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第二十六章 反比例函数（6 大压轴考法 100 题专练）
目录
题型一：反比例函数的图象..............................................................................................1
题型二：反比例函数的性质............................................................................................12
题型三：反比例函数k的几何意义..................................................................................20
题型四：反比例函数的解析式........................................................................................38
题型五：反比例函数与一次函数综合............................................................................105
题型六：反比例函数与几何综合............................................................................171
题型一：反比例函数的图象
1．（22-23九年级上·浙江金华·期末）如图，在并联电路中，电源电压为 ，根据“并联电路分流
不分压”的原理得到： ．已知 为定值电阻，当R变时，路电流 也会发
生变化，且干路电流 与R之间满足如下关系： ．
(1)【问题理解】
定值电阻 的阻值为________Ω．
(2)【数学活动】
根据学习函数的经验，参照研究函数的过程与方法，对比反比例函数 来探究函数 的图象
与性质．
①列表：下表列出 与R的几组对应值，请写出m的值： ________；
R … 3 4 5 6 …
… 2 1.5 1.2 1 …… 3 m 2.2 2 …
②描点、连线：在平面直角坐标系中，以①给出的R的取值为横坐标，以 相对应的值为纵坐标，描出相
应的点，并将各点用光滑曲线顺次连接起来．
(3)【数学思考】
观察图象发现：函数 的图象是由 的图象向________平移________个单位而得到．
(4)【数学应用】
若关于x的方程 在实数范围内恰好有两个解，直接写出k的值．
2．（23-24九年级上·湖南长沙·期末）我们把与x轴有两个不同交点的函数称为“五好函数”，交点称为
“五好点”，两交点间的距离称为“五好距”．
(1)判断下列函数是“五好函数”吗? 如果是，请在括号里打“ ”，如果不是则打“ ”；
， ；
(2)求出“五好函数” 的“五好距”；
(3)①已知“五好函数” 左侧的“五好点”位于 和 之间(含
A，B 两点),求 a 的取值范围；
②不论m取何值，不等式 恒成立，在①的条件下，函数
(b为常数)的最小值为 ，求b的值．3．（23-24九年级上·山东临沂·期末）小明在实验课上做了一个试验．如图，在仪器左边托盘A（固定）中
放置一个物体，在右边托盘 （可左右移动）中放置一个装水的容器，容器的质量为 ．在容器中加入一
定质量的水，可以使仪器左右平衡．改变托盘 与点 的距离 ，记录容器中加入的水的
质量，得到下表：
托盘 与点 的距离
30 25 20 15 10
容器与水的总质量 10 12 15 20 30
加入的水的质量 5 7 10 15 25
把上表中的 与 各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，并用光滑的曲线连接起来，
得到如图所示的 关于 的函数图象．
(1)请在该平面直角坐标系中作出 关于 的函数图象；
(2)观察函数图象，并结合表中的数据：
①猜测 与 之间的函数关系，并求 关于 的函数表达式；
②求 关于 的函数表达式；
③当 时， 随 的增大而______（填“增大”或“减小”）， 随 的增大而______（填“增
大”或“减小”）， 的图象可以由 的图象向______（填“上”或“下”）平移得到．
(3)若在容器中加入的水的质量 满足 ，求托盘 与点 的距离 的取值范围．4．（24-25九年级上·重庆万州·期末）如图，在矩形 中， ， ，点 从点 出发，以每
秒2个单位的速度沿折线 运动，当它到达 点时停止运动；同时，点 从点 出发，以每
秒1个单位的速度沿射线 运动，过 点作直线 平行于 ，点 为直线 上的一点，满足 的面
积为2，设点 、点 的运动时间为 ， 的面积为 ， 的长度为 ．
(1)分别求出 ， 与 的函数关系，并注明 的取值范围；
(2)在坐标系中画出 ， 的函数图象，并写出函数 ， 的一条性质；
(3)结合函数图象，请直接写出当 时 的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过 ）5．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）新定义：A是函数y的图象上一点，过A做一条直线l，如果函数y
的图象沿直线l翻折，直线l两旁的函数图象能够完全重合，那么点A叫做这个函数的“和谐点”，直线l
叫做这个函数的“和谐线”，一个函数可以有多个“和谐点”和多条“和谐线”．
(1)①若一次函数 的一个“和谐点”是 ，则过A的“和谐线”是直线 ；
②反比例函数 的“和谐点”是点 ，“和谐线”是直线 ；
③二次函数 的“和谐点”是点 ；
(2)如图，在平面直角坐标系中，矩形 的顶点B，C均在坐标轴上， ，对角线 ， 相交
于点D，已知函数 的图象经过点A，函数 的“和谐点”在矩形 的边 上，
若函数 的图象与直线 的另一个交点为点E，且 ，求a的取值范围．题型二：反比例函数的性质
6．（22-23八年级下·江苏南京·期末）对于两个不同的函数，通过加法运算可以得到一个新函数，我们把
这个新函数称为两个函数的“和函数”．例如：对于函数 和 ，则函数 ， 的“和函
数” ．
(1)已知函数 和 ，这两个函数的“和函数”记为 ．
①写出 的表达式，并求出当x取何值时， 的值为 ；
②函数 ， 的图象如图①所示，则 的大致图象是______．
A． B． C． D．
(2)已知函数 和 ，这两个函数的“和函数”记为 ．
①下列关于“和函数” 的性质，正确的有______；（填写所有正确的选项）
A． 的图象与x轴没有公共点
B． 的图象关于原点对称
C．在每一个象限内， 随x的值增大而减小D．当 时，随着x的值增大， 的图像越来越接近 的图象
②探究函数 与一次函数 （ 为常数，且 图象的公共点的个数及对应的k的取值范围，
直接写出结论．
7．（23-24九年级上·河北沧州·期末）已知反比例函数 的图象的一支如图所示，它与直线
交于点 ， .
(1)在图中，补画该反比例函数图象的另一支，并求 的值；
(2)当 时，求函数值 的取值范围；
(3)观察图象，直接写出当 时，自变量 的取值范围.
