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专题 03 导数及其应用
1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】函数 的图像在点 处的切线方程为
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】 ， ， ， ，
因此，所求切线的方程为 ，即 .
故选：B．
【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题.
2．【2020年高考全国III卷理数】若直线l与曲线y= 和x2+y2= 都相切，则l的方程为
A．y=2x+1 B．y=2x+
C．y= x+1 D．y= x+
【答案】D
【解析】设直线 在曲线 上的切点为 ，则 ，
函数 的导数为 ，则直线 的斜率 ，
设直线 的方程为 ，即 ，由于直线 与圆 相切，则 ，
两边平方并整理得 ，解得 ， (舍)，
则直线 的方程为 ，即 .
故选：D．
【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题.
3．【2020年高考北京】为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达
标的企业要限期整改、设企业的污水摔放量W与时间t的关系为 ，用 的大小评
价在 这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的
关系如下图所示.
给出下列四个结论：
①在 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
②在 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
③在 时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；
④甲企业在 这三段时间中，在 的污水治理能力最强．
其中所有正确结论的序号是____________________．【答案】①②③
【解析】 表示区间端点连线斜率的负数，
在 这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能
力比乙企业强；①正确；
甲企业在 这三段时间中，甲企业在 这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最
大，即在 的污水治理能力最强．④错误；
在 时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙
企业强；②正确；
在 时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；③正确；
故答案为：①②③
【点睛】本题考查斜率应用、切线斜率应用、函数图象应用，考查基本分析识别能力，属中档题.
4．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数 .
(1)当a=1时，讨论f(x)的单调性；
(2)当x≥0时，f(x)≥ x3+1，求a的取值范围.
【解析】(1)当a=1时，f(x)=ex+x2–x，则 =ex+2x–1．
故当x∈(–∞，0)时， <0；当x∈(0，+∞)时， >0．所以f(x)在(–∞，0)单调递减，在(0，+∞)
单调递增．
(2) 等价于 .
设函数 ，则.
(i)若2a+1≤0，即 ，则当x∈(0，2)时， >0.所以g(x)在(0，2)单调递增，而g(0)=1，故当
x∈(0，2)时，g(x)>1，不合题意.
(ii)若 0<2a+1<2，即 ，则当 x∈(0，2a+1)∪(2，+∞)时，g'(x)<0；当 x∈(2a+1，2)时，
g'(x)>0.所以g(x)在(0，2a+1)，(2，+∞)单调递减，在(2a+1，2)单调递增.由于g(0)=1，所以g(x)≤1当且
仅当g(2)=(7−4a)e−2≤1，即a≥ .
所以当 时，g(x)≤1.
(iii)若2a+1≥2，即 ，则g(x)≤ .
由于 ，故由(ii)可得 ≤1.
故当 时，g(x)≤1.
综上，a的取值范围是 .
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对
导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联
系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极
值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．
5．【2020年高考全国Ⅱ卷理数】已知函数 ．
(1)讨论f(x)在区间(0，π)的单调性；
(2)证明： ；(3)设 ，证明： ．
【解析】(1)
．
当 时， ；当 时， ．
所以 在区间 单调递增，在区间 单调递减．
(2)因为 ，由(1)知， 在区间 的最大值为 ，
最小值为 ．而 是周期为 的周期函数，故 ．
(3)由于
，
所以 ．
6．【2020年高考全国Ⅲ卷理数】设函数 ，曲线 在点( ，f( ))处的切线与y轴
垂直．
(1)求B．
(2)若 有一个绝对值不大于1的零点，证明： 所有零点的绝对值都不大于1．【解析】(1) ．
依题意得 ，即 .
故 ．
(2)由(1)知 ， .
令 ，解得 或 .
与 的情况为：
x
+ 0 – 0 +
因为 ，所以当 时， 只有大于1的零点.
因为 ，所以当 时，f(x)只有小于–1的零点．
由题设可知 ，
当 时， 只有两个零点 和1.
