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专题 09 概率与统计
1．【2020年高考全国Ⅰ卷文数】设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到
的3点共线的概率为
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】如图，从 5个点中任取3个有： ，
， 共 种不同取法，
3点共线只有 与 共2种情况，
由古典概型的概率计算公式知，取到3点共线的概率为 .
故选A.
【点晴】本题主要考查古典概型的概率计算问题，采用列举法，考查学生数学运算能力，是一道容易题.
2．【2020年高考全国Ⅰ卷文数】某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率 y和温度x(单位：℃)
的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据 得到下面的散
点图：由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程
类型的是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，
因此，最适合作为发芽率 和温度 的回归方程类型的是 .
故选：D.
【点睛】本题考查函数模型的选择，主要观察散点图的分布，属于基础题.
3．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】设一组样本数据x，x，…，x 的方差为0.01，则数据10x，10x，…，
1 2 n 1 2
10x 的方差为
n
A．0.01 B．0.1 C．1 D．10
【答案】C
【解析】因为数据 的方差是数据 的方差的 倍，
所以所求数据方差为
故选：C
【点睛】本题考查方差，考查基本分析求解能力，属基础题.
4．【2020年新高考全国Ⅰ卷】某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有 96%的学生喜欢足球或游泳，
60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数
的比例是
A．62% B．56%C．46% D．42%
【答案】C
【解析】记“该中学学生喜欢足球”为事件 ，“该中学学生喜欢游泳”为事件 ，则“该中学学生
喜欢足球或游泳”为事件 ，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件 ，
则 ， ， ，
所以
所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为 .
故选：C.
【点睛】本题考查了积事件的概率公式，属于基础题.
5．【2020年高考江苏】已知一组数据 的平均数为4，则 的值是 ▲ ．
【答案】2
【解析】∵数据 的平均数为4
∴ ，即 .
故答案为：2.
【点睛】本题主要考查平均数的计算和应用，比较基础．
6．【2020年高考江苏】将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的
概率是_____.
【答案】
【解析】根据题意可得基本事件数总为 个.
点数和为5的基本事件有 ， ， ， 共4个.
∴出现向上的点数和为5的概率为 .
故答案为： .【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7．【2020年高考天津】从一批零件中抽取80个，测量其直径(单位： )，将所得数据分为9组：
，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取
的零件中，直径落在区间 内的个数为
A．10 B．18
C．20 D．36
【答案】B
【解析】根据直方图，直径落在区间 之间的零件频率为： ，
则区间 内零件的个数为： .
故选：B.
【点睛】本题主要考查频率分布直方图的计算与实际应用，属于中等题.
8.【2020年高考天津】已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为 和 ．假定两球是否落入盒子互不影响，
则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________．【答案】
【解析】甲、乙两球落入盒子的概率分别为 ，
且两球是否落入盒子互不影响，
所以甲、乙都落入盒子 概的率为 ，
甲、乙两球都不落入盒子的概率为 ，
所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为 .
故答案为： ； .
【点睛】本题主要考查独立事件同时发生的概率，以及利用对立事件求概率，属于基础题.
9．【2020年高考全国Ⅰ卷文数】某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A，
B，C，D四个等级.加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元，
50元，20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.
甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，
在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：
甲分厂产品等级的频数分布表
等级 A B C D
频数 40 20 20 20
乙分厂产品等级的频数分布表
等级 A B C D
频数 28 17 34 21
(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；
(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承
接加工业务?
【解析】(1)由试加工产品等级的频数分布表知，甲分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为 ；
乙分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为 .
(2)由数据知甲分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为
利
65 25 −5 −75
润
频
40 20 20 20
数
因此甲分厂加工出来的100件产品的平均利润为
.
由数据知乙分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为
利润 7 30 0 −70
0
频数 2 17 3 21
8 4
因此乙分厂加工出来的100件产品的平均利润为
.
比较甲乙两分厂加工的产品的平均利润，应选甲分厂承接加工业务.
