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专题 05 平面解析几何
1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到
y轴的距离为9，则p=
A．2 B．3
C．6 D．9
【答案】C
【解析】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知 ，即 ，解得 .
故选：C．
【点晴】本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容易题.
2．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知⊙M： ，直线 ： ， 为上的动点，过点 作⊙M的切线 ，切点为 ，当 最小时，直线 的方程为
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】圆的方程可化为 ，点 到直线 的距离为 ，
所以直线 与圆相离．
依圆的知识可知，四点 四点共圆，且 ，所以
，而 ，
当直线 时， ， ，此时 最小．
∴ 即 ，由 解得， ．
所以以 为直径的圆的方程为 ，即 ，
两圆的方程相减可得： ，即为直线 的方程．
故选：D．
【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学生
的转化能力和数学运算能力，属于中档题．
3.【2020年高考全国Ⅲ卷理数】设 为坐标原点，直线 与抛物线C： 交于 ，
两点，若 ，则 的焦点坐标为A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为直线 与抛物线 交于 两点，且 ，
根据抛物线的对称性可以确定 ，所以 ，
代入抛物线方程 ，求得 ，所以其焦点坐标为 ，
故选：B．
【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的交点，抛物线的对称性，
点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标，属于简单题目.
4．【2020年高考全国Ⅲ卷理数】11.设双曲线C： (a>0，b>0)的左、右焦点分别为F，F，离
1 2
心率为 ．P是C上一点，且FP⊥FP．若△PFF 的面积为4，则a=
1 2 1 2
A． 1 B． 2
C． 4 D． 8
【答案】A
【解析】 ， ，根据双曲线的定义可得 ，
，即 ，
， ，
，即 ，解得 ，
故选：A．【点睛】本题主要考查了双曲线的性质以及定义的应用，涉及了勾股定理，三角形面积公式的应用，
属于中档题.
5.【2020年高考全国Ⅱ卷理数】若过点(2，1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线 的距离
为
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由于圆上的点 在第一象限，若圆心不在第一象限，
则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，
设圆心的坐标为 ，则圆的半径为 ，
圆的标准方程为 .
由题意可得 ，
可得 ，解得 或 ，
所以圆心的坐标为 或 ，
圆心 到直线 的距离均为 ；
圆心 到直线 的距离均为
圆心到直线 的距离均为 ；
所以，圆心到直线 的距离为 .故选：B．
【点睛】本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.
6．【2020年高考全国Ⅱ卷理数】设 为坐标原点，直线 与双曲线 的两条
渐近线分别交于 两点，若 的面积为8，则 的焦距的最小值为
A．4 B．8
C．16 D．32
【答案】B
【解析】 ，
双曲线的渐近线方程是 ，
直线 与双曲线 的两条渐近线分别交于 ， 两点
不妨设 为在第一象限， 在第四象限，
联立 ，解得 ，
故 ，
联立 ，解得 ，
故 ，
，
面积为： ，
双曲线 ，其焦距为 ，
当且仅当 取等号，
的焦距的最小值： .
故选：B．
【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式
求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中
档题.
7．【2020年高考天津】设双曲线 的方程为 ，过抛物线 的焦点和点
的直线为 ．若 的一条渐近线与 平行，另一条渐近线与 垂直，则双曲线 的方程为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题可知，抛物线的焦点为 ，所以直线 的方程为 ，即直线的斜率为 ，
又双曲线的渐近线的方程为 ，所以 ， ，因为 ，解得
．
故选： ．
【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质，双曲线的几何性质，以及直线与直线的位置关系的应用，
属于基础题．
8．【2020年高考北京】已知半径为1的圆经过点 ，则其圆心到原点的距离的最小值为
A． 4 B． 5
C． 6 D． 7
【答案】A【解析】设圆心 ，则 ，
化简得 ，
所以圆心 的轨迹是以 为圆心，1为半径的圆，
所以 ，所以 ，
当且仅当 在线段 上时取得等号，
故选：A．
【点睛】本题考查了圆的标准方程，属于基础题.
9．【2020年高考北京】设抛物线的顶点为 ，焦点为 ，准线为 ． 是抛物线上异于 的一点，过
作 于 ，则线段 的垂直平分线
A． 经过点 B． 经过点
C． 平行于直线 D． 垂直于直线
【答案】B【解析】如图所示： ．
因为线段 的垂直平分线上的点到 的距离相等，又点 在抛物线上，根据定义可知，
，所以线段 的垂直平分线经过点 .