当 时， 只有两个零点–1和 .
当 时， 有三个等点x，x，x，且 ， ， ．
1 2 3
综上，若 有一个绝对值不大于1的零点，则 所有零点的绝对值都不大于1.
7．【2020年高考天津】已知函数 ， 为 的导函数．
(Ⅰ)当 时，
(i)求曲线 在点 处的切线方程；(ii)求函数 的单调区间和极值；
(Ⅱ)当 时，求证：对任意的 ，且 ，有 ．
【解析】(Ⅰ)(i)当 时， ，故 ．可得 ， ，所以
曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ．
(ii)依题意， ．从而可得 ，整理可
得 ．令 ，解得 ．
当 变化时， 的变化情况如下表：
1
- 0 +
↘ 极小值 ↗
所以，函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ； 的极小值为 ，无
极大值．
(Ⅱ)证明：由 ，得 ．
对任意的 ，且 ，令 ，则． ①
令 ．当 时， ，由此可得
在 单调递增，所以当 时， ，即 ．
因为 ， ，
所以，
． ②
由(Ⅰ)(ii)可知，当 时， ，即 ，
故 ． ③
由①②③可得 ．所以，当 时，对任意的
，且 ，有 ．
8．【2020年高考北京】已知函数 ．
(Ⅰ)求曲线 的斜率等于 的切线方程；
(Ⅱ)设曲线 在点 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 ，求 的最小值．【解析】(Ⅰ)因为 ，所以 ，
设切点为 ，则 ，即 ，所以切点为 ，
由点斜式可得切线方程 为： ，即 .
(Ⅱ)显然 ，
因为 在点 处的切线方程为： ，
令 ，得 ，令 ，得 ，
所以 ，
不妨设 时，结果一样 ，
则 ，
所以
，
由 ，得 ，由 ，得 ，
所以 在 上递减，在 上递增，
所以 时， 取得极小值，
也是最小值为 .
【点睛】本题考查了利用导数的几何意义求切线方程，考查了利用导数求函数的最值，属于中档题.9．【2020年高考浙江】已知 ，函数 ，其中e=2.71828…是自然对数的底数．
(Ⅰ)证明：函数 在 上有唯一零点；
(Ⅱ)记x 为函数 在 上的零点，证明：
0
(ⅰ) ；
(ⅱ) ．
【解析】(Ⅰ)因为 ， ，所以 在 上存在零点．
因为 ，所以当 时， ，故函数 在 上单调递增，
所以函数以 在 上有唯一零点．
(Ⅱ)(ⅰ)令 ， ，
由(Ⅰ)知函数 在 上单调递增，故当 时， ，
所以函数 在 单调递增，故 ．
由 得 ，
因为 在 单调递增，故 ．
令 ， ，
令 ， ，所以
故当 时， ，即 ，所以 在 单调递减，
因此当 时， ．由 得 ，
因为 在 单调递增，故 ．
综上， ．
(ⅱ)令 ， ，所以当 时， ，
故函数 在区间 上单调递增，因此 ．
由 可得 ，
由 得 ．
10．【2020年高考江苏】某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O在水平
线MN上，桥AB与MN平行， 为铅垂线( 在AB上)．经测量，左侧曲线AO上任一点D到MN
的距离 (米)与D到 的距离a(米)之间满足关系式 ；右侧曲线BO上任一点F到MN的距
离 (米)与F到 的距离b(米)之间满足关系式 .已知点B到 的距离为40米．
(1)求桥AB的长度；
(2)计划在谷底两侧建造平行于 的桥墩CD和EF，且CE为80米，其中C，E在AB上(不包括端
点)．.桥墩EF每米造价k(万元)、桥墩CD每米造价 (万元)(k>0)，问 为多少米时，桥墩CD与
EF的总造价最低？
【解析】(1)设 都与 垂直， 是相应垂足.由条件知，当 时，
则 .
