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专题 02 函数的概念与基本初等函数 I
1．【2020年高考全国I卷理数】若 ，则
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设 ，则 为增函数，因为
所以 ，
所以 ，所以 .
，
当 时， ，此时 ，有
当 时， ，此时 ，有 ，所以C、D错误.
故选：B．
【点晴】本题主要考查函数与方程的综合应用，涉及到构造函数，利用函数的单调性比较大小，是一道
中档题.
2．【2020年高考全国Ⅱ卷理数】在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成 1200
份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．
已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05．志愿者每人
每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于 0.95，则至少
需要志愿者
A．10名 B．18名C．24名 D．32名
【答案】B
【解析】由题意，第二天新增订单数为 ，设需要志愿者x名，
， ,故需要志愿者 名.
故选：B
【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.
3．【2020年高考全国Ⅱ卷理数】设函数 ，则f(x)
A．是偶函数，且在 单调递增 B．是奇函数，且在 单调递减
C．是偶函数，且在 单调递增 D．是奇函数，且在 单调递减
【答案】D
【解析】由 得 定义域为 ，关于坐标原点对称，
又 ，
为定义域上的奇函数，可排除AC；
当 时， ，
在 上单调递增， 在 上单调递减，
在 上单调递增，排除B；
当 时， ，在 上单调递减， 在定义域内单调递增，
根据复合函数单调性可知： 在 上单调递减，D正确.
故选：D．
【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，
根据 与 的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单
调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论.
4．【2020年高考全国Ⅲ卷理数】Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据
公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型： ，
其中K为最大确诊病例数．当I( )=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则 约为(ln19≈3)
A．60 B．63
C．66 D．69
【答案】C
【解析】 ，所以 ，则 ，
所以， ，解得 .
故选：C．
【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.
5．【2020年高考全国Ⅲ卷理数】已知55<84，134<85．设a=log 3，b=log 5，c=log 8，则
5 8 13
A．a0 B．ln(y−x+1)<0
C．ln|x−y|>0 D．ln|x−y|<0
【答案】A
【解析】由 得： ，
令 ，
为 上的增函数， 为 上的减函数， 为 上的增函数，
，
， ， ，则A正确，B错误；
与 的大小不确定，故CD无法确定.
故选：A．
【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调
性得到 的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.
7．【2020年高考天津】函数 的图象大致为A B
C D
【答案】A
【解析】由函数的解析式可得： ，则函数 为奇函数，其图象关于坐标
原点对称，选项CD错误；
当 时， ，选项B错误.
故选：A．
【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值
域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象
的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．
8．【2020年高考天津】设 ，则 的大小关系为
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，，
，
所以 .
故选：D．
【点睛】本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对
数函数的单调性，确定其对应值的范围.
比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：
(1)利用指数函数的单调性： ，当 时，函数递增；当 时，函数递减；
(2)利用对数函数的单调性： ，当 时，函数递增；当 时，函数递减；
(3)借助于中间值，例如：0或1等.
9．【2020年新高考全国Ⅰ卷】基本再生数R 与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指
0
一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，
可以用指数模型： 描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R，
0
T近似满足R =1+rT.有学者基于已有数据估计出R=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计
0 0
感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)
A．1.2天 B．1.8天
C．2.5天 D．3.5天
【答案】B
【解析】因为 ， ， ，所以 ，所以 ，
设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为 天，
则 ，所以 ，所以 ，
所以 天.故选：B．
【点睛】本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属于基础题.
10．【2020 年新高考全国Ⅰ卷】若定义在 的奇函数 f(x)在 单调递减，且 f(2)=0，则满足
的x的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为定义在 上的奇函数 在 上单调递减，且 ，
所以 在 上也是单调递减，且 ， ，
所以当 时， ，当 时， ，
所以由 可得：
或 或 .
解得 或 ，
所以满足 的 的取值范围是 ，
故选：D．
【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.
11．【2020年新高考全国Ⅰ卷】信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为
，且 ，定义X的信息熵 .
A．若n=1，则H(X)=0
B．若n=2，则H(X)随着 的增大而增大C．若 ，则H(X)随着n的增大而增大
D．若 n=2m，随机变量 Y 所有可能的取值为 ，且 ，则
H(X)≤H(Y)
【答案】AC
【解析】对于A选项，若 ，则 ，所以 ，所以A选项正确.
