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压轴题突破练 3
1．(2022·泰安模拟)“学习强国”学习平台的答题竞赛包括三项活动，分别为“四人赛”
“双人对战”和“挑战答题”．在一天内参与“四人赛”活动，每局第一名积3分，第二、
三名各积2分，第四名积1分，每局比赛相互独立．在一天内参与“双人对战”活动，每局
比赛有积分，获胜者得2分，失败者得1分，每局比赛相互独立．已知甲参加“四人赛”活
动，每局比赛获得第一名、第二名的概率均为，获得第四名的概率为；甲参加“双人对战”
活动，每局比赛获胜的概率为.
(1)记甲在一天中参加“四人赛”和“双人对战”两项活动(两项活动均只参加一局)的总得分
为X，求X的分布列与均值；
(2)“挑战答题”比赛规则如下：每位参赛者每次连续回答5道题，在答对的情况下可以持
续答题，若第一次答错，则答题结束，积分为0分，只有全部答对5道题可以获得5个积分．
某部门为了吸引更多职工参与答题，设置了一个“得积分进阶”活动，从1阶到n(n≥10)阶，
规定每轮答题获得5个积分进2阶，没有获得积分进1阶，按照获得的阶级给予相应的奖品，
记乙每次获得5个积分的概率互不影响，均为，记乙进到n阶的概率为P，求P .
n 12
解 (1)甲参加“四人赛”时，每局比赛获得第三名的概率为1－＝，
依题意，X所有可能的取值为5,4,3,2，
P(X＝5)＝×＝，
P(X＝4)＝×＋×＋×＝，
P(X＝3)＝×＋×＋×＝，
P(X＝2)＝×＝，
所以X的分布列为
X 5 4 3 2
P
所以E(X)＝5×＋4×＋3×＋2×＝.
(2)依题意，P＝，P＝，
1 2
“进到n＋1阶”的情况包括：第一种情况是进到n阶后下一轮未获得5个积分，其概率为
P；第二种情况是进到n－1阶后下一轮获得5个积分，其概率为P ，两种情况互斥，
n n－1
所以P ＝P＋P (n≥2，n∈N*)，
n＋1 n n－1
则P －P＝P＋P －P
n＋1 n n n－1 n
＝－(P－P )，
n n－1
所以＝－(n≥2，n∈N*)，又P－P＝，
2 1
所以数列{P －P}是首项为，公比为－的等比数列，
n＋1 n
所以P －P＝×n－1，
n＋1 n
故P ＝P＋(P－P)＋…＋(P －P )＋(P －P )
12 1 2 1 11 10 12 11
＝＋＋×＋…＋×10
＝＋×
＝＋，
即P ＝＋.
12
2．(2022·济宁模拟)已知抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M(4，m)在抛物线E上，且
△OMF的面积为p2(O为坐标原点)．
(1)求抛物线E的方程；
(2)过焦点F的直线l与抛物线E交于A，B两点，过A，B分别作垂直于l的直线AC，BD，
分别交抛物线于C，D两点，求|AC|＋|BD|的最小值．
解 (1)由题意可得
解得p＝2.
故抛物线E的方程为y2＝4x.
(2)由题意知，直线l的斜率一定存在且不为0，设直线l的方程为x＝ty＋1，t≠0，F(1,0)
设A(x，y)，B(x，y)，C(x，y)，
1 1 2 2 3 3
由
消去x得y2－4ty－4＝0.
所以y＋y＝4t，yy＝－4.
1 2 1 2
由AC垂直于l可知，直线AC的方程为y－y＝－t(x－x)，
1 1
由
消去x得ty2＋4y－4tx －4y＝0.
1 1
所以y＋y＝－，yy＝.
1 3 1 3
所以|AC|＝
＝
＝
＝
＝·|ty ＋2|
1
＝·(ty ＋2)．
1
同理可得|BD|＝·(ty ＋2)，所以
2
|AC|＋|BD|＝·[t(y＋y)＋4]
1 2
＝(t2＋1)＝8，令f(x)＝，x>0，
则f′(x)＝，x>0，
所以当x∈(0,2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．
所以当x＝2时，f(x)取得最小值，
即当t＝±时，
|AC|＋|BD|取得最小值，最小值为12.