【点睛】本题主要考查古典概型的概率公式的应用，以及平均数的求法，并根据平均值作出决策，属
于基础题．
10．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．
为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样
的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(x，y)(i=1，2，…，20)，其中x和y分别表示第i个样
i i i i
区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得
， ， ， ， ．
(1)求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平
均数乘以地块数)；
(2)求样本(x，y)(i=1，2，…，20)的相关系数(精确到0.01)；
i i
(3)根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大．为提高样本的代表性以获得该地区这种野生
动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．附：相关系数r= ， ≈1.414．
【解析】(1)由己知得样本平均数 ，从而该地区这种野生动物数量的估计值为
60×200=12000．
(2)样本 的相关系数
．
(3)分层抽样：根据植物覆盖面积的大小对地块分层，再对200个地块进行分层抽样．
理由如下：由(2)知各样区的这种野生动物数量与植物覆盖面积有很强的正相关．由于各地块间植物覆
盖面积差异很大，从而各地块间这种野生动物数量差异也很大，采用分层抽样的方法较好地保持了样
本结构与总体结构的一致性，提高了样本的代表性，从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的
估计．
【点晴】本题主要考查平均数的估计值、相关系数的计算以及抽样方法的选取，考查学生数学运算能
力，是一道容易题.
11．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到
某公园锻炼的人次，整理数据得到下表(单位：天)：
锻炼人次
[0,200] (200,400] (400,600]
空气质量等级
1(优) 2 16 25
2(良) 5 10 12
3(轻度污染) 6 7 8
4(中度污染) 7 2 0
(1)分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；
(2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；
(3)若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称
这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？
人次≤400 人次>400
空气质量好
空气质量不好
附： ，
P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
【解析】(1)由所给数据，该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率的估计值如下表：
空气质量等级 1 2 3 4
概率的估计值 0.43 0.27 0.21 0.09
(2)一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为
．
(3)根据所给数据，可得 列联表：
人次≤400 人次>400
空气质量好 33 37
空气质量不好 22 8
根据列联表得
．
由于 ，故有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关．
【点睛】本题考查利用频数分布表计算频率和平均数，同时也考查了独立性检验的应用，考查数据处
理能力，属于基础题.
12．【2020年新高考全国Ⅰ卷】
为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了 天空气中
的 和 浓度(单位： )，得下表：32 18 4
6 8 12
3 7 10
(1)估计事件“该市一天空气中 浓度不超过 ，且 浓度不超过 ”的概率；
(2)根据所给数据，完成下面的 列联表：
(3)根据(2)中的列联表，判断是否有 的把握认为该市一天空气中 浓度与 浓度有关？
附： ，
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
【解析】(1)根据抽查数据，该市100天的空气中PM2.5浓度不超过75，且 浓度不超过150的天数
为 ,因此,该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且 浓度不超过150的概率的估
计值为 ．
(2)根据抽查数据，可得 列联表：
64 16
10 10
(3)根据(2)的列联表得 ．
由于 ，故有 的把握认为该市一天空气中 浓度与 浓度有关．1．【2020·广东省高三二模】高二某班共有45人，学号依次为1、2、3、…、45，现按学号用系统抽样的
办法抽取一个容量为5的样本，已知学号为6、24、33的同学在样本中，那么样本中还有两个同学的学
号应为
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题可知，该班共有45人，按学号用系统抽样的办法抽取一个容量为5的样本，
则抽到的每个同学的学号之间的间隔为： ，
而已知学号为6、24、33的同学在样本中，
即抽到的第一个学号为6，则第二个学号为：6+9=15，
第三个学号为：15+9=24，则第四个学号为：24+9=33，
第五个学号为：33+9=42，
所以样本中还有两个同学的学号应为：15，42.
故选：B.
2．【2020·黑龙江省大庆实验中学高三月考(理)】设不等式组 表示的平面区域为 ，若从圆
： 的内部随机选取一点 ，则 取自 的概率为
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】作出 中在圆 内部的区域，如图所示，因为直线 ， 的倾斜角分别为 ， ，
所以由图可得 取自 的概率为 .
故选：B
【点睛】本小题主要考查几何概型的计算，考查线性可行域的画法，属于基础题.
