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专题 04 函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性的应用
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题型01 函数的单调性及其应用...............................................................................................................................1
题型02 奇偶性及其应用...........................................................................................................................................6
题型03 周期性及其应用.........................................................................................................................................14
题型04 对称性及其应用.........................................................................................................................................21
题型05 原函数与导函数的双函数型.....................................................................................................................27
题型06 函数性质的综合应用.................................................................................................................................35
题型 01 函数的单调性及其应用
【解题规律·提分快招】
解决含参数的函数的单调性问题应注意两点
(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．
(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点．
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·广东肇庆·阶段练习）已知 ，比较a，b，c的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据 在 上单调递增比较 和 的大小，根据 和 的大小比较 和 的大小，根据
在 上单调递减比较 与 的大小，根据 与 的大小比较 和 的大小.
【详解】因为函数 在 上单调递增，
所以 ，
又 ，所以 ，又因为函数 在 上单调递减，
所以 ，因为 ，
所以 ，综上， .故选：C.
2．（2024·四川德阳·一模）函数 单调递增，且 ，则实数 的取值
范围为（ ）
A． B． C． D．(0,1)
【答案】C
【分析】根据指数函数的性质及函数的单调性，列出不等式组求解即可.
【详解】解：因为当 时， 单调递增；
当 时， 单调递增；
又因为 单调递增，且 ，
所以 ，
解得 .
故选：C.
3．（24-25高三上·河南许昌·期中）已知函数 在 上单调递增，则a的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用二次函数的单调性、结合对数型复合函数的单调性列不等式求解作答.
【详解】由 或 .
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增.
又函数 在 上单调递增，所以 .
即 的取值范围为： .
故选：D
4．（2024高三·全国·专题练习）已知偶函数 在区间 上单调递减.若 ，则 的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由函数的奇偶性和单调性，将函数值不等式转换为自变量不等式，解得 的取值范围.
【详解】因为偶函数 在区间 上单调递减，所以 在区间 上单调递增，则 等价于 ，即 ，
即 ，解得 ，
即原不等式的解集为 .
故选：C.
二、多选题
5．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）下列函数既是奇函数，又是增函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】由函数奇偶性的概念及函数解析式直接判断单调性，即可求解.
【详解】对A 函数 为奇函数.且当 时， 单调
递增；
根据奇函数的性质， 在 上也单调递增，∴f (x)在R上为增函数，故A正确；
对B 函数 的定义域为 函数 为非奇非偶函数，故B错误；
对C 函数 不是奇函数，故C错误；
对D 为奇函数，
且 均随 的增大而增大，即 在R上为增函数，故D正确.
故选：AD
6．（24-25高三上·四川眉山·期中）若函数 ，则满足 的 的取值
范围可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】利用f (−x)=−f (x)得 为 上的奇函数，求导可得f′(x)>0恒成立， 为 上的增函数，
利用奇函数的性质把不等式等价变形，结合函数的单调性可解不等式.
【详解】∵ ，定义域为 ，
∴ ，∴ 为 上的奇函数.
∵ ，当且仅当 ，即 时，等号成立.
∵ 时， ，
∴f′(x)>0恒成立，即 为 上的增函数.
由 得 ，
∴ ，解得 或 ，即 的取值范围为 .
故选：BD.
三、填空题
7．（24-25高三上·上海宝山·阶段练习）已知 ， 函数 若该函数存在最
小值，则实数 的取值范围是
【答案】
【分析】就分段函数的每一段判断其单调性，求出值域，根据题意得到关于 的不等式，解之即得.
【详解】当 时，因 ， 为减函数，故 ；
当 时，因 ， 为减函数，故 .
依题意，该函数存在最小值，需使 ，解得 .
故实数 的取值范围是 .
故答案为： .
8．（2024高三·全国·专题练习）设函数 的最大值为M，最小值为N，
则 ．
【答案】3
【分析】先应用常数分离化简解析式，再结合正弦函数及指数函数的单调性得出函数单调性进而确定函数
最值计算求解.
【详解】 ，
因为 ，所以 是增函数，所以 是增函数，所以当 时， 取得最小值 ，
当 时， 取得最大值 ，
所以 ．
故答案为：3.
9．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 ， ，若 ，
使得 成立，则实数 的取值范围为 .
【答案】 .
【分析】根据题意当 ， ，则可转化为
，可求得参数 的取值范围.
【详解】因为 ， ，
依题意， ，即 ，得 .
所以所求实数 的取值范围为 .
故答案为： .
10．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知 ，若对 ，都有 ，
则 的取值范围是 .
【答案】
【分析】分情况结合图像可求得结果.
【详解】当 时， ，
若 ，则 是开口向上，顶点为 的抛物线，
若 ，则 在 上单调递增，当 趋于 时， 趋于 ，，
此时对 ， 不成立；
当 时， ，
若 ，则 ，
若 ，则 在(0,+∞)上单调递增，
，
此时对 ， 不成立；
当 时， ，
若 ，则 是开口向下，顶点为 的抛物线，
若 ，则 在 上单调递增，
，
此时对 ， 成立；
综上 的取值范围是 ，
故答案为： .
题型 02 奇偶性及其应用
【解题规律·提分快招】奇偶函数的性质
（1）偶函数⇔f(－x)＝f(x) ⇔关于y轴对称⇔对称区间的单调性相反；
（2）奇函数⇔f(－x)＝－f(x) ⇔关于原点对称⇔对称区间的单调性相同；
奇偶性技巧
（1）若奇函数 在 处有意义，则有 ；
（2）对于运算函数有如下结论：奇 奇=奇；偶 偶=偶；奇 偶=非奇非偶；
奇 奇=偶；奇 偶=奇；偶 偶=偶.
(3)常见奇偶性函数模型
奇函数：** 错误的表达式 **函数 或函数 ．** 错误的表达式 **函
数 ．
** 错误的表达式 **函数 或函数
** 错误的表达式 **函数 或函数 ．
注意：关于** 错误的表达式 **式，可以写成函数 或函数 ．
偶函数：** 错误的表达式 **函数 ．** 错误的表达式 **函数 ．
** 错误的表达式 **函数 类型的一切函数．
【典例训练】
一、单选题
1．（2025高三·全国·专题练习）已知函数 的部分图象如下所示，则 的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据图象分别判断 的奇偶性，零点以及特殊值，排除即可.【详解】因为 ，所以四个选项中 的定义域为 ，
对于A，由图知， 的部分图象关于y轴对称，所以 是偶函数，
而 ，所以 是奇函数，故A错误；
对于B，由图知， 的图象与 轴有四个交点，所以 至少有四个零点，
令 ，得 ，所以 只有两个零点，故B错误；
对于D，由图知， ，而 中 ，故D错误.
故选：C.
2．（24-25高三上·甘肃兰州·阶段练习）已知定义在 上的函数 在 内为减函数，且 为
偶函数，则 的大小为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】依题意可得 ，即可得到 ， ，再根据函数的单调性
即可判断.
【详解】 为偶函数， ，
， ，
，定义在 上的函数 在 内为减函数，
，即 ，
故选：B．
3．（24-25高三上·山东泰安·阶段练习）已知函数 的定义域为 ， ， 是偶函数，且
对于任意的 ， ，都有 成立，则（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【分析】由奇偶性可知 关于 对称，且 在 上单调递增，利用对称性以及单调性对选项
逐一判断可得结论.
【详解】根据题意由 是偶函数可得 关于 对称，
又任意的 ， ，都有 成立，可得 在 上单调递增；
由
所以可得 ，即 ，可得A错误；
又 ，即 ，即B错误；
同理 ，即 ，可得C错误；
，即 ，可得D正确.
故选：D
4．（24-25高三上·宁夏·期中）奇函数 在 上单调递减，且 ，则满足 的 的
取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据奇函数的性质，先推出 上的单调性，分别解 ， 即可.
【详解】根据奇函数的性质，奇函数 在 上单调递减，则在 上仍然递减.
当 时， ，在 上单调递减，故 ，则 ；
当 时，注意到 ，于是 ，在 单调递减，故 ，则
.
综上， .