8．（23-24八年级下·福建泉州·期末）点A(x ,y )，B(x ,y )在反比例函数 的图象上，且 ．
1 1 2 2
(1)直接写出 ， 的大小关系；
(2)如图，过点 作矩形 ， 为对角线 的交点，且 轴于 ，连接 ．①求证： 三点共线；
②若 ， ，求 的度数（用 的代数式表示）．
9．（23-24九年级上·湖南长沙·期末）定义：平面直角坐标系 中，若点 ，点 ，其中
为常数，且 ，则称点 是点 的“ 级变换点”．例如，点 是点 的“ 级变换点”．
(1)函数 的图象上是否存在点 的“ 级变换点”？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由；
(2)点A为直线 上的一点，它的“ 级变换点” 在直线 上，在 ， 上分别取点 ，
．若 ，求证： ；
(3)若关于 的二次函数 的图象上恰有两个点 ， ，这两
个点的“1级变换点”都在直线 上，并且同时满足：① ，② ，求 的取
值范围．
题型三：反比例函数k的几何意义
10．（23-24九年级上·湖南娄底·期末）如图，反比例函数 的图像与矩形 的边 、 分别相交于点D、E，连接 、 ，直线 与x轴、y轴分别相交于点M、N，则下列结论正确的是
（ ）
①
②
③
④）若 ， ，则 ．
A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④
11．（23-24九年级上·辽宁盘锦·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形 的对角线OB在x轴上，
顶点A在反比例函数 的图象上，若菱形 的面积为6，则k的值为（）
A． B．6 C． D．3
12．（23-24九年级上·江苏南通·期末）如图，在平面直角坐标系 中，点 ， 在函数 的
图象上，点 在点 左侧，延长 交 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，连接 并延长，交 轴于
点 ，连接 ，若 ， ，则 的值为 ．13．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形 的边 在 轴负半轴上，
函数 的图象经过顶点 和对角线 的中点 ，作 交y轴于点N，若 的面积
为6，则k的值为 ．
14．（23-24九年级上·四川达州·期末）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形 的顶点B、C在第
一象限内，顶点A在y轴上，AB交反比例函数 （ ）的图象于点D，若 ，平行四边形
的面积为18，则k的值为 ．
15．（23-24九年级上·河北秦皇岛·期末）如图，点A，B分别在反比例函数 与 的
图像上，连接 ， ， ，且 ， ，则 的值为 ．
16．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系 中，点A，C分别在坐标轴上，且四
边形 是边长为3的正方形，反比例函数 的图像与 边分别交于E，D两点，
的面积为4，点P为y轴上一点，则 的最小值为 ．17．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，曲线l是由函数 在第一象限内的图象绕坐标原点O逆
时针旋转 得到的，过点 ， 的直线与曲线l相交于点M，N，若 的面积
是 ，则k的值为 ．
18．（24-25九年级上·全国·期末）对某一个函数给出如下定义：如果存在实数 ，对于任意的函数值 ，
都满足 ，那么称这个函数是有上界函数，在所有满足条件的 中，其最小值称为这个函数的上确界．
例如，图中的函数是有上界函数，其上确界是 ．
(1)分别判断函数 和 是不是有上界函数？如果是有上界函数，求其上确界；
(2)如果函数 的上确界是 ，且这个函数的最小值不超过 ，求 的取值范围；
(3)如果函数 （其中 ）是以 为上确界的有上界函数，当 时，求实数 的取值范围．
19．（23-24九年级上·四川达州·期末）【感知】如图1，已知反比例函数 上有两点 ，
， 轴交 轴于点 ， 轴交 轴于点 ，则 _____， _____， 与
的位置关系为：_________．
【探究】我们对上述问题进行了思考，如图2，当 ， 是双曲线 同一支上任意两点，过 、
分别向 轴、 轴作垂线，交 轴于点 ，交 轴于点 ，连接 、 ．
①试探究 与 面积的关系并说明理由；
②试探究 与 之间的位置关系并说明理由．
【运用】我们对上述问题进行了实践，如图3，已知点 ， 在反比例函数 的图像上，且 ，
则是反比例函数 第三象限内图像上的一动点，过点 作 轴，过点 作 轴，垂足分
别分为 、 ，若四边形 的面积为45，求点 的坐标；
【拓展】我们对上述问题进行了延伸，如图4，函数 的图像与过原点 的直线相交于 ， 两
点，点 是此函数第二象限内图像上的动点（点 在点 的右侧），直线 分别交于 轴、 轴于点 、
，连接 分别交 轴、 轴于点 、 ．若 ，求 的值？题型四：反比例函数的解析式
20．（23-24九年级上·浙江嘉兴·期末）已知点 ， ，反比例函数 经过点 ，点 在线段
上，过点 作直线 与 轴平行，交反比例函数图像于点 ，再分别过点 和点 作 轴垂线，所形
成的矩形的面积的最大值是（ ）
A． B． C．4 D．5
21．（23-24九年级上·福建泉州·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形 的一个顶点O在坐标原点，
且 ，反比例函数 的图象经过点B和点C，则k的值是（ ）A． B． C． D．
22．（23-24九年级上·山东淄博·期末）如图，矩形 ，点 的坐标为 ，点 在 轴上，
， ．若反比例函数 的图象过点 ，则 的值为（ ）
A． B． C．30 D．48
23．（24-25九年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与x轴、y轴分
别交于A、B两点．正方形 的顶点C、D在第一象限，顶点D在反比例函数 的图象上．
若正方形 向左平移n个单位后，顶点C恰好落在反比例函数的图象上，则n的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
24．（23-24九年级上·广东惠州·期末）如图，点A在双曲线 （ ， ）上，点B在直线l：
上，A与B关于x轴对称，直线l与y轴交于点C，当四边形 是菱形时，则k的值
为 ．25．（23-24九年级上·四川成都·期末）新定义：在平面内，如果三角形的一边等于另一边的2倍，则称该
三角形为“鲲鹏三角形”，其中较长的边称为“鲲鹏边”，两条边所夹的角称为“鲲鹏角”，如图所示，
在平面直角坐标系中， 为“鲲鹏三角形”， 为“鲲鹏边”，则 为“鲲鹏角”，其中A，B
两点在反比例函数 图像上，，且A点横坐标为 ，点C坐标为(0,3)，当 为直角三角形时，
．
26．（23-24九年级上·四川成都·期末）综合与探究：如图，一次函数 与反比例函数 交于
A，B两点，与两坐标轴分别交于C，D两点，其中A的坐标为(1,4)，且满足 ．
(1)求 ， 的表达式；
(2)反比例函数图象上是否存在一点P，使得 ？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请
说明理由；
(3)在y轴上是否存在一点M，使得 与 相似？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，
请说明理由．27．（23-24九年级上·广东清远·期末）在平面直角坐标系 中，反比例函数 的图象与等腰
直角三角形 相交， ， .
