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专题 05 导数中的隐零点问题
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题型01 利用隐零点解决最值、极值.......................................................................................................................1
题型02 利用隐零点判断零点个数...........................................................................................................................2
题型03 利用隐零点证明不等式...............................................................................................................................4
题型 01 利用隐零点解决最值、极值
【解题规律·提分快招】
一、隐零点问题
隐零点问题是函数零点中常见的问题之一，其源于含指对函数的方程无精确解，这样我们只能得到存在性
之后去估计大致的范围（数值计算不再考察之列）.
基本步骤：
第 1 步: 用零点存在性定理判定导函数零点的存在性, 列出零点方程 , 并结合 的单调性
得到零点的范围;
第 2 步: 以零点为分界点, 说明导函数 的正负, 进而得到 的最值表达式;
第 3 步: 将零点方程 适当变形, 整体代入 最值式子进行化简:
（1）要么消除 最值式中的指对项
（2）要么消除其中的参数项;
从而得到 最值式的估计.
【典例训练】
一、单选题
1．（2024·浙江·三模）已知 表示不超过 的最大整数，若 为函数 的极值点，
则 （ ）
A． B． C． D．2．（2024·山东·模拟预测）已知函数 ，则使 有零点的一个充分条件是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·陕西铜川·模拟预测）已知函数 恰有两个极值点，则a的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·江苏连云港·模拟预测）已知 对任意 恒成立，则实数 的最大值
为（ ）
A． B． C． D．1
二、填空题
5．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 ， ，且 ，函数 的值域为
.
6．（2024·青海·模拟预测）已知函数 的最小值为 ，则
.
题型 02 利用隐零点判断零点个数
【解题规律·提分快招】
一、函数零点的存在性定理
函数零点存在性定理：设函数 在闭区间 上连续，且 ，那么在开区间 内至
少有函数 的一个零点，即至少有一点 ，使得 .
二、隐零点的同构
实际上, 很多隐零点问题产生的原因就是含有指对项, 而这类问题由往往具有同构特征, 所以下面我们看到
的这两个问题, 它的隐零点代换则需要同构才能做出, 否则, 我们可能很难找到隐零点合适的代换化简方
向. 我们看下面两例: 一类同构式在隐零点问题中的应用的原理分析所以在解决形如 , 这些常见的代换都是隐零点中常见的操作.
【典例训练】
一、单选题
1．（23-24高三下·广东韶关·期末）已知函数 ，若 有两个零点，则a的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高三上·四川·阶段练习）已知实数 满足 ，则函数 的零点个数为
（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、解答题
3．（2024·辽宁·模拟预测）已知函数 .
(1)求 在区间 内的极大值；
(2)令函数 ，当 时，证明： 在区间 内有且仅有两个零点．
4．（2024·江西新余·模拟预测）已知函数 .
(1)若 ，求 在 处的切线方程.
(2)讨论 的单调性.
(3)求证：若 ， 有且仅有一个零点.
5．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知 .
(1)讨论 的单调性；
(2)若 ，讨论 的零点个数；
(3)若 ，且 ，证明：存在唯一实数 ，使得 .
6．（24-25高三上·贵州六盘水·阶段练习）设 为 的导函数，若 在区间D上单调递减，则称
为D上的“凸函数”．已知函数 ．
(1)若 为 上的“凸函数”，求a的取值范围；(2)证明：当 时， 有且仅有两个零点．
题型 03 利用隐零点证明不等式
【解题规律·提分快招】
针对导函数的“隐零点”，求解取值范围时，需要根据导函数零点代入方程，把参数表示成含隐零点的函
数，再来求原函数的极值或者最值问题或证明不等式。构建关于隐零点作为自变量的新函数，求函数值域
或者证明不等式恒成立问题。在使用零点存在定理确定区间时往往存在困难，必要时使用放缩法取含参的
特殊值来确定零点存在区间。
【典例训练】
一、解答题
1．（2024高三·全国·专题练习）求证：
2．（23-24高三下·湖北黄冈·阶段练习）已知函数 .
(1)求方程 在 上的解集；
(2)设函数 ；
（i）证明： 在 有且只有一个零点；
（ii）在（i）的条件下，记函数 的零点为 ，证明： .
3．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ， .
(1)当 时，求 的极小值；
(2)若 ，求证：当 时， .
4．（24-25高三上·北京·开学考试）已知函数 .
(1)若曲线y=f (x)在点(1,0)处的切线为 轴，求 的值；
(2)讨论 在区间(1,+∞)内的极值点个数；
(3)若 ，求证： 存在两个零点 ，且满足 .
5．（23-24高三下·辽宁大连·阶段练习）已知函数 ， .(1)求函数 的值域；
(2)设函数 ，证明： 有且只有一个零点 ，且 .
一、解答题
1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 ， ，若 在 上不单调，求a的
取值范围.
2．（24-25高三上·全国·期末）已知函数 ， 为 的导数．证明： 在区
间 存在唯一极大值点．
3．（23-24高三下·浙江丽水·期末）已知 ，函数 .
(1)若 ，解不等式 ；
(2)证明：函数 有唯一零点；
(3)设 ，证明： .
4．（23-24高三下·河南南阳·期末）已知函数 ，其中 .
(1)讨论 在区间 上的单调性；
(2)若 ，函数 在区间 内存在唯一的极值点，求实数 的取值范围.
5．（2024·广西·模拟预测）设函数 ， ．
(1)当 时，求函数 的单调区间；
(2)证明： ．
6．（23-24高三下·重庆北碚·阶段练习）已知函数 ．
(1)若 在 处的切线方程为 ，求m的值；
(2)当 时，求证： 有且仅有两个零点；
(3)若 时，恒有 ，求m的取值范围．7．（23-24高三下·福建三明·期中）已知函数 .
(1)求函数 的极大值和极小值；
(2)若关于 的不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围.
8．（23-24高三下·北京海淀·期末）已知函数 ，其中 .
(1)若 在 处取得极值，求 的单调区间；
(2)若对于任意 ，都有 ，求 的值.
9．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知函数 ．
(1)求证：对 ．曲线 在点 处的切线恒过定点；
(2)当 时，判断函数 的零点的个数，并说明理由．
10．（24-25高三下·全国·课后作业）已知函数 且 ．
(1)若 ，求 在 处的切线方程；
(2)在① ；② 两个条件中任选一个，证明： 恰有三个零点．