故选：D
5．（24-25高三上·江西宜春·期末）函数 的图象大致为（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【分析】根据函数解析式可判断 为奇函数，再由函数值的符号可得结论.
【详解】易知函数 的定义域为 ，
根据
，
可得 为奇函数，图象应关于原点成中心对称，可排除AD，
根据函数可得 ，
当 时，此时 ，
故选：B.
6．（2024高三·全国·专题练习）已知 是定义在 上的偶函数， 是定义在 上的奇函数，且
，则 的值为（ ）
A． B．1 C．0 D．2
【答案】C
【分析】根据函数 与 的奇偶性，可推导出函数 的周期，利用周期得 ，
，再由 为奇函数即可得解.
【详解】由题意得 .
又因为 是定义在R上的偶函数， 是定义在R上的奇函数，
所以 ，
所以 ，即 的周期为4.
所以 .
又因为 ，所以 .
故选：C.
二、多选题7．（2024高三·全国·专题练习）（多选）函数 ，若存在 ，使得 为奇函
数，则实数 的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】根据函数的奇偶性得出参数得 ，再分类讨论结合三角函数为偶函数计算得出参数.
【详解】由题意知 为奇函数，
则 ，得 或 ，
经验证， 不符合题意；
则 ，要使 为奇函数
时， 的解析式为“奇 偶”的结构，则 为偶函数，
所以 ，可得 ，所以 ，
当 时， ，当 时， ，
所以AC满足题意，验证得BD不满足题意．
故选：AC．
8．（24-25高三上·江苏南通·期中）设 为 上的增函数，满足： ，
，则（ ）
A． B． 为奇函数
C． ， D． ，
【答案】ABD
【分析】选项A，根据条件，通过赋值，即可求解；选项B，由 ，得到
，进而得到 ，而又由 可得 ，
得到 ，即可判断选项B的正误；选项C，根据条件得 ， ，再利用
，得到当 时， ，再结合 的单调性，即可求解；选项D，构造函数
，利用导数与函数单调性间的关系，得到 ，从而有 ，
再结合条件，即可求解.
【详解】对于选项A，因为 ，令 ，得到 ，
又 ，令 ，得到 ，所以 ，故选项A正确，对于选项B，因为 ，得到 ，所以 ，
又 ，所以 ，
又由 可得 ，所以 ，
又 的定义域为 ，定义域关于原点对称，所以 为奇函数，故选项B正确，
对于选项C，因为 ，令 ，得到 ，由选项A知 ，
又由选项B知 ，且 为奇函数，则当 时， ，
所以当 时，不存在 ，使 成立，
当 ，因为 为 上的增函数，则 （其中 表示不超过 的最大
整数），所以选项C错误，
对于选项D，令 ，则 ，由 ，得到 ，
所以当 时， ，当 时， ，
即 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
所以 ，即 ，当且仅当 时取等号，
由选项B知 ，又 为 上的增函数，
所以 ，当且仅当 时取等号，故选项D正确，
故选：ABD.
【点睛】关键点点晴：本题的关键在于选项C和D，选项C，关键在于结合条件得到当 时， ，
再利用 的单调性，当 ，有 （其中 表示不超过 的最大整
数），即可求解；选项D，构造函数 ，利用导数与函数的单调性间的关系得到 ，
结合条件，得到 ，即可求解.
9．（24-25高三上·山东济南·阶段练习）已知函数 的定义域为 的图象关于 对称，且
为奇函数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】根据给定条件，求出 判断A；由点 关于 的对称点是 推理判断C；
用 换 代入 ，结合C推理判断B；由选项B结合已知可得
，再累加计算判断D.
【详解】对于A，由 为奇函数，得 ，则 ，由 的图象关于 对称， ，因此 ，A错误；
对于C，点 关于 的对称点是 ，由 的图象关于 对称，
得点 在函数 的图象上， ，C正确；
对于B，由 为奇函数，得 ，则 ，
于是 ，即点 在函数 的图象上，
则点 在函数 的图象上，因此 ，即 ，B正确；
对于D，由 ，得 ，而 ，
则 ，因此
，D错误.
故选：BC
【点睛】关键点睛：抽象函数性质的综合性问题，主要采取代换、迭代的方法研究性质或求值，本题关键
在于灵活运用 的图象关于 对称，以及奇函数的对称性进行灵活代换.
三、填空题
10．（2024高三·全国·专题练习）若 为偶函数，则
【答案】1
【分析】由已知 为偶函数，可得 ，列方程求解即可.
【详解】因为 为偶函数，所以 .
， ，
即 ，解得 .
故答案为：1.
11．（24-25高三上·北京·开学考试）写出一个同时具有下列性质的函数 .
①函数 是偶函数；
②当 时， 单调递减.
【答案】
【分析】据性质①可得知函数的对称轴为直线 ，结合性质②可得一个以直线 为对称轴且开口向下
的二次函数.
【详解】①函数 是偶函数，则 图像关于 轴对称，故函数 对称轴为直线 ，
②当 时， 单调递减，结合这两点性质可得到函数满足对称轴为 ，以及在区间 上单调递减即可，
是开口向下的二次函数，满足以上条件.
故答案为： .
12．（2024高三·全国·专题练习）函数 在 上的最大值和最小值分别为
，则 ．
【答案】2
【分析】先化简函数，再结合奇函数的性质得出函数值即可.
【详解】 ，
令 ， , 为奇函数，所以 关于 对称,
所以 关于(0,1)对称，
所以 ．
故答案为：2.
题型 03 周期性及其应用
【解题规律·提分快招】
周期性技巧【典例训练】
一、单选题
1．（2024高三·全国·专题练习）若函数 满足 ，且当 时， ，
则 （ ）
A． B．10 C．4 D．2
【答案】B
【分析】利用周期性求值即可.
【详解】由 ，得 ，
∴函数 是周期函数，且4是它的一个周期.
又当 时， ，
∴ ，
故选：B.
2．（2024·宁夏银川·一模）若函数 是定义在 上的奇函数， ，则
（ ）
A．2 B．0 C．60 D．62【答案】A
【分析】根据题意得出函数的周期性、对称性，进一步得出 即可得解.
【详解】由题意 ，所以 的周期为4，
且 关于直线 对称，
而 ，
所以 .
故选：A.
3．（24-25高三上·黑龙江·期中）已知函数 是 上的奇函数，对任意 ，都有
成立，则 （ ）
A．4 B．2 C． D．0
【答案】D
【分析】由函数 是 上的奇函数，得到 ，再由 ，得到 求解.
【详解】解：因为函数 是 上的奇函数，所以 .
又对任意 ，都有 成立，
令 ，得 ，即 ，
所以 ，则 ，
所以 ，则 ，
故 ，
所以 .
故选：D
4．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数 为偶函数，且满足 ，当
x∈(0,1)， ，则 的值为( ).
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由函数 为偶函数，且满足 ，得出周期为2，根据性质计算 即
可.
【详解】函数 为偶函数，且满足 ，可得f (−x)=f (x)，
f (1+x)=f (1−x)，即有 ，可得 的周期为2，当x∈(0,1)， ，可得：
.
故选：C.
5．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知函数 的图象关于原点对称，且满足
，且当 时， ，若 ，则 等于
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】 由已知得出函数图象的对称中心，函数是奇函数，从而得出函数为周期函数，得最小正周期，
利用周期性及奇偶性可化简计算函数值．
【详解】依题意函数 的图象关于原点对称，所以 为奇函数，
因为 ，
故函数 的周期为4，则 ，而 ，
所以由 可得 ，而 ，
所以 ，解得 .
故选：D.
6．（2024高三·全国·专题练习）已知 是定义在 上的偶函数， 是定义在 上的奇函数，且
，则 的值为（ ）
A． B．1 C．0 D．2
【答案】C
【分析】根据函数 与 的奇偶性，可推导出函数 的周期，利用周期得 ，
，再由 为奇函数即可得解.
【详解】由题意得 .
又因为 是定义在R上的偶函数， 是定义在R上的奇函数，
所以 ，
所以 ，即 的周期为4.所以 .
又因为 ，所以 .
