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期末测试卷-2025-2026学年数学九年级上册人教版
一、单选题（每题3分，共30分）
1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（
A． B． C． D． A．掷一枚质地均匀的骰子，出现1点朝上的频率
B．掷一枚质地均匀的硬币，出身反面朝上的频率
C．从分别标有1，2，3的3张纸条中，随机抽出一张，抽到的是偶数的频率
2．一元二次方程 的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）
D．从一道单项选择题的四个备选答案中随机选一个答案，选中正确答案的频率
7．“蒙超联赛”期间，1件乌兰察布市球迷队服的售价为80元，回馈球迷，经过两次降价，现在1件的售
A． B． C． D．
价为60元．设该衣服的售价每次平均下降率为 ，根据题意，下列方程正确的是（ ）
3．抛物线 上部分点的坐标如表，下列说法错误的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图所示， 是圆 的一条弦，且 ．则弦 所对的圆周角是（ ）
A．抛物线开口向下 B．对称轴是直线
C．当 时， 随 的增大而增大 D．c的值为
4．已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）．
A． B． C． D． 或
A． 且 B． 且 C． D．
9．二次函数 的图象如图所示，以下结论：① ；② ；③ ；④其顶点坐
5．如图，在正方形网格中，三角形①绕某点旋转一定角度得到三角形②，其旋转中心是（ ）
标为 ；⑤当 时， 随 的增大而减小；⑥ 中，正确的有（ ）．（只填序号）
A．点A B．点B C．点C D．点D
6．明明和亮亮在一次大量重复试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的统计图，符合这一结
果的试验可能是（ ） A．①②③④⑤ B．①③⑤⑥ C．②③⑤⑥ D．①②③⑤
10．如图，四边形 为 的内接四边形， 为 的直径， ，点 为 上点，且，垂足为 ，点 是线段 上一点，且 ，若 ，则 的半径为（ ） 为半径的弧交半圆于点 ，点 是 上一点， ， ，则阴影部分的面积为 ．
三、解答题（共72分）
A． B． C． D． 17．解方程
(1)
(2)
二、填空题（每题3分，共18分）
18．如图，在 中 ， ， ，点 点 同时由 、 两点出发分别在线段
11．从 ，0，1，2四个数中随机抽取一个数，取到负数的概率为 ．
12．抛物线 与x轴有公共点，则m的取值范围是 ．
线段 上向点 匀速移动，它们的速度都是 ，几秒后， 的面积为 面积的 ？
13．在平面直角坐标系中，将点 绕点O顺时针旋转 ，得到的对应点 的坐标为 ．
14．如图， 切 于点A，B， 切 于点E，交 于点C，D，若 的周长是20，则
的长是 ．
19．生产某款零部件的一间工厂，因为实施技术升级改造，生产效率提升， 月份生产 个，同年 月份则
生产 个．该零部件成本为 元/个，某批发商销售一段时间后发现，当零件售价为 元时，月销售量为
个，若在此基础上售价每上涨 元，则月销售量将减少 个．
(1)求该工厂 月份到 月份生产数量的平均增长率；
15．某学校举行的田径运动会上，一名男生在一次实心球投掷时，实心球行进高度 （单位：米）与水平距
(2)批发商为使月销售利润达到 元，而且尽可能让消费者得到实惠，则该零部件的实际售价应定为多少
元？
离 （单位：米）之间的关系是 ．那么该男生实心球的成绩是 米
20．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径 ，水面宽 ，某天下雨后，水管水面
上升了 ，求此时排水管水面的宽 ．
