文档内容
2025-2026 学年人教版数学九年级上册期末综合试卷
学校:___________姓名:___________班级:___________学号:___________
一、单选题
1．以下是某班为大同文旅设计的标识，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列方程一定是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
3．对于抛物线 ，下列的说法错误的是（ ）
A．抛物线的开口向上 B．抛物线的顶点坐标是
C．当 时，y随x的减小而增大 D．当 时，y随x的增大而增大
4．为传递正能量，九年级各班决定互送励志祝福．若规定每个班要给本年级其他所有班级
各送1条祝福，且所有班级送出的祝福总数是90条，则九年级的班级数为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
5．甲、乙、丙三位同学分别用背面完全相同、大小一致的卡片在下面制成了表示自己生肖
的图案,将三张卡片背面朝上洗匀,三人各抽一次(抽后放回,洗匀后第二人再抽),三个人抽到
的生肖卡恰好是自己制作的卡片的概率为( )
1 1 1 1
A． B． C． D．
3 6 9 27
6．如图，将直角三角板 绕顶点A顺时针旋转到 ，点 恰好落在 的延长线
上， ，则 为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，一个底部呈球形的烧瓶，其球形部分的半径为 ，瓶内液体的最大深度 为
，则截面圆中弦 的长为（ ）A． B． C． D．
8．关于 的一元二次方程 的实数根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．实数根的个数与实数 的取值有关
9．如图， 为 O的直径， 与 O相切于点A， 与 O的交于点D，若
， ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．二次函数 的图象如图所示，对称轴是直线 ．下列结论：①
；② ；③ ；④ （ 为实数）．其中结论正确的个数为
（ ）个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4
二、填空题
11．若M(3,m)与N(n,m-1)关于原点对称 ,则m= ,n= .
12．学校团委在“五四”青年节举行“校园之星”颁奖活动中,九(1)班决定从甲、乙、丙、丁四
人中随机派两名代表参加此活动,则所选两名代表恰好是甲和乙的概率是 .
13．如图， ， 分别切 于点A，B，点C是 上一点，过C作 的切线，交
， 于点D，E，若 ，则 的周长是 ．14．如图所示，把半径为4cm的半圆围成一个圆锥的侧面，使半圆圆心为圆锥的顶点，那
么这个圆锥的高是 cm．(结果保留根号)
1 1
15．已知m,n是一元二次方程x2+x-2 024=0的两个实数根,则 + = .
m n
16．如图，某蔬菜大棚的截面图可以近似看成二次函数的图象抛物线，其中大棚的一边靠
墙，此时大棚跨径 ，顶端 到墙体 的距离为 ，顶端 到 的距离为
，则大棚与墙的交点 到原点 的距离 为 ．
17．若函数 （ 为常数）的图象与x轴只有一个交点，那么那么 的值是
．
18．如图,等腰Rt△ABC中,D是AC上一动点,连接BD．将△BCD绕点B逆时针旋转90°得到
△BAE,连接ED．若BC=5,则△AED周长最小值是 .