由 得
所以 (米).
(2)以 为原点， 为 轴建立平面直角坐标系 (如图所示).
设 则
.
因为 所以 .
设 则
所以
记桥墩 和 的总造价为 ，
则
，
令 得所以当 时， 取得最小值.
答：(1)桥 的长度为120米；
(2)当 为20米时，桥墩 和 的总造价最低.
【点睛】本题考查实际成本问题、利用导数求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.
11．【2020年高考江苏】已知关于x的函数 与 在区间D上恒有
．
(1)若 ，求h(x)的表达式；
(2)若 ，求k的取值范围；
(3)若
求证： ．
【解析】(1)由条件 ，得 ，
取 ，得 ，所以 ．
由 ，得 ，此式对一切 恒成立，
所以 ，则 ，此时 恒成立，
所以 ．
(2) .
令 ，则 令 ，得 .
所以 .则 恒成立，所以当且仅当 时， 恒成立．
另一方面， 恒成立，即 恒成立，
也即 恒成立．
因为 ，对称轴为 ，
所以 ，解得 ．
因此，k的取值范围是
(3)①当 时，
由 ，得 ，整理得
令 则 ．
记
则 恒成立，
所以 在 上是减函数，则 ，即 ．
所以不等式 有解，设解为 ，
因此 ．
②当 时，
．
设 ，
令 ，得 ．当 时， ， 是减函数；
当 时， ， 是增函数．
， ，则当 时， ．
(或证： ．)
则 ，因此 ．
因为 ，所以 ．
③当 时，因为 ， 均为偶函数，因此 也成立．
综上所述， ．
【点睛】本小题主要考查利用的导数求切线方程，考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查利用导
数证明不等式，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.
12．【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知函数 ．
(1)当 时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
(2)若f(x)≥1，求a的取值范围．
【解析】 的定义域为 ， ．
(1)当 时， ， ，
曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ．
直线 在 轴， 轴上的截距分别为 ， ．
因此所求三角形的面积为 ．
(2)当 时， ．当 时， ， ．
当 时， ；当 时， ．
所以当 时， 取得最小值，最小值为 ，从而 ．
当 时， ．
综上， 的取值范围是 ．
【点睛】本题考查导数几何意义、利用导数研究不等式恒成立问题，考查综合分析求解能力，分类讨
论思想和等价转化思想，属较难试题.
1．【2020·湖北省高三其他(理)】已知函数 ，对任意 ， ，
，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是
A． ， B． ，
C． ， D．
【答案】A
【解析】结合题意，显然 ，
，
由 ， ， ，得 ， ， ，
故 ， 在 ， 递增，
故 (1) ， ，
对任意 ， ， ，不等式 恒成立，即 ，
，即 ，解得： ，
故选：A．
【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，也考查了数学转化思想方法，以及利用导数判断函数的单调性
问题，属于中档题．
2．【2020·四川省南充高级中学高三月考(理)】已知 是曲线 ： 上任意一点，点 是曲线 ：
上任意一点，则 的最小值是
A． B．
C．2 D．
【答案】D
【解析】曲线 ： ，求导得 ，易知 在点 处切线方程为 .
下面证明 恒成立.
构造函数 ，求导得 ，则 时， ， 单调递减；
时， ， 单调递增.
故函数 ，即 恒成立.
又 ： ，求导得 ，当 时， ，且 过点 ，故 在点 处
的切线方程为 .下面证明 在 上恒成立.
令 ，则 ，
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增，
所以 ，即 ，
则 ，即 在 上恒成立.
因为 ，且平行线 与 之间的距离为 ，所以 的最小
值为 .
故选：D．
【点睛】本题考查曲线的切线的应用，考查平行线间距离的计算，考查函数单调性的应用，考查学生的
计算求解能力与推理论证能力，属于难题.