16．如图，点 是以 为直径的半圆的圆心，以 为圆心， 为半径的弧交半圆于点 ，以 为圆心，21．习近平主席在考察北京师范大学时对好老师提出了弘扬“四有好老师”精神，其中： M作x轴的垂线，分别与二次函数图象和直线 相交于点E和点 ．
a． 有理想信念 - 政治素质过硬，教育信仰坚定；
b． 有道德情操 - 师德高尚，行为世范；
c． 有扎实学识 - 业务能力精湛，育人水平高超；
d． 有仁爱之心 - 关爱学生，用心培育；
小光同学将其中的“有理想信念”、“有道德情操”、“有扎实学识”、“有仁爱之心”的文字分别贴在4
张硬纸板上，制成如图所示的卡片．将这4张卡片背面朝上洗匀后放在桌子上，从中随机抽取一张卡片，不
(1)求这个二次函数的解析式；
放回，再随机抽取一张卡片． (2)用含m的代数式表示 ， ；
(3)点F是平面内一点，是否存在以C，D，E，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点M的坐标；若
不存在，请说明理由．
24．如图， 是半圆 的直径， 是半圆上一点，连接 并延长到 ，使 ，连接 ， ，
交半圆 于点 ，已知 ．
(1)小光第一次抽取的卡片上的文字是“有扎实学识”的概率是 ；
(2)请你用列表法或画树状图法，帮助小光求出两次抽取卡片上的文字一次是“有理想信念”、一次是“有仁
爱之心”的概率（卡片名称可用字母表示）．
22．如果关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2
(1)如图①，过点 作 于点 ，求证： 是半圆 的切线；
倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，方程 的两个根是2和4，则方程
(2)如图②，当 时，求 与半圆 重合的面积；
就是“倍根方程”． (3)如图③，若点 是 的内心，则当点 在半圆 上时，求 的度数．
25．综合与实践．
(1)若一元二次方程 是“倍根方程”，则 ；
【问题背景】水火箭是一种利用水和压缩空气作为动力的简易火箭模型，其工作原理主要基于牛顿第三定律，
(2)若 是“倍根方程”，求代数式 的值； 即作用力与反作用力定律．它的制作简易，通常由塑料汽水瓶作为火箭的箭身，并把水当作喷射剂．如图1
是某学校兴趣小组制作出的一款简易弹射水火箭．
(3)若方程 是倍根方程，且相异两点 ，都在抛物线 上，
【实验操作】为验证水火箭的一些性能，兴趣小组同学通过测试
求一元二次方程 的根．
23．综合运用：如图，一次函数 的图象与x轴和y轴分别交于点A和点C，二次函数
收集了水火箭相对于出发点的水平距离 （单位： ）与飞行时间 （单位： ）的数据，并确定了函数表达
式为 ．同时也收集了飞行高度 （单位： ）与飞行时间 （单位： ）的数据，发现其近似满足二次
的图象经过A，C两点，并与x轴交于点 ．点 是线段 上一个动点（不与点O，A重合），过点
函数关系，数据如下表所示：飞行时间
…
飞行高度
…
(1)【建立模型】
任务 ：求 关于 的函数表达式．
任务 ：探究飞行距离，当水火箭落地时，求水火箭飞行的水平距离；
(2)【反思优化】
如图 是兴趣小组同学在操场的水平地面上设置一个高度可以变化的发射平台（距离地面的高度为 ），当
弹射高度变化时，水火箭飞行的轨迹可视为由抛物线上下平移得到，线段 为水火箭回收区域，已知
， ．
任务 ：当水火箭落到 内（包括端点 ， ），求发射台高度 的取值范围．《期末测试卷-2025-2026学年数学九年级
【详解】解：∵方程 中，
上册人教版》参考答案
题 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9
号 0 的系数为3， 的系数为 ，常数项为1，
答
D A C A B C A D D B ∴ 二次项系数为3，一次项系数为 ，常
案
数项为1，
1．D
故选：A．
【分析】本题主要考查了轴对称图形和中