对于B选项，若 ，则 ， ，
所以 ，
当 时， ，
当 时， ，
两者相等，所以B选项错误.
对于C选项，若 ，则
，
则 随着 的增大而增大，所以C选项正确.
对于D选项，若 ，随机变量 的所有可能的取值为 ，且 (
).
.由于
，所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，所以D选项错误.
故选：AC
【点睛】本小题主要考查对新定义“信息熵”的理解和运用，考查分析、思考和解决问题的能力，涉
及对数运算和对数函数及不等式的基本性质的运用，属于难题.
12．【2020年高考天津】已知函数 若函数 恰有4个零
点，则 的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】注意到 ，所以要使 恰有4个零点，只需方程 恰有3个实根
即可，令 ，即 与 的图象有 个不同交点.
因为 ，
当 时，此时 ，如图1， 与 有 个不同交点，不满足题意；
当 时，如图2，此时 与 恒有 个不同交点，满足题意；
当 时，如图3，当 与 相切时，联立方程得 ，
令 得 ，解得 (负值舍去)，所以 .
综上， 的取值范围为 .
故选：D．【点晴】本题主要考查函数与方程的应用，考查数形结合思想，转化与化归思想，是一道中档题.
13．【2020年高考北京】已知函数 ，则不等式 的解集是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，所以 等价于 ，
在同一直角坐标系中作出 和 的图象如图：
两函数图象的交点坐标为 ，
不等式 的解为 或 .
所以不等式 的解集为： .
故选：D．
【点睛】本题考查了图象法解不等式，属于基础题.
14．【2020年高考北京】函数 的定义域是____________．
【答案】【解析】由题意得 ，
故答案为：
【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.
15．【2020年高考浙江】函数y=xcos x+sin x在区间[–π，π]上的图象可能是
【答案】A
【解析】因为 ，则 ，
即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称，
据此可知选项CD错误；
且 时， ，据此可知选项B错误.
故选：A．
【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值
域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象
的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．
16．【2020年高考浙江】已知a，b R且ab≠0，对于任意x≥0均有(x–a)(x–b)(x–2a–b)≥0，则
A．a<0 B．a>0
C．b<0 D．b>0
【答案】C
【解析】因为 ，所以 且 ，设 ，则 的零点
为
当 时，则 ， ，要使 ，必有 ，且 ，即 ，且 ，所以 ；
当 时，则 ， ，要使 ，必有 .
综上一定有 .
故选：C
【点晴】本题主要考查三次函数在给定区间上恒成立问题，考查学生分类讨论思想，是一道中档题.
17．【2020年高考江苏】已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， ，则 的值是 ▲ ．
【答案】
【解析】 ，因为 为奇函数，所以
故答案为：
【点睛】本题考查根据奇函数性质求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题.
1．【2020·湖北省高三其他(理)】函数 在 的图象大致为
A． B．C． D．
【答案】A
【解析】设 ，则 ，
故 为 上的偶函数，故排除B．
又 ， ，排除C、D．
故选：A．
【点睛】本题考查图象识别，注意从函数的奇偶性、单调性和特殊点函数值的正负等方面去判断，本题
属于中档题.
2．【2020·北京市八一中学高三月考】函数 在区间 上是增函数，则实
数 的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】若 ，则 ， 在区间 上是增函数，符合.
若 ，因为 在区间 上是增函数，故 ，解得 .综上， .
故选：D．
【点睛】本题考查含参数的函数的单调性，注意根据解析式的特点合理分类，比如解析式是二次三项式，
则需讨论二次项系数的正负以及对称轴的位置，本题属于基础题.
3．【2020·广东省高三其他(理)】已知偶函数 的定义域为R，对 ， ，
且当 时， ，若函数 在R上恰有6
个零点，则实数 的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】令 ，则 ，所以 ，
所以 ，即函数的周期为2.
若 恰有6个零点，则 ，
则 的图象与 有6个不同的交点，
因为 和 均为偶函数且 ，
故 的图象与 在 上有三个不同的交点.
画出函数 和 的图象如下图所示，由图可知：，得 ， ，得 ，
.