3．【2020·河南省高三月考(理)】设函数 是函数 的导函数，当 时，
，则函数 的零点个数为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设 ，则 .
当 时， ，当 时， ，故 ，所以，函数 在 上单调递减；
当 时， ，故 ，所以，函数 在 上单调递增.
所以 ，所以，函数 没有零点，
故 也没有零点.
故选：D．
【点睛】本题考查函数零点个数的判断， 解题的关键就是要结合导数不等式构造新函数，并利用导数
分析函数的单调性与最值，必要时借助零点存在定理进行判断，考查分析问题和解决问题的能力，属于
中等题.
4．【2019·河北省高三月考(理)】若函数 有两个不同的极值点，则实数 的取值
范围是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】 的定义域是(0，+∞)，
，
若函数 有两个不同的极值点，
则 在(0，+∞)由2个不同的实数根，
故 ，解得： ，
故选D．
【点睛】本题考查了函数的极值问题，考查导数的应用以及二次函数的性质，是一道中档题．
5 ． 【 黑 龙 江 省 2020 届 高 三 理 科 5 月 数 学 模 拟 试 卷 】 已 知 定 义 域 为 R 的 函 数 f(x) 满 足，其中f′(x)为f(x)的导函数，则不等式f(sinx)﹣cos2x≥0的解集为
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设g(x)＝f(x)+2x2﹣1，∴g′(x)＝f′(x)+4x＞0在R上恒成立，
∴g(x)在R上单调递增，不等式f(sinx)﹣cos2x＝f(sinx)+2sin2x﹣1，且g( )＝0，
不等式f(sinx)﹣cos2x≥0，∴g(sinx)≥g( )，sinx ，
∴ 2kx≤x ，k∈Z．故选：D．
[来源:Zxxk.Com]
6．【2020届四川省宜宾市高三高考适应性考试(三诊)数学(理科)试题】已知函数 ，则
关于 的方程 ( )的实根个数为
A． B． 或 C． 或 D． 或
【答案】A
【解析】∵函数
∴ ，
令 得： 或 ，
∴当 时， ，函数 单调递增；当 时， ，函数 单
调递减；当 时， ，函数 单调递增，又 ， ，
∴函数 的大致图象，如图所示：
[来源:学_科_网Z_X_X_K]
，
令 ，则关于 的方程 变为 ，
∵ ，∴方程 有两个不相等的实根．设为 ,
由韦达定理得： , ，不妨设 ， ，
①当 时，∵ ，∴ ，此时关于 的方程 的实根个数为
3个，
②当 ，∵ ，∴ ，此时关于 的方程 的实根个数
为3个，
③当 ，∵ ，∴ ，此时关于 的方程 的实根个数
为3个，
综上所述，关于 的方程 的实根个数为3个，故选：A．
7．【湖北省武汉市部分学校2020届高三上学期起点质量监测(理)】已知 ， ，，则 ， ， 的大小关系是
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】对于 的大小： ， ，明显 ；
对于 的大小：构造函数 ，则 ，
当 时， 在 上单调递增，
当 时， 在 上单调递减，
，即 ， ，
对于 的大小： ， ， ， ，
故选：B．
【点睛】将 两两变成结构相同的对数形式，然后利用对数函数的性质判断，对于结构类似的，可
以通过构造函数来比较大小，此题是一道中等难度的题目.
8．【甘肃省天水市一中2020届高三第一次模拟考试(理)】设定义在 上的函数 的导函数为 ，
若 ， ，则不等式 (其中 为自然对数的底数)的解
集为
A． B．
C． D．
【答案】A【解析】设 ，
则 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ 是 上的增函数，
又 ，
∴ 的解集为 ，
即不等式 的解集为 .
故选A．
【点睛】本题考查导数与函数单调性的关系，构造函数 是解题的关键.
9．【2020届山西省高三高考考前适应性测试数学(理)试题】已知函数 (其中 且
)有零点，则实数 的最小值是______.
