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专题 05 导数中的切线问题
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题型01 在某一点的切线...........................................................................................................................................1
题型02 过某一点的切线...........................................................................................................................................4
题型03 切线中平行、垂直、重合问题...................................................................................................................7
题型04 求公切线（两个切点）.............................................................................................................................12
题型05 切线的条数问题.........................................................................................................................................16
题型 01 在某一点的切线
【解题规律·提分快招】
在某一点的切线方程
切线方程 的计算：函数 在点 处的切线方程为
，抓住关键 ．
【典例训练】
一、单选题
1．（2025高三·全国·专题练习）函数 的图象在点 处的切线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求 ，根据导数的几何意义可知函数图象在某点处的切线的斜率就是函数在该点处的导数值，
由此可计算切线方程.
【详解】∵ ，∴ ， ，
∴ ，
∴切线方程为 ，即 .
故选：A.2．（2025高三·全国·专题练习）曲线 在点 处的切线与坐标轴围成的三角形面积为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用导数的几何意义就是切线斜率，求出在 处的导数，即为切线斜率，进而利用点斜式得
到切线方程，借助切线方程求出与坐标轴交点坐标，从而利用面积公式求出面积即可．
【详解】因为 ，
所以 ，
即曲线 在点 处的切线方程是 ，
则切线与 坐标轴的交点分别是 ，
所以围成的三角形面积为 ，
故选：A.
3．（24-25高三上·河北保定·期末）已知点 在抛物线 的准线上，过点 的直线
与抛物线在第一象限相切于点 ，记抛物线的焦点为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由点 在准线上可知 的值，从而确定抛物线的方程，设点 的坐标为 ， ，
通过对抛物线方程求导，可得点直线AB的斜率，再通过 、 两点的坐标也可求得 ，于是建立关于
的方程，解之可得 的值，最后利用抛物线的定义即可得解.
【详解】抛物线 的准线方程为 ，
∵点 在准线上，∴ 即 ，
抛物线的方程为 ，即 ，
设点 的坐标为 ， ，对 求导可得， ，∴直线AB的斜率为 ，
由 、 ，可知 ，解之得， 或 （舍负），
∴点 ，由抛物线的定义可知， ，
故选：C.
二、填空题
4．（24-25高三上·湖南·期中）曲线 在点(1,f (1))处的切线方程为 .
【答案】
【分析】求出f (1)=0，求导，根据导数几何意义得到切线斜率，由点斜式求出切线方程.
【详解】因为 ，则f (1)=0，
所以切点为(1,0)，且 ，则 ，
由直线的点斜式可得 ，化简可得 ，
所以切线方程为 .
故答案为：
5．（24-25高三上·山东潍坊·期中）已知点 在函数 的图象上，则曲线
在点 处的切线方程为 .
【答案】
【分析】先代入点 ，求出 ，得到 的解析式，再通过求导求出切线的斜率，进而得y=f (x)
在点 处的切线方程.
【详解】由题意，知
∵ ，∴ ，故 ，
故 ， ，
∴ ，所以y=f (x)在点 处的切线方程为 ，即 .
故答案为： .
题型 02 过某一点的切线
【解题规律·提分快招】
过某一点的切线方程
设切点为 ，则斜率 ，过切点的切线方程为： ，
又因为切线方程过点 ，所以 然后解出 的值．（ 有几个值，就有几条切
线）
【典例训练】
一、单选题
1．（2024高三·全国·专题练习）设曲线 的一条切线过点 ，则此切线与坐标轴围成的三角形
面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据导数的几何意义，求得切线方程，求得直线在 轴上的截距，即可得三角形的面积.
【详解】设切点为 ，
则切线方程为 .
切线过点 ，
切线方程为 ，
故可得切线在 轴上的截距为 ，
所以切线与坐标轴围成的三角形面积为 .
故选：C.
2．（24-25高三上·贵州遵义·阶段练习）若函数 的图象在点 处的切线不经过第二象限，
且该切线与坐标轴所围成的三角形的面积为 ，则 （ ）A． B． C． D．1
【答案】D
【分析】由导数的几何意义求出 的图象在点 处的切线方程，再由该切线与坐标轴所围成的三角
形的面积求出 的值，验证是否符合题意即可.
【详解】由 ，得 ， ，
则 的图象在点 处的切线方程为 ，
由题意可知 ，
将 代入切线方程，得 ，将 代入切线方程，得 ，
因为该切线与坐标轴所围成的三角形的面积为 ，
所以 ，解得 或 ，
当 时，切线经过第一、三、四象限，符合题意；
当 时，切线经过第一、二、三象限，不符合题意.
故 .
故选：D
3．（24-25高三上·天津武清·阶段练习）若直线 与曲线 相切，则 （ ）
A． B． C． D．4
【答案】B
【分析】设出切点坐标P(x ,y )，求导并利用导数的几何意义与两点间的斜率公式计算可得直线斜率.
