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专题 09 概率与统计
1．（2021·江苏高考真题）下图是某项工程的网络图(单位:天)，则从开始节点①到终止节点⑧的路径共有
（ ）
A．14条 B．12条 C．9条 D．7条
2．（2021·天津高考真题）从某网络平台推荐的影视作品中抽取 部，统计其评分分数据，将所得
个评分数据分为 组： 、 、 、 ，并整理得到如下的费率分布直方图，
则评分在区间 内的影视作品数量是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·全国高考真题（文））在区间 随机取1个数，则取到的数小于 的概率为（ ）A． B． C． D．
4．（2021·全国高考真题（文））将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）
A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.8
5．（2021·全国高考真题）下列统计量中，能度量样本 的离散程度的是（ ）
A．样本 的标准差 B．样本 的中位数
C．样本 的极差 D．样本 的平均数
1．（2021·陕西高三其他模拟（文））魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体
内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”（如图），通过计算得知正方体的体积与“牟
合方盖”的体积之比应为 .若在该“牟合方盖”内任取一点，此点取自正方体内切球内的概率为（
）
A． B． C． D．
2．（2021·贵州黔东南苗族侗族自治州·凯里一中高三三模（文））数学家阿基米德建立了这样的理论：
“任何由直线与抛物线所围成的弓形，其面积都是其同底同高的三角形面积的三分之四.”如图，直线
与抛物线 交于 ､ 两点， ､ 两点在 轴上的射影分别为 ､ ，从长方形
内任取一点，则该点落在阴影部分的概率为（ ）A． B． C． D．
3．（2021·重庆高三三模）孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题中的第8个：存在无穷多
个素数P，使得 是素数，素数对 称为孪生素数，2013年华人数学家张益唐发表的论文《素
数间的有界距离》第一次证明了存在无穷多组间距小于定值的素数对，那么在不超过16的素数中任意取出
不同的两个．可组成孪生素数的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·广西南宁三中高三其他模拟（文））英因数学家泰勒(B.Taylor，1685-1731)以发现泰勒公式和泰
勒级数闻名于世.由泰勒公式，我们能得到 (其中 为自然对数的底数，
， )，其拉格朗日余项是 .可以看出，右边的项用得
越多，计算得到的 的近似值也就越精确.若 近似地表示 的泰勒公式的拉格朗日余项 ， 不超
过 时，正整数 的最小值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．85．（2021·天水市第一中学高三其他模拟（文））我国古代数学名著《数书九章》中有“米谷粒分”问题；
“开仓受纳，有甲户米一千五百三十四石到廊．验得米内夹谷，乃于样内取米一捻，数计二百五十四粒内
有谷二十八颗，凡粒米率每勺三百，今欲知米内杂谷多少”，其大意是，粮仓开仓收粮，有人送来米1534
石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ）
A．153石 B．154石 C．169石 D．170石
6．（2021·合肥市第六中学高三其他模拟（文））质检机构为检测一大型超市某商品的质量情况，从编号
为1~120的该商品中利用系统抽样的方法抽8件进行质检，若所抽样本中含有编号67的商品，则下列编号
一定被抽到的是（ ）
A．112 B．53 C．38 D．9
7．（2021·陕西西安市·西安中学高三其他模拟（文））某单位有200名职工，现用系统抽样法，从中抽取
40名职工作样本，将全体职工随机按1~200编号，并按编号顺序平均分为40组(1~5号，6~10号，…，
196~200号).若第5组抽出的号码为22，则第9组抽出的号码应是___________.
8．（2021·黑龙江哈尔滨市第六中学校高三三模（文））从 中任取两个数，它们均小于这五个
数的平均数的概率是_________________．
9．（2021·河南高三其他模拟（文））由一组样本点 、 、 、 、 ，根据
最小二乘法求得的回归方程为 ，则 ___________.
10．（2021·四川德阳市·高三二模（文））如图是一次数学考试成绩的样本频率分布直方图(样本容量
)，若成绩在60分到80分之间的学生称为“临界生”，那么样本中“临界生”人数约为
___________.11．（2021·陕西西安市·西北工业大学附属中学高三其他模拟（文））利用计算机产生0~1之间的均匀随
机数 ，则事件“ ”发生的概率为___________.