三、解答题
19．解方程：
（1） ； （2） ．
20．如图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中， 的顶点均在格点(网格线的
交点)上，直线l经过小正方形的边．（1）画出 关于直线l成轴对称的 ；
（2）将（1）中的 绕点 逆时针旋转 得到 ，画出
．
21．如图，16个小方框代表16把椅子，其中黑色圆点表示已有人入座，小李和小王随机
入座，根据要求，小李需要坐第二排，小王需要坐第三排，两人选择座位的可能性相同．
（1）直接写出小王选择 座位的概率；
（2）请用列表或画树状图的方法，求小李和小王刚好坐在同一列的概率．
22．如图， 是 的高，以 为直径作 交 的延长线于点 E，连接 ，
．
（1） 与 有怎样的位置关系？ 请说明理由；
（2）若 求 的周长．23．随着2025年春节电影《哪吒2》大火，商家推出哪吒和敖丙的手办深受同学们的喜
欢，一组手办（一个哪吒手办和一个敖丙手办为一组）的成本为60元，经过市场调查发
现，当一组手办定价为100元时，每天能卖出80组，如降价1元销售，其销售量会增加4
组．设每组手办降价 元．
（1）用 的代数式表示：
①每一组手办的利润是________．
②每天可销售的手办组数是________．
（2）当每组手办降价多少元时利润可以为3500元？
（3）当降价多少元时，可以使每天的利润最大，最大利润是多少？
24．如图①，在 与 中， ， ．
（1） 与 的数量关系是： ________ ．
（2）把图①中的 绕点 旋转一定的角度，得到如图②所示的图形．
①求证： ．
②若延长 交 于点 ，则 与 的数量关系是什么？并说明理由．25．如图，已知抛物线 与x轴交于 ， 两点（点 在点 的左
侧），与 轴交于点 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点 是第一象限内抛物线上的一个动点（与点 不重合），过点 作 轴
于点 ，交直线 于点 ，连接 ，直线 能否把 分成面积之比为 的两部
分？若能，请求出点 的坐标；若不能，请说明理由．
（3）若 为抛物线对称轴上一动点，使得 为直角三角形，请直接写出点 的坐
标．参考答案
1．【答案】D
【分析【本题考查了中心对称图形【如果一个图形绕着某一点旋转 能与本身重合，那么
这个图形就是中心对称图形．根据中心对称图形的定义解答即可．
【详解】解：A、B、C图形绕着某一点旋转 不能与本身重合，故都不是中心对称，故
不符合题意；
D图形绕着某一点旋转 能与本身重合，是中心对称，故符合题意；
故选D．
2．【答案】C
【分析】一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系
数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验
证，满足这四个条件者为正确答案．
【详解】解：A、 ，是一元一次方程，不符合题意；
B、 ，方程中含有两个未知数，不符合题意；
C、 ，符合一元二次方程的定义，符合题意；
D、 ，当 时，该方程中未知数的最高次数不是2，不符合题意；
故选C．
3．【答案】C
【分析】根据二次函数解析式可得抛物线开口方向，抛物线与 轴交点个数及二次函数的
最值，从而判断A，B，D选项，把 代入函数解析式可判断C选项．
【详解】解： ，
抛物线开口向上，顶点坐标为 ，抛物线与 轴有2个交点， 时 随 增大而
增大，当 时 有最小值为 ，
选项A，B，D正确，
时， 随 的减小而增大，
选项C错误．
故选C．
4．【答案】A
【分析】此题考查一元二次方程的实际应用，正确理解每个班送出祝福条数与总祝福数的
关系是解题关键，通过建立一元二次方程求解
设班级数为n，每个班送出 条祝福，总祝福数为 ，解一元二次方程即可
【详解】设九年级班级数为n，
，
∴ 或 （舍去），
故九年级班级数为10，
故选A
5．【答案】D
6．【答案】B【分析】根据直角三角形两锐角互余，求出 的度数，由旋转可知 ，
在根据平角的定义求出 的度数即可．
【详解】∵ ，
∴ ，
∵由旋转可知 ，
∴ ，
故答案选：B．
7．【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理的应用，熟练掌握勾股定理，垂径定理是解题的
关键．
根据勾股定理求得 的长，根据垂径定理可得 ，进而即可求解．
【详解】解：根据题意得：
，
，
， ，
，
在 中 ，
，
故选B.
8．【答案】B
【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟练掌握判别式与根的关系是解题的关
键．根据一元二次方程根的判别式公式 ，结合方程中系数的取值，分析判别式
的符号，进而判断方程实数根的情况．
【详解】 ，
方程有两个不相等的实数根．
故选 ．
9．【答案】C
【分析】连接 ，过点O作 ，垂足为H，由切线性质，得 ，于是
， ． 中， ， .
由垂径定理， ，根据面积公式求解得阴影部分的面积为
【详解】解：连接 ，过点O作 ，垂足为H，
∵ 与 O相切于点A，
∴ ．∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
中， ， .