0 0
【详解】设直线 与曲线 相切于点P(x ,y )，
0 0
求导可得 ，因此切线斜率 ，
又切线过原点O(0,0)，可得 ，化简可得 ，
令 ，则 ，
当x∈(0,1)时， ，即 在(0,1)上单调递减，
当x∈(1,+∞)时， ，即 在(1,+∞)上单调递增，所以 在 处取得极小值，也是最小值， ，
因此可得 ，即可得 .
故选：
二、填空题
4．（2024·天津和平·二模）过点 作曲线 的切线，则切点的坐标为 ．
【答案】
【分析】设出切点坐标，利用导数的几何意义建立方程，将 代入求解即可.
【详解】设切点的坐标为 ，由 ， ，
所以过切点的切线方程为： ，
把 代入得：−2t=−t⋅2tln2，即tln2=1，
所以 ，则切点坐标为： 即 .
故答案为：
5．（2024高三·全国·专题练习）写出曲线 过坐标原点的切线方程： ， .
【答案】
【分析】分 和 两种情况，当 时设切点为 ，求出函数 的导函数，即可求出
切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出 ，即可求出切线方程，当 时同理
可得；
【详解】因为 ，
当 时， ，设切点为 ，由 ，得 ，
所以切线方程为 .
又切线过坐标原点，所以 ，解得 ，
所以切线方程为 ，即 ；
当 时， ，设切点为 ，由 ，得 ，所以切线方程为 .
又切线过坐标原点，所以 ，解得 ，
所以切线方程为 ，即 .
故答案为： ； .
6．（24-25高三上·广东·开学考试）已知函数 过原点 作曲线 的切线，其
切线方程为 ．
【答案】
【分析】根据题意，设出切点的坐标，结合导数的几何意义，分类讨论，即可求解.
【详解】当 时，函数 ，可得
设切点为 ，则 ，
所以切线方程为 ，
因为切线过原点 ，可得 ，解得 ，不符合题意，舍去；
当 时，函数 ，可得
设切点为 ，则 ，
所切线方程为 ，
因为切点过原点 ，可得 ，解得 ，
此时切线方程为 ，即 ，
故答案为：
题型 03 切线中平行、垂直、重合问题
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·湖北·期末）函数 在 处的切线与直线 垂直，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】求出 导数， ，利用函数 在 处的切线与直线 垂直，列出方程，
即可求出实数 的值．
【详解】函数 ，求导得 ，
在 处的切线斜率为 ，
又 在 处的切线与直线 垂直，
所以 ，解得 .
故选：B.
2．（2024·山西·模拟预测）已知函数 若对任意 ，曲线
在点 和 处的切线互相平行或重合，则实数 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】求得 ，根据题意转化为 为偶函数，即可求解.
【详解】由函数 ，
可得 ，
因为曲线 在点 和 处的切线互相平行或重合，
可得 为偶函数，所以 ，解得 .
故选：C.
3．（23-24高二下·河北石家庄·期中）设曲线 和曲线 在它们的公共点
处有相同的切线，则 的值为（ ）
A．0 B． C．2 D．3
【答案】C
【分析】根据两曲线在 有公切线，则 是公共点，该点处的导数值相同，列出方程求出 的值，
则答案可求
【详解】由已知得 ，解得 ，
又 ，所以 得 ，
所以 ，
所以 .
故选：C.
4．（2024高三·全国·专题练习）已知 ，若直线 是曲线
与曲线 的公切线，则 （ ）
A． B． C．26 D．28
【答案】C
【分析】根据题意，分别设出与曲线 以及与曲线 的切点坐标，然后结合导数的几何意义，
代入计算，即可求解.
【详解】设直线 与曲线 相切于点 ，与曲线 相切于点
.
由 知 ，又两曲线的公切线斜率为 ，则 ，解得 或
（舍去）.
所以 ，解得 .
由 知 ，又两曲线的公切线斜率为 ，则 ，即 ，故
，整理得 ，故 ，
所以 ，故 .
故选：C.
5．（2024·湖南长沙·三模）斜率为1的直线 与曲线 和圆 都相切，则实数 的值为
（ ）
A．0或2 B． 或2 C． 或0 D．0或1
【答案】A
【分析】设直线 的方程为 ，先根据直线和圆相切算出 ，再由导数的几何意义算出 .
【详解】依题意得，设直线 的方程为 ，即 ，
由直线和圆 相切可得， ，解得 ，
当 时， 和 相切，
，设切点为 ，根据导数的几何意义， ，又切点同时在直线和曲线上，即 ，解得 .
即 时， ；
当 时， 和 相切，
，设切点为 ，根据导数的几何意义， ，
又切点同时在直线和曲线上，即 ，解得 .
即 时， .
综上所述， 或 .
故选：A.
6．（23-24高三上·四川内江·阶段练习）若曲线 在点 处的切线也是 的切线，则 一
定是下列函数（ ）的零点.