12．（2021·全国高考真题（文））甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了
比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：
一级品 二级品 合计
甲机床 150 50 200
乙机床 120 80 200
合计 270 130 400
（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?
（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?
附：
0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
13．（2021·陕西高三其他模拟（文））某社区随机选取了部分居民，调查他们对今年春节期间社区组织文
艺和体育活动的意见（每人只选择其中一项），调查结果如下表所示：
文艺活动 体育活动
男性居民
女性居民
（1）估计该社区男性居民中选择体育活动的概率和全体居民中选择文艺活动的概率；
（2）判断能否有 的把握认为居民选择的活动类型与性别有关.
附： ，其中 .14．（2021·四川遂宁市·高三三模（文））我国的高等教育中对于硕士研究生的培养，按照培养方向分类，
可分为普通硕士和专业硕士两类；一类是普通硕士，根据我国的有关规定，普通硕士教育以培养教学和科
研人才为主，授予学位的类型主要是学术型学位.另一类是专业硕士，根据国务院学位委员会的定位，专业
型学位为具有职业背景的学位，培养特定职业高层次专门人才.专业硕士教育的学习方式比较灵活，大致可
分为在职攻读和全日制学习两类.某大学团委为了解该校大学一年级的学生对未来的考硕士研究生的规划，
从中随机抽取容量为100的样本，其中有考硕士研究生规划的有24人(其中有考普通硕士规划的6人中，2
名是男生，4名是女生).
（1）若从样本中选一位学生，那么该同学是有考普通硕士规划的概率有多大？
（2）从这6名有考普通硕士规划的学生中，选出3个人，求其中男生至少一人的概率.
15．（2021·河南高三其他模拟（文））2021年7月1日是中国共产党百年华诞，某社区将组织主题为“红
歌献给党”的百人大合唱，将这100人的年龄分成 ， ， ， ， ，
， 7段后得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求这100人年龄的平均数(同一组中的数据用该组的区间中点值代表)，并求中位数的估计值；
（2）若从样本中年龄在 的人员中按分层抽样法选取5人，然后从这5人中选出2人做领队，求这
2名领队分别来自 与 两组的概率.
16．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高三其他模拟（文））2021年春节，由贾玲导演的春节档电影
《你好，李焕英》总票房已突破50亿元，影片的感人情节引起同学们广泛热议.开学后，哈三中团委在高
二年级中(其中男生200名，女生150名)，对是否观看该影片进行了问卷调查，各班男生观看人数统计记为 组，各班女生观看人数统计记为 组，得到如图的茎叶图.
（1）根据茎叶图补全 列联表；
观看 没观看 合计
男生 200
女生 150
合计 350
（2）判断是否有 的把握认为观看该影片与性别有关？
0.05 0.025 0.005 0.001
3.841 5.024 7.879 10.828
， .
17．（2021·四川成都市·树德中学高三其他模拟（文））某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，
需了解年宣传费对年销售量(单位： )的影响.该公司对近7年的年宣传费和年销售量数据进行了研究，发
现年宣传费 (万元)和年销售量 (单位： )具有线性相关关系，并对数据作了初步处理，得到下面的一些
统计量的值.
(万元) 1 2 3 4 5 6 7(单位： ) 2.8 5.3 6.8 9.2 10.9 13.2 14.8
（1）根据表中数据建立年销售量 关于年宣传费 的回归方程(结果保留到0.001)；
（2）已知这种产品的年利润 与 ， 的关系为 ，根据（1）中的结果，估算该公
司应该投入多少宣传费，才能使得年利润z最大.
附：回归方程 中的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为
， ，参考数据： ，
18．（2021·四川德阳市·高三二模（文））针对时下的“网络文学热”，某班团委对“学生性别是否与喜
欢网络文学有关”作了一次抽样调查，在抽取的样本中，女生人数是男生人数的 ，男生喜欢“网络文
学”的人数占男生人数的 ，女生喜欢“网络文学”的人数占女生人数的 .设抽取的男生人数为
.