3．【江西省吉安市泰和中学2019-2020学年高三11月质量检测-数学试题】雷达图(Radar Chart)，又可称
为戴布拉图、蜘蛛网图(Spider Chart)，原先是财务分析报表的一种，现可用于对研究对象的多维分析．
图为甲、乙两人在五个方面的评价值的雷达图，则下列说法不正确的是
A．甲、乙两人在次要能力方面的表现基本相同
B．甲在沟通、服务、销售三个方面的表现优于乙
C．在培训与销售两个方面上，甲的综合表现优于乙
D．甲在这五个方面的综合表现优于乙
【答案】C
【解析】由雷达图可知，A，B，D三项正确．
乙在培训方面的评价值为40，甲在培训方面的评价值为20；
而乙在销售方面的评价值约为50，甲在销售方面的评价值约为60，
比较甲、乙的两个评价值的平均数，可知乙的较高，所以C项不正确．
故选C.4．【2020届河南省驻马店市高三上学期期末】高考“ ”模式指考生总成绩由语文、数学、外语3个
科目成绩和高中学业水平考试 个科目成绩组成．计入总成绩的高中学业水平考试科目，由考生根据报
考高校要求和自身特长，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物 个科目中自主选择．某中学为
了解本校学生的选择情况，随机调查了 位学生的选择意向，其中选择物理或化学的学生共有 位，
选择化学的学生共有 位，选择物理也选择化学的学生共有 位，则该校选择物理的学生人数与该校
学生总人数比值的估计值为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】选择物理的学生人数为 ，
即该校选择物理的学生人数与该校学生总人数比值的估计值为 ．
故选 .
5．【2020·河南省高三三模】“二进制”来源于我国古代的《易经》，该书中有两类最基本的符号：
“─”和“﹣﹣”，其中“─”在二进制中记作“1”，“﹣﹣”在二进制中记作“0”．如符号“☱”对
应的二进制数011 化为十进制的计算如下：011 ＝0×22+1×21+1×20＝3 ．若从两类符号中任取2个符
(2) (2) (10)
号进行排列，则得到的二进制数所对应的十进制数大于2的概率为
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】根据题意，不同符号可分为三类：
第一类：由两个“─”组成，其二进制为：11(2)＝3(10)；
第二类：由两个“﹣﹣“组成，其二进制为：00(2)＝0(10)；第三类：由一个“─”和一个“﹣﹣”组成，其二进制为：10(2)＝2(10)，01(2)＝1(10)，
所以从两类符号中任取2个符号排列，则组成不同的十进制数为0，1，2，3，
则得到的二进制数所对应的十进制数大于2的概率P ．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，以及转化的应用，意在考查学生的计算能力和应用
能力，属于中档试题.
6．【2020·河南省高三三模】随着 年北京冬奥会临近，中国冰雪产业快速发展，冰雪运动人数快速
上升，冰雪运动市场需求得到释放，将引领户外用品行业市场增长．下面是 年至 年中国雪
场滑雪人次(万人次)与同比增长率的统计图，则下面结论中不正确的是
A． 年至 年，中国雪场滑雪人次逐年增加
B． 年至 年，中国雪场滑雪人次和同比增长率均逐年增加
C． 年与 年相比，中国雪场滑雪人次的同比增长率近似相等，所以同比增长人数也近似相等
D． 年与 年相比，中国雪场滑雪人次增长率约为
【答案】C
【解析】由 年至 年中国雪场滑雪人次(万人次)与同比增长率的统计图，得：对于A，
年至 年，中国雪场滑雪人次逐年增加，故A正确；对于B， 年至 年，中国雪场滑雪人次和同比增长率均逐年增加，故B正确；
对于C， 年与 年相比，中国雪场滑雪人次的同比增长率近似相等，
但是同比增长人数也不相等， 年比 年增长人数多，故C错误；
对于D， 年与 年相比，中国雪场滑雪人次增长率约为：
．故D正确．
故选：C．
【点睛】本题考查统计图表的应用，考查学生的数据分析能力，属于基础题.
7．【2020·山东省邹城市第一中学高三模拟】2020年初，新型冠状病毒( )引起的肺炎疫情爆
发以来，各地医疗机构采取了各种针对性的治疗方法，取得了不错的成效，某地开始使用中西医结合方
法后，每周治愈的患者人数如下表所示：
周数(x) 1 2 3 4 5
治愈人数
2 17 36 93 142
(y)
由表格可得 关于 的二次回归方程为 ，则此回归模型第4周的残差(实际值与预报值之差)
为
A．5 B．4
C．1 D．0
【答案】A
【解析】设 ，则 ，
，所以 .令 ，得 .
故选：A
8．【2020·四川省绵阳南山中学高三一模】从标号分别为 、 、 、 、 的 张标签中随机抽取一张，
放回后再随机抽取一张，则抽得的第一张标签的标号与第二张标签的标号恰好相差 的概率为A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】从标号分别为 、 、 、 、 的 张标签中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，
所有的基本事件数为 ，
其中，事件“抽得的第一张标签的标号与第二张标签的标号恰好相差 ”所包含的基本事件有： 、
、 、 、 、 、 、 ，共 种情况，
因此，所求事件的概率为 .