(1)如图1，若反比例函数的图象恰好经过 的顶点B时，求反比例函数的表达式；
(2)在（1）的前提下，过点A作 交反比例函数的图象于点Q，连接 ，求 的面积和点Q
的坐标；
(3)如图2，若反比例函数的图象交 的边 于点C，且 ，点P是反比例函数图象上的一动点，
满足 的面积是3，请直接写出点P的坐标.28．（23-24九年级上·贵州贵阳·期末）在平面直角坐标系中，一次函数 （ ）的图象与反比
例函数 的图象交于第二、四象限内的A，B两点，与x轴交于C点，过点A作 轴，垂
足为点D， ， ，点B的坐标为 ．
(1)求该反比例函数和一次函数的表达式；
(2)根据图象直接写出使 成立的x的取值范围；
(3)形如 （a为常数， ）的解集为： 或 ，过点M 作垂直于x轴的直线 ，直线 与双曲线 交于点 ，与直线 交于点 ，若
时，求n的取值范围．
29．（23-24九年级上·广东河源·期末）综合应用
如图，反比例函数 的图象过点 和 两点．
(1)求反比例函数的解析式．
(2)点 是反比例函数的图象上在点 左侧的一个动点，连接 ， ，过点 作直线 的平行线交 轴
于点 ，交 轴于点 ．
①若 ，求点 的坐标和直线 的解析式；
②在①的条件下，在y轴上是否存在一点 ，使以C，E，P为顶点的三角形与 相似？若存在，求出
点 的坐标；若不存在，请说明理由．30．（23-24九年级上·山西太原·期末）综合与探究
如图1，平面直角坐标系中，矩形 的顶点 ， 分别在反比例函数 与 的图象上，顶
点 在 轴正半轴上．已知顶点 的横坐标为1．
(1)直接写出点 ， 的坐标；
(2)求反比例函数 的表达式；
(3)如图2，点M是反比例函数 图象上的一个动点，设点M的横坐标为m，过点M作x轴的垂线交 的图象于点N，垂足为点E．连接 ， ，若 ，直接写出m的值．
31．（23-24九年级上·四川成都·期末）已知一次函数 的图象与反比例函数 的图象交
于A， 两点，一次函数 的图象交y轴于点B．
(1)求点C的坐标和反比例函数的表达式；
(2)如图，直线 交反比例函数图象一象限分支于点F，连接 ，作射线 轴．求证：射线 平分
；(3)目前，数学家探究出三角形的“几何心”有四万余个，某校兴趣小组研究后定义：三角形内有一点，将
三角形的某两个顶点分别与该点连接产生两条线段，若两条线段相互垂直且其中有一条线段平分一个内角，
则称该点为该三角形的“蓉心”．点D、E分别是反比例函数 一、三象限分支上的点，连接
、 、 ，若点B是 的“蓉心”，求点D的坐标．
32．（23-24九年级上·四川成都·期末）已知点A是反比例函数 的图象与正比例函数图象在第三象限
的交点， 轴于点B，等腰直角三角形 的面积等于4．
(1)求反比例函数与正比例函数的表达式；
(2)直线： 图象分别交反比例函数与正比例函数的图象于点N、M，若 ，求点M的坐
标；
(3)在（2）问条件下，点P是反比例函数图象第一象限分支上一动点，连接 ，是否存在直线
，作 于点Q，使得 ？若存在求出 的表达式，若不存在请说明理由．33．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，点 ， 为 的
顶点， ，点C在x轴上．将 沿x轴水平向右平移a个单位得到 ，A，B两点的对
应点 ， 恰好落在反比例函数 的图象上．
(1)求a和k的值；
(2)作直线l平行于 且与 ， 分别交于M，N，若 与四边形 的面积比为 ，求
直线l的函数表达式；
(3)在（2）问的条件下，是否存在x轴上的点P和直线l上的点Q，使得以 ， 四个点为顶点的
四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点P，Q的坐标；若不存在，请说明理由．34．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图1，已知一次函数 的图象与反比例函数 的图象交
于 ，B两点，与x轴、y轴分别交于C，D两点．
(1)求反比例函数 的表达式及点B的坐标；
(2)在x轴上有一点E，反比例函数 的图象上有一点F，连接 ，若 且 ，求点E的坐标；
(3)如图2，点D关于x轴的对称点为M，连接 ，P是y轴上一动点（不与点M重合），N是平面内一点，
连接 ， ，在点P的运动过程中始终有 ，且 ．点Q在反比例函数
图象上，连接 ，请直接写出 的最小值及当 为最小值时点P的坐标．
35．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与反
比例函数 的图象交于 ， 两点，与 轴、 轴分别交于点 ，已知点 的坐标为 ，
点 的坐标为 ．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)若点 在 轴上，以 、 、 为顶点的三角形与 相似时，求点 的坐标；
(3)点 是直线 下方反比例函数 图象上一点，当 的面积为 时，求点 的坐标．36．（23-24九年级上·湖南怀化·期末）如图，一次函数 的图象与 轴、 轴分别交于 、 两点，
与反比例函数 的图象交于点 ， ．
(1)求一次函数 和反比例函数 的表达式；
(2)点 为 轴正半轴上一点，当 的面积为9时，求点 的坐标；
(3)在（2）的条件下，将直线 向上平移，平移后的直线交反比例函数图象于点 ，交 轴于点 ．
点 为平面直角坐标系内一点，若以点 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件
的点 的坐标，并写出求解点 的坐标的其中一种情况的过程．
37．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系 中，一次函数图象 与反比例
函数的图象的一个交点为 ，另一个交点为点 ．
(1)求点 的坐标及反比例函数的表达式；
(2)若点 在反比例函数第一象限的图像上，且 的面积为 ，求点 的坐标；
(3) 是第二象限内一点，连接 ，以 为位似中心画 ，使它与 位似，相似比为 ．若点