3．C
心对称图形，如果一个平面图形沿一条直
【分析】本题考查二次函数的性质、二次
线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，
函数图象上点的坐标特征．根据二次函数
这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形
的性质和表格中的数据，判断各个小题中
绕着某一个点旋转 ，如果旋转后的图
的结论是否成立即可．
形能够与原来的图形重合，那么这个图形
【详解】解：由表格中点 ， ，
叫做中心对称图形，这个点就是它的对称
中心． 可知对称轴是直线 ，故B正确，不
根据中心对称图形的定义和轴对称图形的 合题意；
定义进行逐项判断即可． 根据对称轴是直线 ，当 时，
【详解】解：A、选项图形是轴对称图形， 随 的增大而减小，可知抛物线开口向下，
不是中心对称图形，不符合题意； 故A正确，不合题意；
B、选项图形既是中心对称图形，不是轴对 所以，当 时， 随 的增大而减小，
称图形，不符合题意； 故C不正确，符合题意；
C、选项图形不是轴对称图形，不是中心对
当 时， ，所以，c的值为 ，
称图形，不符合题意；
故D正确，不合题意；
D、选项图形既是轴对称图形，又是中心对
故选：C．
称图形，符合题意．
4．A
故选：D．
【分析】本题考查了一元二次方程根的判
2．A
别式以及一元二次方程的定义，根据一元
【分析】本题考查一元二次方程的定义，
二次方程有两个不相等的实数根的条件，
熟记一元二次方程定义是解决问题的关键．
根据一元二次方程的一般形式 需二次项系数不为零且判别式大于零．
【详解】解：∵方程有两个不相等的实数
，直接读取二次项系数、一
根，
次项系数和常数项即可得到答案．
∴ 且 ，其中 ， ， ， ，
A：掷均匀骰子，总共有 6 个等可能结果，
∴ ，
∴ ． 出现 1 点的结果有 1 种，概率 ，
又∵ ，
与 不符；
∴ ，
B：掷均匀硬币，总共有 2 个等可能结果，
故选：A．
5．B
反面朝上的结果有 1 种，概率 ，与
【分析】本题考查旋转的性质，旋转中心
不符；
的确定．
C：从标有 1、2、3 的纸条中抽取，总共
根据旋转的性质，找出两组对应顶点的连
有 3 个等可能结果，偶数只有 1 种，概
线的垂直平分线，交点即为旋转中心．
【详解】解：如图：作出三角形①和三角
率 ，与统计图中频率的稳定值一致；
形②两组对应点所连线段的垂直平分线，
D：单项选择题有 4 个选项，且只有 1 个
交于点B，
正确答案，总共有 4 个等可能结果，选对
正确答案的结果有 1 种，概率 ，
与 不符．
故选：C．
7．A
∴点B为旋转中心． 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，
故选：B． 根据两次降价且每次平均下降率相同，设
6．C 每次下降率为x，则第一次降价后价格为
【分析】本题考查频率与概率的关系，概
，第二次降价后价格为 ，
率的计算方法，掌握相关知识是解决问题
的关键．在大量重复试验中，试验的频率 等于60元，据此列方程即可．
逐步稳定在理论概率附近，先计算每个选 【详解】解：∵ 初始价格为80元，经过
项的概率，再结合统计图中频率稳定在 两次降价，每次下降率为x，
左右的特征，匹配对应的试验． ∴ 第一次降价后价格： ，
【详解】解：由题意知，试验的频率约为
第二次降价后价格： ，又∵ 最终售价为60元， 根据图象可判断①②③④⑤，由 时，
∴ ，
，可判断⑥．
故选A．
【详解】解：抛物线开口向上，对称轴在
8．D
轴的右侧，与 轴交于负半轴，与 轴有
【分析】本题考查等边三角形的判定和性
质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，
2个交点，分别为 ， ，
关键是分两种情况求解．
∴ ， ， ，对称轴
判定 是等边三角形，推出
，求出 ，再利用圆