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设满足题意曲线 的切线的切点为 ，先分别求出两曲线的切线方程，再根据切线相同
求出 的关系，即可得出答案.
【详解】由 ，得 ，则 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，
即 ，
设满足题意曲线 的切线的切点为 ，
由 ，得 ，则 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，
即 ，
因为曲线 在点 处的切线也是 的切线，所以 ，
整理得 ，
即 ，
即 ，所以 ，即 ，
所以 一定是函数 的零点.
故选：B.
二、填空题
7．（2024高三·全国·专题练习）已知曲线 在点 处的切线为 ，若直线 ，则直
线 的方程可能是 ．（写出一个正确答案即可）
【答案】 （答案不唯一）
【分析】由导数法求得切线的斜率，再由 ，写出直线m的方程.
【详解】解：由题知，点 在曲线 上，
由 ，
得 ，
切线 的斜率 ， 切线 的方程为 ，即 ．
又 ，则直线 的方程可能是 （答案不唯一）
故答案为： （答案不唯一）
8．（24-25高三上·湖南永州·期末）已知直线 是曲线 和 的一条公切
线，则 ．
【答案】9
【分析】设出切点坐标，根据导数的几何意义，再结合切点同时满足直线方程与曲线方程求解即可.
【详解】设直线 与曲线 相切于点 .
由 ，得 .
又∵直线l的斜率为 ，∴ .又点 在直线 和曲线 上，∴ .
联立①②可得 ，故直线l的方程为 .
设直线 与曲线 相切于点 .由 ，得 .
又∵直线l的斜率为3， .
又点 在直线 和曲线 上，∴
联立 ，解得 ， .
故答案：9.
题型 04 求公切线（两个切点）
【解题规律·提分快招】
求公切线方程
已知其中一曲线上的切点，利用导数几何意义求切线斜率，进而求出另一曲线上的切点；不知切点坐标，
则应假设两切点坐标，通过建立切点坐标间的关系式，解方程.
具体做法为：设公切线在y＝f(x)上的切点P(x，f(x))，在y＝g(x)上的切点P(x，g(x))，
1 1 1 2 2 2
则
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）设函数 .若函数 在 和 的
切线互相平行，则两平行线之间距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出函数 的导数，利用导数的几何意义及平行关系求出切线方程，进而求出最大距离.
【详解】函数 ，求导得 ，
依题意， ，即 ，解得 ，则两条切线的斜率为 ，对应的两个切点为 ，
切线方程为 和 ，即 和 ，
切线 过定点 ，切线 过定点 ，
所以两平行线之间距离的最大值为 .
故选：C
2．（24-25高三上·广东广州·阶段练习）若直线 是曲线 与 的公切
线，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设直线 与函数 和 的图象相切于点 和 ，利用导数的几何意义，
求得切线方程，列出方程组，结合斜率公式，即可求解.
【详解】设直线 与函数 的图象相切于点 ，
与 的图象相切于点 ，
因为 ，且 ， ，
则曲线y=f (x)在 处的切线方程为 ，
曲线y=g(x)在 处的切线方程为 ，
所以 ，解得 ，
所以 .
故选：C.
3．（2025高三·全国·专题练习）已知直线 是曲线 的切线，也是曲线 的切线，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设直线 与曲线 的切点为 ，与曲线 的切点为 ，利用导数求
出曲线 在 处的切线方程，以及曲线 在 处的切线方程，根据两切线重合可得出关于、 的方程组，解出这两个量的值，可得出 、 的值，即可得解.
【详解】设直线 与曲线 的切点为 ，与曲线 的切点为 ，
对函数 求导得 ，对函数 求导得 ，
则曲线 在 处的切线方程为 ，即 ，
曲线 在 处的切线方程为 ，
即 ，
所以 ，解得 ，
故 ， ，所以 ．
故选：C．
二、填空题
4．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）若曲线 在 处的切线也是曲线 的
切线，则 ．
【答案】
【分析】根据导数的几何意义，结合直线的点斜式方程进行求解即可.
【详解】曲线 ，
所以曲线 在 的切线的斜率为 ，
故切线为 ．
，
所以曲线 在 处的切线的斜率为 ，
所以切线方程为： ，
化简，得 ，
令 ，
故答案为：
5．（24-25高三上·江苏·阶段练习）若曲线 与曲线 存在公切线，则a的最大值 ．【答案】
【分析】设公切线与曲线 切与点 ，与曲线 切与点 ，由题意可得 ，
化简可得 ，则 ，构造函数 ，利用导数求出其最大值即可.
【详解】设公切线与曲线 切与点 ，与曲线 切与点 ，
由 ，得 ；由 得 .
则 ，
所以 ，所以 ，即 .
设 ，则 .
由 ；由 .
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减.
所以函数 .
即 的最大值为 .
