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专题 05 导数中的切线问题
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题型01 在某一点的切线...........................................................................................................................................1
题型02 过某一点的切线...........................................................................................................................................2
题型03 切线中平行、垂直、重合问题...................................................................................................................3
题型04 求公切线（两个切点）...............................................................................................................................4
题型05 切线的条数问题...........................................................................................................................................5
题型 01 在某一点的切线
【解题规律·提分快招】
在某一点的切线方程
切线方程 的计算：函数 在点 处的切线方程为
，抓住关键 ．
【典例训练】
一、单选题
1．（2025高三·全国·专题练习）函数 的图象在点 处的切线方程是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025高三·全国·专题练习）曲线 在点 处的切线与坐标轴围成的三角形面积为
（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三上·河北保定·期末）已知点 在抛物线 的准线上，过点 的直线
与抛物线在第一象限相切于点 ，记抛物线的焦点为 ，则 （ ）
A． B． C． D．二、填空题
4．（24-25高三上·湖南·期中）曲线 在点(1,f (1))处的切线方程为 .
5．（24-25高三上·山东潍坊·期中）已知点 在函数 的图象上，则曲线
在点 处的切线方程为 .
题型 02 过某一点的切线
【解题规律·提分快招】
过某一点的切线方程
设切点为 ，则斜率 ，过切点的切线方程为： ，
又因为切线方程过点 ，所以 然后解出 的值．（ 有几个值，就有几条切
线）
【典例训练】
一、单选题
1．（2024高三·全国·专题练习）设曲线 的一条切线过点 ，则此切线与坐标轴围成的三角形
面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高三上·贵州遵义·阶段练习）若函数 的图象在点 处的切线不经过第二象限，
且该切线与坐标轴所围成的三角形的面积为 ，则 （ ）
A． B． C． D．1
3．（24-25高三上·天津武清·阶段练习）若直线 与曲线 相切，则 （ ）
A． B． C． D．4
二、填空题
4．（2024·天津和平·二模）过点 作曲线 的切线，则切点的坐标为 ．
5．（2024高三·全国·专题练习）写出曲线 过坐标原点的切线方程： ， .
6．（24-25高三上·广东·开学考试）已知函数 过原点 作曲线 的切线，其切线方程为 ．
题型 03 切线中平行、垂直、重合问题
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·湖北·期末）函数 在 处的切线与直线 垂直，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2024·山西·模拟预测）已知函数 若对任意 ，曲线
在点 和 处的切线互相平行或重合，则实数 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．（23-24高二下·河北石家庄·期中）设曲线 和曲线 在它们的公共点
处有相同的切线，则 的值为（ ）
A．0 B． C．2 D．3
4．（2024高三·全国·专题练习）已知 ，若直线 是曲线
与曲线 的公切线，则 （ ）
A． B． C．26 D．28
5．（2024·湖南长沙·三模）斜率为1的直线 与曲线 和圆 都相切，则实数 的值为
（ ）
A．0或2 B． 或2 C． 或0 D．0或1
6．（23-24高三上·四川内江·阶段练习）若曲线 在点 处的切线也是 的切线，则 一
定是下列函数（ ）的零点.
A． B．
C． D．
二、填空题
7．（2024高三·全国·专题练习）已知曲线 在点 处的切线为 ，若直线 ，则直
线 的方程可能是 ．（写出一个正确答案即可）
8．（24-25高三上·湖南永州·期末）已知直线 是曲线 和 的一条公切
线，则 ．题型 04 求公切线（两个切点）
【解题规律·提分快招】
求公切线方程
已知其中一曲线上的切点，利用导数几何意义求切线斜率，进而求出另一曲线上的切点；不知切点坐标，
则应假设两切点坐标，通过建立切点坐标间的关系式，解方程.
具体做法为：设公切线在y＝f(x)上的切点P(x，f(x))，在y＝g(x)上的切点P(x，g(x))，
1 1 1 2 2 2
则
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）设函数 .若函数 在 和 的
切线互相平行，则两平行线之间距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高三上·广东广州·阶段练习）若直线 是曲线 与 的公切
线，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2025高三·全国·专题练习）已知直线 是曲线 的切线，也是曲线 的切线，则
（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
4．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）若曲线 在 处的切线也是曲线 的
切线，则 ．
5．（24-25高三上·江苏·阶段练习）若曲线 与曲线 存在公切线，则a的最大值 ．
6．（24-25高三上·福建福州·阶段练习）若曲线 在点P(x ,y )处的切线与曲线 相切于点
1 1
Q(x ,y )，则 ．
2 27．（24-25高三上·山东聊城·阶段练习）一条直线与函数 和 的图象分别相切于点 和
点 ，则 的值为 ．
题型 05 切线的条数问题
【解题规律·提分快招】
切线的条数问题
切线条数判断，一般转化为关于切点横坐标的函数零点个数判断问题.