故选：C.
7．（2024·吉林·三模）已知 是定义在 上的奇函数，且 是偶函数，当 时，
，则 （ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】D
【分析】利用 与 的奇偶性推得 是周期函数，从而结合题设条件即可得解.
【详解】 是偶函数， ，
则 ，从而 ，
又 是奇函数，则 ，
，进而 ，
所以 是周期为 的周期函数，
又当 时， ，则 ，
所以 .
故选：D.
8．（2024高三·全国·专题练习）已知 是定义在 上的奇函数，若 为偶函数且 ，则
（ ）
A． B．4 C． D．6
【答案】C
【分析】首先根据 是奇函数， 为偶函数，求得 是以6为周期的周期函数，然后分别求
解 .
【详解】因为 是定义在 上的奇函数，且 为偶函数，
所以 ， 且 ，
则 ，即 ，
所以 ，即 是以6为周期的周期函数.又 ， ，
所以 ，
，
，
所以 .
故选：C.
二、多选题
9．（23-24高三上·江苏南通·开学考试）已知函数 为R上的奇函数， 为偶函数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】利用条件中的奇偶性进行推理可得周期，结合选项可得答案.
【详解】因为 为R上的奇函数，所以 ；
因为 为偶函数，所以 ，故B正确；
由 可得 ，所以 ；
因为 ，其结果不一定为零，故A不正确；
由 得 ，所以 ，故C正确；
由 得 ，所以周期为4，
所以 ，因为 从题目无法得出，故D不正确；
故选：BC.
10．（24-25高三上·吉林·期中）已知定义在 上的函数 满足 ，且 是
奇函数，则（ ）
A． 的图象关于点 对称
B．
C．
D．若 ，则
【答案】ABD
【分析】对A：由 是奇函数可得 ，即可得解；对B：由，借助赋值法计算即可得解；对C：借助所得函数的周期性，结合周期性与赋值
法计算即可得；对D：由 ，计算即可得.
【详解】对A：由 是奇函数，则 ，又 定义域为 ，
故 的图象关于点 对称，故A正确；
对B：由 ，则 ，
故 ，故 周期为 ，故 ，故B正确；
对C： ，令 ，有 ，
故 ，故C错误；
对D：由 ，
则
，故D正确.
故选：ABD.
11．（2025高三·全国·专题练习）已知 是定义在 上的奇函数， 是奇函数，且当 时，
，则下列结论正确的是（ ）
A． B． 在 上单调递减
C． D．当 时，
【答案】ABD
【分析】根据题设得 ，进而有 ，结合已知区间单调性，即可判断A、
B；将自变量代入，结合对数的运算性质求函数值判断C；由 得 ，再由
即可判断D.
【详解】对于A：因为 是奇函数，所以 ，且图象关于原点对称，
因为 是奇函数，所以 ，
令 ，得 ，以 代替 得 ，
再以 代替 得 ，正确．
对于B：由 知， 在 上单调性与在 上相同，由题意，在 上 单调递减，又 是 上的奇函数，
所以 在 上单调递减，又函数 的图象连续，
所以 在 上单调递减，则 在 上单调递减，正确．
对于C：因为 ，所以 ，即 ，
所以
，不正确．
对于D：当 时， ，
所以 ， ，
所以当 时， ，正确．
故选：ABD
12．（24-25高三上·山东·阶段练习）已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 是偶函数 B． 是周期函数
C． 关于直线 对称 D．当 时，
【答案】BCD
【分析】A项特值可得；B项由定义证明；C项证明 成立即可；D项由对称性分析当
时， 是否成立即可.
【详解】A项， ，
，
得 ，所以 不是偶函数，故选项A错误；
B项， ，
所以 是以 为周期的周期函数，故选项B正确；
C项，
，所以 关于直线 对称，故选项C正确；
D项，由 关于直线 对称，
只需看当 时， 是否成立.
当 时， ， ， ，
，所以 ，即 ；
又因为 ，
所以 ，
所以 ，即 ，
所以 ，故选项D正确.
故选：BCD.
题型 04 对称性及其应用
【解题规律·提分快招】
1.中心对称结论：
（1）若函数 满足 ，则 的一个对称中心为
（2）若函数 满足 ，则 的一个对称中心为
（3）若函数 满足 ，则 的一个对称中心为 .
2.轴对称性的常用结论如下：
（1）若函数 满足 ,则 的一条对称轴为
（2）若函数 满足 ,则 的一条对称轴为
（3）若函数 满足 ,则 的一条对称轴为
（4）f(a－x)= f(b＋x)⇔f(x)的图象关于直线x=对称；
3.函数的的对称性与周期性的关系
（1）若函数 有两条对称轴 ， ，则函数 是周期函数，且 ；
（2）若函数 的图象有两个对称中心 ，则函数 是周期函数，且
；（3）若函数 有一条对称轴 和一个对称中心 ，则函数 是周期函数，且
.
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·北京·开学考试）函数 的图象的对称中心为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】依题意可得 ，再根据幂函数的性质及函数平移规则得解；
【详解】因为 ，由 向上平移一个单位得到 ，
又 关于 对称，所以 关于 对称；
故选：B
2．（2024·宁夏银川·一模）若函数 是定义在 上的奇函数， ，则
（ ）
A．2 B．0 C．60 D．62
【答案】A
【分析】根据题意得出函数的周期性、对称性，进一步得出 即可得解.
【详解】由题意 ，所以 的周期为4，
且 关于直线 对称，
而 ，
所以 .
故选：A.
3．（2024·浙江·模拟预测）已知函数 ，则 （ ）
A． B． C．0 D．8100
【答案】A
【分析】首先得出 关于 中心对称，然后即可利用这一性质求解.
【详解】 ，
所以 ，即 关于 中心对称，所以
.
故选：A.
4．（24-25高三上·安徽六安·期中）函数 在 上单调递减，且 是偶函数，若
，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据 是偶函数可得 关于 对称，再根据函数单调性求解即可.
【详解】 是偶函数可得 ，即 关于 对称， .
又 在 上单调递减，则在 上单调递增.
故 有 或 ，解得 或 .
故选：C
5．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）若定义在 上的函数 满足 是奇
函数， ，则 （ ）
A．0 B．1 C．2024 D．2025
【答案】A
【分析】根据已知f (x+2)+f (x)=0得函数的周期为4，再结合函数是奇函数得出 ，进而计算一个
周期函数值和为0，最后计算求值.
【详解】由f (x+2)+f (x)=0得 ，函数的周期为4，
又 是奇函数，所以函数的图象关于 对称，即 ，
因为 ，令x=2可得
令 得： ，所以 ，
故 .
故选：A.
6．（24-25高三上·重庆·期末）已知函数 的定义域为 ，则下列选项
一定正确的是（ ）
A． B．C． D． 的图象关于直线 对称
【答案】C
【分析】根据函数的对称性以及周期性，即可结合选项逐一求解.
【详解】根据 可得 可得 对称，故B错误，
由 可得 为周期函数，且周期为4，
对于A，无法确定f (1)=0，故A错误，
对于C， ．C正确，
对于D，由于 关于 对称且周期为4，故 ，
无法确定 和 的关系，因此无法确定 是函数的对称轴，故D错误，
故选：C
7．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）若函数 满足 ，且 的图象关于
点 对称，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】依题意可得 ，即可得到 ，从而求出 、 、 的值.
【详解】因为 的图象关于点 对称，所以 ， ，
又 ，所以 ，则 ，故B错误；
由 ，所以 ，所以 ，
又 ，所以 ，则 ，故D正确；
由于只有 ，无法得知 、 的值，故A、C错误.
故选：D
8．（24-25高三上·山东·期中）若定义在 上的函数 满足 ， 是奇函数，
，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】根据条件判断抽象函数的周期，对称性，根据周期性和对称性求函数值，再代入求和.
【详解】根据 ，以 代换 得： ，所以 ，
可知函数 的周期为4，
因为 是 上的奇函数，所以 ，即 关于点 对称，于是 ， ，
由 ，取 得 ，即 ，
则 ，因此 ，取 ，得 ，
于是 ，
因此， .