恰好都落在反比例函数图象上，求出点 的坐标．38．（23-24九年级上·湖南岳阳·期末）坐标平面内，若点 满足 ，我们把点P称作“半分点”，
例如点 与 都是“半分点”．
(1)一次函数 的图象上的“半分点”是______；
(2)若双曲线 上存在“半分点” ，且经过另一点 ，求m的值；
(3)若关于x的二次函数 （常数 ）的图象上恰好有唯一的“半分点”P．
①当 时，求n的取值范围；
②当 时，过双曲线 （其中 ）上的“半分点”P作直线 轴，若二次函数的图象上存
在4个点到直线PQ的距离为d，求d的取值范围．
39．（23-24九年级上·湖南永州·期末）定义：若x，y满足 ， 且 （t为常数），则
称点 为“和谐点”．
(1)请直接判断点 是否为“和谐点”；
(2) 是“和谐点”，求m值；
(3)若双曲线 的图象上存在“和谐点”，求k的取值范围．
40．（23-24九年级上·安徽宿州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点 为坐标原点，长方形 的边
分别在 轴、 轴上，点 的坐标为 ，双曲线 的图象经过线段 的中点 ．(1)求 的值；
(2)若点P(x,y)在反比例函数的图象上运动（不与点 重合），过 作 轴于点 ，记 的面积
为 ，求 关于 的解析式，并写出 的取值范围．
41．（23-24九年级上·新疆克孜勒苏·期末）【建立模型】
（1）如图1，点B是线段 上的一点， ， ， ，垂足分别为C，B，D，
．求证： ；
【类比迁移】
（2）如图2，点 在反比例函数 图像上，连接 ，将 绕点O逆时针旋转 到 ，若反
比例函数 经过点B．
①求点B的坐标；
②求反比例函数 的解析式；
【拓展延伸】
（3）如图3，抛物线 与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于C点，已知点，连接 ，抛物线上是否存在点M，使得 ，若存在，求出点M的横坐标．
42．（23-24九年级上·山东威海·期末）如图，点 是直线 上一点，过点 作 轴平行线，与反
比例函数 交于点 ，以 为边向下作 ，点 恰好在 轴上，且 ，
，若 的面积为 ，求 的值．43．（23-24九年级上·山东济宁·期末）定义：在平面直角坐标系 中，函数图象上到两条坐标轴的距离
之积等于 的点，叫做该函数图象的“ 阶积点”．例如，点 为反比例函数 图象的“1
阶积点”， 为一次函数 图象的“ 阶积点”．
(1)若点 为 关于 的二次函数 图象的“ 阶积点”，则 的值等于_______， 的值等于
_______；
(2)若 关于 的反比例函数 的图象经过一次函数 图象的“2阶积点”，求 的值；
(3)若 关于 的一次函数 图象的“ 阶积点”恰好有3个，求 的值．
44．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）已知 是自变量x的函数，当 时，称函数 为函数
的“k倍函数”．
例如：函数 ，当 时，则函数 是函数 的“3倍函
数”．(1)函数 的“5倍函数”是 （直接填空）；
(2)求 的“k倍函数” 与x轴的交点坐标；
(3)如图①是函数 和它的“2倍函数”的图像，在 的“2倍函数”图像上有一点
A，作 轴于点D，交函数 图像于点E，作 轴于点B，交函数 图像于
点C，连接 ， ，求证： ；
(4)在平面直角坐标系中，函数 的图像如图②所示，若函数 的“k倍函数” 的
图像与函数 的图像交于P，Q两点，与函数 的“ 倍函数”的图像交于G，H
两点，且Q，H两点恰好位于x轴上方，当 时，求k的值．
45．（22-23九年级上·广东清远·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知四边形 是矩形，且 ，
， ．反比例函数 （ ）的图象分别交 、 于点E、点F ．(1)求反比例函数的解析式；
(2)连接 、 、 ，求 的面积；
(3)是否存在x轴上的一点P，使得 是不以点P为直角顶点的直角三角形？若存在，请求出符合题意
的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
46．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图1， 的图像与y轴交于点B，与反比例函数
的图像交于点 ．(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)点C是线段 上一点（不与A，B重合），过点C作y轴的平行线与该反比例函数的图像交于点D，连
接 ，当四边形 的面积等于24时，求点C的坐标；
(3)在（2）的前提下，将 沿射线 方向平移一定的距离后，得到 ，若点O的对应点 恰好
落在该反比例函数图像上，是否在此反比例函数图像上存在点M，使得 ，若存在，请
直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由．
题型五：反比例函数与一次函数综合
47．（23-24九年级上·四川达州·期末）如图，直线 与双曲线 交于 两点，点 在 轴上，连接 ，且 ，已知 的面积为 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
48．（23-24九年级上·广东河源·期末）如图，一次函数 与反比例函数 的图像交于点A，过
点A作 ，交 轴于点 ；若 ， ， ， 都是等腰直角三角形，其中
点A， ， ， ， 都在反比例函数 的图像上，则点 的横坐标为 ．
49．（23-24九年级上·四川成都·期末）对于平面直角坐标系 中的图形M和直线m，给出如下定义：若
图形M上有点到直线m的距离为d，那么称这个点为图形M到直线m的“d距点”．如图，双曲线C：
和直线 ： ，若图形C到直线l的“ 距点”只有2个，则n的取值范围是 ．
50．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，直线 与函数 的图象 交于点 ，过点 作 轴的平行线与函数 的图象交于点 ，直线 与图象 交于点 ，当 为直角三