(或 即 ，故 )
故选B．
【点睛】本题考查了函数周期性、奇偶性的应用，考查了利用数形结合法求解已知函数零点个数求参数
问题，考查了数学运算能力.
4．【2020·北京高三月考】已知函数 满足 ，且 ，则
A．16 B．8
C．4 D．2
【答案】B
【解析】因为 ,且 ,故 ,解得 .
故选：B
【点睛】本题主要考查了根据函数性质求解函数值的问题,属于基础题.
5．【2020·福建省福州第一中学高三其他(理)】已知函数 的定义域为[0，2]，则 的定
义域为
A． B．
C． D．【答案】C
【解析】函数 的定义域是[0，2]，要使函数 有意义,需使 有意义且
.所以 ,解得 .
故答案为C．
6．【2020·广西壮族自治区高三其他(理)】如图，点P在以 为直径的半圆弧上，点P沿着BA运动，
记 ．将点P到A、B两点距离之和表示为x的函数 ，则 的图象大致为
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意可知，
所以 ，
所以 ，所以 ，所以 .
所以函数 图象大致为D．
故选：D．
【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，正确表示函数的表达式是解题的关键，本题属于中档题．
7．【2020·广西壮族自治区高三其他(理)】设函数 是奇函数 的导函数， ，
当 时， ．已知 ， ， ，则
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设 ，∵ ，∴ 在 上是增函数，
又因为函数 是奇函数， ，所以 ， ，
所以当 时， ，所以 ，当 时， ， ，
又 ，所以 在 上是增函数，
∴ ，
∵ ，∴ ，
故选：A．
【点睛】本题考查构造函数，由其导函数的正负得出得出所构造函数的单调性，以及考查对数运算，指
数式比较大小，属于中档题.8．【2020·北京四中高三开学考试】设 是定义在 上的奇函数，且 ，当
时， .则 的值为
A．-1 B．-2
C．1 D．2
【答案】B
【解析】∵ 是奇函数,
∴ 关于 对称,
又 ,
∴ 关于 对称,
∴函数 的一个周期为 ,
∴ .
故选：B．
【点睛】本题主要考查了根据函数的奇偶性与对称性周期性等求解函数值的问题,属于中档题.
9．【2020·四川省阆中中学高三二模(理)】函数 在 的图像大致为
A．B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为 ，故排除A；因为 ，所以函数 为
奇函数，故排除B；因为 ，分别作出 与 的图象，可知极值
点在 上，故选C．
10．【2020·福建省福州第一中学高三其他(理)】某化工厂在定期检修设备时发现生产管道中共有5处阀门(
)发生有害气体泄漏.每处阀门在每小时内有害气体的泄露量大体相等，约为0.01立方米.阀门的
修复工作可在不停产的情况下实施.由于各阀门所处的位置不同，因此修复所需的时间不同，且修复时
必须遵从一定的顺序关系，具体情况如下表：泄露阀门
修复时间
11 8 5 9 6
(小时)
需先修复
好的阀门
在只有一个阀门修复设备的情况下，合理安排修复顺序，泄露的有害气体总量最小为
A．1.14立方米 B．1.07立方米
C．1.04立方米 D．0.39立方米
【答案】C
【解析】由表知，根据需先修复好的阀门的要求，可确定 顺序无要求，其中三个阀门的先后顺序
必须是 ，要使泄露的有害气体总量最小，修复时间长的因尽量靠后，
故修复顺序为 ，
则 各阀门泄露有害气体的时间分别为 小时，
泄露有害气体的时间共 小时，
故泄露的有害气体总量最小为 立方米，
故选：C．
【点睛】本题是实际应用问题的最优化问题，理解题意是解决问题的关键，属于中档题.
11．【重庆市巴蜀中学2019-2020学年高三下学期高考适应性月考(六)数学(理)试题】已知
是定义域为 的奇函数，且对任意实数 ，都有 ，则 的取值
范围是( )
A． B．
C． D．
【答案】A【解析】根据 是定义域为 的奇函数，由 ，得到 ，再利用函数的单调性，
将 恒成立，转化为 恒成立求解.
因为 是定义域为 的奇函数
所以由 ，得 ，
而 且 单调递增，
所以 恒成立，
所以 ，
解得 .
