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高考押题卷二
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要
求的.
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出集合 中元素范围，再求 即可.
【详解】 ， ，
故选：D.
2．已知复数 是纯虚数，则 （ ）
A．3 B．1 C． D．
【答案】B
【分析】求出复数 的代数形式，再根据纯虚数的概念列式计算.
【详解】 ,
因为复数 是纯虚数，
则 ，解得
故选：B.
3．若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．0【答案】D
【分析】利用倍角公式及辅助角公式求出角 ，再代入 计算即可.
【详解】
,
或 ，
或 （舍去，使 无意义）
又 ，
，
故选：D.
4．已知曲线 在点 处的切线 与 轴交于点 ，曲线 在点 处的切线 与
轴交于点 ，若 ，则 的取小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设 ， ，求导 ， ，根据导数的几何意义结合 ，得
，求出切线方程，得到 的坐标，由两点间的距离公式和基本不等式可求出结果.
【详解】设 ， ，， ，
因为 ，所以 ，得 ，
，令 ，得 ，则 ，
，令 ，得 ，则 ，
则 +
，两次不等式取等的条件都是 .
所以 的取小值为 .
故选：C
5．我国传统剪纸艺术历史悠久，源远流长，最早可追潮到西汉时期．下图是某一窗花的造型，在长为3，
宽为2的矩形中有大小相同的两个圆，两圆均与矩形的其中三边相切，在此矩形内任取一点，则该点取自
两圆公共（图中阴影）部分的概率为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据几何概型的概率计算公式，只需要求出阴影部分面积及矩形面积即可得到答案．【详解】如图，矩形面积为 ，
因为两圆半径相等，结合两圆的位置及圆的对称性可得 为等边三角形，
阴影部分面积为 ，
所以，在此矩形内任取一点，则该点取自两圆公共（图中阴影）部分的概率为
．
故选：C．
6．执行如图所示的程序框图，则输出的k的值为（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
【答案】B
【分析】根据给定条件，运行程序，依次计算即可判断作答.
【详解】第1次循环， ；第2次循环， ；
第3次循环， ；第4次循环， ；第5次循环， ；第6次循环， ；
第7次循环， ；第8次循环， ；
第9次循环， ；第10次循环， ；
第11次循环， ；第12次循环， ；
第13次循环， ；第14次循环， ；
第15次循环， ，结束循环，输出 ，
所以输出的k的值为15.
故选：B
7．已知函数 的图象与 轴交点的横坐标构成一个公差为 的等差数
列，把函数 的图象沿 轴向左平移 个单位，横坐标伸长到原来的2倍得到函数 的图象，则下列
关于函数 的结论，其中所有正确结论的序号是（ ）
①函数 是奇函数
② 的图象关于直线 对称
③ 在 上是增函数
④当 时，函数 的值域是
A．①③ B．③④ C．② D．②③④
【答案】C
【分析】先根据辅助角公式化简 ，然后利用已知条件求解出 的值，再根据图象的变换求解出的解析式；①根据 解析式判断奇偶性；②根据 的值判断对称性；③采用整体替换的方法判断单
调性；④利用换元法的思想求解出值域.
【详解】因为 ，又 的图象与 轴交点的横坐标构成一个公
差为 的等差数列，
所以 ，所以 ，所以 ，
所以 向左平移 个单位得到 ，
横坐标伸长到原来 倍得到 ，
① 为非奇非偶函数，故错误；
② ，所以 是 的一条对称轴，故正确；
③因为 ，所以 ，
又因为 在 上先增后减，所以 在 上不是增函数，故错误；
④当 时， ，
所以 ，此时 ； ，此时 ，
所以 的值域为 ，故错误；
故选：C.
【点睛】思路点睛：求解形如 的函数在指定区间上的值域或最值的一般步骤如下：
（1）先确定 这个整体的范围；
（2）分析 在（1）中范围下的取值情况；（3）根据取值情况确定出值域或最值，并分析对应的 的取值.
8．已知椭圆 的右焦点为 ， 为坐标原点， 为 轴上一点，点 是直线 与
椭圆 的一个交点，且 ，则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设椭圆的左焦点为 ，由椭圆的对称性可知 ，则 ，所以
，即可得到 的关系，利用椭圆的定义进而求得离心率.
【详解】设椭圆 的左焦点为 ，连接 ，
因为 ，所以 ，如图所示，
所以 ，
设 ， ，则 ，
所以 ，
故选：D.
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.