【答案】
【解析】由 存在零点，即函数 与 的图象有公共点.
当 时，两图象显然有公共点；当 时，由图可知， 最小时，
两图象均与直线 相切，此时，设切点坐标为 ，则 ∴ ∴ ∴
[来源:学*科*网]
∴ ，∴ ，∴ ，∴ .故答案为： .
10．【2020·湖北省高三其他(理)】函数 (其中 )的图象在 处的切线方程是
_____．
【答案】
【解析】由 ，得 ，所以切线的斜率 ，
所以切线方程为 ，即 .
故答案为：
【点睛】本题主要考查在一点处的切线方程的求法，同时考查常见函数的导数及两个函数积的导数，
属于基础题.
11．【2020·广西壮族自治区高三其他(理)】函数 在 处的切线在 轴上的截距为
____________．
【答案】【解析】对函数 求导得 ，
所以，函数 在 处的切线方程为 ，即 ，
因此，函数 在 处的切线在 轴上的截距为 .
故答案为： .
【点睛】本题考查直线在 轴上的截距的求解，考查了利用导数求函数的切线方程，考查计算能力，
属于基础题.
12．【2019·天津市静海区大邱庄中学高三月考】已知 ，则方程 恰有2个
不同的实根，实数 取值范围__________________.
【答案】
【解析】问题等价于当直线 与函数 的图象有 个交点时，求实数 的取值范围．
作出函数 的图象如下图所示：
先考虑直线 与曲线 相切时， 的取值，
设切点为 ，对函数 求导得 ，切线方程为 ，即 ，则有 ，解得 .
由图象可知，当 时，直线 与函数 在 上的图象没有公共点，在 有
一个公共点，不合乎题意；
当 时，直线 与函数 在 上的图象没有公共点，在 有两个公共
点，合乎题意；
当 时，直线 与函数 在 上的图象只有一个公共点，在 有两个
公共点，不合乎题意；
当 时，直线 与函数 在 上的图象只有一个公共点，在 没有公共点，
不合乎题意.
综上所述，实数 的取值范围是 ，故答案为 .
【点睛】本题考查函数的零点个数问题，一般转化为两个函数图象的交点个数问题，或者利用参变量
分离转化为参数直线 与定函数 图象的交点个数问题，若转化为直线(不恒与 轴垂直)
与定函数图象的交点个数问题，则需抓住直线与曲线相切这些临界位置，利用数形结合思想来进行分
析，考查分析问题的能力和数形结合数学思想的应用，属于难题．
13．【2020·天津市武清区杨村第一中学高三开学考试】已知函数 ，
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)当 ，讨论 的零点个数；【解析】∵ ∴ 为偶函数，
只需先研究 ,
,
,
当 ， ，当 ， ，
所以 在 单调递增，在 ，单调递减,
所以根据偶函数图象关于 轴对称，
得 在 单调递增，在 单调递减，
.故 单调递减区间为： ， ；单调递增区间为： ， .
(2) ,
① 时， 在 恒成立,
∴ 在 单调递增
又 ，所以 在 上无零点
② 时， ，
使得 ，即 .
又 在 单调递减，
所以 ， ， ，所以 ， 单调递增， ， 单调递减，
又 ，
(i) ，即 时
在 上无零点，
又 为偶函数，所以 在 上无零点，
(ii) ，即 .
在 上有1个零点，
又 为偶函数，所以 在 上有2个零点，
综上所述，当 时， 在 上有2个零点，当 时， 在 上无零点.
【点睛】本题考查偶函数的性质，利用导数求函数的单调区间，利用导数研究函数的零点个数问题，涉
及分类讨论的思想，属于中档题.
14．【2020·福建省福州第一中学高三其他(理)】已知函数 ， .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若存在直线 ，使得对任意的 ， ，对任意的 ，
，求 的取值范围.
【答案】(1)当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 上单调递增，在上单调递减；(2) .