故答案为：
【点睛】关键点点睛：此题考查导数几何意义，考查利用导数求函数的最值，解题的关键是设出两切点的
坐标，由切线为两曲线的公切线列方程组求解，考查数学转化思想和计算能力.
6．（24-25高三上·福建福州·阶段练习）若曲线 在点P(x ,y )处的切线与曲线 相切于点
1 1
Q(x ,y )，则 ．
2 2
【答案】
【分析】根据导数几何意义可分别用 和 表示出切线方程，根据切线方程相同可构造方程组，化简得到
，代入所求式子整理即可.
【详解】 ，∴曲线 在点P(x ,y )处的切线斜率 ，
1 1∴切线方程为 ，
或 ，
，即 ，
，易知 ， ，
.
故答案为： .
【点睛】思路点睛：本题考查导数中的公切线问题，求解此类问题的基本思路是假设切点坐标后，利用导
数几何意义分别表示出两函数切点处的切线方程，由两方程形式一致可构造方程组来求解相关问题.
7．（24-25高三上·山东聊城·阶段练习）一条直线与函数 和 的图象分别相切于点 和
点 ，则 的值为 ．
【答案】-2
【分析】求导，由导数几何意义得到切线方程，对照系数得到 ，联立得到 ，
故 .
【详解】因为 ， ，所以 ， ，
则 在点 处的切线方程为 ，即 ；
在点 处的切线方程为： ，即 ，
由已知 ，由 得 ，故 ，
故 ，解得 ，
所以 ，因此 ．
故答案为： ．
【点睛】方法点睛：应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点 求斜率 ,即求该点处的导数 ；
(2) 已知斜率 求切点 即解方程 ；
(3) 已知切线过某点 (不是切点) 求切点, 设出切点 利用
求解.
题型 05 切线的条数问题
【解题规律·提分快招】
切线的条数问题
切线条数判断，一般转化为关于切点横坐标的函数零点个数判断问题.
【典例训练】
一、单选题
1．（2023·四川凉山·一模）函数 在区间 的图象上存在两条相互垂直的切线，则
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用导数的几何意义结合导函数的单调性计算即可.
【详解】由 ，
不妨设这两条相互垂直的切线的切点为 ，且
若 ，则 恒成立，不符合题意，可排除A项；
所以 ，此时易知 单调递增，
要满足题意则需 .
故选：D
2．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）过点 作曲线 的切线，则这样的切线共有（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
【答案】C【分析】设出切点，根据导数的几何意义求切线斜率，写出切线方程，根据切线过点 ，列方程，判断
方程解的个数即可.
【详解】因为 ，所以 （ ）.
设切点坐标为： ，切线斜率为： （ ）.
所以切线方程为： .
又切线过点 ，
所以 .
设 （ ）
则 ，
由 ；由 .
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增.
且 ， ， .
所以 在 和 各有1个根.
所以方程： 有且只有两个解.
故选：C
3．（23-24高二下·浙江衢州·期末）若曲线 有两条过坐标原点的切线，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先设切点 ，再根据导数的几何意义求出切线斜率，利用点斜式得到切线方程；再
根据切线过点 ，得到 的关系，利用 有两解求 的取值范围.
【详解】设切点 ，
又 ，所以切线斜率为： .由点斜式，切线方程为： .
因为切线过点 ，所以 .
所以： .
因为过原点的切线有两条，所以关于 方程 有两解.
由 （ ） ，
设 ，则 ，
由 得 ，
所以 在 单调递增，在 单调递减，
所以 ，且当 时， .
所以 有两解，则 .
故选：A
4．（2024·四川内江·模拟预测）若过点 可以作两条直线与曲线 相切，则下列选项正
确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设切点 ，根据切线经过点 ，得到 ，令 ，
转化为 与 有两个不同的交点求解.
【详解】设切点 ，
因为 ，所以 ，
所以点P处的切线方程为 ，
又因为切线经过点 ，所以 ，即 ，
令 ，
则 与 有两个不同的交点，
，
当 时， 恒成立，所以 单调递增，不合题意；
当 时，当 时， ，当 时， ，
所以 ，则 ，即 ，
故选：B
5．（2024·山东·模拟预测）若过点 可以作 的三条切线，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设出切点坐标 ，求导并利用导数的几何意义求出切线方程，用 表示出 ，再构造函数，
利用导数探讨函数图象性质，进而求出 的范围.
【详解】依题意，设切点坐标为 ，由 ，求导得 ，
则函数 的图象在点 处的切线方程为 ，
由切线过点 ，得 ，
令 ，依题意，直线 与函数 的图象有3个公共点，
，当 或 时， ，当 时， ，
则函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
当 时，函数 取得极小值 ，而当 时，恒有 ，
又 ，因此当 时，直线 与函数 的图象有3个公共点，
所以实数 的取值范围是 .
故选：B
【点睛】关键点点睛：涉及导数的几何意义的问题，求解时应把握导数的几何意义是函数图象在切点处的
切线斜率，切点未知，设出切点是解题的关键.