9．记函数 的最小正周期为 ，且 ，函数 的图象关于
点 对称，则（ ）
A． B．
C． D．当 取得最小值时，
【答案】BD
【分析】根据余弦函数的图像和性质可求出 ，进而可逐一判断每个选项的正误.
【详解】因为函数 的图象关于点 对称，
则 ，A错误；
又 ，
，得 ，
， ，B正确；
，解得 ，
，
C错误；当 取得最小值，即 时， ，
，D正确.
故选：BD.
10．已知椭圆 的焦距长为 ，点 为椭圆 上一点， 、 是椭圆 上关
于坐标原点 对称的两点（ 、 非椭圆顶点），过 作 轴的垂线，垂足为 ，直线 交椭圆于另一
点 ，则（ ）
A．椭圆 的方程为
B．
C．若 为椭圆的一个焦点时，则 的面积为
D．若 ，则 的面积为
【答案】ABD
【分析】根据椭圆定义求出 的值，进而可求得 的值，可得出椭圆 的方程，可判断A选项；利用点差
法结合斜率关系可判断B选项；设点 ，设点 位于点 上方，求出点 的坐标，利用三角形的面积
公式可判断C选项；设点 为第一象限内的点，根据题意设点 ，其中 ，将点 的坐标代入椭
圆 的方程，求出 的值，利用三角形的面积公式可判断D选项.
【详解】对于A选项，由题意可知，椭圆 的左焦点为 ，右焦点为 ，
由椭圆的定义可得 ，
可得 ，则 ，故椭圆 的方程为 ，A对；对于B选项，设点 ，则 ，其中 ，易知点 ，
设点 ，则 ，两式作差可得 ，
所以， ，即 ，
因为 ，所以， ，则 ，
故 ，B对；
对于C选项，若 为椭圆的一个焦点时，不妨设点 ，设点 位于点 上方，
联立 解得 ，则点 ，故点 ，
所以， ，C错；
对于D选项，不妨设点 为第一象限内的点，
因为 轴，且 ，所以， 为等腰直角三角形，且 ，
设点 ，其中 ，则有 ，解得 ，
则点 ，故点 、 ，
所以， ，D对.
故选：ABD.
11．已知数列 的前n项和为 ，数列 的前 项和为 ，则下列选项正确的为（ ）
A．数列 是等差数列 B．数列 是等比数列
C．数列 的通项公式为 D．
【答案】BCD
【分析】由数列的递推式可得 ，两边加1后，运用等比数列的定义和通项公式可得
，由数列的裂项相消求和可得 .
【详解】解：由 即为 ，可化为 ，由 ，可得
数列 是首项为2，公比为2的等比数列，则 ，即 ，
又 ，可得
故选：BCD
12．已知定义在 上的函数 的导函数为 ，且 ， ，则下列判
断中正确的是（ ）
A． < B． >0
C． > D． >
【答案】CD
【分析】根据题干中的条件，构造出新函数： ，利用新函数的单调性逐一检查每个选项是否正确.
【详解】令 ，则 ，
因为 ，所以 在 上恒成立，因此函数
在 上单调递减，故 ，即 ，即 ，故A错；
又 ，所以 ，所以 在 上恒成立，
因为 ，所以 ，故B错；
又 ，所以 ，即 ，故C正确；
又 ，所以 ，即 ，故D正确.
故选：CD
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．已知 的展开式中 的系数为 ，则实数 ______．
【答案】
【分析】先确定展开式中产生 的项的方式，然后求出 的项的系数列方程求解.
【详解】∵ 表示6个因式 的乘积，
故展开式中含 的项为：
四个因式取 ，一个因式取 ,1个因式取 ；或者：有三个因式取 ，其余的3个因式都取 ；
故展开式中含 的项为
，解得
故答案为：
14．总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是
从随机数表第1行第6列的数字开始，由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为____.
附：第1行至第2行的随机数表
21 16 65 08 90 34 20 76 43 81 26 34 91 64 17 50 71 59 45 06
91 27 35 36 80 72 74 67 21 33 50 25 83 12 02 76 11 87 05 26
【答案】15.
【分析】根据随机数表选取的方法，先确定选到的编号，然后再分析编号在01至20之间的编号，按照编
号重复的删除后一个的原则，确定选出来的第五个个体的编号.
【详解】从随机数表的第1行第6列的数字开始，按规则得到的编号依次为50，89，03，42，07，64，
38，12，63，49，16，41，75，07，15，94，50，……其中编号在01至20之间的依次为03，07，12，
16，07，15，……按照编号重复的删除后一个的原则，可知选出来的第5个个体的编号为15.