故选：D.
【点睛】本题考查利用古典概型的概率公式求事件的概率，一般利用列举法列举出基本事件，考查计算
能力，属于基础题.
9．【2020·四川省阆中中学高三其他】中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算
筹实际上是一根根同长短的小木棍．如图，是利用算筹表示数1－9的一种方法．例如：3可表示为
“≡”，26可表示为“=⊥”，现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用1－9这9个
数字表示两位数中，能被3整除的概率是
A． B．
C． D．【答案】D
【解析】1根算筹只能表示1,2根根算筹可以表示2和6,3根算筹可以表示3和7,4根算筹可以表示4和
8,5根算筹可以表示5和9，
因此6根算筹表示的两位数有15,19,51,91,24,28,64,68,42,82,46,86,37,33,73,77共16个，其中
15,51,24,42,33共5个可以被3整除，
所以所求概率为 ．
故选：D．
【点睛】本题考查古典概型，考查中国古代数学文化，解题关键是用列举法写出6根算筹所能表示的两
位数．
10．【2020·山西省高三月考】勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的曲线，它是由德国机械工程专家、
机构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点
间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．如图中的两个勒洛三角形，它们所对应的等边
三角形的边长比为 ，若从大的勒洛三角形中随机取一点，则此点取自小勒洛三角形内的概率是
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】设图中的小的勒洛三角形所对应的等边三角形的边长为 ，
则小勒洛三角形的面积 ，因为大小两个勒洛三角形，它们所对应的等边三角形的边长比为 ，
所以在勒洛三角形的面积为
若从大的勒洛三角形中随机取一点，则此点取自小勒洛三角形内的概率为 ，
故选：C
【点睛】此题考查概率与几何概型、平面图形等知识，考查阅读能力和数学计算能力，属于中档题.
11．【2020·上海高三二模】某社区利用分层抽样的方法从140户高收入家庭、280户中等收入家庭、80户
低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某项指标，则中等收入家庭应选________户．
【答案】56
【解析】该社区共有 户，
利用分层抽样的方法, 中等收入家庭应选 户，
故答案为：56.
【点睛】本题考查分层抽样，注意抽取比例是解决问题的关键，属于基础题.
12．【2020届湖南省高三上学期期末统测数学】一组数据 的平均值为
7，则 的平均值是_________.
【答案】11
【解析】设 的平均值为 ，
则 的平均值为 ，
所以 ，故 的平均值为 .
故答案为：11.
13．【2020届安徽省马鞍山市高三第一次教学质量监测】某公司为确定明年投入某产品的广告支出,对近5
年的年广告支出 (单位:万元)与年销售额 (单位:万元)进行了初步统计,如下表所示.年广告支出 /万元 2 3 5 7 8
年销售额 /万元 28 37 60 70
经测算,年广告支出 与年销售额 满足线性回归方程 ,则 的值为_____.
【答案】55
【解析】根据所给数据求出:
根据 在线性回归方程 上
,解得: ,故答案为: .
14．【2020·辽河油田第三高级中学高三三模】辊子是客家传统农具，南方农民犁开田地后，仍有大的土块.
农人便用六片叶齿组成辊轴，两侧装上木板，人跨开两脚站立，既能掌握平衡，又能增加重量，让牛
拉动辊轴前进，压碎土块，以利于耕种.这六片叶齿又对应着菩萨六度，即布施､持戒､忍辱､精进､禅
定与般若.若甲､乙每人依次有放回地从这六片叶齿中随机取一片，则这两人选的叶齿对应的“度”相
同的概率为______.
【答案】
【解析】记布施，持戒，忍辱，精进，禅定，般若分别为 ， ， ， ， ， ，
则基本事件有 ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ，共36个，其中符合条件的有6个，故所求概率 .
故答案为 .
15．【四川省棠湖中学2020届高三一诊模拟考试数学】省环保厅对 、 、 三个城市同时进行了多天
的空气质量监测，测得三个城市空气质量为优或良的数据共有180个，三城市各自空气质量为优或良的
数据个数如下表所示：
城 城 城
优(个) 28
良(个) 32 30
已知在这180个数据中随机抽取一个，恰好抽到记录 城市空气质量为优的数据的概率为0.2.
(1)现按城市用分层抽样的方法，从上述180个数据中抽取30个进行后续分析，求在 城中应抽取的数
据的个数；
(2)已知 ， ，求在 城中空气质量为优的天数大于空气质量为良的天数的概率.