【典例训练】
一、单选题
1．（2023·四川凉山·一模）函数 在区间 的图象上存在两条相互垂直的切线，则
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）过点 作曲线 的切线，则这样的切线共有（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
3．（23-24高二下·浙江衢州·期末）若曲线 有两条过坐标原点的切线，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·四川内江·模拟预测）若过点 可以作两条直线与曲线 相切，则下列选项正
确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024·山东·模拟预测）若过点 可以作 的三条切线，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·福建泉州·模拟预测）若曲线 与 恰有两条公切线，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．（24-25高三上·河北邢台·期末）若过点 恰好可作曲线 的两条切线，则 的值可以为
（ ）
A． B． C． D．8．（24-25高三上·四川成都·阶段练习）对于函数 ，则下列判断正确的是（ ）
A．直线 是 过原点的一条切线
B． 关于 对称的函数是
C．过一点 可以有 条直线与 相切
D．
三、填空题
9．（24-25高三上·江苏南通·开学考试）已知曲线 与 有公共切线，则实数 的最大
值为 ．
10．（2024·云南昆明·三模）过点 可以向曲线 作 条切线，写出满足条件的一组有序实数
对
11．（24-25高三上·湖北·阶段练习）已知函数 其中 ，当两函数图象
对应曲线存在2条公切线时则 的取值范围是 ．
一、单选题
1．（24-25高三上·天津·期中）已知函数 ，则曲线 在点 处切线的斜
率为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高三上·甘肃天水·阶段练习） ，若 ，则 等于（ ）
A． B．1 C． D．
3．（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知曲线 ， 在点 处的切线与直
线 垂直，则a的值为（ ）
A．1 B． C．3 D．
4．（24-25高三上·江苏淮安·阶段练习）已知 是曲线 上一点，直线 经过点 ，
且与曲线 在 点处的切线垂直，则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高三上·福建·期中）若直线 与曲线 相切，则 （ ）A．2 B．e C． D．
6．（2024·四川眉山·一模）曲线 在点 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知曲线 在 处的切线 恰好与曲线 相切，则
实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25高三上·四川成都·阶段练习）已知曲线 在点 处的切线与曲线 在
点 处的切线平行，且直线 垂直于 轴，则 （）
A．e B． C． D．e或3e
9．（24-25高三上·河南·阶段练习）若直线 是函数 的一条切线，则 的最小
值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
10．（24-25高三上·山西·阶段练习）曲线 与 的公切线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
11．（2024·江苏徐州·模拟预测）若曲线 与 ，恰有2条公切线，则 （ ）
A． B． C． D．
12．（24-25高三上·云南昆明·期中）已知函数 和两点 ， ，设曲线 过原点
的切线为 ，且 ，则 所在的大致区间为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
13．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，点 ，则下列说法正确的是（ ）
A．过点 与 的图象相切的切线的斜率恒不为1
B．若 ，则过点 可作3条直线与 的图象相切
C．若过点 且斜率为4的直线与 的图象有2个交点，则
D．若 图象上任意两点连线所在直线的斜率恒大于点 与点 连线所在直线的斜率，则 的取
值范围是
14．（24-25高三上·重庆·阶段练习）记函数 的图象为曲线 ，点 不在曲线 上，过点作曲线 的切线，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ， ，可作1条切线
B．若 ， ，可作0条切线
C．若 ， ，可作3条切线
D．若 ， ，可作2条切线
三、填空题
15．（24-25高三上·福建龙岩·期中）已知函数 .曲线 在点 处的切
线方程为 ，则
16．（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）已知函数 与函数 在公共点处的切线
相同，则实数m的值为 .
17．（23-24高三上·广西南宁·阶段练习）已知曲线 与 的公切线为 ，
则实数 .
18．（2024·辽宁·二模）已知函数 的图象与函数 且 的图象在公共点处有相同的切
线，则 ，切线方程为 .
19．（23-24高三上·陕西西安·期中）若过点 可以作曲线 的两条切线，切点分别为
，则 的取值范围是 .
20．（2024·安徽·模拟预测）若直线 上一点 可以作曲线 的两条切线，则点 纵坐标的取值范
围为 ．
21．（24-25高三上·湖北黄冈·阶段练习）已知 ， 分别为直线 和曲线 上的点，则
的最小值为
22．（23-24高三上·山东烟台·期中）若过点 有三条直线与函数 的图象相切，
则实数m的取值范围为 .
23．（24-25高三上·广东深圳·期中）已知曲线 存在两条斜率为3的切线，则实数a
的取值范围为 .