故答案为：15.
15．记 为等差数列 的前n项和，已知 ， ，则 ___________．
【答案】
【分析】设出等差数列 的公差 ，根据已知列出方程组，求出首项胶公差，再求出 作答.
【详解】设等差数列 的公差为 ，依题意， ，解得 ，
所以 .
故答案为：
16．过双曲线 的右焦点 作 的一条渐近线的垂线，垂足为 交另一条渐近线于点
，若 ， ，求 的离心率的取值范围为___________【答案】
【分析】由题意得右焦点 ，设一条渐近线的方程为 ，则另一条渐近线方程为 ，由垂
直可得直线FA的方程，分别与渐近线联立得到A，B的横坐标，由向量共线的坐标表示，结合 ，
即可求出离心率的取值范围.
【详解】设右焦点 ，设一条渐近线的方程为 ，另一条渐近线的方程为
由 ，可得 的方程为：
联立方程 ，即
联立方程 ，即
又 ，
解得：
又 ， ，即 ，
解得： ，即
故答案为：
【点睛】方法点睛：本题是对双曲线的渐近线以及离心率的综合考查，求解离心率在圆锥曲线的考查中是
一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出 ，从而求出 ；②构造 的齐次式，
求出 ；③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解；④根据圆锥曲线的统一定义求解
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， ．
(1)证明： 为定值；
(2)若 ， ，求 的周长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用正弦定理角化边以及余弦定理可整理变形得到 为定值；
（2）先利用（1）以及余弦定理求出 ，然后再次用余弦定理并利用 变形可得
，则周长可求.
【详解】（1）
即 ，
由正弦定理角化边以及余弦定理得
，
整理得 ，即 ，
所以 为定值 ；
（2）由（1） ，
，
，
得 ，的周长为
18．如图，在四棱锥 中， 底面ABCD， ， ， ， ，
．
(1)证明：平面PCD⊥平面PBC；
(2)若 ，求三棱锥 的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】(1)利用线面垂直的性质定理、判定定理和面面垂直的判定定理证明；
(2)利用两角和的正弦公式求出 ，利用三角形面积公式求出 ，根据锥体体积公式求解.
【详解】（1）
连接 ，因为 ，所以 ,
又因为 ， ，所以 ，即 ,
又因为 底面ABCD， 底面ABCD，所以 BC，又因为 平面PCD， ，
所以 平面PCD,又因为 平面PBC，
所以平面PCD⊥平面PBC.
（2）在直角三角形 中，
在直角三角形 中，
所以
，
所以 ，
所以 .
19．已知函数 （ ）．
(1)讨论 的单调性；
(2)若 ， （ ）是 的两个极值点，证明： ．
【答案】(1)当 时， 在区间 上单调递增；
当 时， 在区间 和 上单调递增，在区间
上单调递减；
当 时， 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减.(2)证明见解析.
【分析】（1）对 求导，根据 的取值范围，对 的符号进行讨论，即可得出 的单调性；
（2）由第一问中 有两个极值点时， 和 化简不等式，然后构造函数，利用导数研究
所构造函数的单调性，根据单调性进行证明.
【详解】（1）∵ ，（ ）∴ 定义域为 ，
∴ ，（ ），
令 ，（ ），
①当 时， ， ， ， ，
此时， 在区间 上单调递增；
②当 时， ，
令 ，解得 ， ，
∴当 时， ， ，
当 时， ， ，
∴此时， 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减；
③当 时， ，
（i）当 时， ， ， ， ，∴此时， 在区间 上单调递增；
（ii）当 时， ，
令 ，解得 ， ，且 ，
∴当 时， ， ，
当 时， ， ，
∴此时， 在区间 和 上单调递增，
在区间 上单调递减.
综上所述，当 时， 在区间 上单调递增；
当 时， 在区间 和 上单调递增，
在区间 上单调递减；
当 时， 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减.
（2）由第（1）问知，若 ， （ ）是 的两个极值点，
则 ，且 的两根即为 ， ，
且 ， ，∴ ，，
∴ ，
又∵ ，
∴不等式 等价于 ，
∵ ，∴ ， ，又∵ ，∴ ，
∴不等式 又等价于 ，即 ，
∴只需证 ，
令 ， ，则 ， 在区间
上单调递减，
又∵ ，∴ ， ，∴ ，
∴若 ， （ ）是 的两个极值点， .