（1）完成 列联表，若有95%以上的把握认为喜欢“网络文学”与性别有关，求男生人数 的最小值；
喜欢网络文学 不喜欢网络文学 总计
男生
女生
（2）已知数学科代表女生甲和语文科代表男生乙都喜欢网络文学且都在样本中，当 取（1）中的最小值
时，从喜欢网络文学的同学中抽取3名同学进行问卷调查，求同时抽到女生甲及男生乙的概率.
附： ， .19．（2021·四川省绵阳南山中学高三其他模拟（文））2020年3月，工业和信息化部信息通信发展司发布
《工业和信息化部关于推动5G加快发展的通知》，鼓励基础电信企业通过套餐升级优惠、信用购机等举
措，促进5G终端消费，加快用户向5G迁移．为了落实通知要求，掌握用户升级迁移情况及电信企业服务
措施，某巿调研部门]随机选取了甲、乙两个电信企业的用户共165户作为样本进行满意度调查，并针对企
业服务措施设置了达标分数线，按照不低于80分的定为满意，低于80分的为不满意，调研人员制作了如
图所示的 列联表．
满意 不满意 合计
甲企业用户 75
乙企业用户 20
合计
已知从样本的165户中随机抽取1户为满意的概率是 ．
（1）请将 列联表补充完整，并判断能否有95%的把握认为“满意度与电信企业服务描施有关系”？
（2）用分层抽样方法抽取6个对甲、乙企业服务不满意用户，再从这6个用户中随机抽取3个进行不满意
原因调查，求3个用户中有1个对甲企业不满意的概率．
下面临界值表仅供参考：
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
（参考公式： ，其中 ）20．（2021·河南高三其他模拟（文））某生物研究小组准备探究某种蜻蜒的翼长分布规律，随机捕捉20
只该种蜻蜓，测量它们的翼长（翼长为整数，单位：mm）并绘制成如下的茎叶图和一部分频率分布直方
图，其中基叶图中有一处数字看不清（用 表示），但已知茎叶图中每一行的数据都按照从小到大的顺序
排列且无相同数据频率分布直方图每个分组含左端点不含右端点．
（1）求 的值；
（2）根据茎叶图将频率分布直方图补充完整；
（3）分别根据茎叶图和频率分布直方图计算蜻蜓翼长的中位数，并分析哪个中位数可以更准确地反映蜻
蜓翼长的总体情况．
21．（2021·贵州黔东南苗族侗族自治州·凯里一中高三三模（文））2020年7月29日，贵州省林业局发布
全省2019年度森林覆盖率，黔东南州森林覆盖率为 ，这是自2012年全省开展小康森林覆盖率指
标监测工作以来，黔东南州连续 年位居全省市州第一，“绿水青山就是金山银山”已成为新时代中国特
色社会主义生态文明建设的重要内容.某社团在一次研学旅活动中，为了解某苗圃基地的红豆杉幼苗生长情
况，从基地的树苗中随机抽取了 株测量高度(单位： )，经统计，树苗的高度均在区间 内，
将其按 ， ， ， ， ， 分成 组，制成如图所示的频率分布
直方图：（1）求直方图中 的值，并估计树苗的平均高度；
（2）该社团决定从树苗的高度在 中采用分层抽样的方法抽取 株树苗带回学校栽种，然后再从这
株树苗中随机抽取 株跟踪研究，求恰有 株树苗高度在 的概率.
22．（2021·黑龙江大庆市·大庆实验中学高三其他模拟（文））某企业销售部门为了解员工的销售能力，
设计了关于销售的问卷调查表，从该部门现有员工中性别(男生占45%)分层抽取n名进行问卷调查，得分
分为1，2，3，4，5五个档次，各档次中参与问卷调查的员工的人数如条形图所示，已知第5档员工的人
数占总人数的 .
（1）（i）求n与a的值；
（ii）若将某员工得分所在的档次作为该员工的销售能力基数(记销售能力基数 为能力基数高，其他
均为能力基数不高).在销售能力基数为5的员工中，女生与男生的比例为7∶3，以抽的n名员工为研究对
象，完成下面的 列联表，并判断是否有90%的把握认为销售能力基数高不高与性别有关.
