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压轴题突破练 3
1．(2022·银川模拟)已知函数f(x)＝ln x＋ax2－3x.
(1)若函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y＝－2，求函数f(x)的极小值；
(2)若a＝1，对于任意x ，x∈[1,2]，当x恒成立，求实数m的取
1 2 1 2 1 2
值范围．
解 (1)因为f(x)＝ln x＋ax2－3x的定义域为(0，＋∞)，
所以f′(x)＝＋2ax－3.
由函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y＝－2，
得f′(1)＝1＋2a－3＝0，解得a＝1.
此时f′(x)＝＋2x－3
＝.
当x∈和(1，＋∞)时，
f′(x)>0；
当x∈时，f′(x)<0.
所以函数f(x)在和(1，＋∞)上单调递增，在上单调递减，
所以当x＝1时，函数f(x)取得极小值f(1)＝ln 1＋1－3＝－2.
(2)由a＝1得f(x)＝ln x＋x2－3x.
因为对于任意x，x∈[1,2]，当x恒成立，
1 2 1 2 1 2
所以对于任意x，x∈[1,2]，当xf(x)－恒成立，
1 2 1 2 1 2
所以函数y＝f(x)－在[1,2]上单调递减．
令h(x)＝f(x)－＝ln x＋x2－3x－，x∈[1,2]，
所以h′(x)＝＋2x－3＋≤0在[1,2]上恒成立，
则m≤－2x3＋3x2－x在[1,2]上恒成立．
令F(x)＝－2x3＋3x2－x，
x∈[1,2]，
则F′(x)＝－6x2＋6x－1
＝－62＋.
当x∈[1,2]时，F′(x)<0，所以函数F(x)在[1,2]上单调递减，
所以F(x)≥F(2)＝－6，
所以m≤－6，故实数m的取值范围为(－∞，－6]．
2．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点坐标为(3,0)，其中一条渐近线的倾斜角的正切值为2，O为坐标原点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)直线l与x轴正半轴相交于一点D，与双曲线C的右支相切(切点不为右顶点)，且l分别交
双曲线C的两条渐近线于M，N两点，证明：△MON的面积为定值，并求出该定值．
解 (1)由题可知
解得
则双曲线C的方程为x2－＝1.
(2)由于直线l与双曲线C的右支相切(切点不为右顶点)，则直线l的斜率存在且不为0，
设直线l的方程为
y＝kx＋m(k≠±2，m≠0)，
令y＝0，则x＝－，
则|OD|＝.
联立
得(8－k2)x2－2kmx－m2－8＝0，
则Δ＝4k2m2－4(8－k2)(－m2－8)＝0，
即m2＝k2－8.
又双曲线的两条渐近线方程为
y＝±2x，
联立
得M，
联立
得N，
S ＝·|OD|·|y －y |
△MON M N
＝··|k|·|x －x |
M N
＝··|k|·
＝·|m|·＝
＝＝2，
故△MON的面积为定值2.