故选：B．
【点睛】本题主要考查抛物线的定义的应用，属于基础题.
10．【2020年高考浙江】已知点O(0，0)，A(–2，0)，B(2，0)．设点P满足|PA|–|PB|=2，且P为函数
图象上的点，则|OP|=
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，所以点 在以 为焦点，实轴长为 ，焦距为 的双曲线的右
支上，由 可得， ，即双曲线的右支方程为 ，而点 还
在函数 的图象上，所以，
由 ，解得 ，即 ．故选：D．
【点睛】本题主要考查双曲线的定义的应用，以及二次曲线的位置关系的应用，意在考查学生的数学运
算能力，属于基础题．
11．【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知曲线 .
A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m=n>0，则C是圆，其半径为
C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为
D．若m=0，n>0，则C是两条直线
【答案】ACD
【解析】对于A，若 ，则 可化为 ，
因为 ，所以 ，
即曲线 表示焦点在 轴上的椭圆，故A正确；
对于B，若 ，则 可化为 ，
此时曲线 表示圆心在原点，半径为 的圆，故B不正确；
对于C，若 ，则 可化为 ，
此时曲线 表示双曲线，
由 可得 ，故C正确；对于D，若 ，则 可化为 ，
，此时曲线 表示平行于 轴的两条直线，故D正确；
故选：ACD．
【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学
运算的核心素养.
12．【2020年高考全国I卷理数】已知F为双曲线 的右焦点，A为C的右顶点，
B为C上的点，且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C的离心率为 .
【答案】2
【解析】联立 ，解得 ，所以 .
依题可得， ， ，即 ，变形得 ， ,
因此，双曲线 的离心率为 .
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的求法，以及双曲线的几何性质的应用，属于基础题．
13．【2020年高考天津】已知直线 和圆 相交于 两点．若
，则 的值为_________．
【答案】5
【解析】因为圆心 到直线 的距离 ，
由 可得 ，解得 ．故答案为： ．
【点睛】本题主要考查圆的弦长问题，涉及圆的标准方程和点到直线的距离公式，属于基础题．
14．【2020年高考北京】已知双曲线 ，则C的右焦点的坐标为_________；C的焦点到其
渐近线的距离是_________．
【答案】 ；
【解析】在双曲线 中， ， ，则 ，则双曲线 的右焦点坐标为
，
双曲线 的渐近线方程为 ，即 ，
所以，双曲线 的焦点到其渐近线的距离为 .
故答案为： ； .
【点睛】本题考查根据双曲线的标准方程求双曲线的焦点坐标以及焦点到渐近线的距离，考查计算能
力，属于基础题.
15．【2020年高考浙江】已知直线 与圆 和圆 均相切，则
_______，b=_______．
【答案】 ；
【解析】由题意， 到直线的距离等于半径，即 ， ，
所以 ，所以 (舍)或者 ，
解得 .故答案为：
【点晴】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查学生的数学运算能力，是一道基础题.
16．【2020年高考江苏】在平面直角坐标系 xOy中，若双曲线 的一条渐近线方程为
，则该双曲线的离心率是 ▲ ．
【答案】
【解析】双曲线 ，故 .由于双曲线的一条渐近线方程为 ，即
，所以 ，所以双曲线的离心率为 .
故答案为：
【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线，考查双曲线离心率的求法，属于基础题.
17．【2020年新高考全国Ⅰ卷】斜率为 的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则
=________．
【答案】
【解析】∵抛物线的方程为 ，∴抛物线的焦点F坐标为 ，
又∵直线AB过焦点F且斜率为 ，∴直线AB的方程为：
代入抛物线方程消去y并化简得 ，解法一：解得
所以
解法二：
设 ，则 ,
过 分别作准线 的垂线，设垂足分别为 如图所示.
故答案为：
【点睛】本题考查抛物线焦点弦长，涉及利用抛物线的定义进行转化，弦长公式，属基础题.
18．【2020年高考江苏】在平面直角坐标系xOy中，已知 ，A，B是圆C： 上的
两个动点，满足 ，则△PAB面积的最大值是 ▲ ．
【答案】【解析】
设圆心 到直线 距离为 ，则
所以
令 (负值舍去)
当 时， ；当 时， ，因此当 时， 取最大值，即 取最大值为
，
故答案为：
【点睛】本题考查垂径定理、利用导数求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.