6．（2024·福建泉州·模拟预测）若曲线 与 恰有两条公切线，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】设曲线 切点为 ， 的切点为 ，求出切线方程，根据有两条公切线转
化为方程具有两个解，构造函数利用导数求解取值范围，判断选项.
【详解】设曲线 切点为 ， 的切点为 ，
则曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ，
同理， 在点 处的切线方程为 ，
根据 与 有两条公切线，
则 ，所以 ，化简可得 具有两个交点，
转化为 有两个解，构造函数 ，则 ，
当 ，f′(x)>0， 单调递增；当 ，f′(x)<0， 单调递减，
故 在 时有极大值即为最大值，故 ，
当 时， ，当 时， ，
故 的取值范围为 ，
故选：A
二、多选题
7．（24-25高三上·河北邢台·期末）若过点 恰好可作曲线 的两条切线，则 的值可以为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】先设切点为 ，得出切线方程为 ，再根据有两个切线得出方程
有两个解求参即可.
【详解】令 ，则 ，
设切点为 ，所以切线方程为 ，切线过点 ，
代入得 ，即方程 有两个解，
则 ，解得 或 .故选：BCD.
8．（24-25高三上·四川成都·阶段练习）对于函数 ，则下列判断正确的是（ ）
A．直线 是 过原点的一条切线
B． 关于 对称的函数是
C．过一点 可以有 条直线与 相切
D．
【答案】BD
【分析】由导数的几何意义可判定A，由反函数的概念可判定B，利用对数函数的图像可判定C，利用常
用的切线放缩可判定D.
【详解】对于A，设切点 ，则 ，
∴ ，∴ ，∴ ，切点
所以过原点的切线方程为 ，∴A错误；
对于B，由反函数的概念可得 ，
故与 关于 对称的函数为 ，∴B正确；
对于C，当点 在 上方，如下图所示，结合图象可知，最多有两条切线，
如果在 下方，没有切线，在曲线上，只有一条切线C正错误；
对于D，由于 ，设 ，
令 ，令 ，
∴ 在(1,+∞)上单调递增，在 上单调递减；
∴ ，∴D正确．
故选：BD三、填空题
9．（24-25高三上·江苏南通·开学考试）已知曲线 与 有公共切线，则实数 的最大
值为 ．
【答案】
【分析】先设出切点，求导得到切线方程，斜率截距对应相等，得到 ,构造函数
，转化为存在性问题，最终求最值即可.
【详解】设曲线 与 的切点分别为 ， ，
因为 ， ，则两切线斜率 ， ，
所以 ， ，
所以 ，所以 ，
即 ，
令 ，则 ，
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
所以 ，即 ，
即 ，
故答案为： .
10．（2024·云南昆明·三模）过点 可以向曲线 作 条切线，写出满足条件的一组有序实数
对
【答案】 （答案不唯一）
【分析】设切点坐标为 ，利用导数表示出切线方程，代入点 ，通过构造函数，研究新函数
的单调性和极值，对 的取值范围进行讨论，得到 解的个数，可得对应的切线条数.【详解】 ， ，
设所求切线的切点坐标为 ，则切线斜率为 ，
得切线方程为 ，
由切线过点 ，有 ，
化简得 ，
设 ，则 ，
，解得 或 ； ，解得 ，
在 和(1,+∞)上单调递减，在 上单调递增，
极大值 ，极小值 ，
且 或 时g(x)<0， 时，g(x)>0，
的函数图象如图所示，
则当 时， 无解， ；当 或 时， 有一个解， ；
当 或 时， 有两个解， ；当 时， 有三个解， .
故答案为： （答案不唯一）
11．（24-25高三上·湖北·阶段练习）已知函数 其中 ，当两函数图象
对应曲线存在2条公切线时则 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据反函数的性质，先求解 两曲线相切时的临界情况时 的值，
利用相切和导数可得 ，构造函数 ，即可根据函数单调性求解.【详解】令 则 ，
令 ，则 ，
由于函数 互为反函数，故图象关于 对称，
因此只需要考虑 两曲线相切时的临界情况，设切点横坐标为 ，
由
故 ，即 ，
所以 ，
设 ，则 ， ，故有 ，两边取对并移项 ，
记函数 ，易知 在(1,+∞)上单调递增,
因为 ，所以 ，此时 ，
所以 的取值范围是
【点睛】关键点点睛：根据两函数在相切的临界情况，设出切点横坐标为 ，得 ，
求解 .
一、单选题
1．（24-25高三上·天津·期中）已知函数 ，则曲线 在点 处切线的斜
率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】利用导数的几何意义，求出曲线 在 处的导数值即可.
【详解】因为 ，所以 ，
所以 ，
所以曲线 在点 处切线的斜率为 .
故选：B.
2．（24-25高三上·甘肃天水·阶段练习） ，若 ，则 等于（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【分析】求函数 的导函数，由条件列方程求 .