男生 女生 合计销售能力基数高
销售能力基数不高
合计
（2）为提高员工的销售能力，部门组织员工参加各种形式的培训讲座，经过培训，每位员工的营销能力
指数y与销售能力基数 以及参加培训的次数t满足函数关系式 .如果员工甲的销
售能力基数为4，员工乙的销售能力基数为2，则在甲不参加培训的情况下，乙至少需要参加多少次培训，
其营销能力指数才能超过甲？
参考数据及参考公式： ，
附： ，其中 .
0.15 0.10 0.05 0.01
2.072 2.706 3.841 6.635
23．（2021·黑龙江哈尔滨市第六中学校高三三模（文））“一本书，一条街，一教堂，一条江”曾是哈尔
滨的城市名片，而现在“哈马”又成为了哈尔滨的另一张名片，随着全民运动健康意识的提高，马拉松运
动不仅在哈尔滨，而且在全国各大城市逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛的人口逐年增加．为此，某市对
人们参加马拉松运动的情况进行了统计调查．其中一项调查是调查人员从参与马拉松运动的人中随机抽取
200人，对其每周参与马拉松长跑训练的天数进行统计，得到以下统计表：
平均每周进行长跑训练的天数 不大于2天 3天或4天 不少于5天
人数 30 130 40
若某人平均每周进行长跑训练天数不少于5天，则称其为“热烈参与者”，否则称为“非热烈参与者”．
（1）经调查，该市约有2万人参与马拉松运动，试估计其中“热烈参与者”的人数；（2）根据上表的数据，填写下列2×2列联表，并通过计算判断是否能有99%的把握认为“是否热烈参与
马拉松”与性别有关？
热烈参与者 非热烈参与者 合计
男 140
女 55
合
计
参考公式及数据：K2＝ ，其中n＝a+b+c+d．
P
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
（K2≥k）
0
k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
0
24．（2021·合肥市第六中学高三其他模拟（文））树木根部半径与树木的高度呈正相关，即树木根部越粗，
树木的高度也就越高.某块山地上种植了 树木，某农科所为了研究 树木的根部半径与树木的高度之间
的关系，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取6棵 树木，调查得到 树木根部半径 (单位：米)与
树木高度 (单位：米)的相关数据如表所示：
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
1.1 1.3 1.6 1.5 2.0 2.1
（1）求 关于 的线性回归方程；
（2）对（1）中得到的回归方程进行残差分析，若某 树木的残差为零则认为该树木“长势标准”，在此
片树木中随机抽取1棵 树木，估计这棵树木“长势标准”的概率.参考公式：回归直线方程为 ，其中 ， .
25．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈九中高三其他模拟（文））十三届全国人大三次会议表决通过了《中华人
民共和国民法典》这部法律自 年 月 日起施行，某市相关部门进行法律宣传，某宣传小分队记录了
前 周每周普及宣传的人数与时间的数据，得到下表：
时间 周
人数
（1）若可用线性回归模型拟合 与 的关系，求 关于 的线性回归方程；
（2）利用（1）的回归方程，预测该宣传小分队第7周普及宣传（民法典）的人数．
参考公式及数据：
回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 ， ，
.
26．（2021·吉林白城市·白城一中高三其他模拟（文））企业在商业活动中有依法纳税的基本义务，不依
法纳税叫做逃税，是一种违法行为．某地区有2万家企业，政府部门抽取部分企业统计其去年的收入，得
到下面的频率分布表．根据当地政策综合测算，企业应缴的税额约为收入的5%，而去年该地区企业实际
缴税的总额为291亿元．
收入（千万元）
频率 0.3 0.5 0.12 0.06 0.02
（1）估计该地区去年收入大于等于4千万元的企业数量；
（2）估计该地区企业去年的平均收入，并以此估计该地区逃税的企业数量；注：每组数据以区间中点值为代表，假设逃税的企业缴税额为0，未逃税的企业都足额缴税．
