A．0 B．1 C．2024 D．2025
6．（24-25高三上·重庆·期末）已知函数 的定义域为 ，则下列选项
一定正确的是（ ）
A． B．C． D． 的图象关于直线 对称
7．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）若函数 满足 ，且 的图象关于
点 对称，则（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25高三上·山东·期中）若定义在 上的函数 满足 ， 是奇函数，
，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、多选题
9．（24-25高三上·新疆省直辖县级单位·开学考试）已知奇函数 的定义域为 ，若 ，
则（ ）
A． B． 的图象关于直线 对称
C． D． 的一个周期为
10．（23-24高三上·山东·阶段练习）已知 是定义在 上的不恒为零的函数，对于任意 都满
足 ，且 为偶函数，则下列说法正确的是（ ）
A． B． 为奇函数
C． 关于点 对称 D．
11．（2024·四川泸州·一模）已知函数 的定义域为 ，若
，则（ ）
A． B．
C． D．
题型 05 原函数与导函数的双函数型
【解题规律·提分快招】
原函数与导函数的性质
性质1 若函数f (x)是可导函数，且图像关于(m,n)对称，则其导函数f' (x)的图像关于x=m轴对称
性质2 奇函数的导数为偶函数性质3 若函数f (x)是可导函数，且图像关于(m,n)对称，则其导函数f' (x)的图像关于x=m轴对称
性质4 偶函数的导数为奇函数
性质5 若函数f (x)是可导函数，且图像关于x=m对称，则其导函数f' (x)的图像关于(m,0)对称
偶函数的导数为奇函数
性质6 若定义在R上的函数f (x)是可导函数，且周期为T，则其导函数f' (x)是周期函数，且周期也为T
性质7 若函数f (x)是可导函数，定义域为D，其导函数f' (x)的图像关于x=m轴对称，则f (x)图像关
( f(x )+f(2m−x ))
于 m, 0 0 对称， x 为定义域内任意一点
2
0
【典例训练】
一、多选题
1．（2024高三·全国·专题练习）已知定义在 上的偶函数 满足 ，且
，则（ ）
A． 的周期为4 B．
C． 为函数 图象的一条对称轴 D． 的图象关于点 对称
2．（24-25高三上·河南·期中）定义在 上的偶函数 满足 ，当 时，
，则（ ）
A． 的图象关于点 对称 B．
C．当 时， D． 在 上单调递减
3．（2024·湖北·一模）已知定义在 上的函数 分别满足： 为偶函数，
，则下列结论正确的是（ ）
A．函数 为周期函数
B．
C． 的图像关于点 中心对称
D．
4．（24-25高三上·安徽合肥·阶段练习）已知函数 的定义域为R，函数 为偶函
数，函数 为奇函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数 的一个对称中心为(2,1)
B．C．函数 为周期函数，且一个周期为4
D．
5．（24-25高三上·山东菏泽·期中）已知函数 的定义域为 ，满足 ，且
为偶函数，则下列结论正确的是（ ）
A． 的图象关于点 对称 B． 是周期为4的周期函数
C． D．
6．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）已知函数 ，则（ ）
A． 是R上的减函数 B．不等式 的解集为
C．若 是奇函数，则 D． 的图象关于点 对称
7．（24-25高三上·江苏无锡·阶段练习）定义在R上的函数 满足 为
奇函数，函数 满足 ，若 与 恰有2025个交点
，则下列说法正确的是（ ）
A． B． 为 的对称轴
C． D．
8．（2024高三·全国·专题练习）（多选）设函数 的定义域为 ， 为奇函数， 为偶函
数，当 时， ，则下列结论正确的是（ ）
A．
B． 在 上为减函数
C．点 是函数 的一个对称中心
D．方程 仅有6个实数解
9．（24-25高三上·江西·阶段练习）已知函数 ， 的定义域均为 ，且 ，
，若 为偶函数，且 ，则（ ）
A． 的图象关于点 对称
B．C．
D．
10．（24-25高三上·四川自贡·期中）已知定义在 上的函数 满足 ，且
是奇函数，则（ ）
A． B．
C． 的图象关于点 对称 D．若 ，则
题型 06 函数性质的综合应用
【典例训练】
一、单选题
1．（2024高三·全国·专题练习）已知 为 上的奇函数， 为 的导函数，若
，则 （ ）
A．1 B． C．2 D．2025
2．（2024高三·全国·专题练习）定义域为 的函数 满足 ， 的导函数 为
连续函数，函数 的图象关于点 中心对称，则 （ ）
A．3 B． C．1 D．
3．（24-25高三上·河南南阳·期中）已知函数 是定义在 上的连续可导函数，且满足①
，② 为奇函数，令 ，则下列说法错误的是（ ）
A． 的图象关于 对称 B．
C． D．
4．（24-25高三上·山东济宁·期中）已知函数 的定义域为 ，且 为偶函数， 为奇函
数，记 的导函数为 ，则下列函数为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·山西吕梁·二模）已知可导函数 的定义域为 为奇函数，设 是 的导函数，若 为奇函数，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
二、多选题
6．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 为定义在 上的奇函数， 为 的导函数，若函数
为奇函数，且 ，则（ ）
A． B． 的图象关于直线 对称
C． 的周期为2 D．
7．（24-25高三上·江苏无锡·阶段练习）已知函数 及其导函数 的定义域均为R，记 .