【详解】由题意可得： ，
若 ，即 ，
则 ，解得 ．
故选：B．
3．（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知曲线 ， 在点 处的切线与直
线 垂直，则a的值为（ ）
A．1 B． C．3 D．
【答案】C
【分析】根据导数求出曲线在点 处的切线斜率，再根据两条互相垂直的直线斜率之积等于 算出
即可.
【详解】 ，则 ，
则 ，曲线 在点 处的切线与直线 垂直，
所以 ，解得 .
故选：C
4．（24-25高三上·江苏淮安·阶段练习）已知 是曲线 上一点，直线 经过点 ，
且与曲线 在 点处的切线垂直，则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】求导，设 ，根据题意结合导数的几何意义列式求解即可.
【详解】因为 ，则 ，
直线 ，即为 ，其斜率为 ，
设 ，
由题意可得： ，解得 .
故选：C.
5．（24-25高三上·福建·期中）若直线 与曲线 相切，则 （ ）
A．2 B．e C． D．
【答案】C
【分析】设切点，再根据导数的几何意义求解即可.
【详解】设切点为 ，则对 求导有 ，
故在 处切线的斜率为 ，则由 在直线 上可得 ，
解得 ，故 .
故选：C
6．（2024·四川眉山·一模）曲线 在点 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求导数，得出切线斜率，写出切线方程，然后可求三角形的面积.
【详解】由 ，得 ，
则 ，所以曲线 在点 处的切线方程为 ，
令 ，得 ；令 ，得 ，
所以切线与坐标轴围成的三角形面积为 .
故选：B.
7．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知曲线 在 处的切线 恰好与曲线 相切，则
实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】利用导数的几何意义求出切线 的方程，然后设 与曲线 的切点为 ，利用导数
的几何意义可得出 的值，可得出切点坐标，再将切点坐标代入函数 的解析式，即可解得实数
的值.
【详解】由 得 ，又切点为 ，故切线斜率为 ，切线 的方程为 ，
设 与曲线 的切点为 ，
对函数 求导得 ，所以 ，可得切点为 ，
所以 ，解得 ．
故选：B.
8．（24-25高三上·四川成都·阶段练习）已知曲线 在点 处的切线与曲线 在
点 处的切线平行，且直线 垂直于 轴，则 （）
A．e B． C． D．e或3e
【答案】A
【分析】设 ，根据斜率相等可得 ，构造函数 ，根据导数判断
单调性，由单调性和 可得 ，然后可解.
【详解】依题意可设 ，其中m>0.
因为 ，
所以曲线 在点 处的切线斜率为 ，曲线 在点 处的切线斜率为 ，
所以 ，即 .
设函数 ，则 ，
所以 为增函数，又 ，所以 ，
所以 ， ，故 .
故选：A
【点睛】关键点睛：关键在于构造函数 ，根据其单调性和 确定 的值.
9．（24-25高三上·河南·阶段练习）若直线 是函数 的一条切线，则 的最小
值为（ ）A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【分析】设切点为 ，求得切线方程，进而可得 ，进而可求 的最小值.
【详解】设切点为 ，因为 ，
所以函数 的切线方程为 ，
即 ，所以 ，
所以 （当且仅当 时取等号）.
故选：C.
10．（24-25高三上·山西·阶段练习）曲线 与 的公切线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据导数的几何意义分别求f (x),g(x)的切线，结合题意列式求解即可.
【详解】因为 ，则 ，
设切点坐标为 ，切线斜率为 ，
可得切线方程为 ，即 ；
因为 ，则 ，
设切点坐标为 ，切线斜率为 ，
可得切线方程为 ，即 ；
由题意可得： ，解得 ，
所以公切线的斜率为 .
故选：A.11．（2024·江苏徐州·模拟预测）若曲线 与 ，恰有2条公切线，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设在曲线 上的切点为 ，求出切线方程，设该切线方程与曲线 相交于点
，由此可得 ，再利用导数研究函数 的性质，结合题意即可得出答案．
【详解】设在曲线 上的切点为 ，
由 ，可得过点 的切线斜率为 ，
此时切线方程为 ，即 ，
设切线 与曲线 相交于点 ， ，
则 ，
消去 ，可得 ，
依题意，直线 与函数 的图象有两个不同的交点，
令 ，
解得 或 ，
令 ，解得 ，
则函数 在 ， 上单调递增，在 上单调递减，
故 ，且 恒成立，当且仅当 时等号成立，当 时，
，
要使直线 与函数 的图象有两个不同的交点，
则需 ，解得 ．
故选：B．
【点睛】方法点睛：利用导数的几何意义，分别写出两曲线的切线方程，让两切线方程的系数相等，得到
方程组，消去一个变量后，问题转化为方程的根的个数问题，构造函数，利用导数研究其性质，即可得结
论．
12．（24-25高三上·云南昆明·期中）已知函数 和两点 ， ，设曲线 过原点的切线为 ，且 ，则 所在的大致区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求导，利用导数求得切线 的斜率 ，根据直线平行可得 ，构建
，可知 为 的非零零点，求导，利用导数判断其单调性结合零点存在性定理分析
判断.