为 ，
内接四边形对角互补求出 ，即
又∵ ，
可得出结论．
【详解】解：如图， ∴ ，
∴ ， ，当 时， 随
的增大而减小．故①②⑤正确，
∵ ，
∴ ，故③正确，
∵ ，
由图象可得顶点纵坐标小于 ，则④错误，
∴ 是等边三角形，
当 时， ，故⑥错误．
∴ ，
正确的有①②③⑤．
∴ ， 故选：D．
10．B
∴
【分析】作 ，交 的延长线于
故选：D．
点M，作 ，交 的延长线于点
9．D
N，根据垂径定理可证 ，
【分析】本题考查的是二次函数图象与系
从而证明 ，得出
数的关系，二次函数 系数符
， ，根据圆内接四边
号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与
形的性质得 ，设 ，则
轴的交点及抛物线与 轴交点的个数确定．
， ， ，求出，在 中，由勾股定理 ，
∴
求出 ，再由勾股定理求出 ，
，
然后在 中根据
在 中，∵ ，
∴ ，
求出 即可求解．
解得 或 （舍去），
【详解】如图，作 ，交 的延
长线于点M，作 ，交 的延长
∴ ，
线于点N，
∴
．
∵ 为 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中，∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得 （负值舍去），
∴ ．
∵ ，
∴ 的半径为 ．
∴ ，
故选B．
∴ ，
【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定
∴ ．
理，圆内接四边形的性质，含30度角的直
设 ，则则 ， ，
角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造全等
三角形是解答本题的关键．
11． 由 ，
得 ，
【分析】本题考查了概率公式．
即 ，
从四个数中随机抽取一个数，总可能结果
故答案为： ．
为4，取到负数的结果为1，因此概率为 ．
13．
【详解】解：总可能结果数为4，取到负数
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化-
的结果为1，
旋转，将线段的旋转转化为直角三角形的
故取到负数的概率 ． 旋转是解题的关键．
根据A点坐标得到 ， 绕原
故答案为： ．
点O顺时针旋转 得到 可看作是
12．
绕原点O顺时针旋转 得到
【分析】本题主要考查了根的判别式，解
，根据旋转的性质得到
一元一次不等式，解题的关键是掌握数形
结合的思想．
， ，再写出
根据抛物线与x轴有公共点，可知对应的
点的坐标．
一元二次方程有实数根，判别式非负．
【详解】解：如图： 轴于B，
【详解】解：抛物线 与x
轴于C，则 ，
轴有公共点，即方程 有实
∵ 绕原点O顺时针旋转 得到 可
数根，
看作是 绕原点O顺时针旋转 得
判别式 ，其中
到 ，
∴ ， ，
，
计算得 ∴点 的坐标为 ．【详解】解：∵ ，
∴令 ，则 ，
整理得 ，
∴ ，
14．10
∴ （舍去），
【分析】本题主要考查了切线长定理．直
∴该男生实心球的成绩是10米．
接利用切线长定理得出
故答案为：10．
，进而求出
的长． 16．
【详解】解：∵ 切 于点A，B， 【分析】本题考查扇形面积的计算，圆周
角定理以及勾股定理．根据直径所对的圆
切 于点E，
周角是直角，勾股定理以及扇形面积的计
，
算方法进行计算即可．
的周长是20，
【详解】解： 是圆 的直径，
，
，
，
， ，
，
，
故答案为：10．
15．10
【分析】本题考查了二次函数的应用，理
解题意，结合实心球行进高度 （单位：
米）与水平距离 （单位：米）之间的关 ，
系是 ，故令 ，得 故答案为： ．
17．(1) ，
，解得
(2) ，
（舍去），即可作答．
【分析】本题考查了解一元二次方程，注意解一元二次方程的方法有直接开平方法， 案．