19．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知A、B分别为椭圆E： (a>1)的左、右顶点，G为E的上
顶点， ，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．
(1)求E的方程；
(2)证明：直线CD过定点.
【解析】(1)由题设得A(–a，0)，B(a，0)，G(0，1).
则 ， =(a，–1).由 =8得a2–1=8，即a=3.
所以E的方程为 +y2=1．
(2)设C(x，y)，D(x，y)，P(6，t).
1 1 2 2
若t≠0，设直线CD的方程为x=my+n，由题意可知–3b>0)的右焦点F与抛物线C 的焦点重合，
1 2
C 的中心与C 的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C 于A，B两点，交C 于C，D两点，且
1 2 1 2
．
(1)求C 的离心率；
1
(2)设M是C 与C 的公共点，若|MF|=5，求C 与C 的标准方程．
1 2 1 2
【解析】(1)由已知可设 的方程为 ，其中 .
不妨设 在第一象限，由题设得 的纵坐标分别为 ， ； 的纵坐标分别为 ，，故 ， .
由 得 ，即 ，解得 (舍去)， .
所以 的离心率为 .
(2)由(1)知 ， ，故 ，
设 ，则 ， ，故 .①
由于 的准线为 ，所以 ，而 ，故 ，代入①得
，即 ，解得 (舍去)， .
所以 的标准方程为 ， 的标准方程为 .
21．【2020年高考全国Ⅲ卷理数】已知椭圆 的离心率为 ， ， 分别为
的左、右顶点．
(1)求 的方程；
(2)若点 在 上，点 在直线 上，且 ， ，求 的面积．
【解析】(1)由题设可得 ，得 ，
所以 的方程为 .(2)设 ，根据对称性可设 ，由题意知 ，
由已知可得 ，直线BP的方程为 ，所以 ， ，
因为 ，所以 ，将 代入 的方程，解得 或 .
由直线BP的方程得 或8.
所以点 的坐标分别为 .
，直线 的方程为 ，点 到直线 的距离为 ，故 的面
积为 .
，直线 的方程为 ，点 到直线 的距离为 ，故 的
面积为 .
综上， 的面积为 .
【点睛】本题主要考查了求椭圆标准方程和求三角形面积问题，解题关键是掌握椭圆的离心率定义和
数形结合求三角形面积，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
22．【2020年高考北京】已知椭圆 过点 ，且 ．
(Ⅰ)求椭圆C的方程：
(Ⅱ)过点 的直线l交椭圆C于点 ,直线 分别交直线 于点 ．求 的值．【解析】 (1)设椭圆方程为： ，由题意可得：
，解得： ，
故椭圆方程为： .
(2)设 ， ，直线 的方程为： ，
与椭圆方程 联立可得： ，
即： ，
则： .
直线MA的方程为： ，
令 可得： ，
同理可得： .
很明显 ，且： ，注意到：
，
而：，
故 .
从而 .
【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、
三角形的面积等问题．
23．【2020年高考浙江】如图，已知椭圆 ，抛物线 ，点A是椭圆 与抛
物线 的交点，过点A的直线l交椭圆 于点B，交抛物线 于点M(B，M不同于A)．
(Ⅰ)若 ，求抛物线 的焦点坐标；
(Ⅱ)若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值．
【解析】(Ⅰ)由 得 的焦点坐标是 ．
(Ⅱ)由题意可设直线 ，点 ．
将直线 的方程代入椭圆 得 ，所以点 的纵坐标 ．
将直线 的方程代入抛物线 得 ，
所以 ，解得 ，
因此 ．
由 得 ，
所以当 ， 时， 取到最大值 ．
【点晴】本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用，涉及到求函数的最值，考查学生的数
学运算能力，是一道有一定难度的题.
24．【2020年高考江苏】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 的左、右焦点分别为F ，
1
F，点A在椭圆E上且在第一象限内，AF⊥FF，直线AF 与椭圆E相交于另一点B．
2 2 1 2 1
(1)求 的周长；
(2)在x轴上任取一点P，直线AP与椭圆E的右准线相交于点Q，求 的最小值；
(3)设点M在椭圆E上，记 与 的面积分别为S，S，若 ，求点M的坐标．
1 2
【解析】(1)椭圆 的长轴长为 ，短轴长为 ，焦距为 ，则 .