∴ .
∴ .
∵
∴阴影部分的面积为 ．
故选C．
10．【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、二次函数图象与其系数间的关系等知
识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据该二次函数图象的开口方向、对
称轴以及与 轴交点位置分析 的符号，即可判断结论①②；由函数图象可知，当
时， ，即可判断结论③；结合当 时，该二次函数取最小值，易知
（ 为实数），即可判断结论④．
【详解】解：根据题意，该函数图象开口向上，
∴ ，
∵对称轴是直线 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故②正确；
∵该函数图象与 轴交于负半轴，
∴当 时， ，
∴ ，故结论①正确；
由图象可知，当 时， ，
∴ ，又 ，∴ ，即 ，故结论③正确；
∵当 时，该二次函数取最小值，
∴ （ 为实数），
即 （ 为实数），故④正确；
综上所述，结论正确的有①②③④，合计4个．
故选D．
1
11．【答案】 ,-3
2
1
12．【答案】
6
13．【答案】
【分析】本题考查了切线长定理；
根据切线长定理可得 ， ， ，求出 的周长为
即可．
【详解】解：∵ ， 分别切 于点A，B，
∴ ，
∵ 是 的切线，
∴ ， ，
∴ 的周长为：
.
14．【答案】
【分析】利用扇形的弧长公式可得圆锥侧面展开图的弧长，也就是圆锥的底面周长，除以
2π即为圆锥的底面半径，利用勾股定理可得圆锥的高．
【详解】解：∵半径为4cm的半圆围成一个圆锥的侧面，
∴圆锥的侧面展开图的弧长为4πcm，
∴圆锥的底面周长为4πcm，
∴圆锥底面的半径为4π÷2π=2cm，
∴圆锥的高为: ．
1
15．【答案】
2024
16．【答案】
【分析】本题考查了二次函数的应用，正确求出二次函数的解析式是解题关键．设二次函
数的解析式为 ，再将点 代入可得 的值，然后将 代入
二次函数的解析式，由此即可得．
【详解】解：由题意得：抛物线的顶点坐标为 ，点 的坐标为 ，
设二次函数的解析式为 ，
将点 代入得： ，解得 ，
则二次函数的解析式为 ，
将 代入得： ，
即 ，
所以大棚与墙的交点 到原点 的距离 为 .
17．【答案】 或0
【分析】本题主要考查函数与x轴的交点问题，题目中没有说一定是二次函数，所有要进
行分类讨论，分 和 讨论，注意二次函数要把交点问题转化为一元二次方程的判
别式解决．
【详解】解：①当函数为二次函数时，
∵ （a为常数）的图象与x轴只有一个交点，
∴ ，
∴ ，
②当函数为一次函数时， ，
此时 与x轴只有一个交点．
综上所述，a的值为 或0．
18．【答案】5+5❑√2
19．【答案】（1） ，
（2） ，
【分析】本题考查了公式法求解一元二次方程，因式分解法求解一元二次方程，解题关键
是掌握上述一元二次方程求解方法．
（1）用公式法求解；
（2）用因式分解法求解．
【详解】（1）解： ，
， ， ，
，
，
即 ， ；
（2） ，
移项，得 ，所以 ，
所以 或 ，
解得： ， ．
20．【答案】（1）见详解
（2）见详解
【分析】（1）根据轴对称的性质画出点 的对应点分别为 ，即可画出
；
（2）根据旋转的性质找出 每个顶点绕点 逆时针旋转 后得到的对应点，再连
线得到
．
【详解】（1）解：如图所示； 即为所求；
（2）解：如图所示； 即为所求．
21．【答案】（1）
（2）
【分析】本题考查根据公式简单求概率，列表法或树状图法求概率等．（1）根据题意即可得到本题答案；
（2）根据题意列表算出共有的可能性，并找出符合题意的可能性即可得到本题答案．
【详解】（1）解：∵小王需要坐第三排，且第三排共有三个座位，
∴小王选择 座位的概率为 ；
（2）解：列表如下：
小王小李
小李随机坐第二排和小王随机坐第三排共有9种等可能情况，其中两位老师刚好坐在同
一列的结果有两种，
（两位老师刚好坐在同一列） ．
22．【答案】（1） 与 相切．理由见详解
（2）
【分析】（1）连接 ，由等边对等角得出 ，由直角三角形两锐角互余得