公式法，配方法，因式分解法等．
【详解】解：设 秒后， ，
（1）利用配方法即可解答；
（2）利用因式分解法即可解答． 此时 ， ，
【详解】（1）解： ，
；
移项，得 ，
配方，得 ， 由题意得 ，
， 即 ，
开方，得 ，
解得 ， ，
解得： ， ；
米，
（2）解： ，
，
，
不合题意，舍去，
，
即 ．
或 ，
19．(1)该工厂 月份到 月份生产数量的
解得： ， ．
平均增长率为
18．2秒 (2)该零部件的实际售价应定为 元
【分析】本题主要考查了一元二次方程的 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，
实际应用，找到等量关系列出方程求解是 找准等量关系，正确列出一元二次方程是
解题的关键． 解决本题的关键．
（1）设该工厂 月份到 月份生产数量的
设 秒后， ，而此时
平均增长率为 ，根据题意列方程，解方
程即可；
， ，
（2）设该零件的售价 元/个，根据题意
列出方程，解方程，再结合要尽可能让购
， ，
买方得到实惠，确定 的值，即可．
【详解】（1）解：设该工厂 月份到 月
，进而可列出方程，求出答
份生产数量的平均增长率为 ，由题意得 ，
解得 或 （舍去），
故该工厂 月份到 月份生产数量的平均增
长率为 ．
∵ ，
（2）解：设该零部件的实际售价 元/个，
∴ ，
则每个的销售利润为 元，此时月销 ∵水管水面上升了 ，
∴ ，
售量将减少 个，则月销售量为
∴ ，
∴ ．
个，
21．(1)
由题意得
(2)图表见解析，
，
【分析】本题主要考查了用列表法或画树
解得 ， ， 状图法求概率，利用概率公式计算是解题
的重要步骤．
∵要尽可能让消费者得到实惠，
（1）直接根据概率公式求解；
∴ ，
（2）先画树状图展示所有种等可能的结果
故该零部件的实际售价应定为 元．
20． 数，再找出两次抽取卡片上的一次是“有
【分析】本题考查的是垂径定理的应用， 理想信念”、一次是“有仁爱之心”的结
熟知平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 果数，然后根据概率公式求解．
并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关 【详解】（1）第一次抽取的卡片上的文字
键．
是“有扎实学识”的概率 ；
先根据勾股定理求出 的长，再根据垂径
定理求出 的长，即可得出结论．
故答案是： ．
【详解】解：如图：作 于E，交
（2）画树状图为：
于F，对于（3），先设 再求出抛物线的
对称轴 ，即可得 ，然后根
据“倍根方程”的定义解答．
共有 种等可能的结果数，其中两次抽取
【详解】（1）解：∵一元二次方程
卡片上的文字一次是“有理想信念”、一
是倍根方程，
次是“有仁爱之心”的结果数为 ，
∴设其中一个根为 ，则另一个为 ,则
所以两次抽取卡片上的文字一次是国家层
面价值目标、一次是社会层面价值取向的
，
概率 ．
解得 ，
22．(1)
(2)0 ∴ ；
(3) ， 故答案为：2；
【分析】本题主要考查了一元二次方程根 （2）解：∵ ，
与系数的关系，二次函数图象的性质，解
解得 ．
一元二次方程，
对于（1），先设其中一个根为 ，则另一 ∵ 是倍根方程，
由题意可知 ．
个为 ,根据一元二次方程根与系数的关系
∴ ，
即 或 ．
得 ，求出 ，再根据两根之积
∵
得出答案；
对于（2），先求出方程的两个根是 ∴ ；
（3）解：∵方程 是
，再根据“倍根方程”得出
定义分两种情况得出 ，进而
倍根方程，不妨设
得出答案；∵相异两点 都在抛物 同，因此得到点 ，点
线 上， ，根据两点间距离
公式即可解答；
∴由抛物线的对称轴为 ，
（3）根据菱形的邻边相等分三种情况：①
根据抛物线对称轴与方程根的关系，有：
；② ；③ 求解
即可．
，
【详解】（1）解：将 代入一次函数
又∵ ，得 ，
点C的坐标为 ，
∴ ，即 ，
将 代入一次函数 ，得 ，