所以 的周长为 .
(2)椭圆 的右准线为 .
设 ，
则 ，
在 时取等号.
所以 的最小值为 .
(3)因为椭圆 的左、右焦点分别为 ，点 在椭圆 上且在第一象限内， ，
则 .
所以直线
设 ，因为 ，所以点 到直线 距离等于点 到直线 距离的3倍.
由此得 ，
则 或 .
由 得 ，此方程无解；由 得 ，所以 或 .
代入直线 ，对应分别得 或 .
因此点 的坐标为 或 .
【点睛】本题考查了椭圆的定义，直线与椭圆相交问题、点到直线距离公式的运用，熟悉运用公式以
及根据 推出 是解答本题的关键.
25．【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知椭圆C： 的离心率为 ，且过点A(2，1)．
(1)求C的方程：
(2)点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．
【解析】(1)由题设得 ， ，解得 ， ．
所以 的方程为 ．
(2)设 ， ．
若直线 与 轴不垂直，设直线 的方程为 ，
代入 得 ．
于是 ．①
由 知 ，故 ，
可得 ．
将①代入上式可得 ．
整理得 ．因为 不在直线 上，所以 ，故 ， ．
于是 的方程为 .
所以直线 过点 .
若直线 与 轴垂直，可得 .
由 得 .
又 ，可得 .解得 (舍去)， .
此时直线 过点 .
令 为 的中点，即 .
若 与 不重合，则由题设知 是 的斜边，故 .
若 与 重合，则 .
综上，存在点 ，使得 为定值.
【点睛】本题考查椭圆的标准方程和性质，圆锥曲线中的定点定值问题，关键是第二问中证明直线
MN经过定点，并求得定点的坐标,属综合题，难度较大.
26．【2020年新高考全国Ⅱ卷】已知椭圆C： 过点M(2，3),点A为其左顶点，且
AM的斜率为 ，
(1)求C的方程；
(2)点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值.
【解析】(1)由题意可知直线AM的方程为： ，即 .当y=0时，解得 ，所以a=4，
椭圆 过点M(2，3)，可得 ，
解得b2=12.
所以C的方程： .
(2)设与直线AM平行的直线方程为： ，
如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N，此时△AMN的面积取
得最大值.
联立直线方程 与椭圆方程 ，
可得： ，
化简可得： ，
所以 ，即m2=64，解得m=±8，
与AM距离比较远的直线方程： ，
直线AM方程为： ，点N到直线AM的距离即两平行线之间的距离，
利用平行线之间的距离公式可得： ，
由两点之间距离公式可得 .
所以△AMN的面积的最大值： .
【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、
三角形的面积等问题．
1．【2020·河南省高三三模(理)】已知直线 : ，直线 : ，若 ，
则
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为l⊥l，所以 ，
1 2
所以tanα=2，
所以 .
故选：B．
【点睛】本题考查了两直线的垂直的充要条件，以及正切二倍角公式，属于容易题.
2．【2020·湖北省高三其他(理)】已知双曲线 ： 的左、右顶点分别为 、 ，是 上一点，且 为等腰三角形，其外接圆的半径为 ，则双曲线 的离心率为
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题可知， 为等腰三角形，
设 在双曲线 的左支上， 在 轴上的投影为 ，
则 ，
设 ，则 ，
的外接圆的半径为 ，
，
解得： ，则 ，
， ，
在 中，
，
则 的坐标为 ， ，即 ， ，
代入双曲线方程可得 ，由 ，
可得 ，即有 ．
故选：C．
【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的离心率的求法，涉及到正弦定理的应用、同
角三角函数关系、二倍角以及任意角的三角函数等知识，考查化简计算能力.
3．【2020·广东省高三其他(理)】已知双曲线 的右焦点为 ， 为双曲线左支上一点，点
，则 周长的最小值为
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】曲线 右焦点为 ， 周长
要使 周长最小，只需 最小，如图：当 三点共线时取到,故l=2|AF|+2a=
故选B
【点睛】本题考查了双曲线的定义，两条线段之和取得最小值的转化，考查了转化思想，属于中档题.