出 ，由对顶角相等得出 ，等量代换可得出
， ，由等边对等角得出 ，进而可得出
，进一步即可得出 与 相切．
（2）设 ，则 ，由勾股定理得出 ，则 ，再利用勾股
定理分别求出 和 ，再根据三角形的周长求解即可．
【详解】（1）解： 与 相切，理由如下：
连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是 的高，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
又 为半径，
∴ 与 相切．
（2）解：由（1）知 ，
由题意知： ， ，
设 ，则 ，
在 中， ，
即 ，
解得： ，
∴ ，
∴ ，
在 中，
∴ ，
在 中，
，
∴ 的周长为：
23．【答案】（1）① ；②
（2）每组手办降价5元时利润可以为3500元
（3）当 时，有利润 的最大值为3600元
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关
键．
（1）根据题意可得手办利润=售价-成本，手办组数=原定卖出的组数+每降价后增加的组
数；
（2）根据利润关系可以列 ，计算结果即可；
（3）设每天的利润为 ，根据题意可以列解析式，再化为顶点式即可得出结果．
【详解】（1）解：①根据售价-成本-降价=利润可得： （元），
②每天能卖出80组，如降价1元销售，其销售量会增加4组可得：（ ）元.
（2）根据题意得： ，
整理得： ，
解得： ， ．
答：每组手办降价5或15元时利润可以为3500元．
（3）每天的利润为 ，
则，
当 时，有利润 的最大值为3600元．
24．【答案】（1）
（2）①见详解；② ，见详解
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、旋转性质，注意三
角形证全等的几种方法要熟练掌握．
（1）根据线段的和差定义即可解决问题；
（2）①只要证明 ，即可解决问题；
②利用全等三角形的性质及三角形的内角和定理求解即可．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ，即 ，
（2）①证明：由旋转的性质，得 ，
∴ ，即
.
∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
②解： .理由：
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
25．【答案】（1）
（2）能， 或
（3） 点的坐标为 ， ， ，
【分析】（1）利用待定系数法求解可得；
（2）利用待定系数法确定直线 的解析式为 ，设 ，则
， ，则 ， ，
利用三角形的面积公式进行讨论：当 时， ；当
时， ，从而可得到关于 的方程，然后解方程求出 就看得
到对应的 点坐标；
（3）先确定抛物线的对称轴，设 ，利用两点间的距离公式得到， ， ，利用勾股定理的逆定理分
类讨论：当 时，当 时，当 时，然后
分别解关于 的方程，从而可得到满足条件的 点坐标．
【详解】（1）解：将 ， 代入 ，
得： ，
解得 ，
则抛物线解析式为 ；
（2）解：能．
将 代入 中，
得： ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
把 ， 代入得 ，
解得 ，
∴直线的解析式为 ，
设 ，则 ， ，
∴ ， ，
当 时， ，
即 ，
整理得 ，
解得 ， （舍去），
此时 点坐标为 ；
当 时， ，
即 ，
整理得 ，
解得 ， （舍去），
此时 点坐标为 ；
综上所述，当点 的坐标为 或 时，直线 能否把 分成面积之比为的两部分；
（3）解：抛物线的对称轴为直线 ，如图，
设 ，
∵ ， ，
∴ ， ， ，
当 时， 为直角三角形， ，
即 ，
解得 ，此时 点的坐标为 ；
当 时， 为直角三角形， ，
即 ，
解得 ，此时 点的坐标为 ；
当 时， 为直角三角形， ，
即 ，
解得 ， ，此时 点的坐标为 或 ；
综上所述，满足条件的 点的坐标为 ， ， ， ．