【解析】(1)由题意得 ，即 .
∴ ，
∴在 城中应抽取的数据个数为 .
(2)由(1)知 ， 且 ， ，
∴满足条件的数对 可能的结果有 ， ， ， ， ， ，
， 共8种.其中“空气质量为优的天数大于空气质量为良的天数”对应的结果有 ， ， ，
共3种.
∴在 城中空气质量为优的天数大于空气质量为良的天数的概率为 .
16．【2020·辽宁省沈阳二中高三模拟】为迎接2022年冬奥会，北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活
动，并在培训结束后对学生进行了考核．记 表示学生的考核成绩，并规定 为考核优秀．为
了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了30名学生的考核成绩，并作成如下茎叶
图：
(Ⅰ)从参加培训的学生中随机选取1人，请根据图中数据，估计这名学生考核优秀的概率；
(Ⅱ)从图中考核成绩满足 的学生中任取2人，求至少有一人考核优秀的概率；
(Ⅲ)记 表示学生的考核成绩在区间 的概率，根据以往培训数据，规定当
时培训有效．请根据图中数据，判断此次中学生冰雪培训活动是否有效，并说
明理由．
【解析】(Ⅰ)设这名学生考核优秀为事件 ，
由茎叶图中的数据可以知道，30名同学中，有7名同学考核优秀，
所以所求概率 约为
(Ⅱ)设从图中考核成绩满足 的学生中任取2人，
至少有一人考核成绩优秀为事件 ，
因为表中成绩在 的6人中有2个人考核为优，所以基本事件空间 包含15个基本事件，事件 包含9个基本事件，
所以
(Ⅲ)根据表格中的数据，满足 的成绩有16个，
所以
所以可以认为此次冰雪培训活动有效．
17．【四川省宜宾市第四中学2020届高三一诊模拟数学】2019年10月28日至10月31日，中国共产党第
十九届四中全会在北京召开。一段时间后，某单位就“十九届四中全会”精神的领会程度随机抽取
100名员工进行问卷调查，调查问卷共有20个问题，每个问题5分，调查结束后，发现这100名员工
的成绩都在[75，100]内，按成绩分成5组：第1组[75，80)，第2组[80，85)，第3组[85，90)，第4
组[90，95)，第5组[95，100]，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知甲、乙、丙分别在第3，4，5
组，现在用分层抽样的方法在第3，4，5组共选取6人对“十九届四中全会”精神作深入学习．
(1)求这100人的平均得分(同一组数据用该区间的中点值作代表)；
(2)求第3，4，5组分别选取的作深入学习的人数；
(3)若甲、乙、丙都被选取对“十九大”精神作深入学习，之后要从这6人随机选取2人再全面考查他
们对“十九大”精神的领会程度，求甲、乙、丙这3人至多有一人被选取的概率．
【解析】(1)这100人的平均得分为：．
(2)第3组的人数为0.06×5×100=30，
第4组的人数为0.04×5×100=20，
第5组的人数为0.02×5×100=10，故共有60人，
∴用分层抽样在这三个组选取的人数分别为：3，2，1．
(3)记其他人为、丁、戊、己，
则所有选取的结果为(甲、乙)、(甲、丙)、(甲、丁)、(甲、戊)、(甲、己)、
(乙、丙)、(乙、丁)、(乙、戊)、(乙、己 )、(丙、丁)、(丙、戊)、(丙、己)、
(丁、戊)、(丁、己 )、(戊、己)共15种情况，
其中甲、乙、丙这3人至多有一人被选取有12种情况，
故甲、乙、丙这3人至多有一人被选取的概率为 ．
18．【2020·四川省绵阳南山中学高三一模】为调查某地区被隔离者是否需要社区非医护人员提供帮助，用
简单随机抽样方法从该地区调查了500位被隔离者，结果如下：
性别
男 女
是否需要
需要 40 30
不需要 160 270
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
(1)估计该地区被隔离者中，需要社区非医护人员提供帮助的被隔离者的比例；
(2)能否有99%的把握认为该地区的被隔离者是否需要社区非医护人员提供帮助与性别有关？
【解析】(1)∵调查的500位被隔离者中有 位
需要社区非医护人员提供帮助，
∴该地区被隔离者中需要帮助的被隔离者的比例的估算值为；
(2)根据列联表所给的数据，代入随机变量的观测值公式，
．
∵ ，
∴有99%的把握认为该地区的被隔离者是否需要帮助与性别有关．
19．【河南省实验中学2020届高三月考】《中华人民共和国道路交通安全法》第47条的相关规定：机动
车行经人行横道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行横道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线”，
《中华人民共和国道路交通安全法》第90条规定：对不礼让行人的驾驶员处以扣3分，罚款50元的
处罚．
(1)交警从这5个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查了50人，调查驾驶员不“礼让斑马线”行为与驾
龄的关系，得到如下列联表：能否据此判断有97.5%的把握认为“礼让斑马线”行为与驾龄有关？
不礼让斑马线 礼让斑马线 合计
驾龄不超过1年 22 8 30
驾龄1年以上 8 12 20
合计 30 20 50
(2)下图是某市一主干路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员不“礼让斑马线”行为的折线图：
请结合图形和所给数据求违章驾驶员人数y与月份x之间的回归直线方程 ，并预测该路口7月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数．
附注：参考数据： ， ．
参考公式： ， ，
(其中 ).