4．【2020·福建省福州第一中学高三其他(理)】在区间 上随机取一个数 ，使直线 与圆
相交的概率为
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为圆心 ，半径 ，直线与圆相交，所以
，解得 ，
所以相交的概率 ,故选C．
【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，几何概型，属于中档题.
5．【2020·福建省福州第一中学高三其他(理)】已知正方体 的棱长为 ， 分别为 的中点， 是线段 上的动点， 与平面 的交点 的轨迹长为
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】如图所示，连接 ，连接 交于点 ，连接 交于点 ，
由 ，即 共面，由 是线段 上的动点，当 合于 或 时，
， 与平面 的交点分别为 ，即 的轨迹为 ，
由棱长为 ，则 ，
则 ，又 ，则 ,
由 ，则 ，
则 .
故选：B．
【点睛】本题以正方体为载体，考查了点线面的位置关系、余弦定理，解决本题的关键在于找到点
的轨迹，还考查了学生的分析推理能力，运算能力，属于中档题.
6．【2020·广西壮族自治区高三其他(理)】已知椭圆 的焦点为F，短轴端点为P，若直线PF与圆 相切，则圆O的半径为
A． B．1
C． D．2
【答案】B
【解析】因为椭圆 ，
不妨设 ，
所以PF的方程为 ，
因为直线PF与圆 相切，
所以圆心到直线的距离等于圆的半径，
即 ，
故选：B．
【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质以及直线与圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于基础
题.
7．【2020·南昌市八一中学高三三模(理)】若 ， 为正实数，直线 与直线
互相垂直，则 的最大值为
A． B．
C． D．
【答案】B【解析】因为直线 与直线 互相垂直，
所以 ，化简得 ，
因为 ， 为正实数，
所以 ≥ ，即 ≤ ，当且仅当 时取等号，
所以 的最大值为 ，
故选：B．
【点睛】此题考查两直线垂直的性质，利用基本不等式求最值，属于基础题.
8．【2020·南昌市八一中学高三三模(理)】已知抛物线 的焦点为F，点
是抛物线C上一点，以点M为圆心的圆与直线 交于E，G两点，若
，则抛物线C的方程是
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】作 ，垂足为点D．
由题意得点 在抛物线上，则 得 ．①
由抛物线的性质，可知， ，因为 ，所以 ．
所以 ，解得： ．②．
由①②，解得： (舍去)或 ．
故抛物线C的方程是 ．
故选C．
【点睛】本题考查抛物线的定义与几何性质，属于中档题.
9．【2020·湖北省高三其他(理)】已知过抛物线 焦点 的直线交抛物线 于 ， 两点，交圆
于 ， 两点，其中 ， 位于第一象限，则 的最小值为_____．
【答案】
【解析】圆 可化为 ，圆心坐标为 ，半径为 ，
抛物线 的焦点 ，可设直线 的方程为 ，设 ， ，
由 ，得 ，所以 ，又 ， ，所以 ，
因为 ，
所以 ，当且仅当 时，等号成立.
所以 的最小值为 .
故答案为：
【点睛】本题主要考查抛物线的几何性质，基本不等式求最值，考查基本运算能力，属于中档题.
10．【2020·横峰中学高三其他(理)】已知抛物线 的焦点为 ，点
是抛物线 上的一点，以 为圆心的圆交直线 于 、 两点(点 在
点 的上方)，若 ，则抛物线 的方程是_________.
【答案】
【解析】画出图形如下图所示，作 ，垂足为 ，由题意得点 在抛物线 上，则 ①，
由抛物线的定义，可知 ，
因为 ，所以， ，
所以 ，解得 ②，
由①②解得 (舍去)或 ，故抛物线 的方程为 ．
故答案为： .
【点睛】本题考查抛物线的定义，利用抛物线的定义进行线段的转化是关键，考查方程思想的应用，
属于中等题.
11．【2020·山东省高三其他】已知 ， 分别是椭圆 的左、右焦点，A，B是
椭圆上关于 轴对称的两点， 的中点P恰好落在 轴上，若 ，则椭圆C的离心率的
值为__________.
【答案】
【解析】由于 的中点P恰好落在 轴上，又A，B是椭圆上关于 轴对称的两点，所以 过左
焦点 且 ，
则 .因为 是 的中点，则 .又 ，
则 .因为 ，则 ，即 .又，
则 ，即 ，解得： 或 (舍去).
故答案为： .