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用赋值，赋变量，转化抽象关系式，判断函数的周期性和对称性.
二、多选题
9．（24-25高三上·新疆省直辖县级单位·开学考试）已知奇函数 的定义域为 ，若 ，
则（ ）
A． B． 的图象关于直线 对称
C． D． 的一个周期为
【答案】ACD
【分析】由奇函数可得 ，再根据函数的周期性与对称性分别判断.
【详解】对于A，由定义域为 且函数 为奇函数，可得 ，A选项正确；
对于B，由 ，可得 ，则函数 关于直线 对称，B选项错误；
对于C，由 以及奇函数性质可知 ，
可得 ，即可得 ，即C选项正确；
对于D，根据C中的结论可知 ，
即可得 ，函数 的一个周期为 ，D选项正确；
故选：ACD.
10．（23-24高三上·山东·阶段练习）已知 是定义在 上的不恒为零的函数，对于任意 都满
足 ，且 为偶函数，则下列说法正确的是（ ）
A． B． 为奇函数
C． 关于点 对称 D．
【答案】ACD【分析】令 ，可判定A正确；令 ，得到 ，可判定C正确，B错误；根据
题意，推得 ，得到 的周期为 ，令 ，求得 ，结合函数的周期性，
求得 ，可判定D正确．
【详解】由对于任意 都满足 ，
令 ，则 ，所以A正确；
令 ，可得 ，即 ，
所以函数 关于点 对称，所以C正确，B错误；
又由 为偶函数知 关于直线 对称，即 ，
可得 ，则 ，所以 ，
所以函数 的周期为 ，令 ，则 ，
可得 ，
，
所以 ，所以D正确．
故选：ACD．
11．（2024·四川泸州·一模）已知函数 的定义域为 ，若
，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】应用赋值法可求得 ， 和 ，变换可得 ，
与 联立即可求得 ，应用 可得
，进而可得 .
【详解】因为 所以 所以 ，
取 ，由 可知， ，故A错误；
取 ，由 知， ，
所以 ，故B正确；令 ，由 知， ，即 ，
又因为 ，所以 ，故C错误；
由 得， ，
所以 ，
所以 ，所以 ，
又 ，所以 ，
所以 ，故D正确.
故选：BD
题型 05 原函数与导函数的双函数型
【解题规律·提分快招】
原函数与导函数的性质
性质1 若函数f (x)是可导函数，且图像关于(m,n)对称，则其导函数f' (x)的图像关于x=m轴对称
性质2 奇函数的导数为偶函数
性质3 若函数f (x)是可导函数，且图像关于(m,n)对称，则其导函数f' (x)的图像关于x=m轴对称
性质4 偶函数的导数为奇函数
性质5 若函数f (x)是可导函数，且图像关于x=m对称，则其导函数f' (x)的图像关于(m,0)对称
偶函数的导数为奇函数
性质6 若定义在R上的函数f (x)是可导函数，且周期为T，则其导函数f' (x)是周期函数，且周期也为T
性质7 若函数f (x)是可导函数，定义域为D，其导函数f' (x)的图像关于x=m轴对称，则f (x)图像关
( f(x )+f(2m−x ))
于 m, 0 0 对称， x 为定义域内任意一点
2
0
【典例训练】
一、多选题
1．（2024高三·全国·专题练习）已知定义在 上的偶函数 满足 ，且
，则（ ）
A． 的周期为4 B．
C． 为函数 图象的一条对称轴 D． 的图象关于点 对称
【答案】BCD
【分析】运用函数关系式，先求出函数周期，然后利用赋值法求值，进而得到对称轴和对称中心求解即可.【详解】因为定义在R上的函数 满足 ，所以 ，
所以 是以8为周期的周期函数，A错误；
因为 ，当 时， ，又因为 ，
所以 ，所以 ， ，B正确；
因为 为偶函数，所以 为函数y=f (x)图象的一条对称轴，又因为 周期为8，
则 为函数y=f (x)图象的一条对称轴，C正确；
因为 ，所以 ，所以 的图象关于点 对称，
又因为 的周期为8，所以 的图象关于点 对称，D正确．
故选：BCD.
2．（24-25高三上·河南·期中）定义在 上的偶函数 满足 ，当 时，
，则（ ）
A． 的图象关于点 对称 B．
C．当 时， D． 在 上单调递减
【答案】ABC
【分析】利用函数的对称性判断A；求出函数的值域判断B；利用偶函数的性质，结合题中条件求得
的解析式判断C；举反例判断D.
【详解】对于A，由 ，得 的图象关于点(1,0)对称，A正确；
对于C，当 时， ，则 ，
即当 时， ，
当 时， ，则 ，
因此当 时， ，C正确；
对于B，由 ，且 为偶函数，得 ，
即 ，则 ，即函数 是周期函数，周期为4，
由选项C知，函数 在 上的最小值为 ，最大值为1，
因此 时， ，B正确；
对于D，由B的解析可知 ，函数 在 上不单调，D错误.
故选：ABC
3．（2024·湖北·一模）已知定义在 上的函数 分别满足： 为偶函数，
，则下列结论正确的是（ ）A．函数 为周期函数
B．
C． 的图像关于点 中心对称
D．
【答案】ACD
【分析】根据表达式化简计算可得 ，即A正确，因为偶函数在原点处的取值不确
定，可判断B错误，由对称中心定义可判断C正确，利用累加法计算可得D正确.
【详解】对于A，由 可得 ，即 的周期为2，A正确.
对于B，因为 为偶函数，令 可得 无法确定，B错误，
对于C，因为 为偶函数，所以 ，
可得 ，
因此 关于点 中心对称，即C正确；
对于D， ， ，
累加可得 ，所以 ，即D正确.
故选：ACD
【点睛】方法点睛：在求解对称中心问题时，要充分利用定义将表达式化简得出相应结论即可.
4．（24-25高三上·安徽合肥·阶段练习）已知函数 的定义域为R，函数 为偶函
数，函数 为奇函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数 的一个对称中心为(2,1)
B．
C．函数 为周期函数，且一个周期为4
D．
【答案】ABD
【分析】先应用函数为奇函数代入化简得出对称中心判断A，根据函数 为偶函数结
合赋值法判断B,特殊值法 判断C，赋值法得出函数值判断D.
【详解】对于A，因为 为奇函数，所以 ，即 ，所以 ，
所以 ，所以函数 的图象关于点 对称，所以A正确，
对于B，在 中，令 ，得 ，得 ，
因为函数 为偶函数，所以 ，
所以 ，所以 ，
令 ，则 ，所以 ，得 ，所以B正确，
对于C，因为函数 的图象关于点 对称， ，
所以 ，所以 ，所以4不是 的周期，所以C错误，
对于D，在 中令 ，则 ，
令 ，则 ，因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以D正确，
故选：ABD．
5．（24-25高三上·山东菏泽·期中）已知函数 的定义域为 ，满足 ，且
为偶函数，则下列结论正确的是（ ）
A． 的图象关于点 对称 B． 是周期为4的周期函数
C． D．
【答案】ABD
【分析】分析函数的性质，确定各选项的正确与否，即可得到答案.
【详解】由 可知，函数 的图象关于点 对称，故A正确；
由 为偶函数，所以 .
由 ；
由 ；
所以 ，故函数 是周期为4的周期函数，故B正确；
因为 ，故C错误；
在 中，令 ，得 ；令 得 ，又 ，所
以 ；令 得： .
又函数 是周期为4的周期函数，所以 ，故D正确.
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：本题主要考查了函数基本性质的综合应用，关键是理解奇偶函数的性质的外延，还
要掌握一些常见的结论.
6．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）已知函数 ，则（ ）
A． 是R上的减函数 B．不等式 的解集为
C．若 是奇函数，则 D． 的图象关于点 对称
【答案】ABC
【分析】A选项，根据 在R上单调递增，且 恒成立，得到A正确；B选项，先计算出
，从而得到 ，由函数单调性得到不等式，求出解集；C选项，由
得到 ，求出 ；D选项，根据 得到对称中心.