角形时， 的值为 ．
51．（23-24九年级上·辽宁丹东·期末）如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象在第二
象限内交于点 ， ， 为 轴正半轴上一点，连接 ， ， 的面积为6．
(1)求 的值及一次函数的表达式；
(2)求点 的坐标；
(3)若 为反比例函数图像上的一点， 为 轴上一点，是否存在点 ， ，使以 ， ， ， 为顶点的
四边形是平行四边形？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
52．（23-24九年级上·四川成都·期末）在平面直角坐标系 中，直线 与反比例函数 的
图象交于 ，B两点．(1)求B点坐标；
(2)如图1，过点A的直线分别与x轴正半轴，y轴负半轴交于点M，N，若 ，连接 ，求
的面积；
(3)如图2，以 为边作平行四边形 ，点C在y轴负半轴上，点D在反比例函数 的
图象上，线段 与反比例函数 的图象交于点E，若 ，求k的值．
53．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系 中，直线 与反比例函数
的图象交于 ，B两点，C为反比例函数图象第四象限上一动点．(1)求反比例函数的表达式及点B的坐标；
(2)当四边形 的面积为36时，求此时点C的坐标；
(3)我们把对角线互相垂直且相等的四边形称为“垂等四边形”．设点D是平面内一点，是否存在这样的
C，D两点，使四边形 是“垂等四边形”，且 ？若存在，求出C，D两点的坐标；若
不存在，请说明理由．
54．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图1，反比例函数 与一次函数 的图象交于 两
点，已知 ．(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)一次函数 的图象与 轴交于点 ，点 （未在图中画出）是反比例函数图象上的一个动点，若
，求点 的坐标：
(3)若点 是坐标轴上一点，点 是平面内一点，是否存在点 ，使得四边形 是矩形？若存在，
请求出所有符合条件的点 的坐标；若不存在，请说明理由．
55．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，直线 与坐标轴交于A、 两点，与双曲线
交于C、D两点，并且 ．(1)求反比例函数的解析式；
(2)若 ， 分别是第一、三象限内反比例函数图象上的两点，连接 ，当四边形 为平行四
边形时，求点Q的坐标；
(3)在（2）的条件下，将 所在的直线向上平移 个单位长度，平移后的直线与双曲线交于 ，R
两点，与直线 交于点 ，设 ， ， 的横坐标分别为 ， ， ，若 ， ， 满足等式
，求 的值．
56．（23-24九年级上·四川成都·期末）已知直线 与 轴、 轴交于点 ， ，与反比例函数
的图象交于 ， 两点，点 的横坐标为 ，点 的横坐标为 ．(1)求直线 的表达式；
(2) 是线段 的中点，点 为反比例函数图象在第一象限上一点，连接 ， ， ，若 ，
求点 的坐标；
(3)点 为反比例函数图象在第三象限上一点，连接 ，过点 作 ，交反比例函数图象于点 ，
连接 ．若直线 经过点 ，求 的值．
57．（23-24九年级上·湖南衡阳·期末）定义：平面直角坐标系中有点 ， 若点 满足
且 ，则称点 为中心点，点 是点 的 “ 界环绕点”．例如：对于中心点(1,0)，满足 且 的点，都是点(1,0)的“ 界环绕点”，这些环绕点组成的图形是一个边长
为 的正方形，中心点(1,0)是正方形的中心．
(1)点 的“ 界环绕点”所组成的图形面积为 ；
(2)直线y=kx+b(k≠0)经过点 ．
①在其图象上，点(2,3)的“ 界环绕点”组成的线段长为 ，求b的值；
②直线 与反比例函数 图象的交点横坐标为 ，求 的取值范围；
(3)关于 的二次函数 （ 是常数），将它的图象 绕原点 逆时针旋转 得曲线 ，若
与 上都存在 的“1界环绕点”，直接写出 的取值范围．
58．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象
相交于A，B两点（点A在点 的左侧），连接 并延长，交反比例函数的图象于点 ，连接 交 轴
于点 ．
(1)若点 的纵坐标为6，求点 的坐标；
(2)在（1）的条件下，反比例函数图象上是否存在一点 ，使得 ，若存在，求出点 的坐
标，若不存在，请说明理由；
(3)若 的面积为16，求反比例函数的表达式．
59．（23-24九年级上·山东泰安·期末）阅读下面的问题及其解决途径．问题：将函数 的图像向右平移2个单位长度，所得到的图像对应的函数表达式是什么？解决途
径：
结合阅读内容，完成下面的问题．
(1)填写下面的空格．
问题：将函数 的图像向左平移1个单位长度，所得到的图像对应的函数表达式是什么？解决途径：
(2)灵活应用
如图，已知反比例函数 的图像C与正比例函数 的图像l相交于点 和点B．将函数
的图像和直线AB同时向右平移 个单位长度，得到的图像分别记为 和 ．已知图像 经过
点 ．
①求出平移后的图像 对应的函数表达式；
②直接写出不等式 解集．60．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，一次函数 的图象与反比例函数
的图象交于点 ，与 轴交于点 ，与 轴交于点 ．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)已知 为反比例函数 的图象上一点，满足 ，求点 的坐标．
(3)在第四象限反比例函数 的图象上是否存在点 ，使点 绕点 顺时针旋转 得到的对应点
恰好落在第二象限反比例函数 的图象上?若存在，求点 的坐标；若不存在，说明理由．
61．（23-24九年级上·江苏苏州·期末）我们定义：若点A在一个函数的图像上，且点A的横、纵坐标互为