【点睛】利用导数证明不等式的常用方法有构造函数法和放缩法，
（1）构造函数法
①直接构造函数：若需要证明 （或 ），可通过构造函数 ，转化
为证明 （或 ）；
②化简构造函数：若原不等式较为复杂，或者构造函数后，通过导数判断函数的单调性较为困难，可以将
原不等式适当化简变形后再构造函数.
本题第（2）问的证明，就是综合了以上两种方法.
（2）放缩法：通常会利用常见结论放缩或结合已知条件进行放缩.
20．已知抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线上.
（1）求抛物线 的方程;
（2）直线 过点 交抛物线于 两点，过点 作抛物线 的切线与准线交于点 ，求 面积的最小
值.
【答案】（1） ；（2）4.
【分析】（1）把 带入求出p,即可求出抛物线 的方程;
（2）先设直线 : ，用“设而不求法”表示弦长AB，求出 ，表示出点 到直线 的距离，
进而表示出 的面积，求出最小值.
【详解】 因为 是 上的点，所以 ，化简得 ，
解得 或 .
因为 所以
抛物线 的方程为 .
依题意可知， ，直线 的斜率存在，故设直线 的方程为: ，
联立 ，消去 可得 .
设 ，
则 .
所以
由 ，得 ，
所以过A点的切线方程为
又
所以切线方程可化为
准线为 可得 ，
所以点 ，
所以点 到直线 的距离 ，
所以 ，当 时，等号成立,所以 面积的最小值为 .
【点睛】（1） 待定系数法、代入法可以求二次曲线的标准方程；
（2）“设而不求”是一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决直线与二次曲线相交的问题.
21．已知 ， .
（1）若 在 恒成立，求 的取值范围；
（2）若 有两个极值点 ， ，求a的范围并证明 .
【答案】(1) (2) 证明见解析
【详解】【试题分析】(1)将原不等式分离常数得到 ,构造函数 ,利用二阶导数求得
的最小值,由此求得 的取值范围.(2)求得 的 阶导数和 阶导数,将 分类讨论函数的单调区间,求
得 ,并求得函数的单调区间和极值点的大小 .化简 ,由此证得
【试题解析】 (1)由题: 得：
设 ，
设： ，
在 单增，
在 单增，
(2) ， ，①若 时, 知: 在 单调递增,不合题意.
②若 时, 知: 在 单调递增,在 单调递减
只需要
此时知道： 在 单减， 单增， 单减, 且易知:
又由
又
【点睛】本小题主要考查函数的导数与单调性,考查利用导数证明不等式.还考查了恒成立问题的求解方法.
确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可结合导数知识确定极
值点和单调区间从而确定其大致图象.方程的有解问题就是判断是否存 在零点的问题，可参变分离，转化
为求函数的值域问题处理.
22．已知函数 .
（1）求曲线 在点 的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若 ，设 ，讨论 零点的个数.
【答案】（1） ；（2）当 时， 有1个零点；当 时， 有两个零点.
【解析】（1）求出导函数，计算 得切线斜率， 求出得切线方程，由方程求得切线在两坐标轴上
的截距，从而可得面积．
（2）求出导函数 ，按 ， ， 分类讨论，确定函数的单调性极值，结合零点存在定
理判断零点个数．
【详解】解：（1） ， ， ，所以曲线 在点 处的切线方程为 ，
即
直线 在 轴， 轴上得截距分别为 ，
因此所求三角形的面积为 ；
（2）由 ，得
（i）当 时， ，知 时， ，又 为 的增函数（此时
），且 ，所以 仅有一个零点
（ii）当 时， ，
由 得 ， 为减函数； 得 ， 为增函数
∴ ，又 ，
∴存在 ，使 ，故 在 有唯一零点
又当 时， ，即 ，所以
，而
图像开口向上，故存在 ，使得 ，也即有 ，则存在 ，使得 ，
故 在 有唯一零点，此时， 有两个零点
（iii）当 时，由 得 或 ，
①若 ，即 ，则
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增；
而 ， ，
此时， 仅有一个零点
②若 ，即 ，则 ， 为 上的增函数，
因为 ， ，此时 仅有一个零点，
③若 ，即 ，则
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增
因为 ，则 ， ，
此时 仅有1个零点，
综上，当 时， 有1个零点；当 时， 有两个零点．
【点睛】关键点点睛：本题考查导数的几何意义，考查用导数研究函数的零点个数．解题关键是分类讨论，
由导数确定函数的单调性、极值．求出极值时，判断极值的正负，结合单调性再确定是否要判断另一函数
值的正负，从而利用零点存在定理说明零点的存在．