【详解】A选项， 在R上单调递增，且 恒成立，
故 是R上的减函数，A正确；
B选项， ，
故 ，所以 ，
由A知， 是R上的减函数，故 ，解得 ，
故等式 的解集为 ，B正确；
C选项，若 是奇函数，则 ，
由B选项知， ，故 ，解得 ，C正确；
D选项，由B选项知， ，故 的图象关于点 对称，
由于 与 不一定是同一个点，D错误.
故选：ABC
【点睛】函数的对称性：
若 ，则函数 关于 中心对称，若 ，则函数 关于 对称，
7．（24-25高三上·江苏无锡·阶段练习）定义在R上的函数 满足 为
奇函数，函数 满足 ，若 与 恰有2025个交点
，则下列说法正确的是（ ）
A． B． 为 的对称轴
C． D．
【答案】BCD
【分析】由 得函数 的图象关于直线 对称，由 为奇函数得函数 的图
象关于点 对称，从而函数 是周期函数，周期为4，由 得 的图象关于点
对称，从而函数 与 的交点也关于点 对称，由此可判断各项.
【详解】因为 ，所以函数 的图象关于直线 对称，故B正确；
又 为奇函数，所以 ，
即 ，则函数 的图象关于点 对称，
则 ，所以 ，故C正确；
所以 ， ，
即 ，所以函数 是周期函数，周期为 ，
，故A错误；
又 ，所以函数 的图象关于点 对称，
因此函数 与 的交点也关于点 对称，
则 ，故D正确，
故选：BCD.
8．（2024高三·全国·专题练习）（多选）设函数 的定义域为 ， 为奇函数， 为偶函
数，当 时， ，则下列结论正确的是（ ）
A．
B． 在 上为减函数
C．点 是函数 的一个对称中心
D．方程 仅有6个实数解【答案】CD
【分析】根据奇偶函数的性质，结合函数周期性的定义、对称性的性质，运用数形结合思想逐一判断即可.
【详解】 为奇函数， ，
即 ， 的图象关于点 对称.
为偶函数， ，即 ，
的图象关于直线 对称.
由 ， ，得 ，
，即 是周期为8的周期函数.
对于A， ，A错误；
对于C， ，即 ，
的图象关于点 成中心对称，C正确；
对于BD，由周期性和对称性可得 图象如图所示，
由图象可知， 在 上单调递增，B错误；
方程 的解的个数，等价于 与 的交点个数，
，
结合图象可知， 与 共有6个交点，即 有6个实数解，D正确.
故选：CD
【点睛】关键点点睛：根据函数的奇偶性判断函数的最小正周期，运用数形结合思想、转化思想进行求解
是解题的关键.
9．（24-25高三上·江西·阶段练习）已知函数 ， 的定义域均为 ，且 ，
，若 为偶函数，且 ，则（ ）
A． 的图象关于点 对称
B．
C．
D．
【答案】BD【分析】由 得到 ，再结合 ，确定
，进而通过 的对称性、周期性逐项判断即可.
【详解】 ①，
②，
由②可得： ③，
①③联立可得： ④，
所以 的图象关于点 对称，A错；
由④，又 为偶函数，所以 ，
所以 ，两式相减可得： ，
又 ， ，结合
所以 ，B对，
，由 ，可知： ，
所以 ，所以 ，C错；
由 ，可得 ，结合 ，
得： ，
所以 ，
又 ，所以
即 ， ， ，
所以 ，
所以 ，D正确.
故选：BD
10．（24-25高三上·四川自贡·期中）已知定义在 上的函数 满足 ，且
是奇函数，则（ ）
A． B．
C． 的图象关于点 对称 D．若 ，则【答案】ACD
【分析】利用已知抽象函数关系式和奇偶性定义可推导得到 的周期性和对称性，由此可知ABC的正
误；根据周期性可求得 的值，
由此可计算得到D正确.
【详解】对于A， ，
， ，
，即 是周期 的周期函数，
，A正确；
对于C， 为奇函数， ，
即 ， 关于点 中心对称，C正确；
对于B， ， 令 ，则 ，
，又 ， ，B错误；
对于D， 且 关于点 中心对称， ，
， ，
又 ， ， 图象关于 轴对称，
又 关于点 中心对称， 的图象关于 轴对称；
当 时， ， ，
， ，
，
，
，D正确.
故选：ACD.【点睛】结论点睛：关于函数对称性结论如下：
（1）若 ，则 关于直线 成轴对称；
（2）若 ，则 关于 成中心对称.
题型 06 函数性质的综合应用
【典例训练】
一、单选题
1．（2024高三·全国·专题练习）已知 为 上的奇函数， 为 的导函数，若
，则 （ ）
A．1 B． C．2 D．2025
【答案】C
【分析】y=f′(x)的图象既关于点 对称，又关于 轴对称，那么据此可推断出y=f′(x)的周期.
【详解】 ，求导得 ，即 ①，
因为 为R上的奇函数，则f (−x)=−f (x)，求导得 ，
所以f′(x)是R上的偶函数，所以 ，
结合①式可得， ，
所以 ，两式相减得 ，
所以f′(x)是周期为4的周期函数，所以 ，
由①式，令 ，得 ，所以 ．
故选：C
2．（2024高三·全国·专题练习）定义域为 的函数 满足 ， 的导函数 为
连续函数，函数 的图象关于点 中心对称，则 （ ）
A．3 B． C．1 D．
【答案】A
【分析】利用函数 的图象关于 对称、关于点 中心对称可得 的周期，根据周期可得答案．
【详解】因为 ，则函数 的图象关于点 中心对称，且 ．由 ， ，得 ，
所以函数 的图象关于直线 对称．根据图象变换规律，
由 的图象关于点(2,1)中心对称，得 的图象关于点 中心对称，
又函数 为连续函数，所以 ．
由于 的图象既关于直线 对称，又关于点 对称，则 是周期函数，周期为
所以 ，故 ．
故选：A
3．（24-25高三上·河南南阳·期中）已知函数 是定义在 上的连续可导函数，且满足①
，② 为奇函数，令 ，则下列说法错误的是（ ）
A． 的图象关于 对称 B．
C． D．
【答案】C
【分析】对于A，由 ，将 与 作差，利用条件证明其值为 即得；
对于B，易得 ，由 赋值即得；
对于C，结合 的奇偶性与对称性求出周期，利用 计算即得；
对于D，利用函数 的周期性与奇偶性推得函数 的周期性与奇偶性，利用 计算
即得.
【详解】对于A，因 ，则 ，
由 ，
因 ，
故 ，
则得 的图象关于 对称，故A正确；
对于B，由A项已得 的图象关于 对称，则 ，
由 ，可得 ，则 ，故B正确；对于C，因 为奇函数，故 也是奇函数，图象关于 对称，
因 的图象关于 对称，故函数 的周期为 ，
又 ，则 ，解得 ，故C错误；
对于D，因 为奇函数，且周期为 ，则 ，
由 ，因 ，
故 ，即函数 为偶函数；
由 ，可得 ，
因 的周期为 ，则 ，求导得 ，
即函数 的周期为 .
于是， ，
故得 ，即D正确.
故选：C.
【点睛】思路点睛：本题主要考查抽象函数与导函数的奇偶性，周期性，对称性等性质的应用，属于难题.
解题思路在于根据选项内容，采用相应策略，如对称轴判断，可考虑构造 证其值为0；对于
与导函数有关的值的判断，一般需要将原函数求导，并结合原函数的奇偶性和周期性，推导导函数的相应
性质并应用解题.
4．（24-25高三上·山东济宁·期中）已知函数 的定义域为 ，且 为偶函数， 为奇函
数，记 的导函数为 ，则下列函数为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用抽象函数的奇偶性、周期性，结合导数运算法则逐项判断即可.
【详解】因为 为奇函数， 为偶函数，
所以 ， ，
所以 为偶函数，故B错误；
又对 两边求导，得 ，
即 ，所以 是偶函数，故D错误；
由 ，可得 ，
由 ，可得 ，
所以 ，即 ，即得 ，所以 是周期为4的函数，则 ，两边求导，得 ，
所以 是奇函数，故A正确；
由 ，可得 ，即 ，
又由 ，可得 ，
所以 ，即 为偶函数，所以 为偶函数，故C错误.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：解题的关键点是对函数对称性及两边求导的应用.