【解析】(1)函数 的定义域为 .
(i)若 ，则 ；
(ii)若 ，则由 得 ，由 得 ；
综上：当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减.
(2)设存在直线 满足题意.
(i)由 ，即 对任意的 都成立，得 ，所
以 ，
(ii)令 ，
，
①若 ，则 ， 单调递增， ，不合题意；
②若 ，则 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，所以 ，即 ，
由(i)得 ，
即 ，
令 ， ，
，所以 单调递增，
又因为 ，所以 在 是单调递减， 是单调递减，所以
，所以 .
【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性及最值问题，属于能力提升题.
15．【2020·广西壮族自治区高三其他(理)】设函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若 存在极值，对于任意 ，都有 恒成立，求 的取值范围．
【答案】(1)答案见解析；(2) .
【解析】(1) ， ，
①当 时， ，
即 ，所以 在 上是增函数；
②当 时，令 ，
则 ，∴ ， ，
所以 时， ，
时， ，
所以 在 上是减函数，
在 上是增函数；
(2)由 存在极值知 ，
“对于任意 ，都有 恒成立”等价于
“对于任意 ，都有 恒成立”，
设 ， ，
则 ， ，
设 ， ，
则 ， ，
所以 在 上是减函数，
又 ，所以 时，
， 时， ，所以 在 上是增函数， 在 上是减函数，
所以 ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性，导数与不等式恒成立，还考查了分类讨论的思想和运算
求解的能力，属于难题.
16．【2020·南昌市八一中学高三三模(理)】已知函数 ， .
(1)当 时，总有 ，求 的最小值；
(2)对于 中任意 恒有 ，求 的取值范围.
【答案】(1)1；(2) .
【解析】(1)令 ，
则 ，
在 上单调递增，且
若 ，则 在 上单调递增， ，即 满足条件；
若 存在单调递减区间 ，又 ，
所以存在 使得 与已知条件矛盾，所以 ， 的最小值为1.
(2)由(1)知 ，如果 ，则必有 成立.
令 ，
则 ，即 .若 ，必有 恒成立，
故当 时， 恒成立，
下面证明 时， 不恒成立.
令 ， ，
当 时， ， 在区间 上单调递增
故 ，即 ，故 .
，
令 ， ，
所以 在 上单调递增，又 ，则一定存在区间 (其中 )，
当 时， ，
则 ，故 不恒成立.
综上所述：实数 取值范围是 .
【点睛】本题考查利用导数解决不等式恒成立问题，考查学生的逻辑推理能力和计算能力，属于难题.
17．【2020·河北省衡水中学高三其他(理)】已知函数 且 .
(1)求a；
(2)证明： 存在唯一的极大值点 ，且 .
【答案】(1)a=1；(2)见解析.