【详解】由题意可知： 的定义域为 ，且 ，
设切点坐标为 ，则切线 的斜率 ，
则切线 的方程为 ，
若切线过原点，则 ，解得 ，
可在切线 的 ，
若 ，且直线 的斜率 ，
则 ，即 ，整理可得 ，
构建 ，则 ，
可知 为 的非零零点，
令 ，解得 ；令 ，解得 ；
可知 在 内单调递减，在 内单调递增，
则 分别在 、 内至多一个零点
且 ，
又因为 ，所以 所在的大致区间为 .
故选：C.
【点睛】方法点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题
求解的通法是：
（1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；
（2）求导数，得单调区间和极值点；
（3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况进而求解．二、多选题
13．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，点 ，则下列说法正确的是（ ）
A．过点 与 的图象相切的切线的斜率恒不为1
B．若 ，则过点 可作3条直线与 的图象相切
C．若过点 且斜率为4的直线与 的图象有2个交点，则
D．若 图象上任意两点连线所在直线的斜率恒大于点 与点 连线所在直线的斜率，则 的取
值范围是
【答案】ABD
【分析】把各选项问题转化为三次方程或三次函数，再利用三次函数的性质来解决问题即可.
【详解】设过点 的直线与 的图象切于点 ，易知 ．
当 ， 重合时， ，得 （ 舍去），此时切线的斜率为4，显然不为1．
当 ， 不重合时，切线 的斜率为 ，则 ，
整理得 ,则该关于 的方程实根个数就是切线条数.
对于A，假设切线 的斜率为1，则 ，得 ，
代入 得 ，与 矛盾，
故过点 与 图象相切的切线的斜率恒不为1，故A正确．
对于B，设 ，则 ，
令 ，得 或 ，因为 ，所以 ，
根据三次函数性质，当两个极值点的函数值异号时，该三次函数有三个零点，
所以可得 有3个零点，即方程 有3个不同的实根，
所以满足的切线有3条，故B正确．
对于C，过点 且斜率为4的直线方程为 ，即 ，
与 联立并消去 可得 ，
设 ，则问题转化为ℎ(x)有2个零点，
由 得 ，所以 ，解得 ，故C错误．
对于D，设 图象上任意两点的坐标分别为(x ,f (x ))， ，
1 1
则 ，所以 ，令 ，则φ(x)是增函数，
所以 恒成立，
所以 的取值范围是 ，故D正确．
故选：ABD.
14．（24-25高三上·重庆·阶段练习）记函数 的图象为曲线 ，点 不在曲线 上，过点
作曲线 的切线，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ， ，可作1条切线
B．若 ， ，可作0条切线
C．若 ， ，可作3条切线
D．若 ， ，可作2条切线
【答案】BCD
【分析】根据数形结合得到在 上方，作两条切线的切点横坐标 ， ，一个在 ，一个在
，而若 在 下方， 上方若 ，则两切点都在 上，若 ，则两切点
都在 上，对 ，根据对称性也有类似结论.
【详解】曲线 如图实线部分，不妨补全下方图象，
显然，曲线的切线必在其“凸面”，即单独对 而言，在 时不可作切线，在 时不可作切线，
而在其“凹面”能作 条切线，
因此在区域 内 和 都不可作切线，
因为 在 处切线为 ，
所以又可分为三个区域，在 上方，作两条切线的切点横坐标 ， ，一个在 ，一个在 ，而若 在 下方， 上方，
若 ，则两切点都在 上，
若 ，则两切点都在 上，
对 ，根据对称性也有类似结论，
回到题目中，可分为如图的 个区域，区域 不可作切线，
由于区域 和 在 的“凹面”，故在 段必不可作切线，
由于区域 在 上方，区域 在 下方，
所以在 上区域 可作 条切线，区域 可作 条切线，
根据对称性，区域 和区域 在 的“凹面”，
所以在 必不可作切线，区域 在 下方，区域 在 上方，
所以在 上，区域 可作 条切线，区域 不可作切线，
同理，区域 在 ， 的“凸面”，又在 上侧， 上侧，
所以在 可作 条切线，在 可作 条切线，
所以区域 可作 条切线，由对称性知区域 仅在 作 条切线，
最后，区域 在 可作 条切线，在 可作 条切线，
对于A选项，因为 ， ，所以区域 内可作一条切线，而区域 可作 条切线，故A错误；
对于B选项，因为 ， ，
所以在区域 ，可作 条切线，故B正确；
对于C选项，因为 ， ，
所以在区域 上，可作 条切线，故C正确；
对于D选项，因为 ， ，
所以在区域 上，可作 条切线，故D正确.
故选：BCD.
【点睛】方法点睛：本题关键在于灵活运用数形结合的方法并得出普适性结论.