5．（2024·山西吕梁·二模）已知可导函数 的定义域为 为奇函数，设 是 的导函
数，若 为奇函数，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由 为奇函数，结合导数运算 ，由 为奇函数，得到
，通过整理可得 ，进而分析得到 ,
,从而得出结果.
【详解】 为奇函数， .
即 ，两边求导得 ，
则 ，可知 关于直线 对称，
又 为奇函数，所以 ，
即 ，可知 关于直线 对称，
令 ，可得 ，即 ，
由 ，可得 ，
由 ，可得 ，即 ，
可得 ，即 ，
令 ，可得 ；令 ，可得 ；
且 ，可知 为 的周期.
可知 , ,
所以 .
故选：B.
【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中
根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．
二、多选题
6．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 为定义在 上的奇函数， 为 的导函数，若函数
为奇函数，且 ，则（ ）
A． B． 的图象关于直线 对称
C． 的周期为2 D．
【答案】ABD
【分析】根据奇函数的定义得 ，则函数 的图象关于点 中心对称，进一步
得 ，则可判断A，C；对 两边求导，得 ，
即可判断B，对 两边求导，得 ，则可判断D.
【详解】因为 为R上的奇函数，所以 ，即 ，
所以函数 的图象关于点 中心对称，即 ．又函数 为定义在R上的奇函数，所以
，
由题意知 ，由 可知 ，即
，
则有 ，又 ，故 ，
故A正确，C错误；
对 两边求导，得 ，即 ，则f′(x)的图象关
于直线 对称，故B正确；
对 两边求导，得 ，则f′(x)的周期为2，则 ，故D正
确．故选：ABD
【点睛】关键点点睛：若函数 的定义域为 ，均有 ，则函数 的图
象关于点 中心对称．
7．（24-25高三上·江苏无锡·阶段练习）已知函数 及其导函数 的定义域均为R，记 .
若 ， 均为奇函数，且 ，则（ ）
A． 关于直线 对称 B． 关于点 对称
C． 的周期为4 D．
【答案】BCD
【分析】根据f (2x+1)为奇函数可得 关于(1,0)对称，即可判断A,根据g(x+2)为奇函数，可得
关于点(2,0)判断B，根据求导，结合对称性可的周期性，即可判断CD.
【详解】对于A，由f (2x+1)为奇函数可得 ，
故 关于(1,0)对称，故A错误，
对于B，由于g(x+2)为奇函数，故 ，故 关于点(2,0)对称，B正确，
对于C，由 和g(x)=f′(x)可得 ，
令 ，故 ，故 ，因此 ，
结合 关于(1,0)对称可得 ，
故 的周期为4，C正确，
对于D，由于 ，故 ，
且 ，由于 ，令 ，则 ，
，故D正确，
故选：BCD
【点睛】关键点点睛：根据 以及求导法则可得 ，结合
得 ，即可得f (x)=−f (x+2)，进而结合函数的对称性可得周期.
8．（24-25高三上·山东临沂·阶段练习）已知 为定义在 上的可导函数， 的导数为， ，且 的图象关于直线 对称， ，则下列
结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】结合函数的对称性、周期性以及利用导数法则求导，通过已知条件找出 和 的周期性，
再利用赋值对选项逐个判断即可.
【详解】由 ，则 ①，又 ②，
① ②得 ③，则 ④，
则④ ③可得 ，即 ，
故 是周期为 的函数，则 ，
由 的图象关于直线 对称，则 ⑤ ，
由 ③ ，故可得 ，
所以 ，故A正确；
由 ⑤可得 ，即 ，
由 ③可得 ，可得 ，故B错误；
由 ②可得 ，又 ，
则两式相减可得 ， ，
则可得 ，即 ，故C正确；
由 ，则 ，又 ，则 ，
由 ，则 ，又 ，则 ，
由 ，则 ，又 ，则 ，则
由 ，则 ，
由 ，则 ，则 ，
则 ，
由 ，则 是周期为 的函数，
故 ，故选：AC.
【点睛】关键点睛：本题主要是研究抽象函数的性质，以及导数的运算，本题的关键是以题中条件等式为
桥梁，寻找f (x),g(x)的性质.
一、单选题
1．（24-25高三上·青海·期中）已知 是奇函数，当 时， ，则 （ ）
A． B． C．9 D．25
【答案】A
【分析】由已知可得 ，可得 ，可求值.
【详解】由 是奇函数，得 ．
令 ，得 ．
所以 ．
故选：A.
2．（2025高三·全国·专题练习）已知函数 在 上单调递减，则m的取值范
围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二次函数的单调性，结合分段函数的性质即可求解.
【详解】由已知得 解得 .
故选:C.
3．（2025高三·全国·专题练习）函数 的部分图象是（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【分析】根据函数的奇偶性、特殊点的函数值来确定正确答案.
【详解】函数 的定义域为R，
，故 为偶函数，
则其图象关于 轴对称，排除A；
又 ，排除C，D.
故选：B
4．（24-25高三上·河南·开学考试）已知函数 ，则函数 的图象的对称中心的坐标为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】化简 即可得对称中心.
【详解】因为 ，
所以函数 的图象关于点 对称.
故选：C
5．（2024·重庆·模拟预测）已知 是周期为 的函数，且 都有 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据函数的周期性与对称性可得解.
【详解】由已知 ，
即 ，
令 ，可知 ，即 ，又函数 的周期为 ，
则 ，
故选：C.
6．（2025高三·全国·专题练习）已知函数 （ 且 ）在 上单调递增，则实
数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用对数型复合函数单调性列式求解即得.
【详解】由函数 在 上单调递增，得 或 ，解得 或
，
实数 的取值范围是 .
故选：D
7．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知函数 的图象如图所示，则函数 的解析式可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据奇偶性判断AB，由 ，在区间(0,1)上， ，判断C，由奇偶性结合
在区间(0,1)上， ，判断D.
【详解】对于A, ，其定义域为 ，有 ，
则函数 为奇函数，不符合题意，故A错误；
对于B， ，其定义域为 ，有 ，则函数 为奇函数，不符合题意，故B错误；
对于C， ，在区间(0,1)上， ，不符合题意，故C错误.
对于D， ，则 为偶函数，
且在区间(0,1)上， ，符合题意，故D正确.
故选：D.
8．（24-25高三上·北京·期中）已知函数 的定义域为 ， ， 是偶函数，且 在
单调递增，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据偶函数定义得 ，可得 的对称轴为直线 ，结合单调性即可得到结
果.
【详解】∵ 是偶函数，
∴ ，即 ，
∴ ，即 ，故选项B正确.
由 得 的对称轴为直线 ，
由 在 单调递增得 在 上单调递减，
∴ ， ， 的正负不确定，选项A，C，D错误.
故选：B.
9．（24-25高三上·陕西咸阳·阶段练习）若函数 是奇函数，则函数 的图象的对称中心
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由函数 是奇函数可知 关于 对称，再由函数的平移关系可得出答案.
【详解】因为函数 是奇函数，所以 关于 对称，
函数 向右平移一个单位得到函数y=f (x)的图象，
所以函数y=f (x)关于(1,0)对称，
函数y=f (x)向上平移一个单位得到函数 的图象，所以函数 的图象关于 对称.
故选：B.
10．（2024·广东茂名·一模）函数 和 均为 上的奇函数，若 ，则
（ ）
A． B． C．0 D．2
【答案】A
【分析】由奇函数性质推导出 的周期为4，利用周期性、奇偶性求函数值.
【详解】因为 为奇函数，所以 关于 对称，即 ，
又 关于原点对称，则 ，有 ，
所以 的周期为4，故 .