【解析】(1)因为f(x)＝ax2﹣ax﹣xlnx＝x(ax﹣a﹣lnx)(x＞0)，
则f(x)≥0等价于h(x)＝ax﹣a﹣lnx≥0，求导可知h′(x)＝a ．
则当a≤0时h′(x)＜0，即y＝h(x)在(0，+∞)上单调递减，所以当x＞1时，h(x)＜h(1)＝0，矛盾，故a＞0．
0 0
因为当0＜x 时h′(x)＜0、当x 时h′(x)＞0，
所以h(x) ＝h( )，
min
又因为h(1)＝a﹣a﹣ln1＝0，
所以 1，解得a＝1；
另解：因为f(1)＝0，所以f(x)≥0等价于f(x)在x＞0时的最小值为f(1)，
所以等价于f(x)在x＝1处是极小值，
所以解得a＝1；
(2)证明：由(1)可知f(x)＝x2﹣x﹣xlnx，f′(x)＝2x﹣2﹣lnx，
令f′(x)＝0，可得2x﹣2﹣lnx＝0，记t(x)＝2x﹣2﹣lnx，则t′(x)＝2 ，
令t′(x)＝0，解得：x ，
所以t(x)在区间(0， )上单调递减，在( ，+∞)上单调递增，
所以t(x) ＝t( )＝ln2﹣1＜0，从而t(x)＝0有解，即f′(x)＝0存在两根x，x，
min 0 2
且不妨设f′(x)在(0，x)上为正、在(x，x)上为负、在(x，+∞)上为正，
0 0 2 2
所以f(x)必存在唯一极大值点x，且2x﹣2﹣lnx＝0，
0 0 0
所以f(x) x﹣xlnx x+2x﹣2 x ，
0 0 0 0 0 0 0
由x 可知f(x)＜(x ) ；
0 0 0 max
由f′( )＜0可知x ，
0所以f(x)在(0，x)上单调递增，在(x， )上单调递减，
0 0
所以f(x)＞f( ) ；
0
综上所述，f(x)存在唯一的极大值点x，且e﹣2＜f(x)＜2﹣2．
0 0
【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力，考查转化思想，注意解题方法的积
累，属于难题．
18．【2019·山东省实验中学高三月考】已知函数：
(I)当 时，求 的最小值；
(II)对于任意的 都存在唯一的 使得 ，求实数a的取值范围．
【答案】(I)答案不唯一，见解析(II)
【解析】(I)
时， 递增， ,
时， 递减， ，
时， 时 递减，
时 递增，
所以
综上，当 ；当
当
(II)因为对于任意的 都存在唯一的 使得 成立,
所以 的值域是 的值域的子集.
因为
递增， 的值域为
(i)当 时， 在 上单调递增，
又 ，
所以 在[1,e]上的值域为 ,
所以 ，
即 ，
(ii)当 时，因为 时， 递减， 时， 递增，且
，
所以只需即 ，所以
(iii)当 时，因为 在 上单调递减，且 ，
所以不合题意.
综合以上，实数 的取值范围是 .
【点睛】本题考查了利用导数求函数的最值,分类讨论思想,等价转化思想,本题属于难题.
解题方法总结:
像”对于任意的 都存在唯一的 使得 ，”已知条件,一般是转化为两
个函数的值域得包含关系,口诀是:任意是存在的子集.
19．【2020·河北新乐市第一中学高三其他】设函数 ，其中e为自然对数的底数．
(1)若曲线 在y轴上的截距为 ，且在点 处的切线垂直于直线 ，求实数a，b的值；
(2)记 的导函数为 ，求 在区间 上的最小值 ．
【答案】(1)实数a，b的值分别为1， ；(2)
【解析】 Ⅰ 曲线 在y轴上的截距为 ，则过点 ，
代入 ，
则 ，则 ，求导 ，
由 ，即 ，则 ，
实数a，b的值分别为1， ；Ⅱ ， ， ，
当 时， ， ， 恒成立，
即 ， 在 上单调递增，
．
当 时， ， ， 恒成立，
即 ， 在 上单调递减，
当 时， ，得 ，
在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
【点睛】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程 考查发现问题解决问
题的能力．
20．【2020·山东省高三其他】已知函数 .
(1)若 ， ，求 的最大值；
(2)当 时，讨论 极值点的个数.【答案】(1) (2) 时， 极值点的个数为0个； 时， 极值
点的个数为2个
【解析】(1)当 ， 时， ，
此时，函数 定义域为 ， ，
由 得： ；由 得： ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减.
所以 .
(2)当 时，函数 定义域为 ，
，
①当 时， 对任意的 恒成立，
在 上单调递减，所以此时 极值点的个数为0个；
②当 时，设 ，
(i)当 ，即 时，
对任意的 恒成立，即 在 上单调递减，
所以此时 极值点的个数为0个；
(ii)当 ，即 时，记方程 的两根分别为 ， ，
则 ， ，所以 ， 都大于0，
即 在 上有2个左右异号的零点，所以此时 极值点的个数为2.