三、填空题
15．（24-25高三上·福建龙岩·期中）已知函数 .曲线 在点 处的切
线方程为 ，则
【答案】
【分析】利用导数的几何意义求出斜率，结合切点，切线方程即可求出参数 ， ；
【详解】由于 ，
故 ，
， ，
， ，解得 ， ．
，
故答案为：
16．（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）已知函数 与函数 在公共点处的切线
相同，则实数m的值为 .
【答案】0
【分析】设函数 与 的公共点为 ，由题意得 ，可求出 的值，由
即可求出 的值.
【详解】设函数 与 的公共点为 ，
则有 ，
则 ，
解得 或 （舍去），
所以 ，所以 ，解得 .
故答案为：0.
17．（23-24高三上·广西南宁·阶段练习）已知曲线 与 的公切线为 ，
则实数 .
【答案】
【分析】设切点坐标为 ，求得切线方程 ，根据题意，求得 ，得到切线方程为
，再设切点为 ，结合切点在切线上和 ，列出方程组，即可求解.
【详解】由函数 ，可得 ，
设切点坐标为 ，可得 ，则切线方程为 ，
即 ，与公切线 重合，可得 ，
可得 ，所以切线方程为 ，
对于函数 ，可得 ，设切点为 ，则
则 ，解得 .
故答案为：
18．（2024·辽宁·二模）已知函数 的图象与函数 且 的图象在公共点处有相同的切
线，则 ，切线方程为 .
【答案】
【分析】设公共点为 ，即可得到 ，再由导数的几何意义得到 ，从而
求出 ，即可求出切点坐标，从而求出 ，再求出切线方程.
【详解】设公共点为 ，则 ，即 ，所以 ，
所以 ，
由 ， ，所以 ， ，又在公共点处有相同的切线，所以 ，即 ，所以 ，则 ，
，
则 ，
则 ，所以切线方程为 ，即 .
故答案为： ；
19．（23-24高三上·陕西西安·期中）若过点 可以作曲线 的两条切线，切点分别为
，则 的取值范围是 .
【答案】 或
【分析】设切点，求导得切线方程，进而根据过点 ，将问题转化为方程 有两个不相
等实根 ，求得 的范围.
【详解】设切点 ，
则切线方程为 ，
又切线过 ，则 ，
有两个不相等实根 ，
其中
或 .
故答案为： 或
20．（2024·安徽·模拟预测）若直线 上一点 可以作曲线 的两条切线，则点 纵坐标的取值范
围为 ．
【答案】
【分析】先求出过点 的切线方程，分离参数变量，转化为函数直线 与曲线 有两个交点,
借助导数研究单调性和最值，结合图像可解.
【详解】曲线 即曲线 ，
在曲线 上任取一点 ，对函数 求导得 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ，
又切线过点 ，则 .令 ，则 ，
当 时， ，此时函数 单调递增，
当 时， ，此时函数 单调递减，
所以 ．
由题意知，直线 与曲线 有两个交点，则 ，
当 时， ，当 时， ，故 .
故答案为： .
21．（24-25高三上·湖北黄冈·阶段练习）已知 ， 分别为直线 和曲线 上的点，则
的最小值为
【答案】
【分析】利用数形结合思想可知直线 与曲线 相切的切点到直线 的距离是最小
值，从而利用导数来求出切点，再用点到直线的距离公式求出最小值即可.
【详解】直线 与曲线 相切于点A，
由题意 的最小值为切点A到直线 的距离，如图所示，
对 求导有 ，由 可得 ，即 ，
故 的最小值为 .
故答案为： .
22．（23-24高三上·山东烟台·期中）若过点 有三条直线与函数 的图象相切，
则实数m的取值范围为 .
【答案】【分析】设切点坐标，利用导数，求出切线方程，再结合过点 存在三条直线与曲线 相切，
转化为方程有三个根，构造新函数利用导数求单调区间和极值得实数m的取值范围．
【详解】函数 ，定义域为R， ，
设切点坐标为 ，则切线方程为 ，
切线过点 ，则有 ，
即 ，依题意关于 方程有三个解，
设 ，
，解得 或 ； ，解得 ，
所以 在 和 上单调递减，在 上单调递增，
时， 取极小值 ； 时， 取极大值 ，
实数m的取值范围为 .
故答案为： .
23．（24-25高三上·广东深圳·期中）已知曲线 存在两条斜率为3的切线，则实数a
的取值范围为 .
【答案】
【分析】求导，将问题转化成 有两个不同的根，再通过换元 ，转化成 与
的交点问题即可求解.
【详解】 ，依题意知 有两个不同的实数解，
即 有两个不同的实数解，
即 有两个不同的实数解.
令 ，则 ，所以 有两个不同的实数解，
所以 与 的图象有两个交点.
，因为 ，所以 ，又 ，故 ,
故实数 的取值范围是 .
故答案为：