相反数，则称点A为这个函数的“反点”．
(1)一次函数 的“反点”的坐标为______；
(2)已知反比例函数 与一次函数 有公共的“反点”，求k的值；
(3)若点P为反比例函数 的“反点”，则点P到直线 上任意一点的最小距离为______；
(4)已知关于x的二次函数 对于任意的常数n恒有两个“反点”，求m的取值范围．62．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图1，在平面直角坐标系中， ，经过 的直
线与反比例函数 在第一象限内的图象交于点D，经过 的直线与反比例函数 在第一象限内的
图象交于点E，已知点D的坐标为 ．
(1)求直线 的解析式及E点的坐标；
(2)若y轴上有一动点F，直线 上有一动点G．当 最小时，求 的周长的最小值；
(3)如图2，若y轴上有一动点Q，直线 上有一动点P，以Q，P，E，D四点为顶点的四边形为平行四边
形时，求P点的坐标．63．（23-24九年级上·山东德州·期末）综合与实践
如图，某兴趣小组计划开垦一个面积为 的矩形地块 种植农作物，地块一边靠墙（墙足够长），
另外三边用木栏围住，木栏总长为 ．
【问题提出】
小组同学提出这样一个问题：若 ，能否围出矩形地块？
【问题探究】
小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：
设 为 ， 为 ．由矩形地块面积为 ，得到 ，满足条件的 可看成是反比例函数
的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为 ，得到 ，满足条件的 可看成一次函
数 的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的 就可以看成两个函数图象交点
的坐标
如图，反比例函数 的图象与直线 的交点坐标为 和______，
因此，木栏总长为 时，能围出矩形地块，分别为： ， ；或 ______ ，
______
（1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空．
【类比探究】
（2）若 ，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法说明理由．
【问题解决】
（3）求当木栏总长a为多少时？面积为 的矩形地块 满足 ．64．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，点P为一次函数 与反比例函数 的图象
的交点，点P的纵坐标为4， 轴，垂足为B，一次函数 的图象与x轴交于点A，与y轴交于
点C．
(1)求m的值．
(2)点M是反比例函数 的图象上的一点，且在点P的右侧，连接 ．
①连接 ．若 ，求点M的坐标．
②过点M作 于点D，若 ，求M的坐标．
65．（23-24九年级上·湖南湘潭·期末）如图，矩形 的顶点 、 分别在 、 轴的正半轴上，点
为对角线 的中点，反比例函数 在第一象限内的图象经过点 ，与 相交于点 ，且点
．
(1)求反比例函数 的关系式；
(2)求 的面积；
(3)若反比例函数的图象与矩形的边 交于点 ，将矩形折叠，使点 与点 重合，折痕分别与 、 轴
正半轴交于点 、 ，求直线 的函数关系式．66．（23-24八年级下·浙江金华·期末）如下图，反比例函数 与一次函数
的图象都经过点 和点 ，以AB为边作正方形 （点A、B、C、D逆时针排列）．
(1)求m的值和一次函数 的解析式．
(2)求点C的坐标．
(3)将正方形 平移得到正方形 ，在平移过程中，使点A的对应顶点M始终在第一象限内且在
反比例函数 的图象上（点M与点A不重合），当正方形 与正方形 的重叠部分为正方形时，
求重叠正方形的边长．
67．（23-24九年级上·广东清远·期末）综合运用：如图，直线 与反比例函数 的图象相交于
， 两点，连接 ， ．
(1)求直线 的函数表达式；
(2)求 的面积；
(3)若点M在第一象限内反比例函数图象上，点N在x轴上方且在一次函数 图象上，若以O，B，
M，N为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点M的坐标．68．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）已知一次函数 ，反比例函数 ．
(1)若 ，两函数图象在第一象限内交点的横坐标是整数，求正整数k的值；
(2)若 ，两函数图象所有交点的横坐标都大于 ，求实数m的最大值．
69．（22-23九年级上·四川成都·期末）如图1，已知反比例函数 的图象与一次函数 的
图象相交于A（2，a），B两点．
(1)求反比例函数的表达式及A，B两点的坐标；
(2)M是x轴上一点，N是y轴上一点，若以A，B，M，N为顶点的四边形是以 为边的平行四边形，求
点M的坐标；
(3)如图2，反比例函数 的图象上有P，Q两点，点P的横坐标为 ，点Q的横坐标与点P的横
坐标互为相反数，连接 ， ， ， ．若 的面积是 的面积的3倍，求m的值．70．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图1，反比例函数 与一次函数 交于 ，B
两点．
(1)求反比例函数与一次函数的解析式；
(2)如图2，若点E是反比例函数第四象限上一点，当 面积最小时，在直线 上存在两点 ，
且 ，求四边形 周长的最小值？
(3)如图3，在（2）问条件下，连接 ，分别交y轴，x轴于C点，D点，连接 交x轴于点H，在反比
例函数上是否存在一点P，使 ？若存在，请求出点P的横坐标的范围；若不存在，请说明
理由．71．（23-24九年级上·湖南长沙·期末）定义：对于两个关于 的函数，如果存在 取某一值时，两个函数
的函数值相等，那么称两个函数互为“明盟函数”，其中 的值叫做这两个函数的“明盟点”，相等的函
数值叫做“明盟值”．例如：对于函数 与 ，当 时， ．因此， 、 互为