【点睛】本题考查椭圆的简单性质离心率，考查运算能力，属于基础题.
12．【2020·辽宁省高三三模(理)】在平面直角坐标系xOy中，F是双曲线 的右
焦点，直线y＝2b与双曲线交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该双曲线的离心率为_____．
【答案】
【解析】由题意可知，F(c，0)，
把y＝2b代入双曲线方程可得 ，不妨设B( )，C( )，
因为∠BFC＝90°，所以k •k ＝﹣1，即 ，化简得4b2＝5a2﹣c2，
BF CF
因为b2＝c2﹣a2，所以 ，
所以离心率 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查直线和双曲线的位置关系，考查双曲线的离心率问题，考查学生计算求解能力，属
于中档题.
13．【2020·六盘山高级中学高三其他(理)】已知点 为坐标原点，椭圆 ： 的右焦点为 ， 为椭圆 上一点，椭圆 上异于 的两点 ， 满足 ，当
垂直于 轴时， .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)设直线 ， 分别与 轴交于点 ， ，问： 的值是否为定值？若是，请求
出 的值；若不是，请说明理由.
【答案】(1) (2)是定值；
【解析】(1)设椭圆半焦距为 ，根据题意可得 .
当 重直于 轴时， .
因为 ，由此解得 ， ，∴椭圆 的标准方程为 .
(2)由 ，可得 ， 关于 轴对称.
设 ， ， ，易知 ， ， .
∵ ，∴ .
∴ ，∴ .
同理，得 .
∴ .又 ， ，
∴ ， .
∴ ，为定值.
【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系，考查化归
与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于难题.
14．【2020·四川省南充高级中学高三月考(理)】已知直线 ，椭圆
分别为椭圆的左、右焦点.
(1)当直线 过右焦点 时，求椭圆 的标准方程；
(2)设直线 与椭圆 交于 两点， 为坐标原点，且 ，若点 在以线段
为直径的圆内，求实数 的取值范围.
【答案】(1) ；(2) ．
【解析】(1)由已知可得直线 与 轴的交点坐标 ，所以 ①，
又 ②，由①②解得 ， ，
所以椭圆C的方程为 ．
(2)设 ， ，由 得 ，
由 ，又 ，解得 ①，
由根与系数关系，得 ，
由 ， 可得 ， ，
，
设 是 的中点，则 ，
由已知可得 ，即 ，
整理得 ，
又 ，
所以 ，
所以 ，
即 ，
即 ，所以 ②，
综上所述，由①②得a的取值范围为 ．
【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程，直线和椭圆的位置关系及点和圆的位置关系，属于中档题．15．【2020·湖北省高三其他(理)】已知 ，直线 不过原点 且不平行于坐标轴，
与 有两个交点 ， ，线段 的中点为 ．
(1)若 ，点 在椭圆 上， 、 分别为椭圆的两个焦点，求 的范围；
(2)若 过点 ，射线 与椭圆 交于点 ，四边形 能否为平行四边形？若能，求此时
直线 斜率；若不能，说明理由．
【答案】(1) ；(2) .
【解析】(1) 时，椭圆 ，两个焦点 ， ， ， ，
设 ，可得 ，即 ，
， ， ， ，
，
因为 ，
所以 的范围是 ；
(2)设 ， 的坐标分别为 ， ， ， ，可得 ， ，
则 ，两式相减可得 ，
，即 ，
故 ，又设 ， ，直线 ，即直线 的方程为 ，
从而 ，代入椭圆方程可得， ，
由 与 ，联立得 ，
若四边形 为平行四边形，那么 也是 的中点，
所以 ，即 ，整理可得 ，
解得 ，经检验满足题意，
所以当 时，四边形 为平行四边形．
【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆的位置关系，注意运用点差法，考查向量数量
积的坐标表示，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
16．【2020·广东省高三其他(理)】已知直线 与抛物线 相交于A，B两点，且与圆
相切.
(1)求直线 在x轴上截距 的取值范围；
(2)设F是抛物线的焦点， ，求直线 的方程.
【答案】(1) ；(2) 或 .
【解析】(1)设直线 的方程为 ，
的圆心为 ，半径为1.