综上所述 时， 极值点的个数为0个；
时， 极值点的个数为2个.
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的性质，确定函数的最大值和极值点的个数，考查了分类讨论
思想、逻辑思维能力和运算能力，属于中档题.
21．【2020·宜宾市叙州区第一中学校高三一模(理)】设函数 ， ，其中 ，
是自然对数的底数．
(1)若 在 上存在两个极值点，求 的取值范围；
(2)若 ， ，函数 与函数 的图象交于 ， ，
且 线段的中点为 ，证明： ．
【答案】(1) ；(2)见解析.
【解析】(1) 的定义域为 ， ，
则 在 上存在两个极值点等价于 在 上有两个不等实根，
由 ，解得 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
当 时， ，故函数 在 上单调递减，且 ，
所以，当 时， ， ， 单调递增，当 时， ， ， 单调递减，
所以， 是 的极大值也是最大值，
所以 ，所以 ，
又当 时， ，当 时， 大于0且趋向于0，
要使 在 有两个根，则 ；
(2)证明： ，
由 ，得 ，则 ，
要证 成立，
只需证 ，即 ，
即 ，
设 ，即证 ，
要证 ，只需证 ，
令 ，则 ，
所以 在 上为增函数，所以 ，即 成立；
要证 ，只需证 ，令 ，则 ，
所以 在 上为减函数，
所以 ，即 成立；
所以 成立，即 成立.
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数的最值及分析法证明不等式，考查学
生的转化与化归能力，分析问题和解决问题的能力，难度较大.构造函数是求解导数问题的常用方法.
22．【山东师范大学附属中学2020届高三年级学习质量评估考试数学试题】已知函数
.
(1 )若b=0，曲线f(x)在点(1, f(1)) 处的切线与直线y= 2x平行,求a的值;
(2)若b=2，且函数f(x)的值域为 求a的最小值.
【解析】(1)当 时， ， ，
由 ，得 ，
即 ， 解得 或 .
当 时， ，此时直线 恰为切线，故舍去，所以 .
(2)当 时， ，设 ，则 ，
故函数 可化为 .
由 ,可得 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ，
所以 的最小值为 ， 此时 ，函数的 的值域为 ，
问题转化为当 时， 有解，即 ，得 ，设 ，则 ，
故 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ，
所以 的最小值为 ，故 的最小值为 .
23．【2020届河南省开封市第五中学高三第四次教学质量检测数学(理)试卷】已知函数
， 的最大值为 ．
(1)求实数b的值；
(2)当 时，讨论函数 的单调性；
(3)当 时，令 ，是否存在区间 ， ，使得函数
在区间 上的值域为 ？若存在，求实数k的取值范围；若不存在，请
说明理由．
【解析】(1) 由题意得 ，令 ，解得 ，
当 时， ，函数 单调递增；当 时， ，函数 单
调递减.
所以当 时， 取得极大值，也是最大值，所以 ，解得 .
(2) 的定义域为 .
,① 即 ,则 ，故 在 单调增;
②若 ,而 ,故 ,则当 时， ;
当 及 时，
故 在 单调递减，在 单调递增．
③若 ,即 ,同理 在 单调递减，在 单调递增
(3)由(1)知 ，
所以 ，令 ，则 对 恒成
立，所以 在区间 内单调递增， 所以 恒成立，
所以函数 在区间 内单调递增.
假设存在区间 ，使得函数 在区间 上的值域是 ，
则 ，
问题转化为关于 的方程 在区间 内是否存在两个不相等的实根，
即方程 在区间 内是否存在两个不相等的实根，
令 ， ，则 ，
设 ， ，则 对
恒成立，所以函数 在区间 内单调递增，故 恒成立，所以 ，所以函数 在区间 内单调递增，所以方程
在区间 内不存在两个不相等的实根.
的
综上所述，不存在区间 ，使得函数 在区间 上 值域是
.