“明盟函数”， 是这两个函数的“明盟点”，“明盟值”为2．
(1)下列函数中是 的“明盟函数”的有 （填序号）；
① ；② ；③ ．
(2)已知函数 与函数 ，若 与 只存在一个“明盟点”，求 的值或取值
范围；
(3)若无论 取何值， （ 为常数），与函数 （ 为常数，
）始终是“明盟函数”，且只有一个“明盟点”，求 的值以及“明盟值”的范围．
72．（24-25九年级上·四川达州·期末）如图1，已知双曲线 ，直线 ：
，过定点 ，且与双曲线交于 、 两点，设A(x ,y )，B(x ,y ) ．
1 1 2 2
(1)若 ，求 的面积；
(2)若 ，求 的值；
(3)如图2，若 ，点 在双曲线上，点 在直线 ： 上，且 轴，求 的
最小值，并求出此时点 的坐标．题型六：反比例函数与几何综合
73．（22-23九年级上·山东济南·期末）如图，矩形 的顶点A、B分别在反比例函数 与
的图像上，点C、D在x轴上， 分别交y轴于点E、F，则阴影部分的面积等于
（ ）
A． B．2 C． D．
74．（23-24九年级上·广东江门·期末）如图，在平面直角坐标系中， 在x轴上， 在y轴上，点A的
坐标为(0,4)，将 绕点A逆时针旋转 得到 ，点C刚好在x轴上，点D在反比例函数
的图象上，则k的值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
75．（23-24九年级上·安徽宿州·期末）如图，点A在反比例函数 （ ）的图象上，点B在反比例
函数 的图象上，且 ．线段 交反比例函数 （ ）的图象于另一点C．连
按 ，若点C为 的中点，则 的值为（ ）A． B． C． D．
76．（23-24九年级上·四川绵阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，点 ，点 、 在 轴上，且
，将 绕点 逆时针旋转 后得到 ， 是 上一点，且 ，连接 、
，若 ，反比例函数 的图象恰好经过点 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
77．（24-25九年级上·全国·期末）如图，直线 与x轴交于B，与y轴交于A，点C在双曲线
上一点，且 是以 为底的等腰直角三角形， 于D，M、N分别是 上的一动
点，且 ．下列结论：① ；② ；③ ；④ 平分 ．其
中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
78．（23-24九年级上·四川成都·期末）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点 是函数 图象的“等值点”．设函数 ，
图象的等值点分别是A，B，过点B作 轴，垂足为点C，当 的面积为5时，b的值为
．
79．（23-24九年级上·安徽滁州·期末）如图，在平面直角坐标系中，在反比例函数 上取一点 ，连
接 ，作等腰 ．
（1） 的坐标为 ．
（2）若过点 作 交反比例函数图象于点 ，过点 作 交x轴于点 ，…，按此依
次作图，则 的坐标为 ．
80．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，在平面直角坐标系中．等边 的顶点A在第一象限，点
．双曲线 把 分成两部分，若 ．
（1）双曲线与边 ， 分别交于 ， 两点， 的值为 ．
（2）连接 ，则 的面积为 ．
81．（23-24九年级上·山东淄博·期末）如图，在反比例函数 图象的两支上分别取点 ， ，
过点 ， 分别作 轴于点 ， 轴于点 ，连接 ， ．若四边形 的面积为15，且
，则 ．82．（23-24九年级上·四川雅安·期末）如图，点 是反比例函数 上一点，过点 作 轴、
轴的垂线，分别交反比例函数 的图像于点 、 ，若 ， ，则点 的
坐标为 ．
83．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，曲线 是二次函数 图像的一部分（其中A
是抛物线与y轴的交点，B是抛物线顶点），曲线 是反比例函数 （ ）图像的一部分，A，C
两点的纵坐标相等，由点C开始不断重复“ ”的过程，形成一组波浪线．若点 是波浪线
上的点，则 ；若点 和 是波浪线上的点，则 的最大值为 ．
84．（22-23九年级上·广东深圳·期末）如图1，直线l与坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，与反比例函
数 （ ）的图像交于C，D两点（点C在点D的左边），过点C作 轴于点E，过点D
作 轴于点F， 与 交于点G（4，3）．(1)当点D恰好是 中点时，求此时点C的横坐标；
(2)如图2，连接 ，求证： ；
(3)如图3，将 沿 折叠，点G恰好落在边 上的点H处，求此时反比例函数的解析式．
85．（23-24九年级上·广东佛山·期末）阅读材料：有一边是另一边的 倍的三角形叫做卓越三角形，这两
边中较长边称为卓越边，这两边的夹角叫做卓越角．
(1)在 中， ，若 为卓越角， 为卓越边，则 的度数为________；
(2)如图①，卓越 中， ， 是卓越角， 为卓越边，若 ，求 的长；
(3)如图②，卓越 中， 为卓越边， 为卓越角，且 ，点 、 均在函数 的图
象上，点 在点 的上方，点 的纵坐标为 ．当 是直角三角形时，求 的值．86．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，已知一次函数 分别与 轴和反比例函数
交于点 ， ．
(1)求反比例和一次函数表达式；
(2)反比例图象上是否存在点 ，使得 的面积与 的面积相等，若存在，请求出点 的坐标；若
不存在，请说明理由；
(3)把一次函数 的直线绕 点旋转一定角度交反比例函数 的图象于另一点 ，交 轴
于点 ，当 时，求直线 的解析式．87．（23-24九年级上·江苏南通·期末）如图1，已知点A(a,0)， ，且a、b满足
，平行四边形 的边 与y轴交于点E，且E为 的中点，双曲线 上
经过C、D两点.