由直线 与圆相切得： ，化简得 ，直线 的方程代入抛物线，消去 得： ，
由直线 与抛物线相交于A，B两点，得 ，
将 代入不等式，得 或 ，
注意到 或
综上知，c的取值范围是
(2)设 由 得
将 代入上式，
由 ，得 ，
所以 ，
解得 或 (舍去)，-
故
所以直线 的方程为 或
【点睛】本题主要考查了联立直线与抛物线的方程，利用判别式以及直线满足的条件，求解参数的问
题.同时也考查了利用韦达定理代入所给条件，求解参数的问题.属于中档题.
17．【2020·福建省福州第一中学高三其他(理)】已知圆 ，设 为圆 与 轴
负半轴的交点，过点 作圆 的弦 ，并使弦 的中点恰好落在 轴上.(1)求点 的轨迹 的方程；
(2)延长 交直线 于点 ，延长 交曲线 于点 ，曲线 在点 处的切线与 轴交于
点 .求证： .
【答案】(1) ；(2)证明见解析.
【解析】(1)设 ，依题意 为圆 与 轴负半轴的交点，
令 ，
，
又弦 的中点恰好落在 轴上，设 ，
故 的中点坐标为
故
，
消 得 ，
所以 .
(2)设 ，将 代入 得 ，
，，令 得 ，所以 ，
因为 ，所以点 处的切线为 ，即 ，
令 得 ，所以 .
所以 的斜率
所以 .
【点睛】本题考查了直线与抛物线综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于较难
题.
18．【2020·广西壮族自治区高三其他(理)】已知抛物线 与直线 相交于
A，B两点，线段AB的长为8．
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点 的直线l与抛物线C交于M．N两点，点P为直线 上的任意一点，设直线
PM，PQ，PN的斜率分别为 ，且满足 ， 能否为定值？若为定值，求出 的值；
若不为定值，请说明理由．
【答案】(1) ；(2)是， 为定值2．【解析】(1)把 代入 得 ，
∴ ， ，
∴ ，∴ ，
所以抛物线C的方程为 ；
(2)设直线l的方程为 ， ，
， ，
把 代入 得
，
∴ ， ，
∴
，
∴
∴ ，所以 为定值2．
【点睛】本题主要考查了抛物线方程的求法，以及直线与抛物线的位置关系，考查了学生的计算能力，
属于难题.19．【2020·横峰中学高三其他(理)】已知椭圆 的离心率为 ，过椭圆的焦点
且与长轴垂直的弦长为1．
(1)求椭圆 的方程；
(2)设点 为椭圆上位于第一象限内一动点， 分别为椭圆的左顶点和下顶点，直线 与 轴交
于点 ，直线 与轴交于点 ，求证：四边形 的面积为定值．
【答案】(Ⅰ) ；(2)见解析.
【解析】(Ⅰ)由已知可得： 解得： ；
所以椭圆C的方程为： ．
(Ⅱ)因为椭圆C的方程为： ，所以 ， ．
设 ，则 ，即 ．则直线BM的方程为： ，令 ，得 ；
同理：直线AM的方程为： ，令 ，得 ．
所以
．
即四边形ABCD的面积为定值2．
【点睛】圆锥曲线中的定点、定值问题是考查的重点，一般难度较大，计算较复杂，考查较强的分析
能力和计算能力.求定值问题常见的方法：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关；
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.解题时，要将问题合理的进行转
化，转化成易于计算的方向.
20．【2020·四川省阆中中学高三二模(理)】己知圆 ，圆
．
(1)证明：圆 与圆 有公共点，并求公共点的轨迹 的方程；
(2)已知点 ，过点 且斜率为 的直线与(1)中轨迹 相交于 两点，记直
线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，是否存在实数 使得 为定值？若存在，求出
的值，若不存在，说明理由．
【答案】(1)详见解析； ；(2)存在实数 使得 ．
【解析】(1)证明：因为 ，所以
因为圆 的半径为 ，圆 的半径为又因为 ，所以 ，即
所以圆 与圆 有公共点
设公共点为 ，因此 ，所以 点的轨迹 是以 为焦点的椭圆，所
以
即轨迹 的方程为
(2)过 点且斜率为 的直线方程为 ，设
由 消去 得到
则 ①
因为
所以
将①式代入整理得
因为所以当 时，即 时，
即存在实数 使得
【点睛】本题主要考查了求椭圆的轨迹方程以及椭圆中的定值问题，涉及了圆与圆位置关系的应用，
属于中档题.