临界值表：
0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072[来
源:Z*xx*k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
.Com]
【解析】(1)由列联表中数据，计算得 ，
由此能判断有97.5%的把握认为“礼让斑马线”行为与驾龄有关.
(2)利用所给数据，计算 ，
，
则 ，
，
∴ 与 之间的回归直线方程 .当 时， ，
即预测该路口7月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员有66人．
20．【湖北省部分重点中学2019-2020学年高三上学期第一次联考】某互联网公司为了确定下一季度的前
期广告投入计划，收集了近 个月广告投入量 (单位：万元)和收益 (单位：万元)的数据如下表：
月份
广告投入量
收益
他们分别用两种模型① ，② 分别进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，得
到如图所示的残差图及一些统计量的值：
(Ⅰ)根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由；
(Ⅱ)残差绝对值大于 的数据被认为是异常数据，需要剔除：
(ⅰ)剔除异常数据后求出(Ⅰ)中所选模型的回归方程；
(ⅱ)若广告投入量 时，该模型收益的预报值是多少？
附：对于一组数据 ， ，……， ，其回归直线 的斜率和截距的最小
二乘估计分别为：， .
【解析】(Ⅰ)应该选择模型①，因为模型①残差点比较均匀地落在水平 的带状区域中，说明模
型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高.
(Ⅱ)(ⅰ)剔除异常数据，即月份为 的数据后，得
；
.
；
.
；
，
所以 关于 的线性回归方程为： .
(ⅱ)把 代入回归方程得： ，
故预报值约为 万元.
【点睛】本道题考查了回归方程的计算方法，难度中等.
21.【四川省泸县第一中学2020届高三三诊模拟考试数学(文)试题】鱼卷是泉州十大名小吃之一,不但本地
人喜欢,而且深受外来游客的赞赏.小张从事鱼卷生产和批发多年,有着不少来自零售商和酒店的客户当
地的习俗是农历正月不生产鱼卷,客户正月所需要的鱼卷都会在上一年农历十二月底进行一次性采购小张把去年年底采购鱼卷的数量x(单位:箱)在 的客户称为“熟客”,并把他们去年采购的数量
制成下表:
采购数x
客户数 10 10 5 20 5
(I)根据表中的数据作出频率分布直方图,并估计采购数在168箱以上(含168箱)的“熟客”人数;
(II)若去年年底“熟客”们采购的鱼卷数量占小张去年年底总的销售量的 ,估算小张去年年底总的销
售量(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);
(III)由于鱼卷受到游客们的青睐,小张做了一份市场调查,决定今年年底是否在网上出售鱼卷,若不在网上
出售鱼卷,则按去年的价格出售,每箱利润为20元,预计销售量与去年持平;若在网上出售鱼卷,则需把每
箱售价下调2至5元,且每下调m元( )销售量可增加1000m箱,求小张今年年底收入Y(单位:
元)的最大值.
解： (1)作出频率分布直方图,如图：
根据上图,可知采购量在168箱以上(含168箱)的“熟客”人数为
(2)去年年底“熟客”所采购的鱼卷总数大约为
(箱)
小张去年年底总的销售量为 (箱)(3)若不在网上出售鱼卷,则今年年底小张的收入为 (元);
若在网上出售鱼卷,则今年年底的销售量为 箱,每箱的利润为 ,
则今年年底小张的收入为
,
当 时, 取得最大值256000
∵ ,
∴小张今年年底收入 的最大值为256000元.