∴ ，
解得 ，
即 的两根分别为 点A的坐标为 ，
将点A，C的坐标代入抛物线
， ．
，
23．(1)
得 ，解得 ，
(2) ，
(3) 或 或 这个二次函数的解析式为 ．
【分析】本题考查待定系数法求解析式，
（2）解：∵过点 作x轴的垂线，
两点间距离公式，菱形的性质，综合运用
分别与二次函数图象和直线 相交于点E
相关知识是解题的关键．
和点 ，
（1）分别把 ， 代入一次函数
，求出点C，点A的坐标，将点 点 ，点
A，C的坐标代入抛物线 ，
，
求出b，c的值，即可解答；
（2）由题意可得点M，E，D的横坐标相， 解得 ， 舍去 ，
此时点M的坐标为 ；
（3）存在．如图，以C，D，E，F为顶点
③当 时， ，
的四边形为菱形时，分以下三种情况：
解得 ， （舍去），
（舍去），
此时点M的坐标为 ．
综上所述，存在满足题意的点F，此时点
由（ ）可得，点 ，
M的坐标为 或 或 ．
， 24．(1)见解析
(2)
，
(3)
【分析】本题主要考查圆的综合知识，切
，
线的判定，不规则图形的面积的求法，三
，
角形的内心，等边三角形的判定与性质等
知识点，熟练掌握以上知识点，作出正确
，
的辅助线是做题的关键．
①当 时， ， （1）先连接 ，再利用三角形的中位线
的性质定理，可得 ，最后得出
解得 ， （舍去），
即可证明；
（舍去）， （2）连接 ， ， ，判定 ，
和 是等边三角形，再利用等
此时点M的坐标为 ；
②当 时， 边三角形的性质求出高 ，最后根
据 与半圆 重合的面积
，，
即可求出答案；
，
（3）根据三角形内心的定义，得出角的关
，
系式，再通过设 ，利用
，
四边形的内角和求出 的值，进一步判定 ， 是等边三角形，
为等边三角形，最后根据等边三角 ，
形的性质和三角形的内角和定理，即可求 ， ，
出 的度数． 和 是等边三角形，
【详解】（1）解：如下图所示，连接 ， ，
，
，
， ， ，
，
， 与半圆 重合的面积
点 ，点 分别为 ， 的中点，
；
，
， （3）解：当点 在半圆 上时，
， 点 是 的内心， 是半圆 的
是半圆 的半径， 直径，
是半圆 的切线； ，
（2）解：如下图所示，连接 ， ，
， ，
， ，
，
， ，
，
．
设 ，
则
过点 作 于点 ，
是半圆 的直径， ，， （即发射台高度），从而确定取值范围．
四边形 的内角和为 ， 【详解】（1）解：任务 ： 是 的二次
，
函数，且抛物线经过点 ， ，
解得， ，
抛物线的顶点坐标为 ，
为等边三角形，
设函数表达式为 ，
，
抛物线经过点 ，
.
答：当点 在半圆 上时， 的度数 ，
为 ．
解得 ，
25．(1)任务 ： ；任务 ：
关于 的函数表达式为
米；
；
(2)任务 ： ．
任务 ： ，
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，
，
包括二次函数表达式的求解、函数与方程
的结合（求落地水平距离），以及抛物线
，
平移与区间取值问题，熟练掌握二次函数
的顶点式、函数与坐标轴的交点求解，是
整理得 ，
解题的关键．
当水火箭落地时，火箭的高度为 ，
（1）任务 ：根据二次函数的对称性确定
顶点坐标，用顶点式设出函数表达式，代 故 ，
入已知点求解系数，得到飞行高度的函数；
解得 不合题意，舍去 ，
任务 ：将水平距离与时间的关系代入高
答：当水火箭落地时，水火箭飞行的水平
度函数，转化为关于水平距离的方程，求
距离为 米．
解得到落地时的水平距离．
（2）任务 ：将发射台高度视为抛物线的
（2）解：任务 ：设 的高度为 ，
上下平移量，结合 、 点的坐标，代入
水火箭的函数表达式为
平移后的函数表达式，求解对应的平移量．
①当抛物线经过点 时，
，
点 的坐标为 ，
，
解得 ，
②当抛物线经过点 时，
， ，
，
点 的坐标为 ，
，
解得 ，
水火箭落到 内 包括端点 ， ，
，
．
答：发射台高度 的取值范围为
．