故选：A．
12．【2020届陕西省咸阳市高三第三次高考模拟数学(理)试题】若数列 为等差数列， 为等比数列，
且满足： ， ，函数 满足 且 ，
，则
A． e B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为数列 为等差数列，且 ，所以 ；又 为等比数列，且 ，所以 ，所以 ；
又 ，所以 ，
所以函数 的最小正周期为4，
又 ，
所以 ，即 .
故选：A．
13．【2020届安徽省安庆市高三下学期第三次模拟数学(理)试题】定义在 上函数 满足
，且当 时， .则使得 在 上恒成立的
的最小值是( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】根据题设可知，当 时， ，故 ，
同理可得：在区间 上， ，
所以当 时， .
作函数 的图象，如图所示.在 上，由 ，得 .
由图象可知当 时， .故选： .
【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，画出图像是解题的关键.
14．【2020届山西省高三高考考前适应性测试数学(理)试题】函数 ，则关于函数
的说法不正确的是( )
A．定义域为 B．值域为
C．在 上为增函数 D．只有一个零点
【答案】B
【解析】 ， 的定义域为 ，值域为 ，且对于
时 ，明显地， 在R上为增函数，且 ， 只有一个零点．故选B．
15．【2020·山东省青岛第五十八中学高三一模】已知函数 ，若 的最小值
为 ，则实数a的值可以是A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】BCD
【解析】当 , ,
当且仅当 时,等号成立；
当 时, 为二次函数,要想在 处取最小,
则对称轴要满足 ,且 ,
即 ,解得 ,
故选:BCD
【点睛】本题考查分段函数的最值问题,处理时应对每段函数进行分类讨论,找到每段的最小值.
16．【2020·浙江省高三其他】函数 在区间 上的最大值是7，则实数a的值为
________．
【答案】 或4
【解析】由二次函数的图象分析知， 在 上的最大值只能在 ，1，2处取得．
①若 在 处取得最大值7，则 ，解得 或-10，经检验 不符合题意，
故 ；
②若 在 处取得最大值7，则 ，得 或 ，经检验 不合题意，故 ；
③若 在 处取得最大值7，则 ， ，经检验， 均不符合题意，舍去．
综上， 或
故答案为： 或
【点睛】本题考查函数的最值问题，主要考查考生的化归与转化能力，属于中档题．17．【2020·江苏省高三月考】已知函数 ，若 ，则 的值
是_____.
【答案】
【解析】由 时， 是减函数可知，
当 ，则 ，
所以 ，由 得
，解得 ，
则 .
故答案为： .
18．【2020·全国高三月考(理)】2018年5月至2019年春，在阿拉伯半岛和伊朗西南部，沙漠蚂虫迅速繁
衍，呈现几何式的爆发，仅仅几个月，蝗虫数量增长了8000倍，引发了蝗灾，到2020年春季蝗灾已
波及印度和巴基斯坦，假设蝗虫的日增长率为5%，最初有 只，则经过____________天能达到最初
的16000倍(参考数据： ， ， ， ).
【答案】199
【解析】设过x天能达到最初的16000倍，由已知 ， ，
又 ，所以过199天能达到最初的16000倍.
故答案为：199.
【点睛】本题考查指数型函数的应用，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.
19．【江苏省盐城市第一中学2020届高三下学期6月调研考试数学试题】某乡镇响应“绿水青山就是金山
银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量 (单位：千克)与施用肥料 (单位：千克)满足如下关系： ，肥
料成本投入为 元，其它成本投入(如培育管理、施肥等人工费) 元．已知这种水果的市场售价
大约为15元／千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为 (单位：元)．[来源:学科网]
(Ⅰ)求 的函数关系式；
(Ⅱ)当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大?最大利润是多少?
【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)当施用肥料为4千克时，种植该果树获得的最大
利润是480元．
【解析】(Ⅰ)由已知
(Ⅱ)由(Ⅰ)得
当 时， ；
当 时，
当且仅当 时，即 时等号成立．因为 ，所以当 时， ．[来源:学|科|网Z|X|X|K]
∴当施用肥料为4千克时，种植该果树获得的最大利润是480元．