故选：A
11．（2024高三·全国·专题练习）设函数 的定义域为 ，若 在 上单调递减，且关于
对称，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由函数的单调性和对称性求解即可；
【详解】∵函数 的图象关于直线 对称，则 ，
又 在 上单调递减，故 在 上单调递增，
， ，
即
故选：C．
12．（24-25高三上·天津南开·期末）若函数 为奇函数，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据奇函数的定义即可求解.【详解】 ，
则 ，
则 ，
故 ，得 ，
当 时， 定义域为 关于原点对称，且 ，满
足题意，
故 ，
故选：B
13．（23-24高三上·安徽·期末）已知函数 ，则
（ ）
A．4047 B．4048 C．4049 D．4050
【答案】C
【分析】由已知，得 ，则
，即可求得结果.
【详解】因为函数 ，所以 ，
所以 ，
所以 .
故选：C.
14．（2024高三·江苏·专题练习）已知定义在 上的偶函数 满足
．则 （ ）
A．4545 B．4552 C．4553 D．4554
【答案】D
【分析】根据函数的奇偶性、周期性求得正确答案.【详解】 ， ，
周期 ，又 为偶函数， ， ，
， ， ．
故选：D
15．（2024高三·上海·专题练习）已知定义在R上的函数 ，若 是奇函数， 为偶函数，
当 时， ，则 （ ）
A．－1 B．1 C．0 D．2 0192
【答案】B
【分析】根据函数的奇偶性可判断函数的周期为4，即可利用周期性求解.
【详解】因为 是偶函数，所以 ，则 .
又 是奇函数，所以 ，所以 ，
所以 ，
所以函数 是以4为周期的周期函数，
又当 时， ，所以 .
故选：B
16．（2024·山东·二模）已知 为定义在 上的奇函数，设 为 的导函数，若
，则 （ ）
A．1 B． C．2 D．2024
【答案】C
【分析】根据 进行 奇偶性和周期性的推导，得到 是周期为4的偶函数，
从而算出 的值.
【详解】因为 ，所以两边求导，得 ，
即 ①
因为 为定义在 上的奇函数，则 ，
所以两边求导，得 ，所以 是定义在 上的偶函数，
所以 ，结合①式可得， ，
所以 ，两式相减得， ，
所以 是周期为4的偶函数，所以 .
由①式，令 ，得 ，所以 .
故选：C.
17．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 的定义域为R， 的图象关于直线 对称，
为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由 的图象关于直线 对称可得 ，函数 为奇函数，则
，可得 ，计算可求得 .
【详解】因为函数 的图象关于直线x＝2对称，则 ，可得
因为函数 为奇函数，则 ，所以 ，
所以 ，故 ，即 ，
故f(x)是以4为周期的周期函数．
因为函数 为奇函数，则 ，
故 ，
其他三个选项由已知条件 不能确定结果是否为0．
故选：A.
18．（24-25高三上·河北邢台·阶段练习）已知函数 的定义域是 ，则下列命题中不正确的是（ ）
A．若 是偶函数， 为奇函数，则 是偶函数
B．若 是偶函数， 为奇函数，则 是偶函数
C．若 是单调递减函数，则 也是单调递减函数
D．若 是单调递增函数，则 也是单调递增函数
【答案】C
【分析】利用函数奇偶性的定义判断A，B；举反例判断C；根据单调性的定义判断D．
【详解】解：对于A，令 ，
则 ，
所以 为偶函数，即 是偶函数，故A正确；
对于B，令 ，
则 ，所以 是偶函数，即 是偶函数，故B正确；
对于C，取 ，则 在R上单调递减，
则 ，在R上单调递增，故C错误；
对于D，因为 是单调递增函数，
任取 ，且 ，
则 ，
所以 ，
所以 也是单调递增函数，故D正确.
故选：C.
19．（24-25高三上·四川·阶段练习）已知函数 ，设
，则 的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】令 ，则 ，判断 的奇偶性和单调性，结合基本不等式和对
数运算和对数函数的性质，利用作商法比较 的大小，进而可得a,b,c大小关系.
【详解】由 ，令 ，则 ，
由 ，故 为偶函数，
当 时， 在 上递增，
，
，
因为 ，
且 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ,
所以
即 .故选：C.
【点睛】关键点点睛：令 ，得出 ，是解决本题的关键.
20．（24-25高三上·湖北武汉·阶段练习）设函数 是奇函数，函数 的图象与
的图象有 个交点，则这些交点的所有横坐标与纵坐标之和等于（ ）
A．－10120 B．－5060 C．10120 D．5060
【答案】A
【分析】先利用题意判断出 与 均关于点 对称；然后利用对称性求解即可.
【详解】因为函数 是奇函数，
所以 ，
所以 ，
所以 关于点 对称；
因为 ，
所以 ，因为 为奇函数，
所以 关于点 对称；
因为函数 的图象与 的图象有 个交点，
则这些交点关于点 对称，所以每两个对称点纵坐标之和为 ，
个交点有 组对称点，所以这 交点得纵坐标之和为 ；
因为函数 的图象与 的图象有 个交点，
则这些交点关于点 对称，所以每两个对称点横坐标之和为 ，
个交点有 组对称点，所以这 交点得横坐标之和为 ；
故这些交点得横纵坐标之和为
故选：A
二、多选题
21．（24-25高三上·广西桂林·期中）对于定义在 上的函数 ，若 是奇函数， 是偶
函数，且 在 上单调递减，则（ ）
A．
B．C．
D． 在 上单调递减
【答案】BCD
【分析】结合函数图象变换，利用奇函数得 的图象关于点 对称，利用偶函数得 的图象关于
直线 对称，从而有 ， ， ， ，两者结合可得
，这样可计算选项C中的和，再由对称性可判断单调性．
【详解】若 是奇函数，即它的图象关于原点对称，
把 的图象向左平移1个单位，再向上平移一个单位得 的图象，
因此 的图象关于点 对称，所以 ， ，
是偶函数，即它的图象关于 轴对称， 的图象向右平移一个单位得 的图象，
因此 的图象关于直线 对称，从而 ， ，B正确；
所以 ，即 ，
，所以 ，A错；
，C正确；
在 上递减，它关于直线 对称，则 在 上递增，
又它的图象关于点 对称，则在 上递增，
再由它关于直线 对称得它在 上递减，D正确，
故选：BCD．
22．（24-25高三上·辽宁·期中）已知函数 及其导函数 的定义域为 ，若 与 均为偶
函数，且 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．4是 的一个周期
C． D． 的图象关于点 对称
【答案】ABD
【分析】由 ，得到 ，再结合 ，求得 ，再通过赋值代换逐
项判断即可.
【详解】因为 为偶函数，所以 ，即 ，
而 ，故 ，故 ，
又 为偶函数，所以 ，即 ，
所以 ，故 即 ，
，所以4是 的周期，故B正确.
对A，由 两边求导得 ，令 得 ，解得 ，A正确：
对C，由上知 ，所以 ，
所以 C错误；
对D，因为 ，
故 ，故 的图象关于 对称，因为4是 的周期，故 的图象关于点
对称
故选：ABD
23．（2024·四川宜宾·一模）已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，记 .若
与 均为偶函数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】根据 与 是偶函数，得到 关于直线 对称， 关于 对称，可判断
C；再对f (1+x)=f (1−x)两边同时求导得到 关于点(1,0)对称，进而得到4是 的一个周期，可判
断B和D；无法确定 的值可判断A.
【详解】 是偶函数， ，即f (1+x)=f (1−x)，
函数 关于直线 对称，
， 的值无法确定，故A错误，C正确；
对f (1+x)=f (1−x)两边同时求导得 ，
即 ，所以 ，
关于点(1,0)对称，且 ，
是偶函数， ①，
关于直线 对称， ，
， ②，
由①②得 ， ，
，
， 4是函数 的一个周期， ，故B正确；，故D正确.
故选：BCD.
24．（2024·广西柳州·一模）我们知道，函数 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是
函数 为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数 的图象关于点 成中心对称图形
的充要条件是函数 为奇函数．已知 是定义在 上的可导函数，其导函数为 ，若
函数 是奇函数，函数 为偶函数，则下列说法错误的是（ ）
A． B．
C． 为奇函数 D．
【答案】BCD
【分析】利用函数对称性的定义可判断A选项；举特例可判断BCD选项.