(1)求k的值；
(2)点P在双曲线 上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，直接写出
满足要求的所有点Q的坐标；
(3)以线段 为对角线作正方形 （如图3），点T是边 上一动点，M是 的中点， ，
交 于N，当T在 上运动时， 的值是否发生变化，若改变，请求出其变化范围；若不改变，请求
出其值.88．（23-24九年级上·广东茂名·期末）已知点 在反比例函数 的图象上，以 为边长作正方
形 ，使正方形顶点 在 轴上方， 与 轴的夹角为 ．
(1)如图1，当点 在 轴上时，求点 坐标；
(2)①如图2，当 时， 与 轴相交于点 ，若 ，求点 的坐标；
②如图3，当 时， 与 轴相交于点 ，若 ，求点 的坐标．
89．（23-24九年级上·湖南益阳·期末）如图，射线 在第一象限内，射线 在第二象限内， ，射线 与函数 交于点A，射线 与函数 交于点B，连接 ，根据下列条件解
答问题：
(1)如图，过点A作 轴于点D，过点B作 轴于点C，求证： ；
(2)如果点A的坐标是 ，求点B的坐标；
(3)当 在x轴的上方，绕着原点O转动的过程中， 的度数是否保持不变？如果不变，求
的值？如果变化，请说明理由．
90．（23-24九年级上·山东济宁·期末）通过构造恰当的图形，可以对线段长度、图形面积大小等进行比较，
直观地得到一些不等关系或最值，这是“数形结合”思想的典型应用．
【探究发现】
（1）如图1， ，垂足分别为C、D，点E 是 的中点，连接 ，已知 ，
．
①分别求出线段 、 的长（用含 a、b的代数式表示）；
②比较大小： ______ （填“<”、“>”），用含 a、b的代数式表示该大小关系为_______．
【类比应用】
（2）如图2，在平面直角坐标系 中，点 M、N在反比例函数 的图象上，横坐标分别为
m、n．设 记 ．
①当 ， 时， _______；当 ， 时， _______；②通过归纳猜想，可得 l的最小值是_______．
91．（23-24九年级上·山东济南·期末）在平面直角坐标系中，定义：横坐标与纵坐标均为整数的点为整点．
如图，已知双曲线 经过点 ，在第一象限内存在一点 ，满足 ．
(1)求 的值；
(2)如图 ，过点 分别作平行于 轴， 轴的直线 于点 、 ，记线段 、 、双曲线所围
成的区域为 （含边界），
当 时，区域 的整点个数为 ；
直线 过一个定点，若点 为此定点，直线上方（不包含直线）的区域记为 ，直
线下方（不包含直线）的区域记为 ，当 与 的整点个数之差不超过 时，请求出 的取值范围．92．（23-24九年级上·江苏南通·期末）如图，在平面直角坐标系 中，正方形 的顶点 分别
在x轴，y轴的正半轴上，对角线 ， 相交于点D，将正方形 绕点O逆时针旋转α（
）得正方形 ，点 的对应点分别是 ，函数
的图象记为图象G．
(1)当 ， 时，点 恰好在图象G上，求k的值；
(2)当点 同时在图象G上时，点 横坐标为4，求k的值；(3)点P为x轴上一动点，当 时，图象G过点D，且 的值最小时， ，求k的值．
93．（23-24九年级上·广西桂林·期末）如图，在平面直角坐标系中，点 是反比例函数 图
象上任意一点，点 是 轴正半轴上的任意一点．
(1)若点 是 上任意一点， ，试说明 ；
(2)在（1）的条件下，已知点 的横坐标为 ，点 的坐标 ，求点 的坐标；
(3)若点 的纵坐标为 ，点 的坐标 ， 上是否存在一点 使得 与 相似？若存在，求
点 的坐标；若不存在，请说明理由．94．（23-24九年级上·湖南张家界·期末）如图，矩形 的顶点 分别在 轴和 轴上，点 的坐标
为 ， 是边 上的一个动点（不与 重合），反比例函数 的图象经过点 且与边
交于点 ，连接 ．
(1)如图1，若点 是 的中点，求 点的坐标；
(2)如图2，若直线 与 轴， 轴分别交于点 ，连接 ，求证： ；
(3)如图3，将 沿 折叠，点 关于 的对称点为点 ，当点 不落在矩形 外部时，求 的
取值范围．
95．（23-24九年级上·广东佛山·期末）如图，矩形 的两个顶点A、B分别落在x、y轴上，顶点C、
D位于第一象限，且 ，对角线 交于点G，若曲线 经过点C、G．
(1)设 ，求点G的坐标（用含m、n的式子表示）；
(2)求点C的坐标；
(3)求矩形 的面积．
96．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）定义：在平面直角坐标系中，函数 的图象经过 的两个顶点，则函数 是 的“勾股函数”，函数 经过直角三角形的两个顶点的坐标分别为
且 当自变量x满足 时，此时函数 的最大值记为 ，最小值记为
，则 是 的“ ”值．
已知： 在平面直角坐标系中， ， ， 轴．
(1)如图， 若点 坐标为 ， ．
①一次函数 是 的“勾股函数”吗? 若是，说明理由并求出 的“ ”值，
若不是，请说明理由；
②是否存在反比例函数 是 的“勾股函数”，若存在，求出 值，不存在，说明理
由．
(2)若点 的坐标为 ， 点 的坐标为 ， 二次函数 是 的“勾股函数”．
①若二次函数 经过 两点，且与 的边有第三个交点，则 的取值范围是 ；
②若二次函数 经过 两点， 且 的“ ”值 求 的值．
97．（24-25九年级上·全国·期末）如图 ，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交
于点 ，与 轴交于点 ．
(1)求该一次函数的解析式；
(2)在 轴上有一点 ，直线AD与反比例函数图象交于点 ，连接CB．求 的面积；
(3)如图 ，以线段AB为对角线作正方形 ，点 是线段 上的一动点，点 是线段AB上的一动点，连接 、 ，使 ，当点 运动到 的三等分点时，求点 的坐标．
98．（24-25九年级上·全国·期末）已知点 在反比例函数 的图象上，点
在 轴上，连接 ，如图1，将 绕着 点顺时针旋转 至点 ，点 正好落在 轴上．
(1)求k的值和点 的坐标；
(2)若点 在反比例函数图象上，连接 并延长至点 ，使得 ，连接 ， ，
①如图2，连接 并延长交 轴于点 ，当 轴时，试说明 平分 ；
②如图3，连接 交 于点 ，将 沿着 翻折，记点 的对应点为 ，若点 恰好落在
线段 上，求 与 面积之比．
99．（23-24九年级上·辽宁丹东·期末）如图，点 和 是一次函数 的图象与反比例函
数 的图象的两个交点，直线 交y轴于点C．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)求 的面积；
(3)从下面A，B两题中任选一题作答．A．设y轴上有一点 ，点D是坐标平面内一个动点，当以点A，B，P，D为顶点的四边形是平行四边
形时，请直接写出符合条件的所有点D的坐标；
B．设点M是坐标平面内一个动点，点Q在y轴上运动，当以点A，C，Q，M为顶点的四边形是菱形时，
请直接写出点Q的坐标．
100．（22-23九年级上·四川成都·期中）如图，已知一次函数 与反比例函数 的图象相交于 ，
且 ，过点 作 轴于点 ，连接 ．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式，以及 点的坐标；
(2)将 沿 轴向左平移，对应得 ，当反比例函数图象经过 的中点 时；求 的面
积
(3)在第二象限内 点上方的双曲线上求一点 ，使得 ．