若 ， 均为奇函数，且 ，则（ ）
A． 关于直线 对称 B． 关于点 对称
C． 的周期为4 D．
8．（24-25高三上·山东临沂·阶段练习）已知 为定义在 上的可导函数， 的导数为
， ，且 的图象关于直线 对称， ，则下列
结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
一、单选题
1．（24-25高三上·青海·期中）已知 是奇函数，当 时， ，则 （ ）
A． B． C．9 D．25
2．（2025高三·全国·专题练习）已知函数 在 上单调递减，则m的取值范
围为（ ）
A． B． C． D．3．（2025高三·全国·专题练习）函数 的部分图象是（ ）
A． B．
C． D．
4．（24-25高三上·河南·开学考试）已知函数 ，则函数 的图象的对称中心的坐标为
（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·重庆·模拟预测）已知 是周期为 的函数，且 都有 ，则
（ ）
A． B． C． D．
6．（2025高三·全国·专题练习）已知函数 （ 且 ）在 上单调递增，则实
数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知函数 的图象如图所示，则函数 的解析式可能是（ ）
A． B．C． D．
8．（24-25高三上·北京·期中）已知函数 的定义域为 ， ， 是偶函数，且 在
单调递增，则（ ）
A． B．
C． D．
9．（24-25高三上·陕西咸阳·阶段练习）若函数 是奇函数，则函数 的图象的对称中心
是（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·广东茂名·一模）函数 和 均为 上的奇函数，若 ，则
（ ）
A． B． C．0 D．2
11．（2024高三·全国·专题练习）设函数 的定义域为 ，若 在 上单调递减，且关于
对称，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．（24-25高三上·天津南开·期末）若函数 为奇函数，则 （ ）
A． B． C． D．
13．（23-24高三上·安徽·期末）已知函数 ，则
（ ）
A．4047 B．4048 C．4049 D．4050
14．（2024高三·江苏·专题练习）已知定义在 上的偶函数 满足
．则 （ ）
A．4545 B．4552 C．4553 D．4554
15．（2024高三·上海·专题练习）已知定义在R上的函数 ，若 是奇函数， 为偶函数，
当 时， ，则 （ ）A．－1 B．1 C．0 D．2 0192
16．（2024·山东·二模）已知 为定义在 上的奇函数，设 为 的导函数，若
，则 （ ）
A．1 B． C．2 D．2024
17．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 的定义域为R， 的图象关于直线 对称，
为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
18．（24-25高三上·河北邢台·阶段练习）已知函数 的定义域是 ，则下列命题中不正确的是（ ）
A．若 是偶函数， 为奇函数，则 是偶函数
B．若 是偶函数， 为奇函数，则 是偶函数
C．若 是单调递减函数，则 也是单调递减函数
D．若 是单调递增函数，则 也是单调递增函数
19．（24-25高三上·四川·阶段练习）已知函数 ，设
，则 的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
20．（24-25高三上·湖北武汉·阶段练习）设函数 是奇函数，函数 的图象与
的图象有 个交点，则这些交点的所有横坐标与纵坐标之和等于（ ）
A．－10120 B．－5060 C．10120 D．5060
二、多选题
21．（24-25高三上·广西桂林·期中）对于定义在 上的函数 ，若 是奇函数， 是偶
函数，且 在 上单调递减，则（ ）
A．
B．
C．
D． 在 上单调递减
22．（24-25高三上·辽宁·期中）已知函数 及其导函数 的定义域为 ，若 与 均为偶函数，且 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．4是 的一个周期
C． D． 的图象关于点 对称
23．（2024·四川宜宾·一模）已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，记 .若
与 均为偶函数，则（ ）
A． B．
C． D．
24．（2024·广西柳州·一模）我们知道，函数 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是
函数 为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数 的图象关于点 成中心对称图形
的充要条件是函数 为奇函数．已知 是定义在 上的可导函数，其导函数为 ，若
函数 是奇函数，函数 为偶函数，则下列说法错误的是（ ）
A． B．
C． 为奇函数 D．
25．（24-25高三上·宁夏石嘴山·期中）已知函数 ， 均是 上的连续函数， ， 分别为
函数 和 的导函数，且 ， ，若 为奇函数，则（ ）
A． 是周期函数 B． 为奇函数
C． 关于 对称 D．存在 ，使
26．（2024高三·全国·专题练习）已知定义在 上的函数 ， 满足 ，
， ， ，则下列结论一定正确的是（ ）
A．f (−x)=−f (x) B．
C． D．
27．（24-25高三上·山西·期中）已知定义域为 的函数 满足 ， 为奇函
数， ，则（ ）
A．8是 一个周期 B． 为偶函数
C． D．三、填空题
28．（2024高三·全国·专题练习）周期为4的函数 满足 ，且当 时，
，则不等式 在 上的解集为 .
29．（2024高三·全国·专题练习）已知对于 ，恒有 ，且当 时，
，则能使 成立的一个 的整数值为 ．
30．（24-25高三上·四川绵阳·期中）已知函数f (x),g(x)的定义域为 的图象关于直线 对称，
且 ， ，若 ，则 .
31．（24-25高三上·福建福州·期中）已知函数 为奇函数， ， 与 的图
像有8个交点，分别为 ，则 ．
32．（2024高三·全国·专题练习）已知定义域为R的函数 满足 ， 的图象
关于直线 对称， ，则 ．
33．（24-25高三上·河北·阶段练习）已知定义在 上的函数 ，满足 ，
为偶函数， 满足 ，则 ．