【详解】对于A选项，因为函数 为奇函数，
所以，函数 的图象关于点 对称，
且函数 的定义域为 ，则 ，A对；
对于B选项，不妨取 ，
因为 为奇函数，
则函数 符合题意， ，
所以， 为偶函数，
但 ，B错；
对于C选项，不妨取 ，则 为奇函数，
， 为偶函数，合乎题意，
但 不是奇函数，C错；
对于D选项，若 ，则该函数的最小正周期为 ，
，
所以， ，D错.
故选：BCD.
【点睛】结论点睛：函数的对称性与周期性：（1）若 ，则函数 关于 中心对称；
（2）若 ，则函数 关于 对称；
（3）若 ，则函数 的周期为 ；
（4）若 ，则函数 的周期为 .
25．（24-25高三上·宁夏石嘴山·期中）已知函数 ， 均是 上的连续函数， ， 分别为
函数 和 的导函数，且 ， ，若 为奇函数，则（ ）
A． 是周期函数 B． 为奇函数
C． 关于 对称 D．存在 ，使
【答案】ACD
【分析】根据给定条件，利用赋值法变换给定等式可得 及 ，
再结合奇函数及等差数列通项求解、复合函数求导求解判断即得.
【详解】函数 ， 均是定义在 上的连续函数， ①，
②，将②式中 换为 得 ③，
①+③得 ，则 的图象关于点 中心对称；
将②式中 换为 得： ④，
①-④得： ，因此 不是奇函数，B错误；
，即 ，所以 关于 对称，C正确；
由 及 为奇函数，得 ，
即 ，同时求导可得： ，
即 ，所以 是周期函数，周期为2，故A正确；
又 为奇函数， ， ，则 ，结合
当 时，数列 是首项为3，公差为6的等差数列，
则 ，
当 时，数列 是首项为6，公差为6的等差数列，
则 ，因此 时， ，显然 满足上式，
即 ， ，
令 ，解得： ，D正确.
故选：ACD【点睛】结论点睛：函数 的定义域为D， ，
①存在常数a，b使得 ，则函数 图象关于点 对
称.
②存在常数a使得 ，则函数 图象关于直线 对称.
26．（2024高三·全国·专题练习）已知定义在 上的函数 ， 满足 ，
， ， ，则下列结论一定正确的是（ ）
A．f (−x)=−f (x) B．
C． D．
【答案】AD
【分析】根据抽象函数结合函数已知判断A,C,应用赋值法结合对称性得出函数周期判断B,赋值法结合函数
周期应用累加法计算判断D.
【详解】选项A，C：由 得 ，因此 ，得
，
又 ，所以f (−x)=−f (x)，故A正确，C错误．
选项B：由 ，得 ，所以8为 的一个周期，故
，
在f (−x)=−f (x)中，令 ，得 ，所以 ，故B错误．
选项D：由 ，得 ，又 ，所以 ， ，
由 ，得 ， ，因为 ，
所以 ，
，
，
，
所以 ，
，
……
，因此 ，故D正确．
故选：AD.
【点睛】方法点睛：解题的方法是应用赋值法结合函数对称性得出函数周期，再根据已知函数值结合累加
法计算判断即可.
27．（24-25高三上·山西·期中）已知定义域为 的函数 满足 ， 为奇函
数， ，则（ ）
A．8是 一个周期 B． 为偶函数
C． D．
【答案】ABD
【分析】通过已知等式得函数的对称性、周期性，再借助性质赋值（式）求解可得.
【详解】由 ，得 ，
则 ，即函数图象关于 对称；
因为 为奇函数，所以 ，
则 ，即函数图象关于 中心对称.
A项，由对称性可知， ，
所以 ，即 ，
所以 ，
则 是 的一个周期，故A正确；
B项，由对称性与周期性可知， ，
所以 是偶函数，故B正确；
C项， ，得 ，
所以 ，故C错误；
D项，由周期性和 ，得 ，
所以 ，同理 ，
由 ，得 ，
所以 ，则 ，
所以 ，
故D正确.
故选：ABD.三、填空题
28．（2024高三·全国·专题练习）周期为4的函数 满足 ，且当 时，
，则不等式 在 上的解集为 .
【答案】
【分析】根据 周期及 得 是偶函数，再根据 的单调性可得答案.
【详解】因为 周期是4，则 ，所以 是偶函数.
时， 是增函数，且 ，
不等式 化为 ，
所以 ， .
故答案为： .
29．（2024高三·全国·专题练习）已知对于 ，恒有 ，且当 时，
，则能使 成立的一个 的整数值为 ．
【答案】 （答案不唯一， 或 或 其中一个即可)
【分析】根据给定条件，利用奇偶性的定义、单调性定义探讨函数 的性质，进而求解不等式.
【详解】对于 ，恒有 ，令 ，得 ，
令 ，得 ，则函数 是奇函数，
设任意 ，得 ，则 ，于是 ，函数 在R上单调递减，
由 ，得 ，解得 ，而 ，因此 或 或 ，
取 的一个整数值为 .
故答案为： ( 或 或 其中一个即可)
30．（24-25高三上·四川绵阳·期中）已知函数f (x),g(x)的定义域为 的图象关于直线 对称，
且 ， ，若 ，则 .
【答案】
【分析】由y=f (x)的图象关于直线 对称，得 ，由 ，得
，结合 ，得 ，进而代入相关值求结果即可.
【详解】因为y=f (x)的图象关于直线 对称，则 ，
又 ，则 ①，
因为 ，则 ②，① ②得 ，则令 ，得 ，
令 ，得 ，
由 ，得 ，
由 ，得 ，
则 ，
所以 ，
故答案为： .
31．（24-25高三上·福建福州·期中）已知函数 为奇函数， ， 与 的图
像有8个交点，分别为 ，则 ．
【答案】16
【分析】由 为奇函数可得函数 关于点 对称，分离常数
可知函数 关于点 对称，继而可得 与 图像的8个交
点关于点 对称，则 ， 可求，结果可得.
【详解】 为奇函数，
函数 关于点 对称，
，
函数 关于点 对称，
与 图象的8个交点关于点 对称，
， ， ， ，
可得 ，
同理可知 ，
则 .
故答案为：16.
32．（2024高三·全国·专题练习）已知定义域为R的函数 满足 ， 的图象
关于直线 对称， ，则 ．
【答案】【分析】方法一：根据已知抽象函数关系式可推导得到 是周期为 的周期函数，结合对称性可得
为偶函数，从而赋值可求得 ，结合周期性可求得结果；
方法二：根据已知抽象函数关系式可推导得到 是周期为 的周期函数，采用赋值法，结合对称轴可求
得 ，利用周期性可求得结果.
【详解】方法一： ， ，
， ，
是周期为 的周期函数；
的图象关于 对称， ，
， 为偶函数，
， ，解得： ，
， ， ，
.
方法二：令 ，则由 得： ，
，即 ，
是周期为 的周期函数；
图象关于直线 对称， ，
又 ， ；
令 ，则 ，又 ， ，
．
故答案为： .
【点睛】结论点睛：（1）若函数 的图象关于直线 对称（当 时， 为偶函数），则①
；② ；③ ；
（2）若函数 的图象关于点 对称（当 时， 为奇函数），则① ；②
；③ ；
（3）若函数 的图象关于点 对称，则① ；② ；③．
33．（24-25高三上·河北·阶段练习）已知定义在 上的函数 ，满足 ，
为偶函数， 满足 ，则 ．
【答案】
【分析】由 为偶函数，可得 的图象关于直线 对称，由 ，可得
的图象关于点 中心对称，则可求得周期 ，再由已知条件可求得 ，利用函
数的周期性即可求得答案.
【详解】因为 为偶函数，则 ，
所以函数 的图象关于直线 对称，
因为 ，
所以函数 的图象关于点 中心对称，
所以函数 的周期 ，
令 ，则 ，得 ，
则 ，
又 ，
令 ，则 ，得 ，
则 ，
所以 ，
则 .
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：利用函数的对称性，由已知条件求出函数的对称轴和对称中心，进而求得函数的周
期，利用周期性即可求和.
